第3章 章末整合提升（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学函数单元复习课件系统梳理了函数的概念、三要素、表示法、基本性质及应用，通过体系构建形成知识框架，将定义域、单调性等核心内容串联，清晰呈现知识点内在逻辑与联系。 其亮点为“体系构建+素养提升”双模块设计，例题从基础定义域求解到高考题变式训练，如复合函数定义域、奇偶性与单调性综合题，培养数学抽象、逻辑推理和数学建模素养。分层练习助力学生巩固，教师可精准把握复习重点。

章末整合提升 1 体系构建 01 素养提升 02 目录 2 体系构建 01 PART 目 录 数学·必修第一册 目 录 素养提升 02 PART 目 录 一、求函数的定义域、值域 1. 确定函数定义域的原则 （1）当函数y＝f（x）用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的 集合； （2）当函数y＝f（x）用图象给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的 投影所覆盖的实数x的集合； （3）当函数y＝f（x）用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有 意义的实数x的集合； （4）当函数y＝f（x）由实际问题给出时，函数的定义域受问题的实际 意义限制. 2. 函数的值域是在函数的定义域下函数值的集合，一般是利用函数的图象 或函数的单调性求值域. 数学·必修第一册 目 录 【例1】　（1）函数f（x）＝ ＋（2x－1）0的定义域为（　D　） A. B. C. D. ∪ 解析：由题意知 解得x＜1且x≠ ，即f（x）的定义域是 ∪ . D 数学·必修第一册 目 录 （2）已知函数y＝f（x－1）的定义域是[－1，2]，则y＝f（1＋3x）的 定义域为（　A　） A. [－1，0] B. C. [0，1] D. 解析：由y＝f（x－1）的定义域是[－1，2]，得x－1∈[－2，1]，即f （x）的定义域是[－2，1]，令－2≤1＋3x≤1，解得－1≤x≤0，即y＝f （1＋3x）的定义域为[－1，0]. A 数学·必修第一册 目 录 （3）函数y＝ － 的值域为（　B　） A. [0，2] B. （0， ] C. [－ ，0） D. [－ ， ] 解析：y＝ － ＝ ，而 ＋ ≥ （函 数定义域为{x｜x≥1}），从而y∈（0， ]. B 数学·必修第一册 目 录 【反思感悟】 求函数定义域的类型与方法 （1）求定义域的常见形式：根式，偶次根号下非负；分式，分母不为0； 0次幂，底数不为0； （2）分段函数的定义为各段自变量x取值范围的并集，值域为各段函数值 范围的并集； （3）复合函数问题：①若f（x）的定义域为[a，b]，f（g（x））的定 义域应由a≤g（x）≤b解出；②若f（g（x））的定义域为[a，b]，则 f（x）的定义域为g（x）在[a，b]上的值域. 　　提醒：（1）f（x）中的x与f（g（x））中的g（x）地位相同； （2）定义域所指永远是x的范围. 数学·必修第一册 目 录 二、函数的图象 1. 会根据函数的解析式及性质判断函数的图象，利用函数的图象可以直观 的观察函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函 数、反比例函数及幂函数的图象. 2. 会画简单函数的图象. 3. 掌握简单的基本函数图象，提升直观想象素养. 数学·必修第一册 目 录 【例2】　（1）函数y＝ 的图象大致为（　　） √ 解析：　由题意设f（x）＝y＝ ，函数的定义域为R，f（－x）＝ ＝－ ＝－f（x），所以函数y＝ 为奇函数.故A、B错 误；令x＝1，得f（1）＝1＞0，故D错误，C正确. 数学·必修第一册 目 录 （2）已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝－x2＋2x＋2. ①求f（－1）； ②求f（x）的解析式； ③画出f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间. 解：①由于函数f（x）是R上的奇函数，所以对任意的实数x都有f（－ x）＝－f（x）， 所以f（－1）＝－f（1）＝－（－1＋2＋2）＝－3. 数学·必修第一册 目 录 ②设x＜0，则－x＞0，于是f（－x）＝－（－x）2－2x＋2＝－x2－2x ＋2.又因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x）.因此f（x）＝x2 ＋2x－2. 又因为f（0）＝0， 所以f（x）＝ 数学·必修第一册 目 录 ③先画出y＝f（x）（x＞0）的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y ＝f（x）（x＜0）的图象，其图象如图所示. 由图可知，f（x）的单调递增区间为[－1，0）和（0，1]，单调递减区间 为（－∞，－1）和（1，＋∞）. 数学·必修第一册 目 录 【反思感悟】 　　函数图象的辨识可从以下4方面入手 （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象 的上下位置； （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特殊点，排除不合要求的图象. 数学·必修第一册 目 录 三、函数的性质及应用（考教衔接） 1. 函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性 和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结 合图象，要注意勿漏定义域的影响. 2. 掌握单调性和奇偶性的判断和证明，提升数学抽象、逻辑推理、直观想 象、数学运算素养. 由教材题衍变为高考题及高考题的几种变式考法. 教材原题　（链接教材P87习题12题）已知函数f（x）是偶函数，而且在 （0，＋∞）上单调递减，判断f（x）在（－∞，0）上单调递增还是单调 递减，并证明你的判断. 数学·必修第一册 目 录 【例3】　（经典高考题）若定义在R的奇函数f（x）在（－∞，0）单调 递减，且f（2）＝0，则满足xf（x－1）≥0的x的取值范围是（　　） A. [－1，1]∪[3，＋∞） B. [－3，－1]∪[0，1] C. [－1，0]∪[1，＋∞） D. [－1，0]∪[1，3] 解析：　法一　由题意知f（x）在（－∞，0），（0，＋∞）单调递 减，且f（－2）＝－f（2）＝f（0）＝0.当x＞0时，令f（x－1）≥0， 得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x＜0时，令f（x－1）≤0，得－2≤x－ 1≤0，∴－1≤x≤1，又x＜0，∴－1≤x＜0；当x＝0时，显然符合题意. 综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，故选D. √ 法二　当x＝3时，f（3－1）＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f（4－ 1）＝f（3）＜0，此时不符合题意，排除选项A、C，故选D. 数学·必修第一册 目 录 变式1　（经典高考题）函数f（x）在（－∞，＋∞）单调递减，且为奇 函数.若f（1）＝－1，则满足－1≤f（x－2）≤1的x的取值范围是（　　） A. [－2，2] B. [－1，1] C. [0，4] D. [1，3] 解析：　因为f（x）为奇函数，f（1）＝－1，所以f（－1）＝1，所以 －1≤f（x－2）≤1可化为f（1）≤f（x－2）≤f（－1）.又因为f（x） 在（－∞，＋∞）单调递减，所以－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3.故选D. √ 数学·必修第一册 目 录 变式2　（2021·全国乙卷理4题）设函数f（x）＝ ，则下列函数中为奇 函数的是（　　） A. f（x－1）－1 B. f（x－1）＋1 C. f（x＋1）－1 D. f（x＋1）＋1 √ 数学·必修第一册 目 录 解析：　法一（通解）　因为f（x）＝ ，所以f（x－1）＝ ＝ ，f（x＋1）＝ ＝ .对于A，F（x）＝f（x －1）－1＝ －1＝ ，定义域关于原点对称，但不满足F（x）＝－ F（－x）；对于B，G（x）＝f（x－1）＋1＝ ＋1＝ ，定义域关于 原点对称，且满足G（x）＝－G（－x）；对于C，f（x＋1）－1＝ －1＝ ＝－ ，定义域不关于原点对称；对于D，f（x＋1）＋1 ＝ ＋1＝ ＝ ，定义域不关于原点对称.故选B. 数学·必修第一册 目 录 法二（优解）　f（x）＝ ＝ ＝ －1，为保证函数变换之后 为奇函数，需将函数y＝f（x）的图象向右平移一个单位长度，再向上平 移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f（x－1）＋1，故选B. 数学·必修第一册 目 录 变式3　（2021·全国甲卷文12题）设f（x）是定义域为R的奇函数，且f （1＋x）＝f（－x）.若f ＝ ，则f ＝（　　） A. － B. － C. D. 解析：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－x）＝－f（x）.又f（1＋x）＝f（－x），所以f（2＋x）＝f[1＋（1＋x）]＝f[－（1＋x）]＝－f（1＋x）＝－f（－x）＝f（x），所以函数f（x）是以2为周期的周期函数，f ＝f ＝f ＝ .故选C. √ 数学·必修第一册 目 录 【反思感悟】 　　考教衔接分析：教材习题是已知函数的奇偶性，判断对称区间上的单 调性，考题是已知函数奇偶性及部分区间上的单调性和特殊函数值去判断 大致图象，从而解函数不等式，考题比教材习题综合性更强，要求更高. 数学·必修第一册 目 录 四、函数的应用 1. 以现实生活为背景，解决生活中的成本最低、利润最高等问题，一般是 通过构造一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等数学模型，能运用函 数思想处理现实生活中的简单应用问题.能将实际问题转化为熟悉的数学 模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题. 2. 通过构造数学模型解决实际问题，重点提升数学建模素养和数学运 算素养. 数学·必修第一册 目 录 【例4】　销售甲、乙两种商品所得利润分别是y1，y2万元，它们与投入资 金x万元的关系分别为y1＝m ＋a，y2＝bx（其中m，a，b都为常 数），函数y1，y2对应的曲线C1，C2如图所示. （1）求函数y1，y2的解析式； 解：由题意得 解得m＝ ，a＝－ ，故y1＝ － （x≥0）. 由8b＝ ，得b＝ ，故y2＝ x（x≥0）. 数学·必修第一册 目 录 （2）若该商场一共投资8万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的 最大值. 解：设甲商品投入资金x万元，则乙商品投入资金（8－x）万元，商场所 获利润为y万元. 由（1）得y＝ － ＋ （8－x）（0≤x≤8）， 令 ＝t（1≤t≤3），则x＝t2－1， 则有y＝－ t2＋ t＋1＝－ （t－2）2＋ ， 当t＝2，即x＝3时，y取得最大值 ， 所以该商场所获利润的最大值为 万元. 数学·必修第一册 目 录 【反思感悟】 　　能够将实际问题转化为熟悉的函数模型，特别注意实际问题与自变量 取值范围的联系. 数学·必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $