23-3.4 函数的应用（一）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦一次函数、二次函数、幂函数及分段函数模型的应用，从“模型制作”实例导入，衔接函数概念与性质，通过学习目标、分层例题（如运费调运问题）及跟踪训练搭建学习支架，引导学生掌握实际问题的函数建模方法。 其亮点在于以“数学眼光”挖掘生活问题（如市场销售、个税计算）中的数量关系，用“数学思维”通过配方法、均值不等式等推理求解，以“数学语言”精准表达函数模型。采用“例题-跟踪训练-巩固自测”结构，小结梳理知识与方法，助力学生提升建模能力，也为教师提供高效教学资源。

3.4 函数的应用（一） 1 模型制作是一个复杂的过程，在制作模型之前， 需要确定自己要制作的模型类型，如汽车、飞机等.然 后，根据所选类型，设计出一个精确的模型草图，以 确定每个部分的尺寸和比例.我们已经学习了函数的概 念与性质，针对不同函数模型问题我们怎么处理呢？ 返回导航 新课导入 2 1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能 运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题. 2.能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简单的实际 问题. 返回导航 学习目标 3 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 4 PART 01 新知学习 探究 5 一 一次函数模型 ［例1］ （对接教材例1）某厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器 12台和6台，现销售给地10台，地8台.已知从甲地调运一台至地、 地 的运费分别为400元和800元，从乙地调运一台至地、 地的运费分别为 300元和500元.设从乙地调运台至地，总运费为 元. （1）求总运费关于 的函数关系式； 【解】 . 返回导航 6 （2）若总运费不超过9 000元，问共有几种调运方案？ 【解】当时，，解得.又 ，所以 ,1,2,故共有三种调运方案，使总运费不超过9 000元. （3）求出总运费最低的调运方案及最低的运费. 【解】由（1）知，当 时，总运费最低，调运方案为：乙地6台全调运 至地，甲地调运2台至地，调运10台至 地，这时总运费为8 600元. 返回导航 7 一次函数模型的特点和求解方法 （1）一次函数模型的突出特点为其图象是一条直线. （2）解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、 列式、求解. 返回导航 8 ［跟踪训练1］ 根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件销售 价格（单位：元）与时间 （单位：天）的关系满足如图所示的折线，日 销售量（单位：件）与时间 （单位：天）之间的对应关系如表所示. 天 5 15 20 30 件 35 25 20 10 返回导航 9 （1）求出该产品每件销售价格与时间 的函数解析式； 解：由题中图象可知，当时，每件销售价格与时间 的关系为 一次函数. 设，则 解得所以， . 当时， . 所以该产品每件销售价格与时间 的函数解析式为 . 返回导航 10 （2）直接写出日销售量与时间 的函数解析式. 【解】日销售量与时间的函数解析式为 . 返回导航 11 二 二次函数模型 ［例2］ 某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代 产品，并投入资金15万元进行批量生产.已知生产每件产品的成本为4元， 在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单 价每增加1元，年销售量将减少0.1万件.设销售单价为 元.第一年 获利万元.（年获利 年销售额-生产成本-投资） （1）试写出与 之间的函数关系式； 【解】依题意，年销量为 （万件）， 所以, . 返回导航 12 （2）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二 年获利不低于11.3万元.请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 【解】由（1）知，，当时， ， 即当销售单价定为17元时，年获利最大，并且第一年年底公司还差3.1万元 就可收回全部投资. 设第二年的销售单价应定元，年获利 万元， , ,而 ，即，整理得 ， 解得，所以第二年销售单价的范围是 . 返回导航 13 利用二次函数模型求最值的策略 根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方法、判别式法、换元 法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用 料最省等最值问题. 注意 利用二次函数求最值时，应特别注意取得最值时的自变量的值与实 际意义是否相符. 返回导航 14 ［跟踪训练2］ 如图，正方形的边长为2，为边 上的一点， 为线段上的一点，，垂足为， ， 垂足为.设 ，求： 返回导航 15 （1）矩形的面积关于 的函数解析式及其定义域； 解：如图，作，交于点，交于点 ， 因为，，所以， ， 由得到，所以 ，所以 ，故，解得 ，所以 , . 返回导航 16 （2）矩形的面积 的最大值. 【解】设，由二次函数性质得当时，在 上单调 递增，在上单调递减，所以当时，；当 时，在上单调递减，当时，.综上当 时，，当时， . 返回导航 17 三 幂函数模型 ［例3］ （多选）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管 道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位： ）的四次方成 正比，当气体在半径为的管道中时，流量为 ，则( ) A.当气体在半径为的管道中时，流量为 B.当气体在半径为的管道中时，流量为 C.要使得气体流量不小于，管道半径的最小值为 D.要使得气体流量不小于，管道半径的最小值为 √ √ 返回导航 18 解析：依题意可设， . 当气体在半径为的管道中时，流量为 ，所以 ，解得，则.当时， ，故A正确， B错误;由,解得 ，故C正确，D错误. 返回导航 19 幂函数模型应用题常见题型及解题策略 （1）给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关 系式. （2）根据题意直接列出相应的函数关系式. （3）结合幂函数的性质求最值，有时需要用换元法解决. 返回导航 20 ［跟踪训练3］ 某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入 （单位：万元）与药品利润（单位：万元）的关系为 （ 为常数）,其中 不超过5万元,已知去年广告投入费用为3万元，药品利 润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为_____万元. 125 解析：由已知广告投入费用为3万元时，药品利润为27万元，代入 中，即，解得,故函数解析式为，所以当 时， . 返回导航 21 四 分段函数模型 ［例4］ 某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在 当地建造一批生态农场.经过调研得知，初期需投入固定成本300万元，除 此之外，建造个生态农场需另投入成本 万元，且 初步估计未来五年内每个生 态农场能带来30万元的利润. 返回导航 22 （1）求该期间生态农场带来的利润（万元）关于农场数目 的函数关 系式； 【解】根据题意得， 当时， ，当 时， ， 所以 返回导航 23 （2）建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？求最大利润. 【解】当时， ， 在内单调递增，所以当时， 的最大值为450；当 时， ，因为 ，当且仅当，即 时，等 号成立，所以.因为，所以当 时， 的最大值为640，所以建造70个生态农场能给当地带来最大利润， 最大利润为640万元. 返回导航 24 分段函数模型的求解技巧 （1）在求解析式时，应先确定分“段”，即函数分成几段，并抓住“分界点”， 确保分界点“不重不漏”. （2）求函数值时，先确定自变量的值所属的区间，再代入；同样，已知 函数值，求解自变量的值时，就是解方程的过程，即每段都令<m></m>取已知函 数值，解出相应<m></m>的值，再判断是否属于所在区间. 返回导航 25 ［跟踪训练4］ 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照 《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个 税） 年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确 定，计算公式为：个税税额 应纳税所得额×税率-速算扣除数.①应纳税所 得额的计算公式为：应纳税所得额 综合所得收入额-基本减除费用-专项扣 除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.②其中，“基本减除费用”（免征颁） 为每年60 000元，税率与速算扣除数见下表： 返回导航 26 级数 全年应纳税所得额所在区间 税率 速算扣除数 1 3 0 2 10 2 520 3 20 16 920 … … … … 返回导航 27 已知小华缴纳的专项扣除：基本养老保险、基本医疗保险费、失业保险等 社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是,,, ， 专项附加扣除是52 800元，依法确定的其它扣除是4 560元.设小华全年应 纳税所得额为（不超过300 000元）元，应缴纳个税税额为 元，则 _ __________________________________；如果小华全年综合所 得收入额为220 000元，那么他全年应缴纳个税_______元. 3 344 返回导航 28 解析：当时， ， 当时， ， 当时， ， 故 小华全年综合所得收入额为220 000元时，应纳税所得额 ， ，故 ，故他全年应缴纳个税3 344元. 返回导航 29 PART 02 课堂巩固 自测 30 1.从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位： ）与小球运动时 间（单位：）之间的关系式为 ，那么小球从抛出至回落到 地面所需要的时间是( ) A. B. C. D. 解析：选A.令，得或 ,故小球从抛出至回落到 地面所需要的时间为 . √ 返回导航 31 2.（多选）一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水量与 时间的关系如图①②.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图③.则下列说法 中一定正确的有( ) A.0点到3点只进水不出水 B.3点到4点不进水只出水 C.3点到4点总蓄水量降低 D.4点到6点不进水不出水 √ √ 返回导航 32 解析：选.由题中①②两图知，每个进水口的进水速度是 ，是出水 速度的 ，所以由题图③可知，0点到3点只进水不出水，A一定正确；3点 到4点一个进水口进水，一个出水口出水，总蓄水量降低，B一定不正确， C一定正确；4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，D不一定 正确. 返回导航 33 3.生产某机器的总成本（单位：万元）与产量 （单位：台）之间的函数 关系式是 ，若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利润 时生产的机器为____台. 50 解析：设生产台机器，获得利润 万元，则 ，故当 时，获 得最大利润. 返回导航 34 4.近几年 打印手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2025年利用新技术 生产手办，通过调查分析：生产手办全年需投入固定成本12万元，生产 （单位：千件）手办，需另投入成本 （单位：万元），且 由市场调研知每件手办售价90元，且每年内 生产的手办当年能全部销售完. 返回导航 35 （1）求出2025年的利润（单位：万元）关于年产量 的表达式； 解：当时， ；当 时， ，所以 返回导航 （2）2025年年产量为多少千件时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】若，，当 时，万元；若 ， , 当且仅当，即时，万元.因为 ，所以2025年 年产量为10千件时，该工厂所获利润最大，最大利润是8万元. 返回导航 37 1.已学习：一次函数、二次函数、幂函数及分段函数的模型. 2.须贯通：解决函数实际应用问题时应有建模意识，要综合应用图形、图 象等有关信息，常采取待定系数法求解函数的解析式. 3.应注意：函数模型的定义域易忽略自变量需满足的实际意义. 课堂小结 返回导航 38 $