3.1.2 第二课时　分段函数课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦分段函数，通过课前预习任务单梳理定义、本质及基础应用，以绝对值函数等已有知识为支架，衔接课堂师生共研，构建从概念到应用的学习脉络。 其亮点在于结合数学眼光、思维与语言，通过实例（如俱乐部收费、利润问题）引导学生观察现实，用分类讨论（求函数值、解不等式）培养逻辑推理，以分段解析式和图象表达问题。助力学生提升解决问题能力，为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

3. 1. 2 第二课时　分段函数 知识点　分段函数 (一)教材梳理填空 分段函数的定义及本质： (1)定义：分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数． (2)本质：分段函数是一个函数，而不是几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的 ，其值域是各段上“值域”的 ． 对应关系 并集 并集 [微提醒] (1)分段函数是一个函数而不是几个函数．解决分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系． (2)作分段函数的图象时，应根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象． (3)分段函数在书写时要用“{”把各段函数合并写成一个函数的形式，并且指明各段函数自变量的取值范围． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)分段函数由几个函数构成． (　　) (2)分段函数有多个定义域． (　　) (3)函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线． (　　) (4)函数f(x)＝|x|可以用分段函数表示． (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．f(x)＝|x－1|的图象是 (　　) 答案：(－∞，0)∪(0，＋∞)　{－2}∪(0，＋∞) ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1符合题意； 当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2. (3)当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x， 即x<1，所以x≤－2； 当－2<x<2时，f(x)>2x可化为x2＋2x>2x， 即x≠0，所以－2<x<0或0＜x＜2； 当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈∅. 综上可得，x的取值范围是{x|x＜0或0＜x＜2}． 1．求分段函数函数值的步骤 (1)确定要求值的自变量属于哪个区间． (2)代入该区间对应的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知函数值求字母取值的步骤 (1)对字母的取值范围分类讨论． (2)代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．　　 解析：∵f(－2)＝(－2)2＝4，∴f(f(－2))＝f(4)＝4－2＝2. 答案：2 解析：作出函数f(x)的图象如图所示，令f(x)＝f(1)，得x＝－3,1,3，所以当f(x)＞f(1)时，必有x∈(－3,1)∪(3，＋∞)． 答案：(－3,1)∪(3，＋∞) [方法技巧] 1．由分段函数的图象确定函数解析式的步骤 2．作分段函数图象的注意点 作分段函数的图象时，定义域内各分界点处的取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别要注意端点处是实心点还是空心圈．　　 【对点练清】 1.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________． 2．设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为_______． 解：画出一次函数y＝－x－1的图象，取(－∞，－1]上的一段；画出二次函数y＝x2－x－2的图象，取(－1,2]上的一段；画出一次函数y＝x－2的图象，取(2，＋∞)上的一段，如图所示． [方法技巧] 在写分段函数的解析式时，要注意各段自变量取值集合的交集为∅，当前后两段图象连续时，相连的区间端点可在这两段的任意一段上，不要漏掉端点值即可．　　 【对点练清】 某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同：A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元．某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时． (1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30)，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x)与g(x)的解析式． (2)问：该企业选择哪家俱乐部比较合算？为什么？ 上述解题过程是否正确？请说明理由． 提示：不正确．含字母的自变量范围不确定，应分类讨论． (1)试将自行车厂的利润y元表示为日产量x的函数． (2)当日产量为多少件时，自行车厂的利润最大？最大利润是多少？ 解析：∵f(x)＝|x－1|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1，x≥1，,1－x，x＜1，)) 当x＝1时，f(1)＝0，可排除A、C.又x＝－1时，f(－1)＝2，排除D. 答案：B　 3．函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2，x＞0，,－2，x＜0))的定义域为__________，值域为____________． 4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋1)，x<1且x≠－1，,\r(x－1)，x>1，))则f(2)＝________. 解析：f(2)＝eq \r(2－1)＝1. 答案：1 题型一　分段函数求值问题　 【学透用活】 [典例1]　已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2<x<2，,2x－1，x≥2.)) (1)求f(－5)，f(－eq \r(3))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))))的值； (2)若f(a)＝3，求实数a的值； (3)若f(x)>2x，求x的取值范围． [解]　(1)由－5∈(－∞，－2]，－eq \r(3)∈(－2,2)，－eq \f(5,2)∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4， f(－eq \r(3))＝(－eq \r(3))2＋2×(－eq \r(3))＝3－2eq \r(3). ∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－eq \f(5,2)＋1＝－eq \f(3,2)，且－2<－eq \f(3,2)<2， ∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq \f(9,4)－3＝－eq \f(3,4). (2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去； 当－2<a<2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1或a＝－3. eq \a\vs4\al([方法技巧]) 【对点练清】 1．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2，x≥0，,x2，x＜0，))则f(f(－2))＝________. 2．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2，x≤2，,\f(4,5)x，x>2.))若f(x0)＝8，则x0＝________. 解析：当x0≤2时，f(x0)＝xeq \o\al(2,0)＋2＝8，即xeq \o\al(2,0)＝6， ∴x0＝－eq \r(6)或x0＝eq \r(6)(舍去)；当x0>2时，f(x0)＝eq \f(4,5)x0＝8，∴x0＝10.综上可知，x0＝－eq \r(6)或x0＝10. 答案：－eq \r(6)或10 3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－4x＋6，x≥0，,x＋6，x＜0，))则不等式f(x)＞f(1)的解集是________． 题型二　分段函数的图象　 【学透用活】 [典例2]　已知函数f(x)＝1＋eq \f(|x|－x,2)(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示函数f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域． [解]　(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋eq \f(x－x,2)＝1， 当－2<x<0时，f(x)＝1＋eq \f(－x－x,2)＝1－x. 所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1，0≤x≤2，,1－x，－2<x<0.)) (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)． 解析：由题图可知，图象由两条线段组成，当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－a＋b＝0，,b＝1.))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1.)) 当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1. ∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1，－1≤x<0，,－x，0≤x≤1.)) 答案：f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1，－1≤x<0，,－x，0≤x≤1)) 解析：当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当0≤x＜1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当x＜0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2. 故y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x－2，x≥1，,－5x＋2，0≤x＜1，,x＋2，x＜0.)) 根据函数解析式作出函数图象，如图所示． 由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}． 答案：{y|y≤2} 3．作出函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x－1，x≤－1，,x2－x－2，－1＜x≤2，,x－2，x＞2))的图象． 题型三　分段函数的实际应用　 【学透用活】 [典例3]　如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2eq \r(2) cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象． [解]　如图，过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H. 因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2eq \r(2) cm， 所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm. ①当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝eq \f(1,2)x2； ②当点F在GH上，即x∈(2,5]时， y＝eq \f(x＋x－2,2)×2＝2x－2； ③当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝eq \f(1,2)×(7＋3)×2－eq \f(1,2)(7－x)2 ＝－eq \f(1,2)(x－7)2＋10. 综合①②③，得函数的解析式为 y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2，x∈[0，2]，,2x－2，x∈2，5]，,－\f(1,2)x－72＋10，x∈5，7].)) 图象如图所示． 解：(1)由题意得f(x)＝6x，x∈[12,30]， g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(90，12≤x≤20，,2x＋50，20＜x≤30.)) (2)①当12≤x≤20时，令6x＝90，解得x＝15. 即当12≤x＜15时，f(x)＜g(x)；当x＝15时，f(x)＝g(x)；当15＜x≤20时，f(x)＞g(x)． ②当20＜x≤30时，f(x)＞g(x)． 综上，当12≤x＜15时，选A俱乐部合算；当x＝15时，两家俱乐部一样合算；当15＜x≤30时，选B俱乐部合算． 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．下面是解“已知实数a≠0，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋a，x＜1，,－x－2a，x≥1.))若f(1－a)＝f(1＋a)，求a的值”的过程． 解：由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，即2－a＝－1－3a，∴a＝－eq \f(3,2). 正解如下： 当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1，f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a， 由2－a＝－1－3a，得a＝－eq \f(3,2)＜0，不合题意，舍去； 同理，当a＜0时，由－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a， 得a＝－eq \f(3,4)，符合题意．综上可知，a＝－eq \f(3,4). 二、应用性——强调学以致用 2．共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)，其中h(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0＜x≤400，,80 000，x＞400，))x是新样式单车的日产量(单位：件)，利润＝总收益－总成本． 解：(1)依题设，总成本为20 000＋100x， 则y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋300x－20 000，0＜x≤400，且x∈N，,60 000－100x，x＞400，且x∈N.)) (2)当0<x≤400时，y＝－eq \f(1,2)(x－300)2＋25 000， 则当x＝300时，ymax＝25 000； 当x＞400时，y＝60 000－100x＜60 000－100×400＝20 000， ∴当日产量x＝300件时，自行车厂的利润最大，最大利润为25 000元． $$