07-3.1.2 第2课时 分段函数-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦分段函数的概念、图象及应用，以公共汽车票价的实际情境导入，衔接函数表示法旧知，通过实例抽象概念，结合即时练巩固，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融入数学眼光、思维与语言，如用商场优惠活动案例引导学生建模解决实际问题，培养应用意识，通过分层训练和课堂小结提炼方法，助力学生构建知识体系，教师使用可提升教学效率。

3.1.2 函数的表示法 第2课时 分段函数 1 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 2 PART 01 新知学习 探究 3 一 分段函数 某市公共汽车的票价按下列规则实施:（1）5千米以内（包含5千米）, 票价2元;（2）5千米以上,每增加5千米,票价增加1元（不足5千米的按5千米 计算）,已知每两个相邻的公共汽车站之间相距1千米,沿途（包括起点站和 终点站）共有11个汽车站. 思考1 从起点站出发,公共汽车的行程（单位：千米）与票价 （单位：元） 是函数关系吗？ 提示：是函数关系. 思考2 与 之间有什么特点？ 提示：当在不同区间内取值时,与 的对应关系不同. 返回导航 4 ［知识梳理］ 1.如果函数,，根据自变量在 中不同的取值范围，有着 ______的对应关系，则称这样的函数为分段函数. 不同 2.分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 并集，各段函数定义域的交集是空集. 返回导航 5 ［即时练］ 1.判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）分段函数由几个函数构成.( ) × （2）函数 是分段函数.( ) √ （3）分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一 个函数.( ) √ （4）分段函数各段上的函数值集合的交集为 .( ) × 返回导航 6 2.设函数则 ( ) A. B. C.0 D.2 解析：选B.因为 所以 ， 所以 . √ 返回导航 7 3.若函数且，则 ___. 9 解析：因为 且 ， 则（舍去）或 解得 . 返回导航 8 4.已知函数则函数 的值域为______. 解析：当时，，图象的对称轴为直线 ， 当时，取最小值0；当时， 取最大值1， 所以 ； 当或时， ， 综上，，则函数的值域为 . 返回导航 9 （1）分段函数求函数值的方法 先确定要求值的自变量属于哪一区间段，然后代入该段的解析式求值.当出 现 的形式时，应从内到外依次求值. （2）已知函数值求参数的步骤 ①对参数的取值范围作相应分类；②根据不同范围代入不同的解析式中； ③通过解方程求出参数的值；④检验所求的值是否在所讨论的区间内. 返回导航 10 二 分段函数的图象及应用 ［例1］ （对接教材例6）已知函数， ，令 ，，即和 中的较小者. （1）分别用图象法和解析法表示 ； 【解】在同一平面直角坐标系中作出函数， 的图象如图1. 返回导航 11 由图1中函数取值的情况，结合函数的定义，可得函数 的图象如 图2. 令，解得或 . 结合图2，得出 返回导航 12 （2）求函数 的定义域，值域. 【解】由（1）中图2知，的定义域为，的最大值为 ， 所以的值域为 . 返回导航 13 母题探究 在本例中，令，，即和 中的较大 者. （1）分别用图象法和解析法表示 ； 解：由例1解析图1中函数取值的情况，结合函数 的定义，可得函数 的图象如图. 得出的解析式为 返回导航 14 （2）求函数 的定义域，值域. 解：由（1）中图象知，的定义域为，值域为 . 返回导航 15 分段函数图象的画法 （1）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时， 先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作 图时要特别注意衔接点处点的虚实，保证不重不漏. （2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应去掉绝对值符号，将 函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象. 返回导航 16 ［跟踪训练1］ 已知函数 . （1）用分段函数的形式表示函数 ； 解：当时， ； 当时， ； 所以 返回导航 17 （2）画出函数的图象，并写出函数 的值域. 解： 由（1）得 由此画出 的图象如图所示， 由图象知，的值域为 . 返回导航 18 三 分段函数的实际应用 ［例2］ （对接教材例8）某商场的购物优惠活动如下：一次购物总额不 满199元的不予优惠；一次购物总额满199元，但不满299元的，减28元； 一次购物总额满299元，不满499元的，减48元；一次购物总额满499元的， 按购物总额给予九折优惠.设某位顾客一次购物总额为元（假设 可取 上的一切实数），所享受到的优惠率（即原价与折扣价之差占原价 的百分比）记为 . 返回导航 19 （1）试写出关于 的函数关系，并求该函数的最大值； 【解】由题知， 返回导航 20 即 所以在上 ， 在上随的增大而减小，此时 ， 在上随的增大而减小，此时 ， 在上，而 综上，该函数的最大值为 . 返回导航 （2）若该顾客这次购物所享受到的优惠超过九折，且不超过八五折，求 的取值范围. 【解】由（1）知， 则令，解得 ， 所以此时 ； 令，解得 ， 综上，的取值范围为 . 返回导航 22 分段函数应用问题的两个关注点 （1）应用情境：日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得 税的收取等，都是最简单的分段函数. （2）注意问题：求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得 合理. 返回导航 23 ［跟踪训练2］ 下表为某市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米）. 阶梯 每户年用水量/立方米 水价 包含费用 自来水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 （含） 5.00 2.07 1.57 1.36 第二阶梯 （含） 7.00 4.07 第三阶梯 260以上 9.00 6.07 若某户居民一年交水费1 040元，则其中水资源费为_____元；污水处理费 为_____元. 314 272 返回导航 24 解析：设年用水量为立方米，对应水费为 元.依题意得， 即 依题意得,若，则，解得 ,不合题意， 舍去；若，则，解得 ,符合题意； 返回导航 25 若,则，解得 ,不合题意,舍去.故该用户当 年用水量为200立方米.因此，水资源费为 （元）,污水处 理费为 （元）. 返回导航 PART 02 课堂巩固 自测 27 1.（教材PT改编）函数 的图象是 ( ) A. B. C. D. 解析：选C.易知 因此 的图象为选项C. √ 返回导航 28 2.（多选）下列给出的函数是分段函数的是( ) A. B. C. D. 解析：选.对于B中的函数 当 时，有两个函数值与之对应，不满足函数的概念，不是分段函数; 对于C中的函数当 时，有两个函数值与之对 应，不满足函数的概念，不是分段函数；只有A，D中的函数满足分段函数 的定义，是分段函数. √ √ 返回导航 29 3.设函数则___， __；若 ，则 ____. 0 解析： ； . 由（舍去）或（舍去）或解得 . 返回导航 30 4.（教材P T改编）如图，动点从边长为4的正方形的顶点 开始， 顺次经过顶点，，绕边界运动，用表示点的行程，表示 的 面积，求函数 的解析式. 返回导航 31 解：当点在 上运动， 即时， ; 当点在 上运动， 即时， ； 当点在 上运动， 即 时， . 综上可知， 返回导航 32 课堂小结 1.已学习：分段函数的概念、图象及应用. 2.须贯通：（1）分段函数求值（范围）应先确定求值的自变量属于哪一段 区间，然后代入该段的解析式求值.常用到分类讨论思想. （2）明确研究分段函数的值域并利用分段函数的图象求解. 3.应注意：（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数. （2）作分段函数图象时要注意衔接点的虚实. 返回导航 33 $