河南省开封高级中学2024-2025学年高二下学期6月质量检测测试数学卷

试卷第 1 页，共 4 页 开封高中 2026 届高二年级下学期质量检测测试 ---数学试题 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合要求的。 1．设等比数列 na 的前 n项和为 nS ．若 1 1a = ， 3 3 4 S = ，则 4S =（ ） A． 7 8 B． 5 8 C．0 D． 1 2 − 2．已知向量 ( ) ( ) ( ),1 , 3, , 1,1a x b y c= = − = ，若 ,a b 在 c 上的投影向量相等，则 2 2x y+ 的最小 值为（ ） A．2 B．1 C． 1 2 D． 1− 3．下列选项中，p是 q的充要条件的是（ ） A．p： 1a = 或 2− ，q：两条直线 1 : ( 1) 2 0l x a y a+ + + − = 与 2 : 2 8 0l ax y+ + = 平行 B．p：直线 ( 2) 4y k x= − + 与曲线 21 4y x= + - 有两个不同交点， 5 3 : 12 4 q k  C． : (1,1)p A 在圆 2 2: 2 0C x y x m+ + − = 外部， : 4q m  D．p：直线 2 0l x y− + =: 与圆 2 2: 2 2 0C x y y m+ − − = 相离， 1 : 4 q m  − 4．如图所示，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 的棱长为 1，点 , ,E F G 分别为 1 1, ,BC CC BB 的中点， 则下列说法正确的是（ ） A．直线 1D D 与直线 AF 垂直 B．直线 1A G 与平面 AEF 平行 C．三棱锥F ABE− 的体积为 1 8 D．直线 BC与平面 AEF 所成的角为45 5．已知 nS 为数列 na 的前n项和，若 2 1S = ，2 n nS na= ，则 25a 的值为（ ） A．23 B．24 C．25 D．26 6．已知0 1x  ，若关于 x不等式 24 1 8 1 m m x x +  − − 有解，则实数m的取值范围（ ） A． ( ) ( ), 9 1, − −  + B． ( )1,9− C． ( ) ( ), 1 9,− − + D． (   ), 1 9,− −  + 试卷第 2 页，共 4 页 7．若函数 ( ) ( )lnf x x b= − + 的图象如图，b 为常数.则函数 ( ) exg x b= + 的图象是（ ） A． B． C． D． 8．已知椭圆 ( ) 2 2 1 2 2 : 1 0 x y C a b a b + =   和双曲线 ( ) 2 2 2 2 2 1 0, 0: x y C m n m n − =   有相同的焦点 1 2, ,F F P 为两曲线在第一象限的交点，1 2,e e 分别为曲线 1 2,C C 的离心率.若 1 2 2PF F F PO = ， 则 2 1 2 e e + 的最小值为（ ） A．2 2 B．3 2 C．4 2 D．6 2 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分，在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目的要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9．已知上海某公司某种产品质量 X服从正态分布 ( )290,N  ，当产品质量在 ( )85,95 内时， 产品为特级品， ( )95 0.4P X  = ，随机从该公司生产的该种产品中随机抽取 5件产品，这 5 件产品中特等品件数为 Y，则下列结论正确的是（ ） A． ( ) 1E Y = B． ( )3 0.08P Y = = C． ( ) 0.8D Y = D．该公司该产品的特等品率为 0.2 10．一组成对样本数据 ( ) ( ) ( )( )*1 1 2 2, , , , , 10,n nx y x y x y n n N 的散点位于一条直线附近，它 的样本相关系数 ( )( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x x y y r x x y y = = = − − = − −    （其中 1 1 1 1 , n n i i i i x x y y n n= = = =  ），由最小二乘法 求得经验回归方程 ˆˆ ˆy bx a= + （其中 ( )( ) ( ) 1 2 1 ˆ n i i i n i i x x y y b x x = = − − = −   ），则（ ） A．若 0r  ，则 0b  B．若 ( )2 1,2,,i iz y i n= − = ，则成对数据 ( ),i ix z 的样本相关系数 1r 等于 r 试卷第 3 页，共 4 页 C．若 ( )2 1,2,,i iz y i n= = ，则成对数据 ( ),i ix z 的样本相关系数 2r 大于 r D．若 ( )2 1,2,i iz y i n= = ，则成对数据 ( ),i ix z 的经验回归方程 ˆ ˆˆ 2 2z bx a= + 11．已知函数 ( ) 2 2 , 1, ln , 1, x ax a x f x x a x − − +  =  −  ，则下列说法正确的是（ ） A．若 ( )f x 在R上单调递增，则实数a的取值范围是 ( , 1− − B．若 ( )f x 有 3个不同的零点，则实数a的取值范围是 ( )0, + C．若 ( )f x 有 3 个不同的零点 ( )1 2 3 1 2 3, ,x x x x x x  ，则 1 2 3x x x+ − 的取值范围是( ), 1− − D．存在实数a，使得 ( )f x 有最小值 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12． 6(1 )ax− 的二项展开式中 3x 项的系数是 20，则实数a的值是 . 13．若定义在 ( ) ( ),0 0, −  + 上的函数 ( )f x 同时满足：① ( )f x 为偶函数；② ( )1 0f = ；③ 对任意的 ( )1 2, 0,x x  + ，且 1 2x x ，都有 ( ) ( )1 1 2 2 1 2 0 x f x x f x x x −  − ，则不等式 ( ) 0f x  的解集 为 . 14．已知在平面直角坐标系 xOy 中，点 ( )2,1A − ， ( )2,4B − ，动点 P满足 1 2 PA PB = ，点M 为 抛物线 E： 2 8y x= 上的任意一点，M 在 y 轴上的射影为 N ，则 PA PM MN+ + 的最小值 为 . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．已知函数 ( ) ( ) 2 1e 2 x af x x x= +− (1)若 2a = ，求曲线 ( )y f x= 在点 ( )( )0, 0f 处的切线方程； (2)试讨论 ( )f x 的单调性． 16．如图，在四棱锥P ABCD− 中，侧面PAD⊥底面 ABCD，侧棱 2PA PD= = ，底面 ABCD为直角梯形，其中 , , 2 2 2,BC AD AB AD AD AB BC O⊥ = = =∥ 为 AD中点． (1)证明： ⊥PO 平面 ABCD；(2)求直线BD与平面PAB夹角的正弦值； (3)在线段 AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为 3 2 ？请说明理由． 试卷第 4 页，共 4 页 17．DeepSeek是由中国杭州的 DeepSeek公司开发的人工智能模型，其技术在多领域的普惠 应用：智能客服实现高效人机交互，企业场景中赋能数据分析与决策优化；教育领域支持个 性化学习，医疗场景辅助诊断与知识管理；跨模态模型驱动图像、文本、视频的智能生成与 创作工具开发．其开源模型被开发者广泛集成，降低 AI应用门槛，推动金融、科研、工业 等行业的智能化升级，以高性能技术加速产业创新与效率提升．为提高 DeepSeek的应用能 力，某公司组织 A，B两部门的全体员工参加 DeepSeek 培训． (1)此次 DeepSeek培训的员工中共有 5名部门负责人参加，恰有 2人来自 A部门．从这 5 名部门负责人中随机选取 2人，记 X 表示选取的 2人中来自 A部门的人数，求 X 的分布列 和数学期望； (2)在培训闭幕式上，公司举行了一次 DeepSeek 专业知识竞答活动，规则如下：两人一组， 每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于 3，则取得本轮胜利．已知甲乙两 名员工组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为 1 2p p、 ．假设甲、乙两人每次答题相互独 立，且互不影响． 1 2 4 3 p p+ = 时，求甲、乙两名员工在每轮答题中取胜的概率的最大值． 18．已知椭圆 C的两个焦点 1( 2,0)F − ， 2 (2,0)F ，过 1F 点且与坐标轴不平行的直线 l与椭圆 C 相交于 M，N两点， 2MNF 的周长等于 16. (1)求椭圆 C的标准方程； (2)若过点 ( 8,0)P − 的直线与椭圆 C交于两点 A，B，设直线 1AF ， 1BF 的斜率分别为 1k ， 2k . （i）求证： 1 2k k+ 为定值； （ii）求 1ABF 面积的最大值. 19．对于三次函数 3 2( ) ( 0)f x ax bx cx d a= + + +  ，给出定义：设 ( )f x 是函数 ( )y f x= 的导 数， ( )f x 是函数 ( )f x 的导数，若方程 ( ) 0f x = 有实数解 0x ，则称点 ( )( )0 0,x f x 为函数 ( )y f x= 的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三 次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数 ( ) 3 2 11 13 3 2 12 x xf x = − + ，请你根 据上面的探究结果，解答以下问题： (1)求 ( )y f x= 的对称中心． (2)求 1 2 3 2 1 2 2 2 2 n n a f f f f n n n n −        = + + ++                ． (3)记数列 na 的前 n项和为 nS ，数列 1 n n n S a a +       的前 n项和为 nT ，若 n nT S  对n +N 恒成 立，求的取值范围． 答案第 1 页，共 8 页 开封高中 2026 届高二年级下学期质量检测测试 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A B B B C A C ACD ABD ABC 1．B 2．A 3．B 【详解】对于 A，若两条直线 1 : ( 1) 2 0l x a y a+ + + − = 与 2 : 2 8 0l ax y+ + = 平行， 所以 ( )1 2 1 0a a − + = ，解得 1a = 或 2− ，但是当 2a = − 时，两直线重合， 所以 1a = ，则 p是 q的必要不充分条件，故 A错误； 对于 B， 21 4y x= + - ，可得 21 4y x- = - ， ( ) ( ) 2 21 4 1y x y− = −  ， 所以 ( ) ( ) 22 1 4 1x y y+ − =  ，表示圆心为 ( )0,1 ，半径 2r = 的圆的上半部分，如图所示： 直线 ( 2) 4y k x= − + 恒过点 ( )2,4 ，一般式 2 4 0kx y k− − + = ， 因为直线与曲线有两个不同的交点，所以圆心到直线的距离小 于半径，即 2 1 2 4 2 1 k d k − − + =  + ，解得 5 12 k  ，当 1y = 时，左边 圆上的端点为 ( )2,1− ，此时斜率为 3 4 ，所以 5 3 12 4 k  ，所以 p是 q的充要条件，故 B正确； 对于 C， 圆 2 2: 2 0C x y x m+ + − = 半径 ( )22 0 4 0 2 m r + −  − =  ，即 1 0m+  ，所以 1m  − ， 因为 (1,1)A 在圆 2 2: 2 0C x y x m+ + − = 外部，所以1 1 2 0m+ + −  ，解得 4m  ， 综上 1 4−  m ，所以 p是 q的充分不必要条件，故 C错误； 对于 D，圆 2 2: 2 2 0C x y y m+ − − = 化为标准式为： ( ) 22 1 2 1x y m+ − = + ， 圆心为 ( )0,1 ，半径为 1 2 1 2 r m m   = +  −    ， 若直线 2 0l x y− + =: 与圆 2 2: 2 2 0C x y y m+ − − = 相离，则圆心到直线的距离为 ( ) 22 0 1 2 2 2 1 21 1 d m − + = =  + + − ，两边平方化简得 1 4 m  − ，综上 1 1 2 4 m−   − ，所以 p是 q 的充分不必要条件，故 D错误；故选：B. 4．B 【详解】A选项： 1 1 1 1ABCD A B C D− 为正方体，所以 1 1//DD CC ，直线 AF 与直线 1CC 不 答案第 2 页，共 8 页 垂直，所以直线 AF 与直线 1DD 不垂直，故 A错误； 如图建立空间直角坐标系，则 ( ) ( )1 1 1 1 1,0,0 , ,1,0 , 0,1, , 1,1, , 1,0,1 2 2 2 A E F G A                   ， 对于 B，设平面 AEF 的法向量为 ( , , )n x y z= ，则 1 · 0 2 1 · 0 2 AE n x y AF n x y z  = − + =   = − + + =  ， 令 1y = ，则 (2,1,2)n = ，因为 1 1 0,1, 2 AG   = −    ，所以 1 1 · 0 2 1 1 2 0 2 AG n =  +  −  = ，所以 1AG n⊥ ， 因为 1A G 在平面 AEF 外，所以直线 1A G 与平面 AEF 平行，所以 B正确， 对于 C， 1 1 1 1 1 2 2 2 4 ABES BE AB=  =   = ，所以三棱锥F ABE− 的体积为 1 1 1 1 1 3 3 4 2 24 AEBS d =   = ，所以 C错误， 对于 D， ( ) ( ) ( )1,1,0 , 0,1,0 , 1,0,0B C BC = − ，直线 BC与平面 AEF 所成的角为 ， 2 2 2 2 2 sin 31 2 1 2 BC n BC n   − = = =  + + ，所以 D错误，故选：B. 5．B【详解】当 1n = 时， 1 1 1 1 1 02 2S a a a a=  =  = ，由 2 1 2 21 1S a a a= + =  = ， 由2 n nS na= ，得 ( )1 12 1n nS n a+ += + ， 两式相减得， ( ) ( ) 11 1 1 1 1 2 22 1 1 nn n n n n n n n a S S n a na a n a a a n n n ++ + + ++− = −  = =+ −  − ， 所以 2 25 2 2 24 3 54 3 2 3 24 1 24 1 2 23 a aa a a a a a =    =     = ，故选：B 6．C【详解】∵关于 x不等式 24 1 8 1 m m x x +  − − 有解，∴ 2 min 4 1 8 1 m m x x   +  −  −  ， ∵0 1x  ，0 1 1x −  ， ∴ ( ) ( ) ( )4 1 4 14 1 4 1 1 5 5 2 9 1 1 1 1 x xx x x x x x x x x x x x − −  + = + + − = + +  +  =   − − − −  ， 当且仅当 4(1 ) 1 x x x x − = − ，即 2 3 x = 时，取“＝”，∴ min 4 1 9 1x x   + =  −  ， 故 2 8 9m m−  ，即 ( )( )1 9 0m m+ −  ，解得 1m  − 或 9m  ，∴实数 m的取值范围是 ( ) ( ), 1 9,− − + .故选：C 7．A 【详解】由解析式知 0x b x b+    − ，结合图知 1 0 (0) ln (0,1) b f b −  −   = −  ，故 1 1 e b  ， 答案第 3 页，共 8 页 对于 ( ) exg x b= + ，其在 R上单调递增且值域为 ( , )b + ，结合各项的图知 A符合.故选：A 8．C【详解】如图：根据椭圆和双曲线的定义，可得 1 2 1 2 2 2 PF PF a PF PF m  + =  − =  1 2 PF a m PF a m  = +  = − .又 1 2 2PF F F PO = ， 2 1 2PF F OF P = ，所以 1 2PF F ∽ 2OPF .所以 2 1 2 2 2 PF F F OF PF =  2a m c c a m − = −  ( ) 2 22a m c− =  2a m c= + . 又 ( )1 0,1 c e a =  ， ( )2 1, c e m =  + ， 所以 2 1 2 2c a e e m c + = + ( )2 2m cc m c + = + 2 2 2 c m m c = + + 2 2 2 2 c m m c   + 4 2= ， 当且仅当 2c m m c = ，即 2 c m = 时取“=”.故选：C 9．ACD 10．ABD【详解】当 0r  时，变量正相关，所以 0b  ，故 A正确； 因为 ( )2 1,2,,i iz y i n= − = ，所以成对数据 ( ),i ix z 对应点相当于把成对数据 ( ),i ix y 对应的点向 下平移 2个单位，不改变变量的相关性，故 B正确； 因为 ( )2 1,2,,i iz y i n= = ，则成对数据 ( ),i ix z 对应点相当于把成对数据 ( ),i ix y 对应的点横坐标 不变，纵坐标变为原来的 2倍，故变量间的相关性不变，故 C错误； 当 ( )2 1,2,i iz y i n= = ，由 ( )( ) ( ) 1 2 1 ˆ n i i i n i i x x y y b x x = = − − = −   可知，新的回归直线方程中斜率变为2b̂， ( )2 2 ˆ2 ˆ 2a y bx y bx a= − = − = ，则成对数据 ( ),i ix z 的经验回归方程 ˆ ˆˆ 2 2z bx a= + ，故 D正确. 11．ABC【详解】对于 A，若 ( )f x 在R上单调递增，则 1, 1 , a a a −   − −  − 解得 1a  − ，故 A正确； 对于 B，若 ( )f x 在R上有 3个不同的零点，则 2 2y x ax a=− − + 在 ( ),1− 内有 2个零点， 2 2 1, 1 2 1 0, Δ 4 4 0, a a a a a −    − −  +   = +  解得 0, lna y x a = − 在 )1,+ 内有1个零点， 则 ln1 0, 0a a a− = −    ， 故a的取值范围是 ( )0, + ，故 B正确； 对于 C，由对 B的分析知，a的取值范围为 ( ) 1 20, , ,x x+ 为方程 2 2 0x ax a− − + = 的两根， 1 2 2x x a + = − ， 3x 是 ln 0x a− = 的根， 答案第 4 页，共 8 页 3 1 2 3e , 2 e , 2 e a a ax x x x a y a =  + − = − − = − − 在 ( )0, + 上单调递减， 1y  − ， 1 2 3x x x + − 的取值范围为 ( ), 1− − ，故 C正确； 对于 D，当 1x  时， ( )f x 的图象是开口向下的抛物线，所以 ( )f x 在 ( ),1− 上没有最小值， 当 1x  时， ( )f x 单调递增， ( )f x 的最小值为 ( )1f a= − ，而 ( )1 , 1a a f− −  −  不可能是 ( )f x 在R上的最小值，故 ( )f x 不可能有最小值，故 D错误.故选：ABC 12． 1− 【详解】根据二项式展开式的通项公式 1 C , r n r r r nT a b − + = 则 6(1 )ax− 展开式中 3x 项为 ( ) 33 6 3 6C 1 ax −  − ，又 ( ) 3 6 6! C 20 3! 6 3 ! = = − ，则该项为 3 320 ( )a x − ，已知 3x 项的系数是 20，则 320 ( ) 20a − = ，即 3( ) 1a− = ，解得 1a = − .故答案为： 1.− 13．( ) ( )1,0 0,1− U 【详解】令 ( ) ( )g x xf x= ，由条件③可得 ( ) ( )1 2 1 2 0 g x g x x x −  − ， ( )1 2, 0,x x  + ， 且 1 2x x ，所以函数 ( ) ( )g x xf x= 在 ( )0, + 上单调递减，又 ( )f x 为偶函数，且 ( )1 0f = ， 则 ( ) ( ) ( ) ( )g x xf x xf x g x− = − − = − = − ，所以 ( )g x 为奇函数，且 ( ) ( )1 1 0g f= = ， 所以 ( ) ( )g x xf x= 在 ( ),0− 上单调递减， ( )1 0g − = ，所以当 ( )0,1x 时， ( ) ( ) 0g x xf x=  ， 即 ( ) 0f x  ，当 ( )1,0x − 时， ( ) ( ) 0g x xf x=  ，即 ( ) 0f x  ，当 ( ), 1x  − − 时， ( ) ( ) 0g x xf x=  ，即 ( ) 0f x  ，当 ( )1,x  + 时， ( ) ( ) 0g x xf x=  ，即 ( ) 0f x  ， 所以不等式 ( ) 0f x  的解集为 ( ) ( )1,0 0,1−  .故答案为： ( ) ( )1,0 0,1−  . 14． 17 2− 【详解】设 ( ),P x y ，已知 ( )2,1A − ， ( )2,4B − ，则 2 2 2 2 ( 2) ( 1) 1 2( 2) ( 4) PA x y PB x y + + − = = + + − ， 化简整理得 2 2( 2) 4x y+ + = ，所以 点 P的轨迹为以 ( )2,0− 为圆心，2为半径的圆， 抛物线 E： 2 8y x= 的焦点 ( )2,0F ，准线方程为 2x = − ， 2 22 2 ( 2 2) 1 2 17 2PA PM MN AP PM MF AF+ + = + + −  − = − − + − = − ， 当且仅当 A，P，M，F（P，M两点在 A，F两点之间）四点共线时取等号， 所以 PA PM MN+ + 的最小值为 17 2− .故答案为： 17 2− . 答案第 5 页，共 8 页 15．(1) 1 0x y+ + = .(2)见解析【详解】（1）当 2a = ， ( ) ( ) 2 e 1xf x x x= − + ，所以 ( ) ( ) ( )( )e e 2 1 1 e 2x x xf x x x x= + − + = + − ，所以 ( )0 1f  = − ，又 ( )0 1f = − ，所以曲线 ( )y f x= 在点 ( )( )0, 0f 处的切线方程为 1y x+ = − ，即 1 0x y+ + = . （2）因为 ( ) ( ) 2 e 1 2 x af x x x= − + ，所以 ( ) ( ) ( )( )e e 1 1 ex x xf x x a x x a= + − + = + − . 当 0a  时，e 0x a−  ，令 ( ) 0f x  ，得 1x  − ，令 ( ) 0f x  ，得 1x  − ， 所以 ( )f x 在 ( ), 1− − 上单调递减，在 ( )1, − + 上单调递增. 当 0a  时，令 ( ) 0f x = ，解得 1x = − 或 lnx a= . 当 1 e a = 时， ( ) 0f x  ，所以 ( )f x 在 ( ), − + 上单调递增. 当 1 e a 时，ln 1a  − ，令 ( ) 0f x  ，解得 1x  − 或 lnx a ，令 ( ) 0f x  ，解得 1 lnx a−   ， 所以 ( )f x 在 ( ), 1− − 和 ( )ln ,a + 上单调递增，在 ( )1 ln a− ， 上单调递减. 当 1 0 e a  时，ln 1a  − ，令 ( ) 0f x  ，解得 lnx a 或 1x  − ，令 ( ) 0f x  ，解得 ln 1a x  − ， 所以 ( )f x 在 ( ), ln a− 和 ( )1, − + 上单调递增，在 ( )ln , 1a − 上单调递减. 综上所述：当 0a  时， ( )f x 在 ( ), 1− − 上单调递减，在 ( )1, − + 上单调递增， 当 1 e a = 时， ( )f x 在 ( ), − + 上单调递增， 当 1 e a 时， ( )f x 在 ( ), 1− − 和 ( )ln ,a + 上单调递增，在 ( )1 ln a− ， 上单调递减， 当 1 0 e a  时， ( )f x 在 ( ), ln a− 和 ( )1, − + 上单调递增，在 ( )ln , 1a − 上单调递减. 16．(1)证明见解析(2) 10 5 (3)存在，理由见解析【详解】（1）证明：在 PAD△ 中， ,PA PD O= 为 AD中点，所以PO AD⊥ ．因为侧面PAD⊥底面 ABCD，平面PAD平面 ,ABCD AD PO= 平面PAD，所以 ⊥PO 平面 ABCD． （2）连接OC ，由（1）知 ⊥PO 平面 ABCD，且OC 平面 ABCD，所以PO OC⊥ ． 因为 1 , 2 BC AD BC AD OA= =∥ ，所以四边形 ABCO为平行四边形． 又因为 AB AD⊥ ，所以OC AD⊥ ．以O为坐标原点，以 , ,OC OD OP为 x轴、 y 轴、z 轴正方 向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 0,0,1 , 0, 1,0 , 1, 1,0O P A B− − ， ( )0,1,0D ， 所以 ( )1,2,0BD = − ， ( )0, 1, 1PA= − − ， ( )1, 1, 1PB = − − ．设平面PAB的一个法向量为 答案第 6 页，共 8 页 ( )1 1 1, , ,n x y z= 则 0 0 n PA n PB   =   = ，即 1 1 1 1 1 0 0 y z x y z − − =  − − = ，令 1 1z = ，得 1 10, 1x y= = − ， ( )0, 1,1n = − 平面PAB的一个法向量为．设直线BD与平面PAB的夹角为 ， 则 2 10 sin cos , 55 2 BD n BD n BD n   =   = = =  ． （3）存在点Q，且 3 2 QD = ，使得Q到平面PCD的距离为 3 2 ，理由如下： 由（1）知 ( ) ( ) ( )0,1,0 , 1,0, 1 , 0,1, 1OD PC PD= = − = − ，令 (0 2)QD OD =   ，则 ( )0, ,0QD = ． 设平面PCD的一个法向量为 ( )2 2 2, ,m x y z= ，则 0 0 m PC m PD   =   = ，即 2 2 2 2 0 0 x z y z − =  − = ， 令 2 1x = ，得 2 21, 1y z= = ，所以 ( )1,1,1m = 为平面PCD的一个法向量．因为点Q到平面PCD的 距离为 3 2 ，则 3 23 QD m d m  = = = ，又0 2  ，则 3 2  = ， 故存在点Q，且 3 2 QD = ，使得Q到平面 PCD的距离为 3 2 . 17．(1)分布列见解析； ( ) 4 5 E X = (2) 16 27 【详解】（1） X 的可能取值为0,1,2， ( ) 2 3 2 5 C 3 0 C 10 P X = = = ， ( ) 1 1 2 3 2 5 C C 6 3 1 C 10 5 P X  = = = = ， ( ) 2 2 2 5 C 1 2 C 10 P X = = = ， 分布列为 X 0 1 2 P 3 10 3 5 1 10 所以 ( ) 3 3 1 4 0 1 2 10 5 10 5 E X =  +  +  = . （2）设甲，乙答对题数分别为 ,M N ，则 ( ) ( )1 22, , 2,M B p N B p  ， 设事件A表示甲、乙两名员工在每轮答题中取胜， 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 2 2P A P M P N P M P N P M P N= = = + = = + = = ( ) ( )1 2 2 2 2 1 2 2 2 22 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2C 1 C C C 1 C Cp p p p p p p p= −  +  − +  ( ) ( )2 2 2 21 1 2 2 2 1 1 22 1 2 1p p p p p p p p= −  + −  + ( ) 2 2 1 2 1 2 1 23 2p p p p p p= − + + ，又 1 2 4 3 p p+ = ，则 ( ) 2 21 2 1 2 8 3 3 P A p p p p= − + ，令 1 2t p p= ，则 2 1 2 1 2 4 2 9 p p p p +   =    ，即 4 9 t  ，且 0t  ， 答案第 7 页，共 8 页 当且仅当 1 2p p= 时，取等号，则 ( ) 2 83 3 P A t t= − + ，其中 4 0 9 t  ， 其对称轴为 4 9 t = ， 所以当 4 9 t = 时，即 21 2 3 p p= = 时， ( )P A 取得最大值，且 ( ) 2 max 4 8 4 16 3 9 3 9 27 P A   = −  +  =    . 18．(1) 2 2 1 16 12 x y + = ；(2)（i）证明见解析；（ii） 1ABF 面积的最大值为3 3 . 【详解】（1）由题意可得椭圆焦点在 x轴上，且 2 2 2 42 4 16 2 3 2 ac a b a b c c ==  =  =   = + =  ， 所以椭圆的方程为 2 2 1 16 12 x y + = . （2）（i）证明：由题意可知直线斜率存在，当直线斜率为 0时，显然 1 2 0k k= = ，所以 1 2 0k k+ = ； 当直线斜率不为 0时，设直线方程为 8x my= − ， 联立 ( )2 22 2 8 3 4 48 144 0 1 16 12 x my m y myx y = −   + − + = + =  ， 则 ( ) ( ) 2 2 2 2Δ 48 4 3 4 144 576 2304 0 4m m m m= − − +  = −    ， 设 ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 1 2 1 22 2 144 48 , 3 4 3 4 m y y y y m m = + = + + ， 所以 ( ) ( ) ( )( ) 1 2 2 11 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 6 6 2 2 6 6 6 6 y my y myy y y y k k x x my my my my − + − + = + = + = + + − − − − ， 因为 ( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 144 48 6 6 2 6 2 6 0 3 4 3 4 m y my y my my y y y m m m − + − = − + =  −  = + + ，所以 1 2 0k k+ = .综上， 1 2k k+ 为定值 0. （ii）由（i）可得 ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 48 144 24 4 4 4 3 4 3 4 3 4 m m y y y y y y m m m −  − = + − = −  =  + + +  ， 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 24 4 72 4 6 2 2 3 4 3 4 ABF PAF PBF m m S S S PF y y m m − − = − = − =   = + + 所以 ( )1 2 2 2 2 2 2 72 4 72 4 72 163 4 3 4 16 3 4 4 ABF m m S m m m m − − = = = + − + − + − 2 2 72 3 3 16 2 3 4 4 m m  = −  − ，当 且仅当 2 2 16 3 4 4 m m − = − 即 2 28 4 3 m =  时等号成立， 所以 1ABF 面积的最大值为3 3 . 19．(1) 1 ,1 2       (2) 2 1na n= − (3) 1 , 3   +   答案第 8 页，共 8 页 【详解】（1）由 ( ) 3 2 11 13 3 2 12 x xf x = − + 可得 ( ) 2f x x x = − ， 所以 ( ) 2 1f x x = − ， 令 ( ) 0f x = ，可得 1 2 x = ， 易知 3 2 1 1 1 1 1 13 1 2 3 2 2 2 12 f       =  −  + =            ，所以对称中心为 1 ,1 2       （2）由（1）中 ( )y f x= 的对称中心为 1 ,1 2       ，可得 ( ) ( )1 2f x f x+ − = ， 因为 1 2 3 2 1 2 2 2 2 n n a f f f f n n n n −        = + + ++                ，所以 2 1 2 2 2 3 1 2 2 2 2 n n n n a f f f f n n n n − − −        = + + ++                ,两式相加可得 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n a f f f f f f n n n n n n      − − −            = + + + ++ +                                  ( )2 2 1n= − ， 可得 2 1na n= − ， （3）由（2）可得数列 na 为等差数列，且 1 1a = ， 所以 ( ) 21 2 1 2 n n n S n + − = = ； 可得 ( )( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 14 4 4 4 1 4 4 12 1 2 1 n n n S n n n na a n n+ − + + − = = − + − = ( )( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 12 1 2 1 2 14 12 4 82 2 2 1n n n n n n     + +  = +   = = − − − + − + +   − ； 因此 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 5 2 1 2 1 1 4 8 4 8 4 8 nT n n       = + + + +       − − ++  −    − + ( ) ( )2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 8 4 8 1 1 3 3 5 2 1 1 2 1 2 2 n n n n n n n n     = + = + =   + − + − ++  − − − + +   +  ； 若 n nT S  对n +N 恒成立，可得 ( ) ( ) 2 1 2 2 1 n n n n  +  + ， 即 ( ) 2 1 1 2 1 242n n n n n n  + + + +  = ， 令 1 2n t+ =  ，可得 2 1 4 6 4 6 22 t t t t t  − + = +  − 恒成立，所以  ) max 1 , 4 6 2, 2 t t t        +     − +  ； 令 6 2 4 t y t= − + ，由对勾函数性质可知函数 6 2 4 t y t= − + 在 )2,+ 上单调递增， 因此 min 34 2 6 2 2 y =  − =+ ，可得 1 3   ， 即 的取值范围为 1 , 3   +   .