第二章 等式与不等式（单元测试·提升卷）数学人教B版2019必修第一册

2025-2026学年高一数学单元检测卷 第二章 等式与不等式·能力提升（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 D C A A C B B C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABD BCD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．8 13． 14．或 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1） 2分 因为，所以 当且仅当时，等号成立， 5分 故有 即的最大值为. 7分 （2）,又因为， 故有， 10分 因为，所以， 令 当且仅当即时，取得最小值. 13分 16．【详解】（1）四个直角三角形均为等腰直角三角形，直角边长为， 2分 当时，m，故草坪面积为； 5分 （2）花坛的造价为元，四个相同的矩形总造价为元， 四个直角三角形为等腰直角三角形，直角边长为， 7分 故草坪的总造价为元， 9分 故 元， 12分 当且仅当，即时，等号成立， 故时，最小，最小值为65000元. 15分 17．【详解】（1）当时，，由，得，即， 2分 整理得，解得，则不等式的解集为. 4分 （2）不存在实数符合题意，理由如下： 5分 由，得， 若存在实数使得方程有两个不相等的实数根且成立， 则，，，，由韦达定理得， 7分 由，得，则，解得， 此时方程为，即，解得， 因此，不存在实数符合题意. 9分 （3）由，得，整理得， 11分 当，即时，不等式为，此时不等式恒成立，符合题意； 13分 当，即时，由不等式的解集是实数集， 得，解得， 综上所述， 因此，实数的取值范围为. 15分 18．【详解】（1）因为，不等式的解集为， 故的解集为且的解集为， 2分 所以的根为，，故，化简得，， 5分 又的解集为，即恒成立， 所以，解得， 7分 不等式等价于，即， 所以，由题意得，解得， 综上所述，的取值范围为. 10分 （2）若，由（1）得原不等式可化为，即， 当时，不等式解集为， 11分 当时，不等式解集为， 12分 当时，不等式解集为； 若，原不等式等价于的解集为且的解集为， 所以方程的根为2和3， 则，，所以，， 14分 不等式恒成立，故，解得， 不等式，解得或， 16分 综上所述，当时，解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17分 19．【详解】（1）因为，所以由三阶基本不等式可得：， 当且仅当即时取等号， 3分 因此的最小值为； 4分 （2）当时，由四阶基本不等式可得： ， 当且仅当即时取等号， 7分 因此的最大值为； 8分 （3）大小关系为，， 证明如下： 由条件可知：时，， 当时，左边，右边，左边右边，不等式成立； 10分 当，时，由阶基本不等式，可知： 不等式左边 12分 14分 而，因此上式的不等号取不到等号， 于是， 综上，原不等式得证. 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第二章 等式与不等式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若关于的不等式的解集为非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数a为（     ）. A．2 B．1 C．0 D． 3．已知，且，则的最小值是（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 4．命题，命题，则是成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若，，则（    ） A． B． C． D． 6．设集合，，，，其中，下列说法正确的是（   ） A．对任意a，是的子集；对任意b，不是的子集 B．对任意a，是的子集；存在b，使得是的子集 C．对任意a，不是的子集；对任意b，不是的子集 D．对任意a，不是的子集；存在b，使得不是的子集 7．若 表示三个数中的最大值，则对任意的正实数，，的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 8．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下面结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则有最小值 C．若，则 D．若，则有最大值1 10．，运算“”为，则（    ） A． B． C． D．若，则 11．已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知，且是方程的一个根，则的最小值是 ． 13．已知且，则的取值范围是 . 14．已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）已知，求的最大值； （2）已知，且，求的最小值． 16．（15分）如图，某学校为庆祝70周年校庆，准备建造一个八边形的中心广场，广场的主要造型是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为2900元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地面，造价为350元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），AD长为（单位：）. (1)当时，求草坪面积； (2)当为何值时，最小?并求出这个最小值. 17．（15分）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)是否存在实数使得方程有两个不相等的实数根且成立，若存在求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若关于的不等式的解集是实数集，求实数的取值范围. 18．（17分）已知不等式的解集为. (1)若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围； (2)若为非零实数，解关于的不等式：. 19．（17分）教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若，则有，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)若，求的最大值，并求取得最大值时的的值； (3)对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第二章 等式与不等式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若关于的不等式的解集为非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数a为（     ）. A．2 B．1 C．0 D． 3．已知，且，则的最小值是（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 4．命题，命题，则是成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若，，则（    ） A． B． C． D． 6．设集合，，，，其中，下列说法正确的是（   ） A．对任意a，是的子集；对任意b，不是的子集 B．对任意a，是的子集；存在b，使得是的子集 C．对任意a，不是的子集；对任意b，不是的子集 D．对任意a，不是的子集；存在b，使得不是的子集 7．若 表示三个数中的最大值，则对任意的正实数，，的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 8．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下面结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则有最小值 C．若，则 D．若，则有最大值1 10．，运算“”为，则（    ） A． B． C． D．若，则 11．已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知，且是方程的一个根，则的最小值是 ． 13．已知且，则的取值范围是 . 14．已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）已知，求的最大值； （2）已知，且，求的最小值． 16．（15分）如图，某学校为庆祝70周年校庆，准备建造一个八边形的中心广场，广场的主要造型是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为2900元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地面，造价为350元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），AD长为（单位：）. (1)当时，求草坪面积； (2)当为何值时，最小?并求出这个最小值. 17．（15分）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)是否存在实数使得方程有两个不相等的实数根且成立，若存在求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若关于的不等式的解集是实数集，求实数的取值范围. 18．（17分）已知不等式的解集为. (1)若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围； (2)若为非零实数，解关于的不等式：. 19．（17分）教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若，则有，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)若，求的最大值，并求取得最大值时的的值； (3)对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第二章 等式与不等式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若关于的不等式的解集为非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的解集为， 所以且，故. 故选：D. 2．若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数a为（     ）. A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【详解】由，可得：要使不等式组的解集非空， 须使即： 故满足条件的最大整数0. 故选：C. 3．已知，且，则的最小值是（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】A 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：A 4．命题，命题，则是成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，而， 所以是成立的充分不必要条件. 故选：A 5．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 故选：C. 6．设集合，，，，其中，下列说法正确的是（   ） A．对任意a，是的子集；对任意b，不是的子集 B．对任意a，是的子集；存在b，使得是的子集 C．对任意a，不是的子集；对任意b，不是的子集 D．对任意a，不是的子集；存在b，使得不是的子集 【答案】B 【详解】对于集合，， 可得当即可得， 即有，可得对任意a，是的子集； 当时，， 可得是的子集； 当时，， 可得不是的子集； 综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集. 故选：B 7．若 表示三个数中的最大值，则对任意的正实数，，的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【详解】设，则，，， 因，则得．又因，所以， 当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为2． 故选：B. 8．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，且，且，解得，则， 设不等式的解集为. 因为时，不成立，所以；因为时，，所以. 又因为中恰有3个整数，所以这3个整数必定是1，2，3. 由. 综上所述. 故选：C 【点睛】关键点点睛：不等式中所含有的整数解必定是连续的整数，弄清楚1，2，3满足不等式后，还要注意0，4不满足原不等式. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．（多选）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下面结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则有最小值 C．若，则 D．若，则有最大值1 【答案】ABD 【详解】对于A，，则，即，故A正确； 对于B，，则 ， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，，由，取，满足条件， 则，故C不正确； 对于D，，则， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ABD. 10．，运算“”为，则（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，， ， 所以，故C正确； 对于D，若，则，， 要证，只需要证，即证， 即证，即证，即证， 因为，，所以上式成立，所以，故D正确. 故选：BCD. 11．已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】由题意，不等式的解集为， 可得，且方程的两根为和， 所以，所以，， 所以，所以A正确； 因为，，所以，可得， 当且仅当时取等号，所以ab的最大值为，所以B正确； 由， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最小值为8，所以C错误； 设，则， ，即 当且仅当，即， 时，等号成立 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知，且是方程的一个根，则的最小值是 ． 【答案】8 【详解】由题意，可得，即得， 则， 因，故，当且仅当即时等号成立， 即当，时，取得最小值8. 故答案为：8. 13．已知且，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，， 则，且，即，，， 由得，则，即，即， 又，则， 因此的取值范围是. 故答案为：. 14．已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ． 【答案】或 【详解】由关于的不等式的解是， 则和是方程的两个实根， 由根与系数的关系得，整理得， 则当时，关于的不等式转化为，解得； 当时，关于的不等式转化为，解得． 综上关于的不等式的解为或． 故答案为：或． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）已知，求的最大值； （2）已知，且，求的最小值． 【详解】（1） 2分 因为，所以 当且仅当时，等号成立， 5分 故有 即的最大值为. 7分 （2）,又因为， 故有， 10分 因为，所以， 令 当且仅当即时，取得最小值. 13分 16．（15分）如图，某学校为庆祝70周年校庆，准备建造一个八边形的中心广场，广场的主要造型是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为2900元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地面，造价为350元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），AD长为（单位：）. (1)当时，求草坪面积； (2)当为何值时，最小?并求出这个最小值. 【详解】（1）四个直角三角形均为等腰直角三角形，直角边长为， 2分 当时，m，故草坪面积为； 5分 （2）花坛的造价为元，四个相同的矩形总造价为元， 四个直角三角形为等腰直角三角形，直角边长为， 7分 故草坪的总造价为元， 9分 故 元， 12分 当且仅当，即时，等号成立， 故时，最小，最小值为65000元. 15分 17．（15分）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)是否存在实数使得方程有两个不相等的实数根且成立，若存在求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若关于的不等式的解集是实数集，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，由，得，即， 2分 整理得，解得，则不等式的解集为. 4分 （2）不存在实数符合题意，理由如下： 5分 由，得， 若存在实数使得方程有两个不相等的实数根且成立， 则，，，，由韦达定理得， 7分 由，得，则，解得， 此时方程为，即，解得， 因此，不存在实数符合题意. 9分 （3）由，得，整理得， 11分 当，即时，不等式为，此时不等式恒成立，符合题意； 13分 当，即时，由不等式的解集是实数集， 得，解得， 综上所述， 因此，实数的取值范围为. 15分 18．（17分）已知不等式的解集为. (1)若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围； (2)若为非零实数，解关于的不等式：. 【详解】（1）因为，不等式的解集为， 故的解集为且的解集为， 2分 所以的根为，，故，化简得，， 5分 又的解集为，即恒成立， 所以，解得， 7分 不等式等价于，即， 所以，由题意得，解得， 综上所述，的取值范围为. 10分 （2）若，由（1）得原不等式可化为，即， 当时，不等式解集为， 11分 当时，不等式解集为， 12分 当时，不等式解集为； 若，原不等式等价于的解集为且的解集为， 所以方程的根为2和3， 则，，所以，， 14分 不等式恒成立，故，解得， 不等式，解得或， 16分 综上所述，当时，解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17分 19．（17分）教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若，则有，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)若，求的最大值，并求取得最大值时的的值； (3)对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 【详解】（1）因为，所以由三阶基本不等式可得：， 当且仅当即时取等号， 3分 因此的最小值为； 4分 （2）当时，由四阶基本不等式可得： ， 当且仅当即时取等号， 7分 因此的最大值为； 8分 （3）大小关系为，， 证明如下： 由条件可知：时，， 当时，左边，右边，左边右边，不等式成立； 10分 当，时，由阶基本不等式，可知： 不等式左边 12分 14分 而，因此上式的不等号取不到等号， 于是， 综上，原不等式得证. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$