专题02 等式与不等式全章复习（期末复习讲义）高一数学上学期人教B版必修第一册

该高中数学期末复习讲义通过表格系统梳理等式与不等式的核心考点、复习目标及考情规律，以知识框架图呈现等式性质、一元二次方程、不等式解法等七大知识点的内在逻辑，突出“三个二次”转化等重难点联系，辅以易错点提示，构建完整知识体系。 讲义亮点在于九类分层题型设计，如含参数一元二次不等式的“分类讨论四维度”技巧指导，均值不等式实际应用的模型构建，培养数学思维与模型观念。典例结合变式训练，基础通关练到综合拓展练适配不同学生，助力教师实施精准教学与学生自主复习提升。

专题02 等式与不等式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 等式的性质 掌握等式的对称性、传递性、加减乘除运算性质，理解等式成立的约束条件（如分母不为零），能利用性质进行等式变形与验证 工具性，较少独立考查，有的话一般为小题. 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 掌握一元二次方程解法，能应用根与系数的关系解题 具有工具性、基础必考点，小题、大题均有考查.其中根与系数的关系，在后续课中应用极为广泛. 不等式及其性质 熟练掌握不等式的基本性质 高频考点，具有工具性，多为小题，大题中主要是应用. 不等式的解集 掌握一元一次不等式、简单绝对值不等式的解法 多为小题.往往与其它知识综合考查，如不等式与集合、函数的结合等. 一元二次不等式的解法 精准掌握一元二次不等式（含参型）的求解步骤，尤其是熟练掌握“三个二次”的相互转化逻辑 侧重三个二次的关联应用，有小题，多在主观题中与其他知识综合考查. 均值不等式及其应用 掌握均值不等式.能应用均值不等式证明一些不等式、求“和”“积”的最值、解决实际问题. 大题、小题高频基础题型，不等式证明、基本不等式求最值、实际应用问题. 知识点01 等式的性质与方程的解集 1.等式的性质： 2.恒等式 （1）定义：含字母的等式，字母取任意实数时等式均成立，称为恒等式； （2）常用恒等式 平方差：(a+b)(a−b)=a²−b² 完全平方：(a±b)²=a²±2ab+b² 十字相乘：(x+a)(x+b)=x²+(a+b) x+ab 3. 方程的解集 （1）方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值. （2）解集：方程所有解组成的集合 ·易错点：1.误用同除性：两边同除以含字母的代数式时，务必先判断其不为零，避免漏根或增根. 2.恒等式与方程的区别：恒等式对所有实数成立，方程仅对特定未知数的值成立. 示例：（24-25高一上·上海青浦·期中）设，求方程的解集（    ） A． B． C． D． 知识点02 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1.一元二次方程的解集 （1）定义：形如ax2 +bx+c=0（a,b,c为常数，且a≠0）的方程. （2）判别式（Δ）：Δ=b2−4ac （3）方程的解集：方程所有实数解组成的集合，重根只写一次，无实根时解集为∅（空集） （4）解集的判定 （5） 常用解法：配方法、公式法、因式分解法. 2.一元二次方程根与系数的关系 设方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的两根为x1 ,x2，则 ·易错点：（1）二次项系数：必须先判断a≠0，，否则不是一元二次方程，需按一次方程处理； （2）判别式前提：应用韦达定理时，务必先验证 Δ≥0，否则无实数根，定理不适用； （3）符号与变形； （4）解集表示：重根只写一次，无实根写∅，必须用集合形式. 示例：（25-26高一上·北京延庆·月考）已知关于的方程，. (1)当时，若方程的两实数根为与，求下列各式的值： ①；②；③. (2)若该方程有两个负实数根，求实数的取值范围. 知识点03 方程组的解集 1.方程组：多个方程联立组成的整体，各方程需同时成立. 2.方程组的解集：方程组中所有方程解集的交集，即同时满足每个方程的解的集合.解是有序实数对（二元）、三元有序实数组等，解集用点集形式表示. 3. 两种消元方式：代入消元法、加减消元法 ·易错点：（1）解集形式：是点集而非数集，二元写 (x,y)，三元写 (x,y,z)，避免漏写集合符号. （2）消元易错：代入时符号易错；加减消元时漏乘常数项；三元消元时选错消元对象导致计算复杂. （3）解的检验：二元二次方程组代入后需检验，避免增根. （4）参数处理：方程个数少于未知数个数时，用参数表示无穷解，明确参数范围. 示例：（25-26高一上·安徽·月考）解下列方程或方程组. (1)； (2)； (3) 知识点04 不等式及其性质 1.不等式定义：用 “≠”“＞”“＜”“≥”“≤” 连接两个数或代数式，表达不等关系的式子. 2.实数比较大小（作差法）：a−b>0⇔a>b；a−b=0⇔a=b；a−b<0⇔a<b，变形常用配方、因式分解判断差的符号. 3．不等式的性质 性质1　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质2　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质3　a>b，c<0⇒ac<bc； 性质4　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质5　对称性：a>b⇔b<a； 推论1 如果a＋b>c，那么a>c-b； 推论2　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 推论3　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 推论4　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 推论5 如果a>b>0，那么. ·易错点：不等式两边乘除负数变号 示例：（25-26高一上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 知识点05 不等式的解集 1.不等式的解集：使不等式成立的所有未知数的值组成的集合，用集合或区间表示. 2.不等式组的解集：组成不等式组的各不等式解集的交集，交集为空则不等式组无解. 3.绝对值不等式：含绝对值符号的不等式，核心是利用绝对值的几何意义（数轴上点到原点 / 定点的距离）转化求解. 4.数轴上两点之间的距离、中点坐标公式 数轴上点A(a),B(b),线段AB的长|AB|=|a-b|；A,B的中点M（x），. ·易错点：解集优先用区间（连续解）或集合（离散解），避免混合写法；无解用∅. 示例：（25-26高一上·江苏·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3) 知识点06 一元二次不等式的解法 1.一元二次不等式：形如ax2 +bx+c>0（或<,≥,≤），其中a,b,c为常数且a≠0. 2.核心解法 （1）因式分解法：“大于取两边，小于取中间”； （2）配方法； （3）公式法 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系 方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式 的解集 {x|x<x1或x>x2} R 示例：（25-26高一上·天津和平·月考）求下列不等式的解集： (1) (2) 知识点07 均值不等式及其应用 1.叫做正数a，b的算术平均值，叫做正数a，b的几何平均值． 2.均值不等式： (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立. 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． ·易错点：最值求解陷阱：基本不等式求最值题型中，常考查“未验证等号成立条件”“未构造出定值条件”导致的最值求解错误. 示例：（25-26高一上·河南·月考）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．. D． 题型一 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 解｜题｜技｜巧 1.解集求解：（1）化为标准形式ax²+bx+c=0（a≠0）；（2）计算判别式Δ=b²-4ac；（3）根据Δ符号确定根的情况：Δ>0时，方程有两个不等实根}；Δ=0时，方程有两个相等实根；Δ<0时，方程无实根，解集为∅；（4）写解集. 2.根与系数关系（韦达定理）应用： ①已知一根求另一根及参数：若x₁是方程ax²+bx+c=0的根，可代入方程求参数，再用x₁+x₂=、x₁x₂=求另一根；②已知根的和与积构造方程：若两数x₁、x₂满足x₁+x₂=m、x₁x₂=n，对应的一元二次方程为x²-mx+n=0；③判断根的符号：由x₁+x₂和x₁x₂的符号组合判断，如x₁+x₂>0且x₁x₂>0时，两根均为正；x₁+x₂<0且x₁x₂>0时，两根均为负；x₁x₂<0时，两根一正一负. 易｜错｜点｜拨 1.忽视二次项系数不为零； 2.遗漏判别式验证； 3.含参问题分类不全. 【典例1】（25-26高一上·湖南长沙·月考）已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，． (1)求证：； (2)求，两点之间的距离不超过的充要条件． 【典例2】（25-26高一上·山东潍坊·月考）设是关于的方程的两个实数根. (1)若，求的值； (2)若是两个不相等的正数，求实数的取值范围. (3)若有一个正根，一个负根，且正根的绝对值较大，求实数的取值范围. 【变式1】（25-26高一上·贵州·期中）已知方程两根分别为，，则（   ） A． B． C．7 D． 【变式2】（25-26高一上·山东泰安·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值集合是 ． 题型二 不等式性质及其应用 解｜题｜技｜巧 1.性质判断类题型：采用“条件验证法”，“举反例法”； 2.代数式范围求解技巧：优先用“整体代换法”，避免分步运算扩大范围； 3.比较大小进阶技巧：作差后变形优先考虑因式分解（便于定号）或配方（判断正负）；作商法仅适用于正数比较，若含参数需先讨论正负；对于含根号的代数式，可通过平方（需保证两边非负）转化为整式比较； 4.含参不等式性质应用：对参数按“性质约束条件”分类，确保不遗漏参数取值情况. 易｜错｜点｜拨 1.忽视性质前提条件； 2.分步运算扩大范围； 3.作商法忽视正负判断； 4.含参分类不全； 5.举反例不严谨. 【典例1】（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C．若，则 D． 【典例2】（多选）（25-26高一上·安徽合肥·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·上海金山·一模）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（25-26高一上·湖南·月考）已知，，则（   ） A． B． C． D． 题型三 一元二次不等式的求解问题（跨章节/学科题型） 解｜题｜技｜巧 1.不含参型求解“三步法”：第一步“化标准”；第二步计算判别式、“求根界”；第三步“定解集”，遵循“大于取两边，小于取中间”原则确定解集. 2.对于分式不等式，可转化为整式不等式，注意分母不为零. 易｜错｜点｜拨 1.遗漏二次项系数符号判断：未将二次项系数化为正数就套用“大于取两边，小于取中间”，导致解集方向错误； 2.忽视Δ=0的特殊情况：当Δ=0时，方程有重根； 3.分式不等式转化为整式不等式时，漏掉分母不为零. 【典例1】（25-26高一上·河北·期中）求下列不等式的解集： (1) (2) (3) 【变式1】（25-26高一上·青海海东·月考）解下列不等式： (1)； (2) 【变式2】（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知集合，，实数集为全集. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 题型四 含参数的一元二次不等式问题（跨章节/学科题型） 解｜题｜技｜巧 1.含参型不等式求解“分类讨论四维度”：①先讨论二次项系数a的符号，a=0时转化为一次不等式单独求解；②再讨论判别式Δ的大小（Δ>0、Δ=0、Δ<0），Δ<0时根据a的符号直接判断解集；③Δ≥0时，求解方程根后，讨论两根的大小关系，避免因根的大小不确定导致解集错误；④最后结合a的符号和根的大小，确定最终解集； 2.“解集还原根”核心思路：先根据不等式解集的形式，确定对应一元二次方程的根（解集边界值即为方程的实根）； 3.韦达定理建等式求参：确定方程的根后，利用根与系数的关系建立关于参数的方程组，求解参数值； 4.“分类验证”补全范围：若解集含参数，需结合Δ≥0（保证有实根）、根的大小关系（m<n）、二次项系数符号，建立不等式组，确定参数的取值范围； 5.特殊情形快速判断：若不等式解集为R（a>0时），则需满足a>0且Δ<0；若解集为∅（a>0时），则需满足a>0且Δ≤0；若解集为单元素集或无边界，优先考虑Δ=0（重根）或a=0（一次不等式）的情况. 易｜错｜点｜拨 1.含参讨论不完整：遗漏a=0的情况，或Δ≥0时未讨论两根大小，导致解集缺失； 2.边界等号问题混淆； 3.根的求解计算错误； 4.遗漏二次项系数符号判断； 5.未验证判别式Δ≥0； 6.根的对应关系混淆； 7.忽视参数的隐含约束、多参数问题漏解. 【典例1】（25-26高一上·湖南·月考）（1）已知关于x的不等式 对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围. （2）已知a为实数，解关于x的不等式:. 【典例2】（25-26高一上·江苏·期中）已知函数，关于不等式的解集为. (1)解关于的不等式； (2)关于的不等式有且仅有7个整数解，求的取值范围. 【变式1】（25-26高一上·广东汕头·期中）已知函数． (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)解不等式． 【变式2】（25-26高一上·河北衡水·期中）解下列关于的不等式． (1)； (2)； (3)． 题型五 一元二次不等式恒成立问题（跨章节/学科题型） 解｜题｜技｜巧 1.判别式法（全实数域恒成立专属）：针对“ax²+bx+c≥0（或≤0）对任意x∈R恒成立”，核心是“先定二次项系数符号，再判判别式”.①当a>0时：ax²+bx+c≥0恒成立⇔Δ=b²-4ac≤0（开口向上，无下交点则函数值恒非负）；ax²+bx+c≤0恒成立⇔无解（开口向上，必能取到正数）.②当a<0时：ax²+bx+c≤0恒成立⇔Δ≤0（开口向下，无上交点则函数值恒非正）；ax²+bx+c≥0恒成立⇔无解（开口向下，必能取到负数）.③当a=0时：转化为一次不等式（bx+c≥0或≤0），需分情况讨论：b=0时，若c≥0（或≤0）则恒成立，否则不成立；b≠0时，一次函数无恒成立可能（图像是倾斜直线，必跨正负半轴）. 2.分离参数法（含参易分离首选）：核心是“将参数与变量x彻底分离，转化为参数与函数最值的大小关系”.步骤：①分离参数（注意：两边同乘/除含x的代数式时，需先判断代数式正负，避免不等号方向颠倒）；②构造关于x的目标函数f(x)；③求f(x)在对应定义域内的最值（最大值或最小值）；④根据分离后的不等关系定参数范围：若参数≥f(x)恒成立，则参数≥f(x)最大值；若参数≤f(x)恒成立，则参数≤f(x)最小值. 3.定义域限定型恒成立（如x∈[m,n]）：优先用“最值法+数形结合”.①先判断二次函数对称轴x=-与区间[m,n]的位置关系；②求函数在区间内的最值：对称轴在区间内，最值为顶点纵坐标；对称轴在区间外，最值为区间端点函数值；③建立不等式：ax²+bx+c≥0恒成立⇔区间内最小值≥0；ax²+bx+c≤0恒成立⇔区间内最大值≤0. 4.多参数恒成立问题：采用“主变量法+端点效应”简化求解.①固定一个参数为主变量，将问题转化为单参数恒成立问题；②利用“端点效应”初步锁定参数范围（若x∈[m,n]恒成立，先验证x=m、x=n时不等式成立的参数条件，缩小范围）；③在初步范围内验证剩余条件，避免全范围分类讨论. 易｜错｜点｜拨 1.遗漏a=0的讨论； 2.误用判别式法范围； 3未验证最值存在性：分离参数后，未确认目标函数f(x)在定义域内是否存在最值； 4.区间端点处理失误：将开区间当作闭区间处理，或遗漏端点验证. 【典例1】（25-26高一上·山东日照·期中）已知二次函数. (1)若不等式的解集为，求和的值； (2)若. （i）解关于的不等式； （ii）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【典例2】（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知函数， (1)若不等式的解集为，求实数b，c的值； (2)若，解关于x的不等式； (3)若对于恒成立，求的最小值． 【变式1】（25-26高一上·广西钦州·期中）设函数 (1)若不等式的解集为，求，的值； (2)若，在上恒成立，求实数的取值范围. 【变式2】（25-26高一上·湖南长沙·月考）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 题型六 由基本不等式证明不等关系 解｜题｜技｜巧 1.配凑法构造条件：当待证不等式的表达式不满足“一正、二定、三相等”时，通过添项、减项、乘项、除项等配凑技巧，构造出符合基本不等式条件的形式； 2.常数代换法（“1的代换”）：当已知条件中存在“和为定值”或“积为定值”时，通过将1替换为定值表达式，构造可使用基本不等式的形式； 3.放缩法结合基本不等式：证明较复杂的不等关系时，先通过放缩将表达式简化，再应用基本不等式。注意放缩的方向和适度性，避免放缩过度导致证明失效； 4.综合法递推证明：以基本不等式为基础，结合不等式的传递性、可加性等性质，逐步递推得出待证结论。证明时需明确每一步的依据，确保逻辑严谨； 5.分析法，从求证不等式出发，探寻不等式成立的条件. 易｜错｜点｜拨 1.忽视“一正”前提； 2.未验证“三相等”条件； 3.放缩过度或方向错误； 4.“1的代换”应用不当. 【典例1】（多选）（25-26高一上·广东江门·月考）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·海南海口·月考）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【变式1】（25-26高三上·海南海口·月考）设a，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·河北保定·期中）已知证明： (1) (2) 题型七 利用基本不等式求和、积的最值（跨章节/学科题型） 解｜题｜技｜巧 1.能通过配凑、拆分等技巧构造“一正二定三相等”条件，求代数式、函数的最大值或最小值. 易｜错｜点｜拨 1.忽视“一正”前提； 2.未验证“三相等”条件. 【典例1】（25-26高一上·河南洛阳·月考）已知． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【变式1】（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知． (1)求ab的最大值； (2)求的最小值． 【变式2】（25-26高一上·广东江门·月考）已知实数满足． (1)求的最大值； (2)求的最大值及最小值． 题型八 基本不等式的恒成立问题（跨章节/学科题型） 解｜题｜技｜巧 1.核心转化逻辑：基本不等式恒成立问题的本质是“最值转化”，即把含参数的恒成立关系式，转化为“参数≤函数最小值”或“参数≥函数最大值”； 2.定值构造技巧：当待求恒成立的表达式未直接满足基本不等式“定值”条件时，通过配凑、1的代换等方式构造定值，再求最值； 3.含参分类讨论技巧：当参数影响“一正”条件时，按参数正负分类讨论； 4.不等式链结合法：复杂恒成立问题可联立多个基本不等式，形成不等式链求最值. 易｜错｜点｜拨 1构造定值不当致转化失效：未结合题设定值条件构造，导致无法求出最值； 2.混淆“恒成立”与“存在性”：将“t≤f(x)恒成立”误作“t≤f(x)存在最小值”，实际应是t≤f(x)的最小值；将“t≥f(x)恒成立”误作“t≥f(x)存在最大值”，实际应是t≥f(x)的最大值； 3.含参分类不全：对参数影响“正数条件”或“定值构造”的情况未全面讨论. 【典例1】（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【典例2】（25-26高一上·重庆·月考）已知正实数，对任意的恒成立，且，则 . 【变式1】（25-26高一上·山东·期中）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 题型九 利用基本不等式解决实际问题（跨章节/学科题型） 解｜题｜技｜巧 1.构建函数模型； 2.定值构造. 易｜错｜点｜拨 基本不等式求最值题型中，常考查“未验证等号成立条件”“未构造出定值条件”导致的最值求解错误. 【典例1】（25-26高一上·广东汕头·期中）两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． (1)请问，采用哪种策略更经济？说明理由； (2)设，且，根据（1）中你的结论，求的最小值． 【典例2】（25-26高一上·广东深圳·期中）某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计， 投资万元经销A商品获得的收益为万元，投资万元经销B商品获得的收益为万元.已知，． (1)若该个体户对A商品投资1万元，对B商品也投资1万元，求获得的收益． (2)如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益． 【变式1】（25-26高一上·江苏·期中）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【变式2】（2025高一上·吉林长春·专题练习）如图，动物园要围成2间相同的长方形禽舍，四周和中间隔板均用钢筋网围成.（接头处不计） (1)若使每间禽舍面积为12m2，则每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使围成2间禽舍的钢筋网总长最小? (2)现有可围18m长的钢筋网的材料，当每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大? 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则 ． 4．（25-26高一上·江苏南通·月考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·四川绵阳·期中）若，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·云南曲靖·期中）已知， (1)证明：； (2)若，求的取值范围. 2．（25-26高一上·江西上饶·月考）求下列关于x的不等式的解集． (1)； (2)； (3). 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高一上·江西吉安·期中）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 2．（25-26高一上·江苏·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等式与不等式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 等式的性质 掌握等式的对称性、传递性、加减乘除运算性质，理解等式成立的约束条件（如分母不为零），能利用性质进行等式变形与验证 工具性，较少独立考查，有的话一般为小题. 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 掌握一元二次方程解法，能应用根与系数的关系解题 具有工具性、基础必考点，小题、大题均有考查.其中根与系数的关系，在后续课中应用极为广泛. 不等式及其性质 熟练掌握不等式的基本性质 高频考点，具有工具性，多为小题，大题中主要是应用. 不等式的解集 掌握一元一次不等式、简单绝对值不等式的解法 多为小题.往往与其它知识综合考查，如不等式与集合、函数的结合等. 一元二次不等式的解法 精准掌握一元二次不等式（含参型）的求解步骤，尤其是熟练掌握“三个二次”的相互转化逻辑 侧重三个二次的关联应用，有小题，多在主观题中与其他知识综合考查. 均值不等式及其应用 掌握均值不等式.能应用均值不等式证明一些不等式、求“和”“积”的最值、解决实际问题. 大题、小题高频基础题型，不等式证明、基本不等式求最值、实际应用问题. 知识点01 等式的性质与方程的解集 1.等式的性质： 2.恒等式 （1）定义：含字母的等式，字母取任意实数时等式均成立，称为恒等式； （2）常用恒等式 平方差：(a+b)(a−b)=a²−b² 完全平方：(a±b)²=a²±2ab+b² 十字相乘：(x+a)(x+b)=x²+(a+b) x+ab 3. 方程的解集 （1）方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值. （2）解集：方程所有解组成的集合 ·易错点：1.误用同除性：两边同除以含字母的代数式时，务必先判断其不为零，避免漏根或增根. 2.恒等式与方程的区别：恒等式对所有实数成立，方程仅对特定未知数的值成立. 示例：（24-25高一上·上海青浦·期中）设，求方程的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等式的性质与方程的解集 【分析】根据绝对值的定义去掉绝对值，分类讨论，求解即可． 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得 综上，方程的解集为 故选：D 知识点02 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1.一元二次方程的解集 （1）定义：形如ax2 +bx+c=0（a,b,c为常数，且a≠0）的方程. （2）判别式（Δ）：Δ=b2−4ac （3）方程的解集：方程所有实数解组成的集合，重根只写一次，无实根时解集为∅（空集） （4）解集的判定 （5） 常用解法：配方法、公式法、因式分解法. 2.一元二次方程根与系数的关系 设方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的两根为x1 ,x2，则 ·易错点：（1）二次项系数：必须先判断a≠0，，否则不是一元二次方程，需按一次方程处理； （2）判别式前提：应用韦达定理时，务必先验证 Δ≥0，否则无实数根，定理不适用； （3）符号与变形； （4）解集表示：重根只写一次，无实根写∅，必须用集合形式. 示例：（25-26高一上·北京延庆·月考）已知关于的方程，. (1)当时，若方程的两实数根为与，求下列各式的值： ①；②；③. (2)若该方程有两个负实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)①；②；③ (2) 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】（1）利用韦达定理依次求解各个式子即可； （2）分别讨论两个负实数根相等和不相等的情况，结合二次函数图象可列出不等式组求解即得. 【详解】（1）当时，的两根为，，， ①； ②； ③. （2）若两个负实数根相等，则，解得：； 若两个负实数根不相等，则，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 知识点03 方程组的解集 1.方程组：多个方程联立组成的整体，各方程需同时成立. 2.方程组的解集：方程组中所有方程解集的交集，即同时满足每个方程的解的集合.解是有序实数对（二元）、三元有序实数组等，解集用点集形式表示. 3. 两种消元方式：代入消元法、加减消元法 ·易错点：（1）解集形式：是点集而非数集，二元写 (x,y)，三元写 (x,y,z)，避免漏写集合符号. （2）消元易错：代入时符号易错；加减消元时漏乘常数项；三元消元时选错消元对象导致计算复杂. （3）解的检验：二元二次方程组代入后需检验，避免增根. （4）参数处理：方程个数少于未知数个数时，用参数表示无穷解，明确参数范围. 示例：（25-26高一上·安徽·月考）解下列方程或方程组. (1)； (2)； (3) 【答案】(1)， (2)， (3) 【知识点】等式的性质与方程的解集、一元二次方程的解集及其根与系数的关系、方程组的解集 【分析】(1)移项，根据十字相乘法可解； (2)利用一元二次方程求解公式可解; (3)联立方程组，消元法解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以，. （2）， 这里，，，所以， 所以， 所以，. （3） ①②，得，解得， 把代入①，得，解得， 所以方程组的解为. 知识点04 不等式及其性质 1.不等式定义：用 “≠”“＞”“＜”“≥”“≤” 连接两个数或代数式，表达不等关系的式子. 2.实数比较大小（作差法）：a−b>0⇔a>b；a−b=0⇔a=b；a−b<0⇔a<b，变形常用配方、因式分解判断差的符号. 3．不等式的性质 性质1　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质2　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质3　a>b，c<0⇒ac<bc； 性质4　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质5　对称性：a>b⇔b<a； 推论1 如果a＋b>c，那么a>c-b； 推论2　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 推论3　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 推论4　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 推论5 如果a>b>0，那么. ·易错点：不等式两边乘除负数变号 示例：（25-26高一上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】对于A选项，当时，即可判断；对于B选项，通过不等式的性质判断即可； 对于C选项，通过特殊值法判断即可；对于D选项，通过作差法判断即可. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，因为，所以，故B错误； 对于C选项，当，时，，故C错误； 对于D选项，，因为，所以，所以，故D正确. 故选：D. 知识点05 不等式的解集 1.不等式的解集：使不等式成立的所有未知数的值组成的集合，用集合或区间表示. 2.不等式组的解集：组成不等式组的各不等式解集的交集，交集为空则不等式组无解. 3.绝对值不等式：含绝对值符号的不等式，核心是利用绝对值的几何意义（数轴上点到原点 / 定点的距离）转化求解. 4.数轴上两点之间的距离、中点坐标公式 数轴上点A(a),B(b),线段AB的长|AB|=|a-b|；A,B的中点M（x），. ·易错点：解集优先用区间（连续解）或集合（离散解），避免混合写法；无解用∅. 示例：（25-26高一上·江苏·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式、公式法解绝对值不等式 【分析】（1）利用二次不等式的解法即可得解； （2）利用绝对值不等式的解法即可得解； （3）利用分式不等式的解法即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 解得，故不等式的解集为. （2）因为，所以，解得， 所以的解集为. （3）因为，所以， 等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 知识点06 一元二次不等式的解法 1.一元二次不等式：形如ax2 +bx+c>0（或<,≥,≤），其中a,b,c为常数且a≠0. 2.核心解法 （1）因式分解法：“大于取两边，小于取中间”； （2）配方法； （3）公式法 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系 方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式 的解集 {x|x<x1或x>x2} R 示例：（25-26高一上·天津和平·月考）求下列不等式的解集： (1) (2) 【答案】(1) (2)，或 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）运用一元二次不等式的解法，结合不等式组的性质进行求解即可； （2）根据分式的运算性质，结合根轴法进行求解即可. 【详解】（1） ， 所以原不等式的解集为； （2） ，或， 所以原不等式的解集为，或. 知识点07 均值不等式及其应用 1.叫做正数a，b的算术平均值，叫做正数a，b的几何平均值． 2.均值不等式： (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立. 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． ·易错点：最值求解陷阱：基本不等式求最值题型中，常考查“未验证等号成立条件”“未构造出定值条件”导致的最值求解错误. 示例：（25-26高一上·河南·月考）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．. D． 【答案】ACD 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】对于A，利用基本不等式判断；对于，利用基本不等式结合指数幂的运算判断；对于C，令， 利用“1”的代换判断；对于 由，结合选项A判断. 【详解】对于A，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，故A正确； 对于，当且仅当，即时等号成立，故B错误； 对于C，令，则， ， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于， 因为，所以，由A知， 所以，当且仅当时取等号，所以成立，故D正确. 故选：ACD. 题型一 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 解｜题｜技｜巧 1.解集求解：（1）化为标准形式ax²+bx+c=0（a≠0）；（2）计算判别式Δ=b²-4ac；（3）根据Δ符号确定根的情况：Δ>0时，方程有两个不等实根}；Δ=0时，方程有两个相等实根；Δ<0时，方程无实根，解集为∅；（4）写解集. 2.根与系数关系（韦达定理）应用： ①已知一根求另一根及参数：若x₁是方程ax²+bx+c=0的根，可代入方程求参数，再用x₁+x₂=、x₁x₂=求另一根；②已知根的和与积构造方程：若两数x₁、x₂满足x₁+x₂=m、x₁x₂=n，对应的一元二次方程为x²-mx+n=0；③判断根的符号：由x₁+x₂和x₁x₂的符号组合判断，如x₁+x₂>0且x₁x₂>0时，两根均为正；x₁+x₂<0且x₁x₂>0时，两根均为负；x₁x₂<0时，两根一正一负. 易｜错｜点｜拨 1.忽视二次项系数不为零； 2.遗漏判别式验证； 3.含参问题分类不全. 【典例1】（25-26高一上·湖南长沙·月考）已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，． (1)求证：； (2)求，两点之间的距离不超过的充要条件． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、等式的性质与方程的解集、根据充要条件求参数 【分析】（1）由题意得的两个根分别为和，根据韦达定理，可得的表达式，又，代入所证，化简整理，即可得证； （2）先求得，两点之间的距离的表达式，根据题意，可得m的范围，根据判别式，可再得m的范围，分析即可得答案. 【详解】（1）证明：由题意得的两个根分别为和， 所以， ， 又因为， 所以， 则 ， 所以成立. （2），两点之间的距离， 由（1）得， 所以， 因为，两点之间的距离不超过， 所以，则， 解得 由，解得或， 所以，两点之间的距离不超过的充要条件为或 【典例2】（25-26高一上·山东潍坊·月考）设是关于的方程的两个实数根. (1)若，求的值； (2)若是两个不相等的正数，求实数的取值范围. (3)若有一个正根，一个负根，且正根的绝对值较大，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）根据题意可得，利用韦达定理求出，再代入即可得解； （2）根据是两个不相等的正数，可得，解之即可得解； （3）根据题意可得，解之即可. 【详解】（1）由题意可得，解得， 由韦达定理可得， 则，且， 解得或， 经检验，符合题意， 所以或； （2）因为是两个不相等的正数， 所以， 即，解得或， 所以实数的取值范围为或； （3）因为有一个正根，一个负根，且正根的绝对值较大， 所以， 即，解得， 所以实数的取值范围. 【变式1】（25-26高一上·贵州·期中）已知方程两根分别为，，则（   ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据题意，利用韦达定理，化简所求式子，即可求解. 【详解】已知方程两根分别为，，由韦达定理 得：， 故 故选：B 【变式2】（25-26高一上·山东泰安·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值集合是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、一元二次方程根的分布问题 【分析】利用判别式与韦达定理求解即可. 【详解】因为有两个不等实根，故. , 设两个正实数根为, 由题可知，有,整理得, 解得,因此. 故答案为：. 题型二 不等式性质及其应用 解｜题｜技｜巧 1.性质判断类题型：采用“条件验证法”，“举反例法”； 2.代数式范围求解技巧：优先用“整体代换法”，避免分步运算扩大范围； 3.比较大小进阶技巧：作差后变形优先考虑因式分解（便于定号）或配方（判断正负）；作商法仅适用于正数比较，若含参数需先讨论正负；对于含根号的代数式，可通过平方（需保证两边非负）转化为整式比较； 4.含参不等式性质应用：对参数按“性质约束条件”分类，确保不遗漏参数取值情况. 易｜错｜点｜拨 1.忽视性质前提条件； 2.分步运算扩大范围； 3.作商法忽视正负判断； 4.含参分类不全； 5.举反例不严谨. 【典例1】（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C．若，则 D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【分析】取特值可判断AD不正确，利用不等式的基本性质可判断BC，即可求解. 【详解】对于A，由，当时，可得，所以A不正确； 对于B，由，则，所以，所以B不正确； 对于C，由，可得，因为，所以，则，所以C正确； 对于D，取，可得，此时，所以D不正确. 故选：C. 【典例2】（多选）（25-26高一上·安徽合肥·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】直接根据不等式的性质逐一判断即可. 【详解】因为，所以，， 所以，，即A正确，B错误； 所以，，即C错误，D正确； 故选：AD. 【变式1】（2025·上海金山·一模）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】利用不等式的性质，结合作差比较法逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因，由，可得，故A错误； 对于B，因，则，利用不等式的性质，可得，即，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C错误； 对于D，因，利用不等式的性质，可得，即，故D正确. 故选：D. 【变式2】（多选）（25-26高一上·湖南·月考）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】利用特值法，代入计算，可判断A的正误；根据不等式的性质，结合平方差公式，可判断B的正误； 根据不等式的性质，可判断C、D的正误. 【详解】选项A：令，满足条件，， 此时，则，故A错误； 选项B：，因为，所以， 所以，即，故B正确； 选项C：因为，所以， 因为，所以，故C正确； 选项D：因为，，， 所以，所以，故D正确. 故选：BCD 题型三 一元二次不等式的求解问题（跨章节/学科题型） 解｜题｜技｜巧 1.不含参型求解“三步法”：第一步“化标准”；第二步计算判别式、“求根界”；第三步“定解集”，遵循“大于取两边，小于取中间”原则确定解集. 2.对于分式不等式，可转化为整式不等式，注意分母不为零. 易｜错｜点｜拨 1.遗漏二次项系数符号判断：未将二次项系数化为正数就套用“大于取两边，小于取中间”，导致解集方向错误； 2.忽视Δ=0的特殊情况：当Δ=0时，方程有重根； 3.分式不等式转化为整式不等式时，漏掉分母不为零. 【典例1】（25-26高一上·河北·期中）求下列不等式的解集： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解； （2）根据一元二次不等式的解法求解； （3）原不等式等价于且，再根据一元二次不等式的解法求解. 【详解】（1）不等式，其对应的一元二次方程为， 因为，所以方程无实数根， 二次函数为开口向上的二次函数，且与轴无交点， 所以的值恒大于， 即不等式的解集为. （2）将不等式移项得，其对应的一元二次方程为， 因式分解得，解得或， 二次函数为开口向上的二次函数，且与轴交于和， 所以不等式的解集为. （3）将不等式移项得，通分后化简可得，即， 等价于且， 一元二次方程的解为或， 二次函数为开口向上的二次函数，且与轴交于和， 所以不等式的解集为， 又，解得， 所以不等式的解集为. 【变式1】（25-26高一上·青海海东·月考）解下列不等式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，利用分式不等式的解法可得出所求不等式的解集. 【详解】（1）由，得，解得，故原不等式的解集为. （2）由得， 等价于，解得，故原不等式的解集为. 【变式2】（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知集合，，实数集为全集. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或；或. (2) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算 【分析】（1）由集合的交集、并集、补集运算即可求解； （2）由求解即可. 【详解】（1）当时，，或， 所以或； 又或， 所以或 （2），或， 因为，所以，解得：， 所以实数的取值范围为 题型四 含参数的一元二次不等式问题（跨章节/学科题型） 解｜题｜技｜巧 1.含参型不等式求解“分类讨论四维度”：①先讨论二次项系数a的符号，a=0时转化为一次不等式单独求解；②再讨论判别式Δ的大小（Δ>0、Δ=0、Δ<0），Δ<0时根据a的符号直接判断解集；③Δ≥0时，求解方程根后，讨论两根的大小关系，避免因根的大小不确定导致解集错误；④最后结合a的符号和根的大小，确定最终解集； 2.“解集还原根”核心思路：先根据不等式解集的形式，确定对应一元二次方程的根（解集边界值即为方程的实根）； 3.韦达定理建等式求参：确定方程的根后，利用根与系数的关系建立关于参数的方程组，求解参数值； 4.“分类验证”补全范围：若解集含参数，需结合Δ≥0（保证有实根）、根的大小关系（m<n）、二次项系数符号，建立不等式组，确定参数的取值范围； 5.特殊情形快速判断：若不等式解集为R（a>0时），则需满足a>0且Δ<0；若解集为∅（a>0时），则需满足a>0且Δ≤0；若解集为单元素集或无边界，优先考虑Δ=0（重根）或a=0（一次不等式）的情况. 易｜错｜点｜拨 1.含参讨论不完整：遗漏a=0的情况，或Δ≥0时未讨论两根大小，导致解集缺失； 2.边界等号问题混淆； 3.根的求解计算错误； 4.遗漏二次项系数符号判断； 5.未验证判别式Δ≥0； 6.根的对应关系混淆； 7.忽视参数的隐含约束、多参数问题漏解. 【典例1】（25-26高一上·湖南·月考）（1）已知关于x的不等式 对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围. （2）已知a为实数，解关于x的不等式:. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【知识点】平方法解绝对值不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据给定条件，按是否为0分类，再利用一元二次不等式恒成立列式求解. （2）将给定不等式两边平方化成含参数的一元二次不等式，再按对应方程根的大小分类求解. 【详解】（1）不等式 对任意实数x恒成立， 当时，恒成立，则符合题意； 当时，，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）不等式， 则， 当，即时，； 当，即时，解得； 当，即时，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【典例2】（25-26高一上·江苏·期中）已知函数，关于不等式的解集为. (1)解关于的不等式； (2)关于的不等式有且仅有7个整数解，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）结合不等式的解集，利用三个二次关系列式求得，然后将所求不等式转化为，分类讨论求解二次不等式即可. （2）将所求不等式化简为，结合得不等式的解集为，然后利用解集中有且仅有7个整数解列不等式求解即可. 【详解】（1）由题意及二次函数图象性质可知，方程的两根为1和2， 且函数的最小值不小于.故，即. 不等式等价于， 整理得， 当时，不等式化为，无解，不等式的解集为； 当时，，原不等式的解为，即不等式的解集为； 当时，，原不等式的解为，即不等式的解集为. （2）不等式等价于， 整理得， 因为，所以，所以不等式的解集为， 因为不等式有且仅有7个整数解， 所以，解得，故的取值范围为. 【变式1】（25-26高一上·广东汕头·期中）已知函数． (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)解不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析. 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）由一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系即可求解； （2）由，，，，分类讨论即可. 【详解】（1）由的解集为， 可知，且的两根为， 所以，解得：； （2）对于， 当时，得，解得， 当时， （1）时，不等式的解集为或； （2），则，不等式的解集为； 时，不等式的解集为空集； 时，，不等式的解集为， 综上：时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 【变式2】（25-26高一上·河北衡水·期中）解下列关于的不等式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)或； (3)解集见解析； 【知识点】分式不等式、解含有参数的一元二次不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）直接根据二次函数图象解一元二次不等式可得； （2）先化为一元二次不等式的标准形式，再解一元二次不等式可得； （3）先将分式不等式转化为一元二次不等式，再分类讨论一元二次不等式可得. 【详解】（1）由，即， 所以方程的两个根为和. 画函数的图象如图： 由函数图象得不等式的解集为或. （2）由，即. 所以方程的两个根为和. 画函数的图象如图： 由函数图象得不等式的解集为或. （3）由，，即. 所以方程的两个根为4和. ①当时，即，函数的图象如图： 所以不等式的解集为或； ②当时，即，方程为有两个相等的根. 函数的图象如图： 所以不等式的解集为或； ③当时，即，函数的图象如图： 所以不等式的解集为或； 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或. 题型五 一元二次不等式恒成立问题（跨章节/学科题型） 解｜题｜技｜巧 1.判别式法（全实数域恒成立专属）：针对“ax²+bx+c≥0（或≤0）对任意x∈R恒成立”，核心是“先定二次项系数符号，再判判别式”.①当a>0时：ax²+bx+c≥0恒成立⇔Δ=b²-4ac≤0（开口向上，无下交点则函数值恒非负）；ax²+bx+c≤0恒成立⇔无解（开口向上，必能取到正数）.②当a<0时：ax²+bx+c≤0恒成立⇔Δ≤0（开口向下，无上交点则函数值恒非正）；ax²+bx+c≥0恒成立⇔无解（开口向下，必能取到负数）.③当a=0时：转化为一次不等式（bx+c≥0或≤0），需分情况讨论：b=0时，若c≥0（或≤0）则恒成立，否则不成立；b≠0时，一次函数无恒成立可能（图像是倾斜直线，必跨正负半轴）. 2.分离参数法（含参易分离首选）：核心是“将参数与变量x彻底分离，转化为参数与函数最值的大小关系”.步骤：①分离参数（注意：两边同乘/除含x的代数式时，需先判断代数式正负，避免不等号方向颠倒）；②构造关于x的目标函数f(x)；③求f(x)在对应定义域内的最值（最大值或最小值）；④根据分离后的不等关系定参数范围：若参数≥f(x)恒成立，则参数≥f(x)最大值；若参数≤f(x)恒成立，则参数≤f(x)最小值. 3.定义域限定型恒成立（如x∈[m,n]）：优先用“最值法+数形结合”.①先判断二次函数对称轴x=-与区间[m,n]的位置关系；②求函数在区间内的最值：对称轴在区间内，最值为顶点纵坐标；对称轴在区间外，最值为区间端点函数值；③建立不等式：ax²+bx+c≥0恒成立⇔区间内最小值≥0；ax²+bx+c≤0恒成立⇔区间内最大值≤0. 4.多参数恒成立问题：采用“主变量法+端点效应”简化求解.①固定一个参数为主变量，将问题转化为单参数恒成立问题；②利用“端点效应”初步锁定参数范围（若x∈[m,n]恒成立，先验证x=m、x=n时不等式成立的参数条件，缩小范围）；③在初步范围内验证剩余条件，避免全范围分类讨论. 易｜错｜点｜拨 1.遗漏a=0的讨论； 2.误用判别式法范围； 3未验证最值存在性：分离参数后，未确认目标函数f(x)在定义域内是否存在最值； 4.区间端点处理失误：将开区间当作闭区间处理，或遗漏端点验证. 【典例1】（25-26高一上·山东日照·期中）已知二次函数. (1)若不等式的解集为，求和的值； (2)若. （i）解关于的不等式； （ii）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)（i）答案见解析；（ii）. 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）根据给定的解集，利用韦达定理列式求解. （2）（i）按与的大小分类求解不等式；（ii）利用一元二次不等式恒成立列式求出范围. 【详解】（1）依题意，是方程的两根，且，则， 所以. （2）（i）当时，， 当时，解得；当时，解得；当时，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （ii）恒成立， 而，则，即，解得， 所以实数的取值范围是. 【典例2】（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知函数， (1)若不等式的解集为，求实数b，c的值； (2)若，解关于x的不等式； (3)若对于恒成立，求的最小值． 【答案】(1)； (2)答案见解析 (3)13． 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）由2和3是方程的两个根，结合韦达定理即可求解； （2）通过讨论的大小关系，即可求解； （3）由，得到，即可求解. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以2和3是方程的两个根， ； （2）若，不等式可化为， 即， 当时，解得， 当时，解得或， 当时，解得或， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为 （3）因为恒成立， 即对恒成立 所以，即， 所以， 即， 所以5b－2c的最小值为13． 【变式1】（25-26高一上·广西钦州·期中）设函数 (1)若不等式的解集为，求，的值； (2)若，在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）由题意可知和1为方程的两根，方法一：代入联立方程组求解即可；方法二：由韦达定理列方程求解即可； （2）根据一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式计算求解即可. 【详解】（1）解法一（代入法）：因为不等式的解集为， 所以和1为方程的两根， 则有及， 解得，； 解法二（韦达定理）：因为不等式的解集为， 所以和1为方程的两根， 则，解得； （2）若，在上恒成立， 即在上恒成立， 故，  解得：.    故的取值范围为. 【变式2】（25-26高一上·湖南长沙·月考）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）由题意可得方程的解为，再利用韦达定理求解即可； （2）分和两种情况讨论结合根的判别式求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以方程的解为， 则，解得； （2）当，即时，恒成立； 当时， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 题型六 由基本不等式证明不等关系 解｜题｜技｜巧 1.配凑法构造条件：当待证不等式的表达式不满足“一正、二定、三相等”时，通过添项、减项、乘项、除项等配凑技巧，构造出符合基本不等式条件的形式； 2.常数代换法（“1的代换”）：当已知条件中存在“和为定值”或“积为定值”时，通过将1替换为定值表达式，构造可使用基本不等式的形式； 3.放缩法结合基本不等式：证明较复杂的不等关系时，先通过放缩将表达式简化，再应用基本不等式。注意放缩的方向和适度性，避免放缩过度导致证明失效； 4.综合法递推证明：以基本不等式为基础，结合不等式的传递性、可加性等性质，逐步递推得出待证结论。证明时需明确每一步的依据，确保逻辑严谨； 5.分析法，从求证不等式出发，探寻不等式成立的条件. 易｜错｜点｜拨 1.忽视“一正”前提； 2.未验证“三相等”条件； 3.放缩过度或方向错误； 4.“1的代换”应用不当. 【典例1】（多选）（25-26高一上·广东江门·月考）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】由基本不等式证明不等关系、基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式的性质和条件逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，，A错误． 对于B，因为，所以，当且仅当时，等号成立，B正确． 对于C，因为，所以， 因为，所以恒成立，C正确． 对于D，因，则，当且仅当，即时，等号成立，D正确． 故选：BCD. 【典例2】（25-26高一上·海南海口·月考）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】（1）将，，三式相加再转化即可证明； （2）由利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 【变式1】（25-26高三上·海南海口·月考）设a，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由基本不等式证明不等关系 【分析】利用不等式性质判断ABC，利用基本不等式判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以， 又，所以，即，故B错误； 对于C，因为，所以，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立， 又，所以，故D正确. 故选：D. 【变式2】（25-26高一上·河北保定·期中）已知证明： (1) (2) 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】（1）式子和直接利用基本不等式求解； （2）将整理为，利用基本不等式求解； 【详解】（1）因为，所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立． 故，当且仅当时，等号成立． （2）因为，所以． ， 当且仅当时，等号成立． 题型七 利用基本不等式求和、积的最值（跨章节/学科题型） 解｜题｜技｜巧 1.能通过配凑、拆分等技巧构造“一正二定三相等”条件，求代数式、函数的最大值或最小值. 易｜错｜点｜拨 1.忽视“一正”前提； 2.未验证“三相等”条件. 【典例1】（25-26高一上·河南洛阳·月考）已知． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）根据已知条件，利用基本不等式求解积的最大值； （2）结合已知条件对所求式进行变形，构造基本不等式，再利用基本不等式求和的最小值； （3）先对所求式进行化简，再结合已知条件对所求式进行变形，构造基本不等式，最后利用基本不等式求和的最小值． 【详解】（1）， ， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为1． （2），， ，，当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为． （3）， ， ， ， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为． 【变式1】（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知． (1)求ab的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)12 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可 （2）利用“1”的代换，化简得到，展开后再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立，所以ab的最大值为． （2）因为， 所以， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以的最小值为12． 【变式2】（25-26高一上·广东江门·月考）已知实数满足． (1)求的最大值； (2)求的最大值及最小值． 【答案】(1)最大值为6． (2)的最大值为，最小值为． 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由已知条件及基本不等式可求得的取值范围，进而得到其最大值. （2）将已知等式变形为，再结合基本不等式建立关于的不等式求解. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时，等号成立． 故的最大值为6． （2）因为，所以， 解得，则， 当且仅当时，取得最大值，当且仅当时，取得最小值． 故的最大值为，最小值为． 题型八 基本不等式的恒成立问题（跨章节/学科题型） 解｜题｜技｜巧 1.核心转化逻辑：基本不等式恒成立问题的本质是“最值转化”，即把含参数的恒成立关系式，转化为“参数≤函数最小值”或“参数≥函数最大值”； 2.定值构造技巧：当待求恒成立的表达式未直接满足基本不等式“定值”条件时，通过配凑、1的代换等方式构造定值，再求最值； 3.含参分类讨论技巧：当参数影响“一正”条件时，按参数正负分类讨论； 4.不等式链结合法：复杂恒成立问题可联立多个基本不等式，形成不等式链求最值. 易｜错｜点｜拨 1构造定值不当致转化失效：未结合题设定值条件构造，导致无法求出最值； 2.混淆“恒成立”与“存在性”：将“t≤f(x)恒成立”误作“t≤f(x)存在最小值”，实际应是t≤f(x)的最小值；将“t≥f(x)恒成立”误作“t≥f(x)存在最大值”，实际应是t≥f(x)的最大值； 3.含参分类不全：对参数影响“正数条件”或“定值构造”的情况未全面讨论. 【典例1】（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】基本不等式的恒成立问题 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【典例2】（25-26高一上·重庆·月考）已知正实数，对任意的恒成立，且，则 . 【答案】 【知识点】基本不等式的恒成立问题、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据已知得、且，由条件等式有，令，，进而得到，利用基本不等式有，进而得到，，问题化为是的两个根求参数值. 【详解】由题设，则，故， 由， 又，则， 令，，则， 故，当且仅当时取等号， 所以，又，故，此时， 所以，，故是的两个根， 又，则， 所以，满足前提. 故答案为： 【变式1】（25-26高一上·山东·期中）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式的恒成立问题、条件等式求最值 【分析】根据题意得，则，再根据恒成立问题转化为最值即可． 【详解】即， （当且仅当时取等号）， 又不等式恒成立， 所以． 故选：C． 【变式2】（25-26高一上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】同分后借助立方和公式因式分解，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】，，恒成立， 而 ， 当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为. 故选：C. 题型九 利用基本不等式解决实际问题（跨章节/学科题型） 解｜题｜技｜巧 1.构建函数模型； 2.定值构造. 易｜错｜点｜拨 基本不等式求最值题型中，常考查“未验证等号成立条件”“未构造出定值条件”导致的最值求解错误. 【典例1】（25-26高一上·广东汕头·期中）两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． (1)请问，采用哪种策略更经济？说明理由； (2)设，且，根据（1）中你的结论，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析； (2)2. 【知识点】基本（均值）不等式的应用、作差法比较代数式的大小 【分析】（1）根据给定条件，列式表示两种策略，再作差比较大小即可； （2）将给定等式变形为，再利用（1）的结论求出最小值. 【详解】（1）采用策略①，两次购买物品的数量均为，则两次的平均价格为； 采用策略②，两次购买的金额均为，购买物品的数量依次为， 则两次平均价格为， 又，于是 当时，两次购买的平均价格相等，采用策略①与采用策略②一样经济； 当时，，采用策略②比采用策略①更经济. （2）由（1）知，，，当且仅当时取等号， 当时，由，得，即， 因此，当且仅当时取等号，则， 所以的最小值为2. 【典例2】（25-26高一上·广东深圳·期中）某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计， 投资万元经销A商品获得的收益为万元，投资万元经销B商品获得的收益为万元.已知，． (1)若该个体户对A商品投资1万元，对B商品也投资1万元，求获得的收益． (2)如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益． 【答案】(1)7.5万元 (2)该个体户可对A商品投入3万元，对B商品投入2万元，这样可以获得11万元的最大收益 【知识点】求二次函数的值域或最值、分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）直接代入函数解析式求函数值即可； （2）根据投资总额为5万元，将总收益表示为分段函数形式，再利用基本不等式以及一元二次函数求分段函数在不同区间上的最值，最后再比大小即可. 【详解】（1）由题可知，，，故获得的收益为万元； （2）设该个体户向B商品投入万元，则向A商品投入万元，设总收益为. ①当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，即当时，最大收益为万元； ②当时，， 由二次函数的性质可知，当时，取到最大值，即当时，最大收益为10万元. 因为，故该个体户可对A商品投入3万元，对B商品投入2万元，这样可以获得11万元的最大收益. 【变式1】（25-26高一上·江苏·期中）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】(1)100个，30万元 (2)每月生产不小于70个人形机器人 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. 【详解】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元， 根据题意有， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. （2）设月利润为万元， 则有， 由题知，整理得，解得. 故该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 【变式2】（2025高一上·吉林长春·专题练习）如图，动物园要围成2间相同的长方形禽舍，四周和中间隔板均用钢筋网围成.（接头处不计） (1)若使每间禽舍面积为12m2，则每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使围成2间禽舍的钢筋网总长最小? (2)现有可围18m长的钢筋网的材料，当每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大? 【答案】(1)宽,长 (2)宽，长 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）设每间长方形禽舍宽为，长为，先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出的最小值以及此时的值； （2）由题意得，，每间禽舍面积为，再利用基本不等式即可求出面积的最大值以及此时的值. 【详解】（1） 设每间长方形禽舍宽为，长为，由题意可得， 设钢筋网总长为，则， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以每间禽舍的宽,长时，可使围成两间禽舍的钢筋网总长最小，最小值为. （2）设每间长方形禽舍宽为，长为，由题意得，， 设每间禽舍面积为，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间禽舍的宽，长时，可使每间禽舍面积最大，面积最大为. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算 【分析】先求出集合，再利用交集的运算求出. 【详解】依题意，，而，所以. 故选：B. 2．（25-26高一上·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式的内容及辨析、由基本不等式证明不等关系 【分析】根据不等式性质和基本不等式进行分析，再结合特殊值法进行判断即可. 【详解】对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于A ，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于D，由题干无法判断，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则 ． 【答案】5 【知识点】数与式、等式的性质与方程的解集 【分析】由题意列出方程组，即可得答案． 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 所以． 故答案为：5 4．（25-26高一上·江苏南通·月考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式不等式 【分析】先将不等式右边的移到左边进行通分化简，再利用分式不等式的解法求解即可. 【详解】解：不等式 ，即，即，则， 解得，故原不等式的解集为； 故答案为： 5．（25-26高一上·四川绵阳·期中）若，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：因为，所以， 所以，故A错误； 选项B：因为，所以，故B错误； 选项C：当时，，故C错误； 选项D：因为，所以，故D正确； 故选：D 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·云南曲靖·期中）已知， (1)证明：； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】条件等式求最值、由基本不等式证明不等关系、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据基本不等式代入消去即可证明； （2）将化为，利用基本不等式消去，得到关于的一元二次不等式，解不等式即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以，当且仅当时取等号. （2）由得 由于， 所以有， 即， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 所以的取值范围为. 2．（25-26高一上·江西上饶·月考）求下列关于x的不等式的解集． (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）首先移项把二次项系数化成正数再判断，再求方程的两个根，即可求解不等式； （2）将分式不等式转化为一元二次不等式求解； （3）首先分解因式，再根据两根大小，结合不等式的形式，即可求解． 【详解】（1）由得， 即， 解得或， 所以不等式的解集为或； （2）不等式等价于，解得， 故不等式的解集为； （3）由，得， 显然，所以不等式解集为. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高一上·江西吉安·期中）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】图象法解绝对值不等式 【分析】作出函数和的图象，数形结合求解即可. 【详解】作出函数和的图象如图所示， 依题意应有，即得， 故实数的取值范围为. 故答案为： 2．（25-26高一上·江苏·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】（1）先把二次不等式化为，再分类讨论解不等式即可； （2）参变分离，把能成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可． 【详解】（1）， 化简得，即， 若，即，上式可化为：，即，解得； 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：， ，，， 或， 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （2）不等式，即， ， 恒成立，， 问题转化为：存在，使得成立，， 设，令，则， （当且仅当，即时取等号）， ，当且仅当时取等号， 综上，的取值范围为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $