第二章 等式与不等式（单元测试·基础卷）数学人教B版2019必修第一册

2025-2026学年高一数学单元检测卷 第二章 等式与不等式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．的最小值为（   ） A． B． C．6 D．24 4．若规定（，且），则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 5．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 7．已知，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．10 8．设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知，则下面判断正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 11．已知a，b均为正实数，且，则下列命题正确的有（   ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．不等式的解集是 ． 13．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为（单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的，则的取值范围为 . 14．已知，，，若，，则的最小值是 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）已知，证明； （2）已知，，其中且，比较的大小． 16．（15分）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米. (1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为10米，求的最小值. 17．（15分）关于的方程的解集为． (1)求； (2)求关于的不等式的解集； (3)求关于的不等式的解集． 18．（17分）如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 19．（17分）已知函数. (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第二章 等式与不等式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．的最小值为（   ） A． B． C．6 D．24 4．若规定（，且），则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 5．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 7．已知，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．10 8．设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知，则下面判断正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 11．已知a，b均为正实数，且，则下列命题正确的有（   ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．不等式的解集是 ． 13．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为（单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的，则的取值范围为 . 14．已知，，，若，，则的最小值是 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）已知，证明； （2）已知，，其中且，比较的大小． 16．（15分）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米. (1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为10米，求的最小值. 17．（15分）关于的方程的解集为． (1)求； (2)求关于的不等式的解集； (3)求关于的不等式的解集． 18．（17分）如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 19．（17分）已知函数. (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第二章 等式与不等式·基础通关（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A B B C B D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ACD BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．或． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1） ． 3分 由于， 所以当时，，，  即 6分 （2）解：因为，， 所以 9分 因为，且，所以，， 所以，即 13分 16．（15分）【详解】（1）依题意，，所用篱笆总长为，而， 3分 当且仅当，即，时取等号， 5分 所以育苗区的长为，宽为时，所用篱笆总长最小. 7分 （2）依题意，， ， 11分 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值. 15分 17．（15分）【详解】（1）因为的解集为， 所以且， 3分 解得； 5分 （2）， 所以， 7分 所以不等式的解集为； 10分 （3），即，所以， 13分 即，所以， 因此不等式的解集为. 15分 18．（17分）【详解】（1）由宣传单的面积不超过可得：， 3分 化简得，解得， 6分 又，所以，故的最大值为. 9分 （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 13分 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是 15分 19．【详解】（1）由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 2分 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是. 5分 （2）不等式等价于，即， 7分 当时，不等式可化为，解集为； 9分 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为. 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或. 15分 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第二章 等式与不等式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，则，A错误； 当，，时满足，此时，B错误； 由，，得，C正确； 当时，，此时，D错误． 故选：C 2．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，解得或， 故选：B. 3．的最小值为（   ） A． B． C．6 D．24 【答案】A 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为， 故选：A 4．若规定（，且），则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，，， ∴， ∵，∴，即. 故选：B. 5．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 当且仅当，即，时取等号， 的最小值为. 故选：B 6．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】不等式可化为：， 当，即时，不等式为，恒成立，满足题意； 当，即时，要使不等式恒成立，则需， 解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：C. 7．已知，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．10 【答案】B 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 令，则，解得（舍去）或， 则，当且仅当，时等号成立， 即的最小值为9. 故选：B. 8．设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若p为真命题，即对任意，不等式恒成立， 等价于当时，， 当时，， 即，所以； 若q为真命题，即存在，不等式成立， 等价于当时，. 由于，，所以，解得. 若p，q都是真命题，则； 所以，若命题p，q中至少有一个是假命题，则或. 即, 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知，则下面判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，；，， 根据不等式的同向可加性得：，，， 根据同向正值不等式可乘性得：， 综上，. 故选：ACD. 10．已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【详解】A：因为关于的不等式的解集为或， 所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错； B：由A得，，所以，， 因为，，所以，对； C：不等式可化为，因为，所以，对； D：不等式可化为，又， 所以，即，解得，对. 故选：BCD 11．已知a，b均为正实数，且，则下列命题正确的有（   ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为a，b均为正实数，且， 所以， 因为，所以当时，的最小值为1，故A正确； 对于B，， 等号成立当且仅当，故B错误； 对于C，，等号成立当且仅当，故C正确； 对于D， ， 因为，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．不等式的解集是 ． 【答案】或 【详解】由题可知，， 当，，解且，所以； 当，，得且，所以， 综上所述，不等式的解集为或， 故答案为：或． 13．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为（单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】第一次将桶中药液倒出5升后，桶中药液还有升， 则加满水后药液含量占容积比例为.第二次倒出的4升液体中， 药液有升，则加满水后药液含量占容积比例为， 由题有，，解得， 又因为第一次将桶中药液倒出5升，所以， 故答案为：. 14．已知，，，若，，则的最小值是 . 【答案】/ 【详解】因为，，，且，， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）已知，证明； （2）已知，，其中且，比较的大小． 【详解】（1） ． 3分 由于， 所以当时，，，  即 6分 （2）解：因为，， 所以 9分 因为，且，所以，， 所以，即 13分 16．（15分）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米. (1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为10米，求的最小值. 【详解】（1）依题意，，所用篱笆总长为，而， 3分 当且仅当，即，时取等号， 5分 所以育苗区的长为，宽为时，所用篱笆总长最小. 7分 （2）依题意，， ， 11分 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值. 15分 17．（15分）关于的方程的解集为． (1)求； (2)求关于的不等式的解集； (3)求关于的不等式的解集． 【详解】（1）因为的解集为， 所以且， 3分 解得； 5分 （2）， 所以， 7分 所以不等式的解集为； 10分 （3），即，所以， 13分 即，所以， 因此不等式的解集为. 15分 18．（17分）如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【详解】（1）由宣传单的面积不超过可得：， 3分 化简得，解得， 6分 又，所以，故的最大值为. 9分 （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 13分 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是 15分 19．（17分）已知函数. (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【详解】（1）由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 2分 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是. 5分 （2）不等式等价于，即， 7分 当时，不等式可化为，解集为； 9分 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为. 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或. 15分 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$