卷6 第3章 一次方程与方程组 对点上分（类题推送）-【初中上分卷】2025-2026学年新教材七年级上册数学配套课件（沪科版2024）
2025-10-01
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教辅
摘要：
该初中数学课件系统梳理了一元一次方程与二元一次方程组的概念、解法及应用，通过7个上分点从基础概念到综合应用层层递进，构建完整知识网络，强化知识点间逻辑联系。
其亮点在于采用“基础诊断-错题对应-提优验收”分层模式，如通过方程概念辨析、等式性质变式等类题训练，培养运算能力与推理意识，例题解析步骤清晰助力模型意识形成。教师可利用超链接跳转与编辑功能精准教学，学生分层巩固提升复习效率。
内容正文：
数 学
七年级上册 沪科版
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第3章
对点上分（类题推送）
基础上分 练透考点
3
上分点1 一元一次方程的概念及解
上分点2 等式的基本性质
上分点3 解一元一次方程
上分点4 一元一次方程的一般应用
上分点5 二元一次方程（组）的概
念及解
上分点6 解二元一次方程组
上分点7 二元一次方程组的一般应用
目 录
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编者按：先做基础诊断卷 检测薄弱，再到对点上分处进行错题对应练习，补足
短板，最后做提优验收卷 综合提升
上分点1 一元一次方程的概念及解
1.［2024安徽阜阳颍州区期末］下列各式中，是方程的个数为( )
；；；； ；
.
C
A.2 B.3 C.5 D.6
【解析】①②④⑤⑥是方程，符合题意；③不是等式，故不是方程，不符合题意.
故选C.
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2.［2024安徽淮南月考］下列选项中是一元一次方程的是( )
C
A. B. C. D.
【解析】A选项，方程 中含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选
项不符合题意；B选项，不是整式，故 不是一元一次方程，故本选项不
符合题意；C选项，方程 是一元一次方程，故本选项符合题意；D选
项， 是代数式不是方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意.故选C.
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3.［2025河南南阳宛城区月考］下列方程中，解为 的方程是( )
C
A. B. C. D.
【解析】把代入各个选项中的方程，能成立的只有 .故选C.
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上分点2 等式的基本性质
4.［2024安徽芜湖月考］下列等式变形不正确的是( )
D
A.由得到 B.由得到
C.由得到 D.由得到
【解析】A选项，根据等式的基本性质，将 两边同时加上3，得
,所以A选项变形正确，不符合题意；B选项，根据等式的基本性质，将
两边同时减去2，得 ，所以B选项变形正确，不符合
题意；C选项，根据等式的基本性质，将两边同时乘,得 ,所以C
选项变形正确，不符合题意；D选项，根据等式的基本性质，当 时，
两边同时除以,得,当时，和 为任意有理数，不一定相等，
所以D选项变形不正确，符合题意．故选D．
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5.［2024江苏连云港期末］如图，用“ ”“ ”和“”代表3种不同物体，且前两个天
平是平衡状态，现需要在第三个天平的“？”处放置___个“”才能使此天平也平衡.
5
【解析】由前两个天平是平衡状态得2个“●”的质量个“|”的质量 个“●”的质
量，则1个“●”的质量个“|”的质量.再由题图②可得1个“”的质量 个“|”的质
量，所以1个“”的质量个“●”的质量 个“|”的质量，故答案为5．
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6.［2025内蒙古乌兰察布期末，中］下列变形：①如果，那么 ；②如
果，那么；③如果,那么；④如果，那么．
其中正确的是________．（填序号）
②③④
①
②
③
【解析】①当时，如果，那么，故①不正确；②如果 ，那
么，故②正确；③如果，那么，故③正确；④如果 ，那么
，故④正确．故答案为②③④．
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上分点3 解一元一次方程
7.［2024安徽安庆月考］下列说法中正确的是( )
A
A.，去分母得
B.，去括号得
C.，移项、合并同类项得
D.，解得
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【解析】A选项，，去分母得 ，正确，
符合题意；B选项，，去括号得 ，原
说法错误，不符合题意；C选项，，移项、合并同类项得 ，
原说法错误，不符合题意；D选项，，解得 ，原说法
错误，不符合题意.故选A.
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8.解下列方程：
（1） .
【解】.去括号，得 .移项，得
.合并同类项，得.系数化为1，得 .
（2） .
【解】.去括号，得 .移项，
得.合并同类项，得.系数化为1，得 .
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（3） .
【解】.去括号，得.移项，得 .
合并同类项，得.系数化为1，得 .
（4） .
【解】.去括号，得 .移项，得
.合并同类项，得.系数化为1，得 .
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9.解下列方程：
（1） .
【解】.去分母，得 .去括号，得
.移项，得.合并同类项，得 .系数化为1，
得 .
（2） .
【解】.去分母，得 .去括号，得
.移项，得 .合并同类项，得
.系数化为1，得 .
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（3） .
【解】.去分母，得 .去括号，得
.移项，得.合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
（4） .
【解】 .去分母，得
.去括号，得
.移项，得 .
合并同类项，得.系数化为1，得 .
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（5） .
【解】.去括号，得 .去分母，得
.去括号，得 .移项，得
.合并同类项，得.系数化为1，得 .
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（6） .
【解】，则有或 .解方程
,去分母，得.去括号，得 .移项、
合并同类项，得.系数化为1，得.解方程 ,去分母，
得.去括号，得 .移项、合并同类项，得
.系数化为1，得.因为，所以 .
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上分点4 一元一次方程的一般应用
10.［2025安徽淮北月考］王涵同学在解关于的方程时，误将 看作
,得到方程的解为 ，那么原方程的解为( )
A
A. B. C. D.
【解析】把代入方程得，解得 ，即原方程为
，解得 ．故选A．
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11.［2024重庆沙坪坝区质检］若的倒数等于它本身，则关于 的方程
的解为_____________．
或
【解析】因为的倒数等于它本身，所以，所以或 .
当时，方程为，解得；当时，方程为 ，解
得.故答案为或 ．
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12.［2025江苏海安期中］阅读材料：
把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，设 ，由
可知， ，所以．解方程，得 ，所
以 ．
解决问题：
（1）请把无限循环小数 化为分数；
【解】设，由 可知， ，所以
，解得，所以 .
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（2）［中］我们把纯循环小数 （从小数部分第一位开始的循环小数）的循环节
的数字组成的数记作，循环节的位数记作例如：对而言， ，
．请你直接用含，的式子表示纯循环小数 ______．
【解析】根据题意得，解得．故答案为 ．
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13.［2025安徽六安期中］我们规定一种运算： ．
（1）计算： ___；
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【解析】原式 ．故答案为7．
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（2）［中］若关于的方程 的解为整数，求符合条件的所有正整
数 的值．
【解】根据题意得 ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
未知数系数化为1，得 .
因为原方程的解为整数，所以，，所以 ，1，3，5.
因为为正整数，所以 ，3，5．
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上分点5 二元一次方程（组）的概念及解
14.［2025安徽宿州月考］已知 是关于，的二元一次方程 的
一个解，则 的值为( )
B
A. B.6 C. D.3
【解析】将代入原方程得，解得，所以 的值为6.故选B.
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15.［2024浙江杭州上城区校级期中］下列方程组中是二元一次方程组的是( )
B
A. B.
C. D.
【解析】
选项 分析 结论
A、C 含未知数的项的次数有2，不属于二元一次方程组 不符合题意
B 满足二元一次方程组的定义，此方程组是二元一次方程组 符合题意
D 方程组共含有3个未知数，此方程组不属于二元一次方程组 不符合题意
故选B.
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16.［2024河北邯郸期中］若二元一次方程组的解为则“ ”可以
表示为( )
D
A. B. C. D.
【解析】因为二元一次方程组的解为所以，即“ ”可
以表示为 ，故选D.
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17.［2024安徽六安月考］二元一次方程 的非负整数解有( )
C
A.5个 B.6个 C.7个 D.无数个
【解析】当时，；当时，；当时，；当
时，；当时，；当时，；当时，；当
时，，所以二元一次方程 的非负整数解有
共7个.故选C.
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上分点6 解二元一次方程组
18.［2024河南信阳平桥区校级质检］用代入法解方程组 时，将方
程①代入②中，所得的方程正确的是( )
B
A. B. C. D.
【解析】把①代入②得 ，去括号得
.故选B.
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19.［2024广东韶关期末］李强用加减消元法解方程组 其解题步骤如
下：
（1）得，解得 ；
（2）得，解得，所以原方程组的解为
则下列说法正确的是( )
B
A.步骤都不对 B.步骤 都对
C.本题不适宜用加减消元法解 D.加减消元法不能用两次
【解析】步骤（1）消去求得的值，步骤（2）消去求得 的值，两个步骤都正
确，故选B.
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20.［2024辽宁辽阳期末］请用指定的方法解下列方程组：
（1） （代入消元法）
【解】将②代入①，得，解得 .
将代入②，得，所以原方程组的解是
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（2） （加减消元法）
【解】，得，，得 .
将代入①，得，解得，所以原方程组的解是
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上分点7 二元一次方程组的一般应用
21.［2024安徽铜陵月考］若关于，的方程组 的解也是二
元一次方程的解，则 的值为( )
B
A. B. C. D.1
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【解析】因为方程组的解也是二元一次方程 的解，
所以的解与的解相同.解方程组
得 把代入，得 ，解得
.故选B.
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22.［2025河南安阳期中］对有理数，定义一种新运算“*”： ，其
中，为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知， ，
那么 ___.
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【解析】由题意得， ，联立得
解得 所以 .故答案为5.
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23.［2024湖南邵阳北塔区期中］若方程组与方程组 同解，
则 ___．
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【解析】，得，解得.，得 ，解得
.把，代入方程组得解得 故
.
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上分总结 二元一次方程组同解问题
若两个方程组中各有一个含参数的方程，则将不含参数的两个方程重新组合后解
这个新的方程组，再将方程组的解代入含参的方程中求解；若一个方程组中的两
个方程不含参数，则先解这个方程组，再将方程组的解代入含参的方程组中求解.
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24.小明写作业时求得方程组 的解为 由于不小心，将墨水滴在了
作业本上，刚好遮住了两个数●和 ，求这两个数.
【解】将代入方程，得 ，
解得 .
将代入方程
中，
得 ，
所以●， .
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25.［2025浙江杭州月考，中］规定：形如关于，的方程 与
的两个方程互为共轭二元一次方程，其中 ，由这两个方程组成的
方程组 叫作共轭方程组.
（1）若关于，的方程组为共轭方程组，则___，
___.
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【解析】因为关于，的方程组 为共轭方程组，所以
， ，
所以， .
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（2）若满足方程的两组， 的值如下表：
0
0 2
求方程 的共轭二元一次方程.
【解】由题意得
解得
所以原方程为 ，
所以这个方程的共轭二元一次方程是 .
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（3）若共轭方程组的解是 请直接写出与 的数量关系.
【解】 .
将代入
得
所以 ，
所以 ，
所以 .
因为，所以 .
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