精品解析：江苏省南通市海门区东洲国际学校2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

南通市海门区东洲国际学校2025学年度九年级开学测试卷 数学·试题卷 试卷类型：A卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1.本试卷共7页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置. 3.答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效. 4.作弊者，本卷按0分处理. （请考生将自己信息如实填写在上面，不写、漏写、错写为无效试卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 下列各数中，比 小的数是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数的大小比较，根据有理数的大小比较法则：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个负数进行比较，绝对值大的反而小，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴比 小的数是， 故选：B． 2. 随州7月份连续5天的最高气温分别为：29，30，32，30，34（单位：℃），则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 30，32 B. 31，30 C. 30，31 D. 30，30 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数和中位数的求解答案来判断即可． 【详解】解：∵7月份连续5天的最高气温分别为：29，30，30，32，34（单位：℃） ∴这组数据的众数是：30 中位数：30 故选：D 【点睛】本题考查了众数和中位数，注意有偶数个数时中位数就是中间两个数的平均数，而个数有奇数个时，中位数就是中间的一个数． 3. 下列各运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用完全平方公式以及整式的加减、幂的运算法则分别化简得出答案． 【详解】A、结果是，故本选项不符合题意； B、和不能合并，故本选项不符合题意； C、结果是，故本选项不符合题意； D、结果是，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4. 我国高铁通车总里程居世界第一，预计到2020年底，高铁总里程大约39000千米，39000用科学记数法表示为（　　） A. 39×103 B. 3.9×104 C. 3.9×10﹣4 D. 39×10﹣3 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于39000有5位，所以可以确定n＝5﹣1＝4． 【详解】39000＝3.9×104． 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的定义求解． 【详解】A. 不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B. 即是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项符合题意； C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选B． 【点睛】本题考查轴对称图形，中心对称图形的定义，掌握相关定义是解题的关键． 6. 已知a+b=4，则代数式的值为（　　） A. 3 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】通过将所求代数式进行变形，然后将已知代数式代入即可得解. 【详解】由题意，得 故选：A. 【点睛】此题主要考查已知代数式求代数式的值，熟练掌握，即可解题. 7. 如图，是圆上一点，是直径，，，点在圆上且平分弧，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由是圆O的直径，可得∠A=∠D=90°，又在圆上且平分弧，则∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.在Rt△ABC中，根据勾股定理求出BC长，从而可求DC的长. 【详解】解：∵是圆O的直径， ∴∠A=∠D=90°. 又在圆上且平分弧， ∴∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形. 在Rt△ABC中，，，根据勾股定理，得BC==2. ∵△BCD是等腰直角三角形， ∴CD==. 故选:D. 【点睛】此题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质和勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 8. 如图，点是直线上的两点，过两点分别作轴的平行线交双曲线于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点A的坐标为(，)，则点C的坐标为(，)，设点B的坐标为(，)，则点D的坐标为(，)，根据AC=BD即可得到a，b的关系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子从而求解． 【详解】∵点A、B在直线上，点C、D在双曲线上， ∴设点A的坐标为(，)，则点C的坐标为(，)， 设点B的坐标为(，)，则点D的坐标为(，)， ∴BD=，AC=， ∵AC=BD， ∴， 两边同时平方，得， 整理得：， 由勾股定理知：，， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与勾股定理的综合应用，正确利用AC=BD得到的关系是解题的关键． 9. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案． 【详解】解：设=x°. 根据旋转的性质，得∠C=∠= x°，=AC, =AB. ∴∠=∠B. ∵，∴∠C=∠CA=x°. ∴∠=∠C+∠CA=2x°. ∴∠B=2x°. ∵∠C+∠B+∠CAB=180°，， ∴x+2x+108=180. 解得x=24. ∴的度数为24°. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质. 10. 已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是3．则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是（ ） A. 或0 B. 或2 C. 或3 D. 或4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得方程的两个根是﹣3，1，方程在y的基础上加m，可以理解为二次函数的图象沿着y轴平移m个单位,由此判断加m后的两个根,即可判断选项． 【详解】二次函数的图象经过与两点，即方程的两个根是﹣3和1， 可以看成二次函数y的图象沿着y轴平移m个单位,得到一个根3， 由1到3移动2个单位，可得另一个根为﹣5.由于0＜n＜m， 可知方程的两根范围在﹣5~﹣3和1~3， 由此判断B符合该范围． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数图象与一元二次方程的综合,关键在于方程加减任意数值可理解为在图像上进行平移． 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分） 11. 已知∠A=100°,那么∠A补角为 _______度. 【答案】80 【解析】 【详解】试题分析：根据两个角之和为180°时，两角互补求出所求角度数即可．如果∠A=100°，那么∠A补角为80°. 考点：余角和补角 12. 一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有16种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种， 则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是＝ ． 故答案为：． 【点睛】此题考查列树状图求概率问题，难度一般． 13. 把多项式分解因式的结果是________________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】原式==， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键． 14. 如图，在四边形 中，连接，．请你添加一个条件______________，使 ．（填一种情况即可） 【答案】AD=BC（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定和性质添加条件证明AB=CD. 【详解】解：添加的条件：AD=BC，理由是： ∵∠ACB=∠CAD， ∴AD∥BC， ∵AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握定理内容是解题的关键. 15. 已知为⊙O的直径且长为， 为⊙O上异于A，B的点，若与过点C的⊙O的切线互相垂直，垂足为D．①若等腰三角形的顶角为120度，则；②若为正三角形，则；③若等腰三角形的对称轴经过点D，则；④无论点C在何处，将沿折叠，点D一定落在直径上，其中正确结论的序号为_________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①过点O作OE⊥AC，垂足为E， 求出∠CAD=30°，得到CD=AC，再说明OE=r，利用∠OCA≠∠COE，得到CE≠OE，即可判断；②过点A作AE⊥OC，垂足为E，证明四边形AECD为矩形，即可判断；③画出图形，证明四边形AOCD为矩形，即可判断；④过点C作CE⊥AO，垂足为E，证明△ADC≌△AEC，从而说明AC垂直平分DE，得到点D和点E关于AC对称，即可判断. 【详解】解：①∵∠AOC=120°， ∴∠CAO=∠ACO=30°， ∵CD和圆O相切，AD⊥CD， ∴∠OCD=90°，AD∥CO， ∴∠ACD=60°，∠CAD=30°， ∴CD=AC，过点O作OE⊥AC，垂足为E， 则CE=AE=AC=CD， 而OE=OC=r，∠OCA≠∠COE， ∴CE≠OE， ∴CD≠r，故①错误； ②若△AOC为正三角形， ∠AOC=∠OAC=60°，AC=OC=OA=r， ∴∠OAE=30°， ∴OE=AO，AE=AO=r， 过点A作AE⊥OC，垂足为E， ∴四边形AECD为矩形， ∴CD=AE=r，故②正确； ③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，如图， ∴AD=CD，而∠ADC=90°， ∴∠DAC=∠DCA=45°，又∠OCD=90°， ∴∠ACO=∠CAO=45° ∴∠DAO=90°， ∴四边形AOCD为矩形， ∴CD=AO=r，故③正确； ④过点C作CE⊥AO，垂足为E，连接DE， ∵OC⊥CD，AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠CAD=∠ACO， ∵OC=OA， ∴∠OAC=∠ACO， ∴∠CAD=∠OAC， ∴CD=CE， 在△ADC和△AEC中， ∠ADC=∠AEC，CD=CE，AC=AC， ∴△ADC≌△AEC（HL）， ∴AD=AE， ∴AC垂直平分DE，则点D和点E关于AC对称， 即点D一定落在直径上，故④正确. 故正确的序号为：②③④， 故答案为：②③④. 【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，切线的性质，垂径定理，知识点较多，多为一些性质定理，解题时要逐一分析，利用性质定理进行推导. 16. 如图，在中，已知，，垂足为，．若 是的中点，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”证明△ADB∽△EDC，得，由AB=2则可求出结论． 【详解】 为的中点， ， ∴， ， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了三角形相似的判定与性质，得出是解答此题的关键． 17. 如图，在边长为的正方形 中将沿射线平移，得到，连接 、．求的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，证出四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，由勾股定理求出C′D的值即为EC+GC的最小值． 【详解】如图，将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE， ∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC， ∴四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形， ∴AE∥BG，CG=DE， ∴AE⊥CC′， 由作图易得，点C与点C′关于AE对称，C′E=CE， 又∵CG=DE， ∴EC+GC=C′E+ED， 当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小， 此时，在Rt△C′D′E中， C′B′=4，B′D=4+4=8， C′D=， 即EC+GC的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、图形的对称性、线段最短和平行四边形的性质与判定，解题的关键是将两条线段的和转化为同一条线段求解． 18. 已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，且当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象与轴有交点，得出判别式，解得；再求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，随的增大而增大，可得对称轴不超过1，从而得出答案． 【详解】解：∵二次函数（a为常数）的图象与轴有交点， ∴． 解得：； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，且当时，随的增大而增大， ∴， ∴实数a的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点和二次函数的图象与性质，掌握抛物线与轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19. 计算 （1）解不等式组： （2）计算： （3）先化简，再求值：，其中 【答案】（1） （2）3 （3）， 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，零指数幂，分式的化简求值，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）分别求出每一个不等式的解集，进而找到它们的公共部分，即为不等式组的解集； （2）根据零指数幂的法则和绝对值的意义，进行计算即可； （3）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【小问1详解】 解：由①，得：； 由②，得：； 故不等式组的解集为：； 【小问2详解】 原式； 【小问3详解】 原式 ； 当时，原式． 20. 某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级．随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下： 等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解 人数（人） 24 72 18 （1）求的值； （2）若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人？ 【答案】（1）6 （2）1440人 【解析】 【分析】（1）根据四个等级的人数之和为120求出x的值； （2）用总人数乘以样本中“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生占被调查人数的比例即可求出结果． 【详解】（1）解：由题意得： 解得 （2）解：（人） 答：估算“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生有1440人. 【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，属于基础题目，审清题意，找到对应数据是解题的关键． 21. 已知，在中，，点D，点E在BC上，,连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，过点B作，交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°． 【答案】（1）证明见解析；（2）、、、． 【解析】 【分析】（1）可得，进而利用SAS证明，即可得出结论； （2）由已知计算出图形中角的度数，由等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图1， ， ， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴； （2）顶角为45°的等腰三角形有以下四个：、、、． 证明：∵，， ∴，， ∵，，即：是等腰三角形，； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、即：、是等腰三角形，， ∵ ∴∠DBF=∠C=45°，， 又∵， ∴， ∴、即：是等腰三角形，． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质和判定及全等三角形性质和判定，掌握等腰三角形性质和判定是解题关键． 22. 如图，一艘渔船位于小岛 的北偏东方向，距离小岛的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． （1）渔船航行多远距离小岛 最近(结果保留根号)？ （2）渔船到达距离小岛 最近点后，按原航向继续航行到点 处时突然发生事故，渔船马上向小岛 上的救援队求救，问救援队从 处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)？ 【答案】（1）；（2）南偏东； 【解析】 【分析】（1）过 点作的垂线交于点，则AD为所求，根据已知条件得到∠BAD=45°即可解答； （2）根据特殊角的锐角三角函数值得到∠C=30°，∠DBC=60°，从而求出BC的长度，再求出∠DBE的度数，即可得到∠EBC的度数． 【详解】解：（1）过 点作的垂线交于点， ∵垂线段最短，上的点距离 点最近，即为所求， 由题意可知：∠BAF=30°，∠CAF=15°， ∴， ∴渔船航行时，距离小岛 最近． （2）在中，， ∠DBC=60°， ∵∠ABD=45°，∠ABE=90°-30°=60°， ∴， . 答：从 处沿南偏东出发，最短行程. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想． 23. 为做好复工复产，某工厂用、 两种型号机器人搬运原料，已知型机器人比 型机器人每小时多搬运，且型机器人搬运所用时间与 型机器人搬运所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料． 【答案】A型号机器人每小时搬运原料，B型号机器人每小时搬运原料． 【解析】 【分析】设A型号机器人每小时搬运原料，先求出B型号机器人每小时搬运原料，再根据“型机器人搬运所用时间与 型机器人搬运所用时间相等”建立方程，然后求解即可． 【详解】设A型号机器人每小时搬运原料，则B型号机器人每小时搬运原料 由题意得： 解得 经检验，是所列分式方程的解 则 答：A型号机器人每小时搬运原料，B型号机器人每小时搬运原料． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，依据题意，正确建立分式方程是解题关键．需注意的是，求出分式方程的解后，一定要进行检验． 24. 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由： （2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中， BG2+DE2是定值，请求出这个定值． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD为正方形 ∴AB=AD， ∵四边形AEFG为正方形 ∴AE=AG， ∴ 在△EAB和△GAD中有： ∴△EAB≌△GAD ∴BE=DG； （2）当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立。 证明：∵四边形ABCD菱形 ∴AB=AD ∵四边形AEFG为正方形 ∴AE=AG ∵∠EAG=∠BAD ∴ ∴ 在△EAB和△GAD中有： ∴△EAB≌△GAD ∴BE=DG； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据四边形ABCD和AEFG是正方形的性质证明△EAB≌△GAD即可； （2）根据菱形AEFG和菱形ABCD的性质以及角的和差证明△EAB≌△GAD即可说明当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立； （3）如图：连接EB，BD,设BE和GD相交于点H，先根据四边形AEFG和ABCD为矩形的性质说明△EAB∽△GAD，再根据相似的性质得到，最后运用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 (2)略 (3)连接EB，BD,设BE和GD相交于点H ∵四边形AEFG和ABCD为矩形 ∴ ∴ ∵ ∴△EAB∽△GAD ∴ ∴ ∴ ∴ ， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用所学知识是解答本题的关键． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于， 两点，点坐标为，与轴交于点，直线与抛物线交于 ，两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求的值和点坐标； （3）点是直线上方抛物线上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，过点作轴的平行线，交于点 ，当 是线段的三等分点时，求点坐标； （4）如图2，是轴上一点，其坐标为，动点从出发，沿轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设的运动时间为（），连接，过作于点 ，以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为，点在运动过程中，线段的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段与抛物线有公共点时的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）根据A，C两点坐标，代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解． （2）通过（1）中的二次函数解析式求出B点坐标，代入一次函数，即可求出m的值，联立二次函数与一次函数可求出D点坐标． （3）设出P点坐标，通过P点坐标表示出N，F坐标，再分类讨论，，即可求出P点； （4）由A，D两点坐标求出的函数关系式，因为以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为，所以，即可求出的函数关系式，设直线与抛物线交于E点，利用方程组求出点E的坐标，求出两种特殊情况t的值即可判断． 【小问1详解】 ∵， 把，代入抛物线， 得：， 解得， ∴； 【小问2详解】 令即， 解得， ∴， 把代入， 得，得到， ∴直线的解析式为， ∴， 解得 或， ∴； 【小问3详解】 设， 则，， ∴，， ∵N是线段的三等分点， ∴或， ∴或， 解得或或， ∵， ∴或， ∴或； 【小问4详解】 如图， ∵，， 设直线的解析式为，代入A，D坐标得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵与关于对称，， ∴， ∵，设直线的解析式为，代入，得到， ∴直线的解析式为， 设直线交抛物线于E， 由，解得或， ∴， 当点与D重合时，， ∴， ∵直线的解析式为，， 可设的解析式为，把代入得到， ∴直线的解析式为， 令，得到， ∴， ∴， ∴， 当点与E重合时，直线经过点， ∵， ∴同理求得的解析式为， 令，可得， ∴，此时， 观察图象可知，满足条件的t的值为． 【点睛】本题考查二次函数综合题，一次函数的性质，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题． 26. 定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． （1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E． （2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角． （3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径． ①求∠AED的度数； ②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积． 【答案】（1）∠E＝α； （2）如图1，延长BC到点T， ∵四边形FBCD内接于⊙O， ∴∠FDC+∠FBC＝180°， 又∵∠FDE+∠FDC＝180°， ∴∠FDE＝∠FBC， ∵DF平分∠ADE， ∴∠ADF＝∠FDE， ∵∠ADF＝∠ABF， ∴∠ABF＝∠FBC， ∴BE是∠ABC的平分线， ∵， ∴∠ACD＝∠BFD， ∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°， ∴∠DCT＝∠BFD， ∴∠ACD＝∠DCT， ∴CE是△ABC的外角平分线， ∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角． （3）①∠AED＝45°；② 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义可得出结论； （2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC=180°，得出∠FDE=∠FBC，证得∠ABF=∠FBC，证出∠ACD=∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论； （3）①连接CF，由条件得出∠BFC=∠BAC，则∠BFC=2∠BEC，得出∠BEC=∠FAD，证明△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性质得出DE=DA，则∠AED=∠DAE，得出∠ADC=90°，则可求出答案； ②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出，求出，设AD=4x，AC=5x，则有（4x）2+52=（5x）2，解得x=，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案． 【详解】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α， （2）略 （3）①如图2，连接CF， ∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角， ∴∠BAC＝2∠BEC， ∵∠BFC＝∠BAC， ∴∠BFC＝2∠BEC， ∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE， ∴∠BEC＝∠FCE， ∵∠FCE＝∠FAD， ∴∠BEC＝∠FAD， 又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD， ∴△FDE≌△FDA（AAS）， ∴DE＝DA， ∴∠AED＝∠DAE， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠AED+∠DAE＝90°， ∴∠AED＝∠DAE＝45°， ②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°， ∵∠AED＝45°， ∴∠AED＝∠FAC， ∵∠FED＝∠FAD， ∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD， ∴∠AEG＝∠CAD， ∵∠EGA＝∠ADC＝90°， ∴△EGA∽△ADC， ∴， ∵在Rt△ABG中，AG＝， 在Rt△ADE中，AE＝AD， ∴， 在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2， ∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2， ∴x＝， ∴ED＝AD＝， ∴CE＝CD+DE＝， ∵∠BEC＝∠FCE， ∴FC＝FE， ∵FM⊥CE， ∴EM＝CE＝， ∴DM＝DE﹣EM＝， ∵∠FDM＝45°， ∴FM＝DM＝， ∴S△DEF＝DE•FM＝． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通市海门区东洲国际学校2025学年度九年级开学测试卷 数学·试题卷 试卷类型：A卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1.本试卷共7页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置. 3.答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效. 4.作弊者，本卷按0分处理. （请考生将自己信息如实填写在上面，不写、漏写、错写为无效试卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 下列各数中，比 小的数是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2. 随州7月份连续5天的最高气温分别为：29，30，32，30，34（单位：℃），则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 30，32 B. 31，30 C. 30，31 D. 30，30 3. 下列各运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 我国高铁通车总里程居世界第一，预计到2020年底，高铁总里程大约39000千米，39000用科学记数法表示为（　　） A. 39×103 B. 3.9×104 C. 3.9×10﹣4 D. 39×10﹣3 5. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知a+b=4，则代数式的值为（　　） A. 3 B. 1 C. 0 D. -1 7. 如图，是圆上一点，是直径，，，点在圆上且平分弧，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是直线上的两点，过两点分别作轴的平行线交双曲线于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是3．则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是（ ） A. 或0 B. 或2 C. 或3 D. 或4 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分） 11. 已知∠A=100°,那么∠A补角为 _______度. 12. 一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是_____． 13. 把多项式分解因式的结果是________________________． 14. 如图，在四边形 中，连接，．请你添加一个条件______________，使 ．（填一种情况即可） 15. 已知为⊙O的直径且长为， 为⊙O上异于A，B的点，若与过点C的⊙O的切线互相垂直，垂足为D．①若等腰三角形的顶角为120度，则；②若为正三角形，则；③若等腰三角形的对称轴经过点D，则；④无论点C在何处，将沿折叠，点D一定落在直径上，其中正确结论的序号为_________． 16. 如图，在中，已知，，垂足为，．若 是的中点，则_________． 17. 如图，在边长为的正方形 中将沿射线 平移，得到，连接 、．求的最小值为______． 18. 已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，且当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是________________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19. 计算 （1）解不等式组： （2）计算： （3）先化简，再求值：，其中 20. 某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级．随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下： 等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解 人数（人） 24 72 18 （1）求的值； （2）若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人？ 21. 已知，在中，，点D，点E在BC上，,连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，过点B作，交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°． 22. 如图，一艘渔船位于小岛 的北偏东方向，距离小岛的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． （1）渔船航行多远距离小岛 最近(结果保留根号)？ （2）渔船到达距离小岛 最近点后，按原航向继续航行到点 处时突然发生事故，渔船马上向小岛 上的救援队求救，问救援队从 处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)？ 23. 为做好复工复产，某工厂用、 两种型号机器人搬运原料，已知型机器人比 型机器人每小时多搬运，且型机器人搬运所用时间与 型机器人搬运所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料． 24. 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由： （2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中， BG2+DE2是定值，请求出这个定值． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于， 两点，点坐标为，与轴交于点，直线与抛物线交于 ，两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求 的值和点坐标； （3）点是直线 上方抛物线上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，交直线 于点，过点作轴的平行线，交于点 ，当 是线段的三等分点时，求点坐标； （4）如图2，是轴上一点，其坐标为，动点 从出发，沿轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设 的运动时间为（），连接，过 作于点 ，以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为，点 在运动过程中，线段的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段与抛物线有公共点时的取值范围． 26. 定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． （1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E． （2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角． （3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径． ①求∠AED的度数； ②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $