精品解析：福建省漳州市平和广兆中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

平和广兆中学高二年数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的图象在点处切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点（ ） A. B. C. D. 3. 物体运动方程为，则时的瞬时速度为（    ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 16 4. 若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在长方体中，已知，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，点M是EG和FH的交点，对空间任意一点О都有，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 直角坐标系中直线上的横坐标分别为，的两点、，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后、两点间的距离是，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 函数为上的奇函数，过点作曲线的切线，可作切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 不确定 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在四面体ABCD中，E，F分别是BC，BD上的点，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象，根据图象判断以下说法正确的是（ ） A. 曲线在附近增加 B. 曲线在附近减少 C. 曲线在附近比在附近增加的缓慢 D. 曲线在附近比在附近增加的缓慢 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 的极大值点为 C. 的极小值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 已知向量，，且与平行，则_________. 13. 请根据图中的函数图象，将下列数值按从小到大的顺序排列：______． ①曲线在点处切线的斜率； ②曲线在点处切线的斜率； ③曲线在点处切线的斜率； ④割线的斜率； ⑤数值； ⑥数值． 14. 已知函数若方程有两个不同实数根，且，则实数a的取值范围是______． 四、解答题 15. 如图所示，在长方体中，，点在上，，点在上且为的中点，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图. （1）求的坐标； （2）求线段的长度. 16. 在正四棱柱中，，，E在线段上，且.    求证：平面DBE. 17. （1）求曲线在点处切线方程. （2）利用（1）中的切线方程求的近似值. 18. 已知，函数，其中e是自然对数的底数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，为等边三角形，E为PC的中点，平面底面ABCD.求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平和广兆中学高二年数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的图象在点处切线的斜率为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数求导公式求出函数的导数即可求解. 【详解】，当时，， 所以函数的图象在点处切线的斜率为. 故选：A. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合空间直角坐标系的性质，即可求解. 【详解】根据空间直角坐标系的性质，都可点关于平面的对称点是． 故选：A. 3. 物体运动的方程为，则时的瞬时速度为（    ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】求出运动方程的导函数，据运动方程的导数是瞬时速度，令求出瞬时速度即可. 【详解】因为物体运动方程为，所以， 所以当时，， 故选：C. 4. 若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导后在区间上有解,等价于在区间上有解，分类讨论，计算即可. 【详解】，因为在区间上存在单调递减区间， 所以在区间上有解，即在区间上有解， 当显然不出来； 当时，，即， 故选:C． 5. 如图，在长方体中，已知，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的求夹角的余弦值即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标， 因为，E为的中点， 所以， 所以， 假设异面直线与所成的角为， 则. 故选：D. 6. 如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，点M是EG和FH的交点，对空间任意一点О都有，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】证明出四边形为平行四边形，为中点，利用空间向量基本定理求解即可. 【详解】E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点， 故，， 所以四点共面，且四边形为平行四边形， 故为中点， 因为，， 所以， 故. 故选：D 7. 直角坐标系中直线上的横坐标分别为，的两点、，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后、两点间的距离是，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图，由空间向量的基本定理与数量积和二面角的夹角余弦值求解即可. 【详解】直线上的横坐标分别为，的两点、的坐标分别为，， 如图为折叠后的图形，作轴于点，作轴于点， 则、的夹角为，又，，， ，，， 则 ， 解得，而，则. 故选：A. 8. 函数为上的奇函数，过点作曲线的切线，可作切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数确定，求导得到导函数，设出切点，根据切线方程公式计算，计算切线得到答案. 【详解】，故，， ，， 设切点为，则，且， 整理得到，解得，， 故切线方程为， 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在四面体ABCD中，E，F分别是BC，BD上的点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】综合应用平面向量的线性运算即可求得结果. 【详解】在中，因为，所以，故，即. ， 故选：BD. 10. 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化函数的图象，根据图象判断以下说法正确的是（ ） A. 曲线在附近增加 B. 曲线在附近减少 C. 曲线在附近比在附近增加的缓慢 D. 曲线在附近比在附近增加的缓慢 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二次函数图象及导数的几何意义一一判断即可. 【详解】对于A、B选项，由图象可知，在与附近均增加，故A正确，B错误； 对于C、D选项，由图象及二次函数的单调性可知， 与均在对称轴左侧，函数单调递增， 但增加的趋势逐渐趋于平缓，且，，故C错误，D正确. 故选：AD 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 的极大值点为 C. 极小值为 D. 的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数求出函数的极值判断ABC，取特值判断D作答. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由得：或，由得：， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 于是函数在处取极大值，在处取极小值，C错误； 函数有两个极值点，且是的极大值点，A正确，B正确； 显然，D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且与平行，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由空间向量平行的坐标公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】，， 因为与平行，所以当时，，解得； 当时，，. 综上，. 故答案为： 13. 请根据图中的函数图象，将下列数值按从小到大的顺序排列：______． ①曲线在点处切线的斜率； ②曲线在点处切线的斜率； ③曲线在点处切线的斜率； ④割线的斜率； ⑤数值； ⑥数值． 【答案】③⑤②④⑥① 【解析】 【分析】通过图象观察各点处的瞬时变化率，即为切线斜率的范围；对比割线斜率和数值即可. 【详解】由图象可知：曲线在点处的瞬时变化率大于的变化率，则曲线在点处的切线斜率； 曲线在点处的瞬时变化率为正且小于的变化率，则曲线在点处的切线斜率； 曲线在点处的瞬时变化率为负，则曲线在点处的切线斜率； 割线的斜率为正且小于的变化率，则割线的斜率； 又曲线在点处的切线斜率小于割线的斜率，； 综上所述：按照从小到大的顺序排列为③⑤②④⑥①. 故答案为：③⑤②④⑥①. 14. 已知函数若方程有两个不同的实数根，且，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分析函数的性质并画出图象，结合图象确定的取值范围，再构造函数，求出最大值，建立不等式求解作答. 【详解】当时，函数单调递增，取值集合为，函数图象与y轴交于点， 当时，，求导得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，， 而，在坐标平面内作出函数的图象，如图， 方程有两个不同的实数根，即直线与函数的图象有两个不同交点， 交点横坐标为，不妨令，观察图象知，直线必与函数的图象有公共点， 则，，由得：，由知，，即有， ，则有，， 令函数，当时，， 即函数在上单调递增，，依题意，， 因此，解得，综上得， 所以实数a取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15. 如图所示，在长方体中，，点在上，，点在上且为的中点，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图. （1）求的坐标； （2）求线段的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间直角坐标系中点的坐标的规定易得两点坐标； （2）利用题设条件先求出点的坐标，再代入两点间距离公式计算即得. 【小问1详解】 如图，由题意可知， 因，则 . 【小问2详解】 为的中点，. 是上的靠近点的三等分点，. 由两点间的距离公式，得. 16. 在正四棱柱中，，，E在线段上，且.    求证：平面DBE. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出，，得到，，从而证明出线面垂直. 【详解】在正四棱柱中，两两垂直， 以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，    则，，，，，， ，，， 于是，，即且， 而平面DBE， 所以平面DBE. 17. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）利用（1）中的切线方程求的近似值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再用点斜式求出切线方程； （2）根据切线方程，令，代入求出，即可得解； 【详解】解：（1）因为，所以，所以，所以切线的斜率，故切线方程为，即； （2）当时，，所以； 18. 已知，函数，其中e是自然对数的底数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）利用函数解析式，求出切点坐标，由导数求切线斜率，利用点斜式即可得出切线方程． （2）当代入函数解析式，利用导数求函数单调区间． 【小问1详解】 当时，，， ，， 则曲线在点处的切线方程为， 即切线方程为. 【小问2详解】 当时，，函数定义域为， 则 令，得；令，得； 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，为等边三角形，E为PC的中点，平面底面ABCD.求二面角的余弦值. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和线面垂直的判定定理与性质可得，由面面垂直的性质可得底面ABCD，建立如图空间直角坐标系.由面面垂直的性质可知为平面EBD的一个法向量，利用空间向量法求出平面AED的法向量，结合空间向量的数量积的定义计算即可求解. 【详解】如图，连接AC交BD于点O，则点O为AC，BD的中点，连接PO，EO. 因为△PBD为等边三角形，所以， 因底面ABCD为正方形，所以 因为，AC，平面PAC，所以平面PAC， 又平面PAC，所以， 因为平面底面ABCD，平面底面，平面EBD， 所以底面ABCD， 又E为PC的中点，所以，所以底面ABCD. 如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，连接AC， 设，则， 因为，即，所以， 所以，，，，， 则，，. 易知，因为平面底面ABCD，平面底面，底面ABCD， 所以平面EBD，所以平面EBD的一个法向量为. 设平面AED的法向量为，则，即， 故，令，则，所以， 所以， 由图可知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $