精品解析： 河南省郑州市二七区嵩山路中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

2023-2024学年河南省郑州市二七区嵩山路中学八年级（上） 期末数学试卷 一、单选题（共10道，每道3分） 1. 在这组数（两个5之间依次多一个1）中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. ，， B. 7，24，25 C. 6，8，10 D. 32，42，52 3. 点P（3，－5）关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. （3，5） B. （3，－5） C. （－3，5） D. （－3，－5） 4. 如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ） A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° 5. 某地区汉字听写大赛中，10名学生得分情况如下表： 分数 50 85 90 95 人数 3 4 2 1 那么这10名学生所得分数的中位数和众数分别是（ ） A. 85和85 B. 85.5和85 C. 85和82.5 D. 85.5和80 6. 五一节前夕，某超市用1680元购进A，B两种商品共60件，A型商品每件24元，B型商品每件36元，设购进A型商品件，B型商品件，依题意列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 实数与数轴上的点是一一对应的 B. 如果，那么 C. 三角形的外角大于它的内角 D. 同位角相等 8. 一次函数与正比例函数（，为常数，且）在同一直角坐标系内的大致图像不可能的是 （ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的角平分线，过点作交延长线于点，若，，则的度数为（ ） A. 100° B. 110° C. 125° D. 135° 10. 某通讯公司就宽带上网推出三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示．小明根据图象得出如下四个结论：①每月上网不足25小时，选择A方式最省钱；②每月上网费用为60元时，B方式上网的时间比A方式多；③每月上网时间为时，选择B方式最省钱；④每月上网时间超过时，选择C方式最省钱．以上四个结论中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ②③ 二、填空题（共5道，每道3分） 11. 的平方根是_______． 12. 如图，已知函数y=ax+b和y=cx+d的图象交于点M，则根据图象可知，关于x，y的二元一次方程组的解为______． 13. 对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为________． 14. 如图，正方形和正方形的面积分别是100和36，则以为直径的半圆的面积是________． 15. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，点P是第一象限内的一个动点，若以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P的坐标为________． 三、解答题（共8道，每道8分） 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 17. (2017·通辽)某校举办了一次成语知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如下所示． (1)求出下列成绩统计分析表中a，b的值： (2)小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上面表格判断，小英是甲、乙哪个组的学生； (3)甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你写出两条支持乙组同学观点的理由． 18. 如图，已知，， 交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 19. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在小正方形的顶点上，且点A，C的坐标分别为，． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）与关于y轴对称，画出； （3）计算的面积； （4）在x轴上存在一点P，使最小，直接写出点P的坐标． 20. 某文具店销售功能完全相同的A、B两种品牌的计算器，若购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元． （1）求这两种品牌计算器的单价； （2）开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销告，B品牌计算器超出5个的部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，请分别求出y1、y2关于x的函数关系式； （3）当需要购买50个计算器时，买哪种品牌的计算器更合算？ 21. 我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方 ，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． （1）特殊感知 ①等腰直角三角形___________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； ②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点．CD是AB边上的高．若BD=2AD=2，试求线段CD的长度． （2）深入探究 如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD于CB的数量关系，并给予证明； 22. 在学习了一次函数后，某校数学兴趣小组根据学习的经验，对函数的图象和性质进行了探究，下面是该兴趣小组的探究过程，请补充完整： （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 2 1 2 3 4 … ①_______； ②若点和点是该函数图象上的两点，则_____． （2）描点并画出该函数的图象． （3）根据函数图象可得： ①该函数的最小值为_________； ②观察函数的图象，写出该图象的两条性质：________；________． （4）结合函数图象，解决问题：直接写出方程的解：________． 23. 2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）． （1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长． （2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问： ①货轮出发后几小时追上游轮？ ②游轮与货轮何时相距12km？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年河南省郑州市二七区嵩山路中学八年级（上） 期末数学试卷 一、单选题（共10道，每道3分） 1. 在这组数（两个5之间依次多一个1）中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：在（两个5之间依次多一个1）中， 无理数有（相邻两个5之间依次多一个1）共3个． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），等有这样规律的数． 2. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. ，， B. 7，24，25 C. 6，8，10 D. 32，42，52 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理即可解题. 【详解】解：A. 2+2=2,∴能够成直角三角形, B. 72+242=252∴能够成直角三角形, C. 62+82=102∴能够成直角三角形, D. ∵32=9，42=16，52=25,92+162252∴不能够成直角三角形, 故选D 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理,属于简单题,熟悉勾股定理逆定理内容即可解题. 3. 点P（3，－5）关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. （3，5） B. （3，－5） C. （－3，5） D. （－3，－5） 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答． 【详解】解：点P（3，-5）关于x轴对称的点的坐标为（3，5）． 故选：A． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 4. 如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ） A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° 【答案】B 【解析】 【详解】∵直尺的对边互相平行， ∴∠1=∠3， ∵∠3+∠2=45°， ∴∠1+∠2=45°， ∵∠1=20°， ∴∠2=45°﹣∠1=25°， 故选：B． 5. 某地区汉字听写大赛中，10名学生得分情况如下表： 分数 50 85 90 95 人数 3 4 2 1 那么这10名学生所得分数的中位数和众数分别是（ ） A. 85和85 B. 85.5和85 C. 85和82.5 D. 85.5和80 【答案】A 【解析】 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案． 【详解】把这组数据从小到大排列，处于中间位置的两个数都是85，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是85； 在这一组数据中85出现的次数最多，则众数是85； 故选：A． 【点睛】此题考查众数与中位数的意义．解题关键在于掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 6. 五一节前夕，某超市用1680元购进A，B两种商品共60件，A型商品每件24元，B型商品每件36元，设购进A型商品件，B型商品件，依题意列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据A、B两种商品共60件以及用1680元购进A、B两种商品，分别得出等式组成方程组即可． 【详解】设购进A型商品件，B型商品件，根据题意，得 ． 故选：B 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 实数与数轴上的点是一一对应的 B. 如果，那么 C. 三角形的外角大于它的内角 D. 同位角相等 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上的点与实数一一对应、三角形的外角的性质、平行线的性质和判定逐一判断即可 【详解】A.实数与数轴上的点一一对应，所以A是真命题； B.若，，则，所以B是假命题； C.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，所以C是假命题； D.同位角不一定相等，所以D是假命题； 故选：A． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 8. 一次函数与正比例函数（，为常数，且）在同一直角坐标系内的大致图像不可能的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像，解题的关键是掌握一次函数、正比例的图像与系数的关系．根据一次函数的图像与系数的关系，由一次函数图像分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图像是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：A、由一次函数图像可知，，，，故；正比例函数的图像满足这一关系，故此选项不符合题意； B、由一次函数图像可知，，，故，正比例函数的图像不满足这一关系，故此选项符合题意； C、由一次函数图像可知，，，故，正比例函数的图像满足这一关系，故此选项不符合题意； D、由一次函数图像可知，，，故，正比例函数的图像满足这一关系，故此选项不符合题意； 故选：B． 9. 如图，是的角平分线，过点作交延长线于点，若，，则的度数为（ ） A. 100° B. 110° C. 125° D. 135° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角形的外角性质可求出，再根据角平分线的定义、平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】， 是的角平分线 则在中， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练运用各定理与性质是解题关键． 10. 某通讯公司就宽带上网推出三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示．小明根据图象得出如下四个结论：①每月上网不足25小时，选择A方式最省钱；②每月上网费用为60元时，B方式上网的时间比A方式多；③每月上网时间为时，选择B方式最省钱；④每月上网时间超过时，选择C方式最省钱．以上四个结论中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用一次函数的有关知识逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 观察函数图象，可得出：每月上网时间不足时，选择A方式最省钱，结论①正确；当每月上网费用元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论②正确；利用待定系数法求出：当时，与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当时的值，将其与50比较后即可得出结论③正确；当时，与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当时x的值，将其与比较，即可得出结论④错误． 【详解】解：观察函数图象，可知：每月上网时间不足时，选择A方式最省钱，结论①正确； 当每月上网费用元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论②正确； 设当时，， 将代入得： ， 解得， ∴， 当时，， ∴每月上网时间为时，选择B方式最省钱，结论③正确； 设当时，， 将代入得： ， 解得， ∴， 当时，， ∴当时，选择B方式比C方式最省钱，结论④错误． 综上所述，以上四个结论中正确的是①②③． 故选：A． 二、填空题（共5道，每道3分） 11. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 12. 如图，已知函数y=ax+b和y=cx+d的图象交于点M，则根据图象可知，关于x，y的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【详解】由图可知：直线y=ax+b和直线y=cx+d的交点坐标为（-2，3）； 因此方程组的解为： 故答案为： 13. 对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 14. 如图，正方形和正方形的面积分别是100和36，则以为直径的半圆的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理以及正方形的性质，牢记“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再求出圆的半径，根据圆的面积公式即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴以为直径的半圆的面积是， 故答案为：． 15. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，点P是第一象限内的一个动点，若以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P的坐标为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点、等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点并能根据题意进行分类讨论是解题的关键． 依据题意，由直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，故，，然后再分当时、当时和当时， 分别进行分类讨论，利用全等三角形的判定与性质进行推理，进而计算可以得解． 【详解】存在点P．理由如下： 令，得，，， 令，得，解得，，， ①当时，过P作轴于D，如图1， ，， ， 在和 中， ， ， ，， ， P的坐标为； ②当时，过P作轴于E，如图2， 同理可证， ，， ， P的坐标为； ③当时，如图3，过P作轴，过B作交延长线于H， 为等腰直角三角形， ，， ， 又， ． 在和中， ， ，， 设，， 由图易得，， ，， 解得，． P的坐标为． 综上，P的坐标为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（共8道，每道8分） 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算和解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的运算法则和解二元一次方程组的方法是解答本题的关键． （1）先算二次根式的除法和平方差公式，然后计算加减法即可； （2）根据加减消元法可以解答此方程组． 【详解】（1） ， ， ； （2） 得，， 得，， 把代入中，得， 解得， 原方程组的解为． 17. (2017·通辽)某校举办了一次成语知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如下所示． (1)求出下列成绩统计分析表中a，b的值： (2)小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上面表格判断，小英是甲、乙哪个组的学生； (3)甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你写出两条支持乙组同学观点的理由． 【答案】（1）a＝6，b＝7.2； （2）甲组； （3）①乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高； ②乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定． 【解析】 【分析】（1）由折线图中数据，根据中位数和加权平均数的定义求解可得； （2）根据中位数的意义求解可得； （3）可从平均数和方差两方面阐述即可． 【详解】（1）由折线统计图可知，甲组成绩从小到大排列为：3、6、6、6、6、6、7、9、9、10， ∴其中位数a=6， 乙组学生成绩的平均分b==7.2； （2）∵甲组的中位数为6，乙组的中位数为7.5，而小英的成绩位于全班中上游， ∴小英属于甲组学生； （3略 ） 考点：1、方差；2、折线统计图；3、算术平均数；4、中位数 18. 如图，已知，， 交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练运用定理进行推理是解答此题的关键． （1）根据平行线的性质定理和判定定理即可得到结论； （2）根据，，得到，，进而得出，又根据，得到，最后根据平角的定义可求出的度数，从而可求得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 19. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在小正方形的顶点上，且点A，C的坐标分别为，． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）与关于y轴对称，画出； （3）计算的面积； （4）在x轴上存在一点P，使最小，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 作出平面直角坐标系如图所示． （2） 如图，即为所求． （3）4； （4） 【解析】 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换、割补法求三角形的面积、轴对称﹣最短路线问题等，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据点A，C的坐标建立平面直角坐标系即可． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）利用割补法求三角形的面积即可． （4）作C点关于x轴的对称点D，连接交x轴于点P，则点P即为所求．利用待定系数法求出直线的解析式，再令，求出x的值，进而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的面积为； 【小问4详解】 作C点关于x轴的对称点D，连接交x轴于点P，连接， 此时为最小值，则点P即为所求． 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为． 令，得，解得 点P的坐标为． 20. 某文具店销售功能完全相同的A、B两种品牌的计算器，若购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元． （1）求这两种品牌计算器的单价； （2）开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销告，B品牌计算器超出5个的部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，请分别求出y1、y2关于x的函数关系式； （3）当需要购买50个计算器时，买哪种品牌的计算器更合算？ 【答案】（1）A种品牌计算器30元/个，B种品牌计算器32元/个；（2）y1＝24x，y2＝；（3）购买50个的计算器时，B品牌的计算器更合算． 【解析】 【分析】（1）设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，然后根据156元，122元列出二元一次方程组，求解即可； （2）A品牌，根据八折销售列出关系式即可，B品牌分不超过5个，按照原价销售和超过5个两种情况列出关系式整理即可； （3）把x＝50代入两种品牌计算器的解析式求解即可． 【详解】（1）设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元， 根据题意得， 解得：， 答：A种品牌计算器30元/个，B种品牌计算器32元/个； （2）A品牌：y1＝30x•0.8＝24x； B品牌：①当0≤x≤5时，y2＝32x， ②当x＞5时，y2＝5×32＋32×（x−5）×0.7＝22.4x＋48， 综上所述：y1＝24x， y2＝； （3）当x＝50时，y1＝24×50＝1200元；y2＝22.4×50＋48＝1168元， 所以，购买50个的计算器时，B品牌的计算器更合算． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，（1）读懂题目信息，理清题中等量关系是解题的关键，（2）B品牌计算器难点在于要分情况讨论，（3）把x＝50代入两种品牌计算器的解析式求解是解题的关键． 21. 我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方 ，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． （1）特殊感知 ①等腰直角三角形___________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； ②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点．CD是AB边上的高．若BD=2AD=2，试求线段CD的长度． （2）深入探究 如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD于CB的数量关系，并给予证明； 【答案】（1）①是；②； （2）AD＝CB，证明如下： ∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高， ∴CD2＝CA2﹣CB2， ∴CA2﹣CD2＝CB2， 由勾股定理得，CA2﹣CD2＝AD2， ∴CB2＝AD2， ∴AD＝CB． 【解析】 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质、勾股定理和勾股高三角形的定义解答； ②根据勾股定理得到CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，根据勾股高三角形的定义得到CD2＝BC2﹣AC2，计算即可得到答案； （2）根据勾股定理和勾股高三角形的定义计算即可． 【详解】解：（1）①设等腰直角三角形的直角边长为a， 则斜边长＝， ∵（）2﹣a2＝a2，等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高， ∴等腰直角三角形是勾股高三角形， 故答案为：是； ②由勾股定理可得：CB2＝CD2+BD2＝CD2+4，CA2＝CD2+AD2＝CD2+1， ∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点，CD是AB边上的高， ∴CD2＝BC2﹣AC2， ∴CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）， 解得，CD＝； （2）略 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股高三角形的定义，正确理解勾股高三角形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 22. 在学习了一次函数后，某校数学兴趣小组根据学习的经验，对函数的图象和性质进行了探究，下面是该兴趣小组的探究过程，请补充完整： （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 2 1 2 3 4 … ①_______； ②若点和点是该函数图象上的两点，则_____． （2）描点并画出该函数的图象． （3）根据函数图象可得： ①该函数的最小值为_________； ②观察函数的图象，写出该图象的两条性质：________；________． （4）结合函数图象，解决问题：直接写出方程的解：________． 【答案】（1）①3；②2； （2） 画出图象如下： （3）①1；②函数图象关于直线对称；当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； （4）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象和性质，解决本题的关键是掌握一次函数的性质． （1）①将代入函数解析式即可求解；②由函数的对称性，从表格观察可得； （2）根据表格数据描点画出图象； （3）根据函数图象即可写出该函数图象的性质及函数的最小值； （4）结合函数图象，观察可得方程的解． 【小问1详解】 ①由表可知，当时，， ，解得； ②由函数的对称性，从表格看，相同的y值对应的x值的和为2， 若点和点是该函数图象上的两点，则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①从图象看，函数的最小值为1； ②函数图象关于直线对称；当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． 【小问4详解】 从图象看，和的交点的横坐标为或， 即方程的解为或． 23. 2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）． （1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长． （2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问： ①货轮出发后几小时追上游轮？ ②游轮与货轮何时相距12km？ 【答案】（1）点横坐标的实际意义是从杭州出发前往衢州共用了23h；游轮在“七里扬帆”停靠的时长为2h； （2）①货轮出发后8小时追上游轮；②0.6h或21.6h或22.4h时游轮与货轮何时相距12km 【解析】 【分析】（1）根据图中信息解答即可． （2）①求出B，C，D，E的坐标，利用待定系数法求解即可；②分相遇前与相遇后两种情形分别构建方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，C点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23h； ∴游轮在“七里扬帆”停靠的时长（h）． 【小问2详解】 解：①∵h， ∴A（14，280），B（16，280）， ∵（h）， ∴， ∴E（22.4，420）， 设BC的解析式为，把B（16，280）代入，解得， ∴， 同理，由D（14，0），E（22，4，420）可得DE的解析式为， 由题意可得：， 解得， ∵（h）， ∴货轮出发后8小时追上游轮． ②分相遇前与相遇后两种情况求解： 相遇之前相距12km时，则，解得； 相遇之后相距12km时，则，解得； 当游轮在刚离开杭州12km时,此时根据图象可知货轮就在杭州，游轮距离杭州12km， 所以此时两船应该也是相距12km，即在0.6h的时候，两船也相距12km. ∴当为0.6h或21.6h或22.4h时，游轮与货轮何时相距12km． 【点睛】本题考查一次函数的应用．解题的关键在于从图象中获取正确的信息． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $