精品解析：河南省周口市太康县大许寨乡第一中学2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年度九年级综合素养评估（四） 数学 上册21．1~下册27．1 注意事项：共三大题，23小题，满分120分，答题时间100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意的． 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，需要根据二次根式中被开方数的取值范围来确定的取值范围．熟练掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键． 【详解】解： 二次根式有意义 被开方数 故选：A． 2. 若关于x的函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数定义，根据概念得，求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 3. 如图，四边形内接于．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 由于方程有实数根，则其根的判别式，由此可以得到关于a的不等式，解不等式就可以求出a的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴． ∴a的值可以是． 故选：D． 5. 若，，则二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：， ∵，， ∴抛物线的开口向上，与轴交于负半轴， ∵二次函数的对称轴为y轴， ∴二次函数的图象大致是： ． 故选：A． 6. 某学校开设了四门兴趣课程，分别为“音乐”、“网球”、“陶艺”、“口才”．为保证学习效果，学校规定每位学生只能选择一门自己最喜欢的课程学习．琪琪与涵涵对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，两人选择同一门课程的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．画树状图，共有16种等可能的结果，其中琪琪与涵涵两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：设“音乐”、“网球”、“陶艺”、“口才”这四种课程分别为A、B、C、D． 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中琪琪与涵涵两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，即、、、， ∴两人选择同一门课程的概率为． 故选：A． 7. 关于二次函数的说法，下列说法错误的是（ ） A. 图象的开口方向向上 B. 函数的最小值为3 C. 二次函数与轴有两个不同的交点 D. 图象可由抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴，顶点坐标等知识是解题的关键． 根据二次函数顶点式得到图象的开口方向向上，顶点坐标为，函数的最小值为，二次函数与轴没有交点，二次函数图象平移的规律进行分析即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴图象的开口方向向上，顶点坐标为， ∴函数的最小值为，二次函数与轴没有交点， 故A，B选项正确，不符合题意，C选项不正确，符合题意； 二次函数的图象可由抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到， 故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 8. 如图，，是的弦，，是的半径，D为上的任意一点（点D不与点O，B重合），连接．若，则的度数可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，连接，由圆周角定理可得，证明为等边三角形，得出，由题意可得，结合三角形外角的定义及性质可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接， ， ∵， ∴， ∵，是的半径， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵D为上的任意一点（点D不与点O，B重合）， ∴， ∵， ∴， ∴的度数可能为， 故选：B． 9. 数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨，的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，C为抛物线上的点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．已知抛物线的表达式为，若点A到x轴的距离是，则A，B两点之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，轴对称的性质，先求出点到轴的距离为，再结合轴对称的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点A到x轴的距离是， ∴令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴点到轴的距离为， ∵点A，B在抛物线上，，关于y轴对称， ∴， 故选：D． 10. 如图，的半径4，直线l与相交于A，B两点，点M，N 在直线l的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形的面积的最大值是（ ） A. 9 B. C. 18 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的性质，过点作于，交于点、两点，连接，，，，，，求出为等腰直角三角形，得出，结合得出当点到的距离最大时，的面积最大，当点到的距离最大时，的面积最大，即点运动到点，点运动到点，此时四边形的面积最大，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，交于点、两点，连接，，，，，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当点到的距离最大时，的面积最大，当点到的距离最大时，的面积最大，即点运动到点，点运动到点，此时四边形的面积最大，为， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个对称轴是y轴且开口向下的二次函数表达式：____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键． 根据题意写出符合题意的二次函数解析式即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为轴， ∴则一次项系数为0， 取常数项为，二次项系数为， ∴满足题意的二次函数的解析式可以为：． 故答案为：（答案不唯一） 12. 如图，在由小正方形组成的网格中，点A，C，D都在格点（网格线的交点）上．若以为直径的圆经过点B和点C，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，正弦的定义，勾股定理，先根据直径所对的圆周角为直角得出，再根据勾股定理得出，根据圆周角定理得出，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是圆的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：​． 13. 已知，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为______．（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的解析式为， 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 故在抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越小． 又，，，且， ． 故答案为：． 14. 如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升______米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确地建立坐标系进行求解． 如图建立平面直角坐标系，由题意得：C为抛物线顶点且坐标为，求出抛物线解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：如图，以水面所在直线为x轴，的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系， 由题意得：C为抛物线顶点且坐标为， 可设抛物线解析式为 ， ∴ 即 ， ∴抛物线解析式为 ， 当水面宽度为米时，即当 ， ， ∴水面上升的高度为米， 故答案为：． 15. 如图，等边的边长为8，D为上的一点，，P是线段上的一动点（点P不与点A，D重合）．若点P和中的一个顶点的连线与的夹角为，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】过点作于点，利用勾股定理和等边三角形的性质求出；根据题意，分两种情况讨论，即或，进而证明与，利用相似三角形的性质列出避雷线即可求出的长． 【详解】解：如下图，过点作于点， ∵等边的边长为， ， ， ， ， ， 分两种情况：①如下图，连接，若， ， ， ，即，解得， ②如下图，连接，若， ， ， ，即，解得， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含 30 度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的证明及性质的使用是解决本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）已知二次函数的图象经过点，求该二次函数图象的顶点坐标． （2）如图，是的直径，弦于点E，，．求的半径． 【答案】（1）该二次函数图象的顶点坐标为；（2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出二次函数的解析式，再将解析式化为顶点式即可得解； （2）连接，由垂径定理可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴该二次函数图象的顶点坐标为； （2）如图：连接， ， ∵是的直径，弦于点E， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， ∴，即的半径为． 17. 如图，在平面直角坐标中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，一次函数的图象经过抛物线上的点． （1）当的取值范围为___________．时，二次函数值大于一次函数值． （2）当时，求二次函数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据二次函数与坐标轴的交点得到点的坐标为，点的坐标为，数形结合分析即可求解； （2）根据题意得到点的坐标为，求得二次函数图象的顶点坐标为，将代入，得，由此得到最大值，最小值即可求解． 【小问1详解】 解：当时，得， ∴点的坐标为， 当时，得， 解得， ∴点的坐标为， 由图象可得，当的取值范围是或时，二次函数值大于一次函数值， 故答案为：或． 【小问2详解】 解：令， 解得，， ∴点的坐标为， ∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为， 将代入，得， ∴当时，二次函数的取值范围为． 18. 悟颖塔位于驻马店市汝南县境内，始建于南朝梁元帝承圣年间（年），塔身为实体，雄浑庄重，因有传说每年夏至日中午没有影子，故又名无影塔．在学习了锐角三角函数一节后，某校数学兴趣小组的同学决定利用所学的知识测量无影塔的高．如图，他们在点 D 处测得塔顶A的仰角为，沿直线前行20米至点C，在点C处测得塔顶A的仰角为．已知点B，C，D在同一条直线上，请依据相关数据，求无影塔的高．（结果精确到，） 【答案】无影塔的高为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由题意可得，，米，，从而可得，再在中解直角三角形即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，米，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴米， 故无影塔的高为米． 19. 如图，A，B是上的两点，连接（O，A，B三点不共线）． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作的角平分线与交于点C，连接，则与有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线、等边对等角、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据角平分线的作法即可得解； （2）由角平分线的定义得出，由等边对等角得出，从而得到，推出，由平行线的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，射线即为所求． 【小问2详解】 解：．理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 某超市以每箱25元的进价购进一批龙眼．当该龙眼的售价为40元/箱时，七月销售250箱，八、九月该龙眼十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到360箱． （1）若七月份到九月份的月平均增长率都相同，求这两个月的月平均增长率． （2）十月份该超市为了减少库存，开始降价促销．经调查发现，该龙眼每箱每降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱．当龙眼每箱降价多少元时，该超市十月可获利元? 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设七月份到九月份的月平均增长率为，利用九月的销售量七月的销售量（七月份到九月份的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱，利用总利润每箱的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设七月份到九月份的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：七月份到九月份的月平均增长率为． 【小问2详解】 设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当龙眼每箱降价元时，该超市十月可获利元． 21. 如图1，抛物线与坐标轴交于O，B两点，直线与抛物线交于A，B两点，已知点B的坐标为． （1）求抛物线和一次函数的表达式． （2）如图2，P为抛物线上位于上方的一点，过点P作x轴的垂线交于点C，求的最大值． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的交点问题，二次函数的图象和性质，正确求出函数表达式是关键． （1）把分别代入抛物线和一次函数解析式，求出，，即可得到答案； （2）设点的坐标为，则，得到，根据二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入，得：， 解得：， ∴二次函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 设点的坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． 22. 如果将运动员的身体看作一点，那么运动员在跳水过程中的运动轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，在起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 根据上述数据，求y关于x的函数表达式． （2）在（1）的这次跳水动作中，结合以下两个信息，回答问题． 信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B时距水面的高度为，从到达最高点B开始计，则她到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，运动员甲能否成功完成此动作？ 【答案】（1） （2）运动员甲不能成功完成此动作 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）待定系数法求出解析式，即可； （2）先求出，再求出时的h值，进行判断即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，图象过点，，， ∴， ∴设函数表达式为， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：3.5，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∵， 即运动员甲在水面上无法完成此动作， ∴运动员甲不能成功完成此动作． 23. 综合与实践 如图1，在正方形中，，在上取一点G，使得，以为边作正方形，连接，． 【问题发现】 （1）的值是_______，直线，所夹锐角的度数是________． 【拓展探究】 （2）如图2，正方形绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立?若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在旋转过程中，当点G到直线的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1），； （2）结论仍然成立，理由如下：如图2，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， 而， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴结论仍然成立； （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，连接交于O，延长交于H，通过证明，可得，，即可求解； （2）通过证明，可得，，，，即可求解； （3）分两种情况讨论，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：，； （2）略 （3）当点在右侧，过点G作交延长线于点，则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在左侧，过点于点，则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，证明三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度九年级综合素养评估（四） 数学 上册21．1~下册27．1 注意事项：共三大题，23小题，满分120分，答题时间100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意的． 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 3 3. 如图，四边形内接于．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 5. 若，，则二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 某学校开设了四门兴趣课程，分别为“音乐”、“网球”、“陶艺”、“口才”．为保证学习效果，学校规定每位学生只能选择一门自己最喜欢的课程学习．琪琪与涵涵对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，两人选择同一门课程的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 关于二次函数的说法，下列说法错误的是（ ） A. 图象的开口方向向上 B. 函数的最小值为3 C. 二次函数与轴有两个不同的交点 D. 图象可由抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到 8. 如图，，是的弦，，是的半径，D为上的任意一点（点D不与点O，B重合），连接．若，则的度数可能为（ ） A. B. C. D. 9. 数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨，的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，C为抛物线上的点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．已知抛物线的表达式为，若点A到x轴的距离是，则A，B两点之间的距离是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的半径4，直线l与相交于A，B两点，点M，N 在直线l的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形的面积的最大值是（ ） A. 9 B. C. 18 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个对称轴是y轴且开口向下的二次函数表达式：____________． 12. 如图，在由小正方形组成的网格中，点A，C，D都在格点（网格线的交点）上．若以为直径的圆经过点B和点C，则的值为_______． 13. 已知，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为______．（用“<”连接） 14. 如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升______米． 15. 如图，等边的边长为8，D为上的一点，，P是线段上的一动点（点P不与点A，D重合）．若点P和中的一个顶点的连线与的夹角为，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）已知二次函数的图象经过点，求该二次函数图象的顶点坐标． （2）如图，是的直径，弦于点E，，．求的半径． 17. 如图，在平面直角坐标中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，一次函数的图象经过抛物线上的点． （1）当的取值范围为___________．时，二次函数值大于一次函数值． （2）当时，求二次函数的取值范围． 18. 悟颖塔位于驻马店市汝南县境内，始建于南朝梁元帝承圣年间（年），塔身为实体，雄浑庄重，因有传说每年夏至日中午没有影子，故又名无影塔．在学习了锐角三角函数一节后，某校数学兴趣小组的同学决定利用所学的知识测量无影塔的高．如图，他们在点 D 处测得塔顶A的仰角为，沿直线前行20米至点C，在点C处测得塔顶A的仰角为．已知点B，C，D在同一条直线上，请依据相关数据，求无影塔的高．（结果精确到，） 19. 如图，A，B是上的两点，连接（O，A，B三点不共线）． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作的角平分线与交于点C，连接，则与有怎样的数量关系？请说明理由． 20. 某超市以每箱25元的进价购进一批龙眼．当该龙眼的售价为40元/箱时，七月销售250箱，八、九月该龙眼十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到360箱． （1）若七月份到九月份的月平均增长率都相同，求这两个月的月平均增长率． （2）十月份该超市为了减少库存，开始降价促销．经调查发现，该龙眼每箱每降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱．当龙眼每箱降价多少元时，该超市十月可获利元? 21. 如图1，抛物线与坐标轴交于O，B两点，直线与抛物线交于A，B两点，已知点B的坐标为． （1）求抛物线和一次函数的表达式． （2）如图2，P为抛物线上位于上方的一点，过点P作x轴的垂线交于点C，求的最大值． 22. 如果将运动员的身体看作一点，那么运动员在跳水过程中的运动轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，在起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 根据上述数据，求y关于x的函数表达式． （2）在（1）的这次跳水动作中，结合以下两个信息，回答问题． 信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B时距水面的高度为，从到达最高点B开始计，则她到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，运动员甲能否成功完成此动作？ 23. 综合与实践 如图1，在正方形中，，在上取一点G，使得，以为边作正方形，连接，． 【问题发现】 （1）的值是_______，直线，所夹锐角的度数是________． 【拓展探究】 （2）如图2，正方形绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立?若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在旋转过程中，当点G到直线的距离为时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $