第十二讲 有理数的除法（二）（3个知识点5大典例）暑假预习讲义2025-2026学年人教版数学七年级上册

2025年新七年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点5大典例） 第十二讲 有理数的除法（二） 知识点梳理 知识点1 ：有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 要点诠释： 约分与化简 ：乘除运算中优先约分，减少计算量；  符号统一 ：确定符号后再计算绝对值，避免重复计算； 灵活运用运算律 ：如交换律、结合律、分配律，简化复杂运算 知识点2 ：有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的。 要点诠释： 易错点与技巧 小数与分数转换 ：将小数化为分数或带分数化为假分数，便于约分计算。 凑整法 ：通过调整计算顺序（如先计算整数部分或分母相同的分数）简化运算。 相反数结合 ：互为相反数的数先相加得0，减少计算量 知识点3 ：有理数的加减乘除混合运算的应用 （1） 根据实际问题分析题意，列出数学算式； （2） 通过有理数的运算解决问题。 要点诠释： 单位统一 ：如温度、海拔等实际问题中，需先统一单位再计算。 逆运算检查 ：通过乘除法验证加减法结果，或通过除法验证乘法结果. 典例精讲 题型1 有理数的乘除运算 例1． 计算： （1）（-12）÷4×（-16）； （2） 名师支招 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 针对训练1 1．计算： =　 　 2． 计算： （1）3×（-1.7）×2； （2） （3） （4） 3．计算： （1） （2） 题型2有理数的四则运算 例2．计算： （1） （2）名师支招 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的 针对训练2 1．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 2．计算：． 3．计算： . 小明同学的计算过程如下：原式 18=6. 请你判断小明的计算过程是否正确，若不正确，请你给出正确的计算过程. 题型3有理数的混合运算的实际应用 例3．近几年时间，全球的新能源汽车发展迅，尤其对于我国来说，新能源汽车产销盘都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）.以 50km 为标准，多于 50km 的记为“+”，不足50km 的记为“_”，刚好 50km 的记为“0”. 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） -8 -12 -16 0 +22 +31 +33 （1）这7天里路程圾多的一天比最少的一天多走　 　km： （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米? （3）已知汽油车每行驶100kmm用汽油6.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶 100k耗电为1度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱? 名师支招 1.审题与建模 ：明确题目中的数量关系，列出有理数表达式。 2.分步计算 ：先计算括号内和乘除，再逐步完成加减运算。 3.检查与验证 ：计算结果需符合实际意义，如温度变化、海拔高度等应用场景。 针对训练3 1．某市招标建设一段无桥梁的高速公路路基，现有A，B两家公司竞标这项工程．若A公司每天能修建路基，B公司每天能修建路基，若单独修建这段路基，A 公司比B 公司要多用10天，在修建路基过程中，该市要付A 公司每天费用2万元，付B 公司每天费用6万元． （1）求这段高速公路路基一共有多少千米？ （2）若先由A，B 两家公司合作一段时间后，A 公司停工了，B 公司单独完成剩余部分．且 B公司的全部工作时间是A公司的工作时间的3倍少4天，求B 公司共修建多少天？ （3）现设置三个方案：方案一：由A 公司单独完成；方案二：由B 公司单独完成；方案三： 按（2）的方式完成；你认为该市选择哪一种方案最省钱，并说明理由． 2．现有一批杨梅共6盒，以每盒5千克为标准质量，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下，其中质量达到每盒5千克的杨梅称为“精品杨梅”. 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量的差 值（单位：千克） -0.2 -0.1 0.1 0.1 0.2 0.3 （1）这6盒杨梅中“精品杨梅”有　 　盒，最重的一盒杨梅是　 　千克. （2）若“精品杨梅”每千克的售价为100元，其他杨梅每千克的售价为80元，则出售这批杨梅总共　 　元. 3．国博首个虚拟数字人“艾雯雯”是一款以为技术基础的文博工作者，她搭建了交换技术，能根据当日实际访问人数的变化与国博知识库进行数据交换，更新并丰富自己的知识储备与互动技能，完成多场景应用落地． 为了更好地了解“艾雯雯”的受欢迎程度，技术工作组在2024年国庆7天假期里，对“艾雯雯”的访问量进行了跟踪统计，数据如下表（正号表示访问量比前一天增加，负号表示访问量比前一天减少），9月30日的实际访问量是10万人， 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 变化/万人 （1）国庆7天，________日的实际访问量最大； （2）若“艾雯雯”的设置日标准访问量为30万量，请完成下表（差值当日实际访问量日标准访问量）； 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 差值/万人 ________ ________ （3）国庆7天，艾雯雯的平均日访问量是多少万人？（最终结果精确到小数点后一位） （4）当日实际访问量与日标准访问量30万量相比，每相差1人时，“艾雯雯”就会进行2次信息交换．请问国庆7天，“艾雯雯”一共进行了多少万次信息交换？ 题型4 有理数混合运算中新定义 例4．小华在计算时（☆代表一个有理数），误将“”看成“”，按照正确的运算顺序计算，结果为，则的正确结果是　 　． 名师支招 1、明确新运算规则 通读题目，准确理解新运算符号的含义及操作对象 梳理规则要素：参与运算的数的位置关系、运算顺序等 2、分步代入计算 按照定义将新运算符号转化为常规运算 严格遵循运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号内 3、检查验证结果 回顾运算过程，确保每一步符合定义 通过代入特殊值或逆运算验证答案正确性 针对训练4 1．对于有理数、，定义运算：． （1）计算的值； （2）计算． 2．对于正数x，规定 例如 求 的值. 3．对于任意非零实数a，b，定义运算“☆”如下： 则2☆1+3☆2+4☆3+…+1021☆1020=　 　. 题型5 有理数混合运算的程序问题 例5．如图所示是计算机程序流程图，若开始输入，则最后输出的结果是（　　） A．11 B． C．13 D． 名师支招 常见错误防范 忘记括号优先级，导致计算顺序混乱。 乘除运算中未正确约分或转化，增加计算复杂度 针对训练5 1．按图中的程序运算：当输入的数据为1时，则输出的数据是　 　． 2．如图所示为一种数值转换机的运算程序。 （1）若第1次输入的数为2，则第1次输出的数为 1，那么第 2 次 输 出的数为　 　。 （2）若第1次输入的数为12，求第5次输出的数及第2024次输出的数。 3． 如图所示是运算流程图： （1）若开始输入的数为-5，则最后输出的结果是　 　 ； （2）若最后输出的结果是 12，输入的数是非负数，则输入的数为　 　. 创新拓展能力提升 1．为了在节能减排的同时考虑惠民利民，规定居民阶梯电价分夏季与非夏季标准：每年 5~10月份执行夏季标准；其余月份执行非夏季标准，两种阶梯电价如下表： 阶梯电价 夏季标准 非夏季标准 第一档用电量 0~260（含）千瓦时 0~200（含）千瓦时 第一档电价 0.59 元/千瓦时 第二档用电量 260~600（含）千瓦时 200~400（含）千瓦时 第二档电价 0.64 元/千瓦时 第三档用电量 600千瓦时以上 400 千瓦时以上 第三档电价 0.89 元/千瓦时 （1）小北家 12月份电费为 233.2元，则小北家 12月份用电量为多少千瓦时? （2）小北家4月份用电量为m（m>400）千瓦时，则需支付电费　 　元.（用含 m的代数式表示） （3）小北家10月份、11月份两月共用电500千瓦时，两月电费总计 298元.已知10月份比11月份用电量少且不在同一档.请问小北家10月份、11月份用电量分别是多少千瓦时? 2．定义一种新运算“*”，规则如下：当时，；当时，；当时，． （1）求值； （2）已知，求x的值． 3．类比用字母表示数，我们用“”来表示某种运算．对于任意元素a，b，若，那么这种运算满足交换律；若存在元素，满足，则称为“运算”下的单位元；若两个元素经过“运算”后得到单位元，则这两个元素互为“运算”下的逆元． 例如，在有理数范围内，加法满足交换律，减法则不满足交换律，加法运算下的单位元是0，互为相反数的两个有理数也互为加法运算下的逆元． （1）在有理数范围内，乘法运算下的单位元是_____，在乘法运算下的逆元是_____； （2）若，表示两个有理数，定义运算“*”，其运算法则为：，例如，若，，则， ①“*运算”是否满足交换律_____．（填“是”或“否”）； ②求出“*运算”下的单位元； ③是否存在有理数在“*运算”下不存在逆元？若有，求出这个（些）数；若没有，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新七年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点5大典例） 第十二讲 有理数的除法（二）（解析版） 知识点梳理 知识点1 ：有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 要点诠释： 约分与化简 ：乘除运算中优先约分，减少计算量；  符号统一 ：确定符号后再计算绝对值，避免重复计算； 灵活运用运算律 ：如交换律、结合律、分配律，简化复杂运算 知识点2 ：有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的。 要点诠释： 易错点与技巧 小数与分数转换 ：将小数化为分数或带分数化为假分数，便于约分计算。 凑整法 ：通过调整计算顺序（如先计算整数部分或分母相同的分数）简化运算。 相反数结合 ：互为相反数的数先相加得0，减少计算量 知识点3 ：有理数的加减乘除混合运算的应用 （1） 根据实际问题分析题意，列出数学算式； （2） 通过有理数的运算解决问题。 要点诠释： 单位统一 ：如温度、海拔等实际问题中，需先统一单位再计算。 逆运算检查 ：通过乘除法验证加减法结果，或通过除法验证乘法结果. 典例精讲 题型1 有理数的乘除运算 例1． 计算： （1）（-12）÷4×（-16）； （2） 名师支招 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 【答案】（1）解：原式= （2）解：原式= 【知识点】有理数的乘除混合运算 【解析】【分析】先将除法运算转换为乘法运算，再利用有理数乘法法则进行计算. 针对训练1 1．计算： =　 　 【答案】 【知识点】有理数的乘除混合运算 【解析】【解答】 = 【分析】根据除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，计算即可. 2． 计算： （1）3×（-1.7）×2； （2） （3） （4） 【答案】（1）解： 3×（-1.7）×2 =6×（-1.7） =-10.2. （2）解： . （3）解： . （4）解： . 【知识点】有理数的乘除混合运算 【解析】【分析】（1）可先计算3×2，其结果为6，再与-1.7相乘. 由于6与-1.7异号，相乘为负，因此将该两数的绝对值相乘后添加负号即可； （2）3个负数与1个正数相乘，根据“异号相乘为负，同号相乘为正”的乘法法则，最终结果为负. 因此将4个数的绝对值相乘后添加负号即可； （3）先将除法转换成乘法，得到2个正数与1个负数相乘，根据“异号相乘为负，同号相乘为正”的乘法法则，最终结果为负. 因此转化成乘法后，将3个数的绝对值相乘后添加负号即可； （4）先将除法转换成乘法，得到2个正数与2个负数相乘，根据“异号相乘为负，同号相乘为正”的乘法法则，最终结果为正. 因此转化成乘法后，将4个数的绝对值相乘即可. 3．计算： （1） （2） 【答案】（1）解： ； （2）解： =-5+27-30+21 =13， ∵ 与是互为倒数的关系， ∴原式 ​​​​​​​ 【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的乘法法则；有理数的乘除混合运算 【解析】【分析】(1)根据有理数的乘法分配律对式子进行化简，再求解即可； （2）先根据有理数乘法分配律算出，再根据式子之间的关系，求解即可. 题型2有理数的四则运算 例2．计算： （1） （2）名师支招 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的 【答案】（1）解：原式=(-67)+57 =-10 （2）解：原式 =2 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的加、减混合运算 【解析】【分析】(1)根据加减混合运算顺序和运算法则计算即可： (2)先计算括号内的运算，再除法转化为乘法，计算乘法即可. 针对训练2 1．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）解： ​​​​​​​ （2）解： ​​​​​​​ （3）解： ​​​​​​​ （4）解： ​​​​​​​ 【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的加、减混合运算；有理数混合运算法则（含乘方） 【解析】【分析】（1）利用据有理数加减法则解答； （2）先运算有理数的乘除法，然后运算有理数的加减法解题即可； （3）利用乘法分配律解答即可； （4）先运算乘方，再运算乘除，最后运算加减解题即可； （1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 2．计算：． 【答案】解： ． 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则 【解析】【分析】先根据题意计算有理数的乘除运算，进而计算加减即可求解。 3．计算： . 小明同学的计算过程如下：原式 18=6. 请你判断小明的计算过程是否正确，若不正确，请你给出正确的计算过程. 【答案】解：小明的计算过程不正确. 正确的计算过程如下： 原式= 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则 【解析】【分析】按照有理数的运算法则进行计算，把除法先化成乘法，先计算括号内的，再计算除法即可求解. 题型3有理数的混合运算的实际应用 例3．近几年时间，全球的新能源汽车发展迅，尤其对于我国来说，新能源汽车产销盘都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）.以 50km 为标准，多于 50km 的记为“+”，不足50km 的记为“_”，刚好 50km 的记为“0”. 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） -8 -12 -16 0 +22 +31 +33 （1）这7天里路程圾多的一天比最少的一天多走　 　km： （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米? （3）已知汽油车每行驶100kmm用汽油6.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶 100k耗电为1度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱? 名师支招 1.审题与建模 ：明确题目中的数量关系，列出有理数表达式。 2.分步计算 ：先计算括号内和乘除，再逐步完成加减运算。 3.检查与验证 ：计算结果需符合实际意义，如温度变化、海拔高度等应用场景。 【答案】（1）49 （2）解： 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400km. （3）解：用汽油的费用： (元) ， 用电的费用： (元) ， (元)， 答：估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省179.6元. 【知识点】有理数混合运算的实际应用 【解析】【解答】(1) 由表格得： 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走49km， 故答案为：49； 【分析】(1)根据表格可得行驶路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，把两天行驶路程相减解题； (2)先求出这七天高于 (或低于)50km的标准所行驶的路程，然后加上七天按标准行驶路程解题即可； (3)分别求出汽油费和电费，然后求差解题. 针对训练3 1．某市招标建设一段无桥梁的高速公路路基，现有A，B两家公司竞标这项工程．若A公司每天能修建路基，B公司每天能修建路基，若单独修建这段路基，A 公司比B 公司要多用10天，在修建路基过程中，该市要付A 公司每天费用2万元，付B 公司每天费用6万元． （1）求这段高速公路路基一共有多少千米？ （2）若先由A，B 两家公司合作一段时间后，A 公司停工了，B 公司单独完成剩余部分．且 B公司的全部工作时间是A公司的工作时间的3倍少4天，求B 公司共修建多少天？ （3）现设置三个方案：方案一：由A 公司单独完成；方案二：由B 公司单独完成；方案三： 按（2）的方式完成；你认为该市选择哪一种方案最省钱，并说明理由． 【答案】（1）解：根据题意，A公司每天修建0.5km，B公司每天修建1km，单独修建时，A公司比B公司多用10天，设路基总长为x km， 因为A公司单独完成的时间比B公司多10天，即 2 x = x + 10 设这段高速公路路基一共有千米，由题意，得：， 解得：x=10； 答：这段高速公路路基一共有10千米； （2）解： 根据第1小问，路基总长为10km，设A公司工作时间为t天，则B公司工作时间为3t−4 天， A公司和B公司共同修建的总长度为10km，即 0.5t+3t−4=10， 解得：t=4天， 所以，B公司工作时间为3×4−4=8天. （3）解：方案一，理由如下， 方案一：A公司单独完成，工作天数为 2x=20天，总费用为20×2=40万元， 方案二：B公司单独完成，工作天数为 x=0天，总费用为10×6=60万元， 方案三：按第2小问的方式完成，A公司工作4天，B公司工作8天，总费用为4×2+8×6=8+48=56万元， 故方案一最省钱. 【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-工程问题；一元一次方程的实际应用-方案选择问题 【解析】【分析】本题考查一元一次方程的实际应用， 关键在于理解和应用工作效率和工作时间的关系，通过设立方程求， （1）设这段高速公路路基一共有千米，根据单独修建这段路基，A 公司比B 公司要多用10天，列出方程进行求解即可； （2）设A公司共修建了t天，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）分别求出三种方案所需费用，进行判断即可． （1）解：设这段高速公路路基一共有千米，由题意，得：， 解得：； 答：这段高速公路路基一共有10千米； （2）设A公司共修建了天，则公司共修建了天，则： ， 解得：， ∴； 答：B 公司共修建8天； （3）方案一最省钱，理由如下： 公司单独修建需要：（万元）； 公司单独修建需要：（万元）； 按照（2）中方案需要：（万元）； ∵， ∴方案一最省钱． 2．现有一批杨梅共6盒，以每盒5千克为标准质量，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下，其中质量达到每盒5千克的杨梅称为“精品杨梅”. 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量的差 值（单位：千克） -0.2 -0.1 0.1 0.1 0.2 0.3 （1）这6盒杨梅中“精品杨梅”有　 　盒，最重的一盒杨梅是　 　千克. （2）若“精品杨梅”每千克的售价为100元，其他杨梅每千克的售价为80元，则出售这批杨梅总共　 　元. 【答案】（1）4；5.3 （2）2846 【知识点】有理数混合运算的实际应用 【解析】【解答】解：（1）由题意得③④⑤⑥质量达到每盒5千克， ∴这6盒杨梅中“精品杨梅”有4盒，最重的一盒杨梅是5+0.3=5.3， 故答案为： 4；5.3 （2）由题意得， 故答案为：2846 【分析】（1）根据正数和负数表示相反意义的量结合表格即可求解； （2）根据题意用千克数×每千克的售价即可求出总售价。 3．国博首个虚拟数字人“艾雯雯”是一款以为技术基础的文博工作者，她搭建了交换技术，能根据当日实际访问人数的变化与国博知识库进行数据交换，更新并丰富自己的知识储备与互动技能，完成多场景应用落地． 为了更好地了解“艾雯雯”的受欢迎程度，技术工作组在2024年国庆7天假期里，对“艾雯雯”的访问量进行了跟踪统计，数据如下表（正号表示访问量比前一天增加，负号表示访问量比前一天减少），9月30日的实际访问量是10万人， 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 变化/万人 （1）国庆7天，________日的实际访问量最大； （2）若“艾雯雯”的设置日标准访问量为30万量，请完成下表（差值当日实际访问量日标准访问量）； 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 差值/万人 ________ ________ （3）国庆7天，艾雯雯的平均日访问量是多少万人？（最终结果精确到小数点后一位） （4）当日实际访问量与日标准访问量30万量相比，每相差1人时，“艾雯雯”就会进行2次信息交换．请问国庆7天，“艾雯雯”一共进行了多少万次信息交换？ 【答案】（1）3 （2）0， （3）解：国庆7天艾雯雯的平均日访问量是：(万)． （4）解：7天总差值为：（万人）∵每相差1人时，“艾雯雯”就会进行2次信息交换． ∴总交换次数为：（万次） 【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用；有理数乘法的实际应用 【解析】【解答】（1）1号访问量人数为(万)， 2日访问人数为(万)， 3日访问人数为(万)， 4日访问人数为(万)， 5日访问人数为(万)， 6日访问人数为(万)， 7日访问人数为(万)． ∵， ∴3日访问人数最多， 故答案为∶3． 解：（2）2日的差值为：，7日的差值为：， 故答案为：0， 【分析】（1）根据表格中的数据， 分别求出每一天的访问人数，再结合有理数的比较大小，得出访问量最高的一天，即可得到答案． （2）结合差值当日实际访问量—日标准访问量，计算出2日和7日的差值，即可求解． （3）根据表格中的数据，将7日的总访问量相加然后乘以，即可得出答案． （4）根据第二问，求得国庆七天的差值，再根据差值计算交换次数，即可得到答案． （1）解：1号访问量人数为(万)， 2日访问人数为(万)， 3日访问人数为(万)， 4日访问人数为(万)， 5日访问人数为(万)， 6日访问人数为(万)， 7日访问人数为(万)． ∵， ∴3日访问人数最多， 故答案为∶3． （2）解：2日的差值为：，7日的差值为：， 故答案为：0， （3）解：国庆7天艾雯雯的平均日访问量是：(万)． （4）解：7天总差值为：（万人） ∵每相差1人时，“艾雯雯”就会进行2次信息交换． ∴总交换次数为：（万次） 题型4 有理数混合运算中新定义 例4．小华在计算时（☆代表一个有理数），误将“”看成“”，按照正确的运算顺序计算，结果为，则的正确结果是　 　． 名师支招 1、明确新运算规则 通读题目，准确理解新运算符号的含义及操作对象 梳理规则要素：参与运算的数的位置关系、运算顺序等 2、分步代入计算 按照定义将新运算符号转化为常规运算 严格遵循运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号内 3、检查验证结果 回顾运算过程，确保每一步符合定义 通过代入特殊值或逆运算验证答案正确性 【答案】 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解一元一次方程 【解析】【解答】解：根据题意，， 解得， ∴ =. 故答案为：． 【分析】根据看错的计算结果，得到关于☆的方程求出☆，再代入待求代数式中求解． 针对训练4 1．对于有理数、，定义运算：． （1）计算的值； （2）计算． 【答案】（1）解：； （2）解：∵， ∴ ． 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；求有理数的绝对值的方法 【解析】【分析】（1）根据新定义运算法则列式计算即可求出答案 （2）根据新定义运算法则先求得，然后再算括号外面即可求出答案. （1）解：； （2）， ． 2．对于正数x，规定 例如 求 的值. 【答案】解：由题意可得， 原式 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则 【解析】【分析】对于正数x，都有 根据这个结论即可解答. 3．对于任意非零实数a，b，定义运算“☆”如下： 则2☆1+3☆2+4☆3+…+1021☆1020=　 　. 【答案】 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则 【解析】【解答】解：根据题意得，2，2☆1+3☆2+4☆3+…+1021☆1020 故答案为： 【分析】先根据新定义运算将所求式子化为普通运算，再裂项求和计算即可得到结果. 题型5 有理数混合运算的程序问题 例5．如图所示是计算机程序流程图，若开始输入，则最后输出的结果是（　　） A．11 B． C．13 D． 名师支招 常见错误防范 忘记括号优先级，导致计算顺序混乱。 乘除运算中未正确约分或转化，增加计算复杂度 【答案】C 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；求代数式的值-程序框图 【解析】【解答】解：当时，， ∴当时，，符合要求， ∴最后输出的结果是：13． 故选：C． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、以及求代数式的值，根据程序框图的计算方法，当时，求得其值为，结合判断条件，输入，求得值为13，再结合判断条件，即可得到输出结果. 针对训练5 1．按图中的程序运算：当输入的数据为1时，则输出的数据是　 　． 【答案】13 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；求代数式的值-程序框图 【解析】【解答】解：输入数据为1时，由运算程序可知， ∴第一次得到的结果为：， ∵，再次输入， ∴第二次得到的结果为：， ∵，可以输出 ∴输出的结果为13． 故答案为：13． 【分析】根据过程输入1，一步一步算出答案是﹣3；根据程序知不能输出，需要进行第二次输入，得到结果是13，即可得到答案． 2．如图所示为一种数值转换机的运算程序。 （1）若第1次输入的数为2，则第1次输出的数为 1，那么第 2 次 输 出的数为　 　。 （2）若第1次输入的数为12，求第5次输出的数及第2024次输出的数。 【答案】（1）10 （2）解：若第1次输入的数为12，输出为6， 若第2次输入的数为6，输出为3， 若第3次输入的数为3，输出为12， 若第4次输入的数为12，输出为6， 若第5次输入的数为6，输出为3， 从第一次输出开始6，3，12循环， ∵ ∴2024次输出为3. 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则 【解析】【解答】（1）解：第1次输入的数为2，则第1次输出的数为1，那么第2次输出的数为10， 故答案为：10. 【分析】（1）根据数值转换机的运算程序计算即可； （2）列出5次输入和输出，得到输出结果以6，3，12三个为1组循环，进而即可求解. 3． 如图所示是运算流程图： （1）若开始输入的数为-5，则最后输出的结果是　 　 ； （2）若最后输出的结果是 12，输入的数是非负数，则输入的数为　 　. 【答案】（1）13 （2）0 或6 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；求代数式的值-程序框图 【解析】【解答】解：（1）由题意可得： -5+4-(-2)=1<10，返回重新计算 1+4-(-2)=7<10，返回重新计算 7+4-(-2)=13>10，输出结果 故答案为：13 （2）设输入的数为x 若第1次就输出结果12，则x+4-(-2)=12，解得：x=6 若第1次输出结果小于是10，则第2次输入的数为6+x 则6+x+4-(-2)=12，解得：x=0 综上所述，输入的数为0或6 【分析】（1）根据程序框图计算顺序计算即可求出答案. （2）设输入的数为x，分情况讨论：第1次输出结果，第2次输出结果，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. 创新拓展能力提升 1．为了在节能减排的同时考虑惠民利民，规定居民阶梯电价分夏季与非夏季标准：每年 5~10月份执行夏季标准；其余月份执行非夏季标准，两种阶梯电价如下表： 阶梯电价 夏季标准 非夏季标准 第一档用电量 0~260（含）千瓦时 0~200（含）千瓦时 第一档电价 0.59 元/千瓦时 第二档用电量 260~600（含）千瓦时 200~400（含）千瓦时 第二档电价 0.64 元/千瓦时 第三档用电量 600千瓦时以上 400 千瓦时以上 第三档电价 0.89 元/千瓦时 （1）小北家 12月份电费为 233.2元，则小北家 12月份用电量为多少千瓦时? （2）小北家4月份用电量为m（m>400）千瓦时，则需支付电费　 　元.（用含 m的代数式表示） （3）小北家10月份、11月份两月共用电500千瓦时，两月电费总计 298元.已知10月份比11月份用电量少且不在同一档.请问小北家10月份、11月份用电量分别是多少千瓦时? 【答案】（1）解：∵200×0.59=118<233.2，118+(400-200) ×0.64=246>233.2 ∴12 月份用电量处于第二档 设 12 月份用电 x千瓦时，则 200×0.59+0.64（x-200）=233.2 解得 x=380 答：小北家 12 月份用电量为 380 千瓦时 （2）0.89m-110 （3）解：设 11 月份 x千瓦时，则 10 月（500-x）千瓦时， 因为 10 月份用电量比 11 月份少，故 10 月份用电量一定小于250 千瓦时，即 10 月份用电量 一定处于第一档，又因为两个月的用电量不在同一档，故可将情况分两种： ①若 10 月在第一档，11 月在第二档， 则（500-x）×0.59+[200×0.59+（x-200）×0.64]=298， 解得 x=260， ∴10 月份 240 千瓦时，11 月份 260 千瓦时； ②若 10 月在第一档，11 月在第三档， 则（500-x）×0.59+（0.89x-110）=298， 解得 x=376（舍） 答：10 月份用电量 240 千瓦时，11 月份用电量 260 千瓦时. 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；一元一次方程的实际应用-计费问题；用代数式表示实际问题中的数量关系 【解析】【解答】解：(2)根据题意得：小北家4月份需支付电费 246+0.89(m﹣400)=(0.89m﹣110)元. 故答案为： (0.89m-110)； 【分析】(1)设小北家12月份用电量为x千瓦时，求出非夏季用电量是200千瓦时及400千瓦时的电费，将其与233.2元比较后，可得出200<x<400，根据小北家12月份电费为233.2元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； (2)利用小北家4月份需支付电费=非夏季用电量是400千瓦时的电费+0.86×超过400千瓦时的部分， 即可用含m的代数式表示出需支付的电费； (3)设小北家10月份用电量是y千瓦时，则11月份用电量是(500--y)千瓦时， 分0 < y< 100及 100≤y<250两种情况考虑，根据小北家10月份、11月份两月电费总计298元，可列出关于y的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论. 2．定义一种新运算“*”，规则如下：当时，；当时，；当时，． （1）求值； （2）已知，求x的值． 【答案】（1）解： ， ； （2）解：情况一：当时，， ， ， ， ， ， ∴舍去， 情况二：当时， ， ， ， ， ， ∴舍去， 情况三：当时， ， ， ， ， ， ， 综上所述：． 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解含分数系数的一元一次方程；分类讨论 【解析】【分析】（1）根据新定义的运算法则，进行计算即可求解； （2）分三种情况，根据新定义运算法则，列一元一次方程解题即可． （1） ， ； （2）情况一：当时， ， ， ， ， ， ， ∴舍去， 情况二：当时， ， ， ， ， ， ∴舍去， 情况三：当时， ， ， ， ， ， ， 综上所述：． 3．类比用字母表示数，我们用“”来表示某种运算．对于任意元素a，b，若，那么这种运算满足交换律；若存在元素，满足，则称为“运算”下的单位元；若两个元素经过“运算”后得到单位元，则这两个元素互为“运算”下的逆元． 例如，在有理数范围内，加法满足交换律，减法则不满足交换律，加法运算下的单位元是0，互为相反数的两个有理数也互为加法运算下的逆元． （1）在有理数范围内，乘法运算下的单位元是_____，在乘法运算下的逆元是_____； （2）若，表示两个有理数，定义运算“*”，其运算法则为：，例如，若，，则， ①“*运算”是否满足交换律_____．（填“是”或“否”）； ②求出“*运算”下的单位元； ③是否存在有理数在“*运算”下不存在逆元？若有，求出这个（些）数；若没有，请说明理由． 【答案】（1）1； （2）解：①根据定义，，因此满足交换律；②假设x 为有理数，“运算”下的单位元为e，根据定义可知，对任意有理数x都成立， 由①知“运算”满足交换律，因此只需要研究，即， 整理可得， 以上等式对于任意x都成立，因此， 解得：， ③假设有理数y在“运算”下的逆元为，则根据逆元的定义可知，， 因此， 整理得， 根据等式的基本性质，若，则等式两边可以同时除以，得到 因此只要，y必有逆元， 当即时，原等式变为0，，此时不存在使等式成立，因此时不存在逆元，即在“运算”下不存在逆元． 【知识点】有理数混合运算的实际应用 【解析】【解答】解：（1）∵， ∴乘法运算下的单位元是； ∵， ∴在乘法运算下的逆元是； 故答案为：1； 【分析】（1）由，得到乘法运算下的单位元是，根据，得到在乘法运算下的逆元是，结合单位元的定义，即可得到答案； （2）①验证与是否相等，即可求解；②假设x 为有理数，“运算”下的单位元为e，根据定义，得到对任意有理数x都成立，即可得出结果；③假设有理数y在“运算”下的逆元为，根据逆元的定义可知，，代入求出，结合题意，即可证明. （1）解：∵， ∴乘法运算下的单位元是； ∵， ∴在乘法运算下的逆元是； 故答案为：1； （2）解：①根据定义，，因此满足交换律； ②假设x 为有理数，“运算”下的单位元为e，根据定义可知，对任意有理数x都成立， 由①知“运算”满足交换律，因此只需要研究，即， 整理可得， 以上等式对于任意x都成立，因此， 解得：， ③假设有理数y在“运算”下的逆元为，则根据逆元的定义可知，， 因此， 整理得， 根据等式的基本性质，若，则等式两边可以同时除以，得到 因此只要，y必有逆元， 当即时，原等式变为0，，此时不存在使等式成立，因此时不存在逆元，即在“运算”下不存在逆元． 学科网（北京）股份有限公司 $$