第十讲 有理数的乘法（3个知识点6大典例）暑假预习讲义2025-2026学年人教版数学七年级上册

2025年新七年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点6大典例） 第十讲 有理数的乘法（解析版） 知识点梳理 知识点1 有理数的乘法法则 1.有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘都得零； 2.(1)若同号,则; (2)若异号,则; 3.几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定. (1)当负因数有奇数个时，积为负；(2)当负因数有偶数个时，积为正。 4.几个数相乘,如果其中有因数为0，积等于0。 要点诠释： 避免与加法法则混淆，如“同号取正”仅适用于两数相乘。 多数因数相乘时，优先处理0因数以简化计算 知识点2 有理数的乘法运算 有理数乘法的运算步骤: (1)先确定积的符号 ; (2)再确定积的绝对值; 要点诠释： 计算两个有理数相乘的一般思路： 1. 若有零因数，则积为0；2.若有小数或带分数的因数，一般先化为分数或假分数；3.计算时先确定积的符号，再求两个因数绝对值的积。 计算多个有理数相乘的一般思路 几个不为0的因数相乘，先看负因数的个数确定积的符号，再确定积的绝对值，如果其中有因数为0，则积为0。 知识点3 倒数 乘积是1的两个数互为倒数。注：(倒数同正同负) 要点诠释： 用字母表示乘数时,“x”号可以写成“·”或省略, 如axb可以写成a.b或ab. 典例精讲 题型1 有理数乘法法则的辨析 例1．下列说法正确的是 A．非零两数的和一定大于任何一个加数 B．非零两数的差一定小于被减数 C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数 D．小于1的两数之商一定小于被除数 名师支招 两数相乘，同号得正，异号得负。 几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。 【答案】C 【知识点】有理数的加法；有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则 【解析】【解答】解： 两个负数的和小于任何一个加数， 选项 不符合题意； 当减数是小于或等于0的数时，差是大于或等于被减数的， 选项 不符合题意； 大于1的两数之积一定大于任何一个因数， 选项 符合题意； 当除数是真分数，被除数是正数时，商大于被除数， 选项 不符合题意. 故答案为：C. 【分析】根据有理数的加法法则可判断A；根据有理数的减法法则可判断B；根据有理数的乘法法则可判断C；根据有理数的除法法则可判断D. 针对训练1 1．已知四个非零有理数相乘，积的符号是负号，则这四个有理数中，正数有　 　个. 【答案】1或3 【知识点】有理数的乘法法则 【解析】【解答】解：根据题意得： ∵4个有理数相乘，积的符号是负号， ∴这4个有理数中，负数的个数为1个或3个， ∴正数有3个或1个， 故答案为：1或3. 【分析】利用几个非零有理数相乘，积的符号是负数的个数决定，当负数的个数为奇数个时，积为负，当负数的个数为偶数个数时，积为正，即可求解. 2．下列说法中，正确的是（　　） A．两数的积是正数，则这两个数都是正数 B．异号两数的积的符号是绝对值较大的那个因数的符号 C．互为相反数的两个数的积是负数 D．两个有理数，把其中一个因数换成它的相反数，所得的积是原来积的相反数 【答案】D 【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的乘法法则 【解析】【解答】解：A、两数相乘，同号得正，异号得负，故此选项不符合题意； B、两数相乘，同号得正，异号得负，与绝对值的大小无关，故此选项不符合题意； C、 互为相反数的两个数的积是负数或0，此选项不符合题意； D、 两个有理数，把其中一个因数换成它的相反数，所得的积是原来积的相反数，故此选项符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”及只有符号不同的两个数互为相反数，特别说明，0的相反数是0，依次判断即可求解. 3．下列说法中，错误的是 (　　) A．一对相反数的积是负数 B．多个有理数相乘积可能为零 C．绝对值和倒数都等于它本身的数只有1 D．几个不为零的有理数相乘，负因数为奇数个，则乘积为负数 【答案】A 【知识点】有理数的倒数；有理数的乘法法则；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义 【解析】【解答】A、一对相反数的积是负数错误，因为0的相反数是0，0×0=0，故本选项正确； B、多个有理数相乘积可能为零，正确，故本选项错误； C、绝对值和倒数都等于它本身的数只有1，正确，故本选项错误； D、几个不为零的有理数相乘，负因数为奇数个，则乘积为负数，正确，故本选项错误. 故答案选：A. 【分析】根据有理数的乘法，绝对值的性质，倒数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解. 题型2 利用有理数乘法辨别符号 例2．已知a+b＜0，ab＜0，|a|＞|b|，则（　　）． A．a＞0，b＜0， B．a＜0，b＞0 C．a＞0，b＞0 D．a＜0，b＜0 名师支招 避免与加法法则混淆，如“同号取正”仅适用于两数相乘。 多数因数相乘时，优先处理0因数以简化计算 【答案】B 【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则 【解析】【解答】解：∵ab＜0， ∴a，b异号． ∵a+b＜0且|a|＞|b|， ∴a＜0，b＞0． 故答案为：B． 【分析】 本题考查了有理数的乘法法则、加法法则和绝对值的性质，熟知有理数的乘法法则和绝对值的性质是解题关键．根据ab＜0可知：a，b异号；再由a+b＜0|和a|＞|b|可知：负数的绝对值较大可知：a＜0，b＞0，由此可得出答案． 针对训练2 1．如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，且AO>BO，则下列结论正确的是（　　） A．a+b>0 B．ab>0 C． D．|a|>|b| 【答案】D 【知识点】有理数的倒数；有理数的乘法法则；绝对值的概念与意义；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系 【解析】【解答】解：观察数轴可知： ∴此选项的结论错误，故此选项不符合题意； ，∴此选项的结论错误，故此选项不符合题意； ∴此选项的结论错误，故此选项不符合题意； ∴此选项的结论正确，故此选项符合题意； 故答案为：D. 【分析】 先观察数轴可知： 然后根据有理数的加法法则判断A选项的正误，再根据有理数的乘除法则判断B、C选项的正误，最后再根据判断D选项的正误即可. 2．如图，数轴上的点，表示的数分别是、．如果，且，那么该数轴的原点的位置应该在（　　） A．点的左侧 B．点的右侧 C．点与点之间且靠近点 D．点与点之间且靠近点 【答案】D 【知识点】有理数的乘法法则；有理数在数轴上的表示；有理数的加法法则 【解析】【解答】解：∵在数轴上，点在点的左侧，且， ∴， ∴该数轴的原点在点与点之间， 又∵， ∴该数轴的原点靠近点， 综上，该数轴的原点的位置应该在点与点之间且靠近点， 故选：D． 【分析】本题考查了数轴的性质、有理数的加法与乘法法则，先根据有理数乘法法则，以及数轴的性质，得到，求得该数轴的原点在点与点之间，结合有理数的加法法则，得到数轴的原点靠近点，由此得到答案． 3．如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，正确的是(　　) A．abc>0 B．(c-a)b<0 C．c(a-b)>0 D．(b+c)a>0 【答案】B 【知识点】有理数的乘法法则；有理数在数轴上的表示 【解析】【解答】解：根据图示，可得： c<-2， 0<b<1， 1<a<2， ∵c<-2， 0<b<1， 1<a<2， ∴abc<0， ∴选项A不符合题意； ∵c<a， b>0， ∴c-a<0， b>0， ∴(c-a)b<0， ∴选项B符合题意； ∵c<-2， 0<b<1， 1<a<2， ∴c(a-b)<0， ∴选项C不符合题意； ∵c<-2， 0<b<1， 1<a<2， ∴(b+c)a<0， ∴选项D不符合题意， 故答案为：B . 【分析】根据图示， 可得： c<-2， 0<b<1， 1<a<2，据此逐项判断即可. 题型3 有理数乘法的运算 例3． 计算： （1） （2） （3） （4）（-2）×3×（-0.5）； （5） （6）|-1.25|×（-8）×4。 名师支招 (1) 先确定积的符号 ; (2)再确定积的绝对值; 【答案】（1）解：原式= （2）解：原式=1.2 （3）解：原式= （4）解：原式=3 （5）解：原式= （6）解：原式=-40 【知识点】有理数的乘法法则 【解析】【分析】有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 针对训练3 1．（口答）先说出积的符号，再说出积。 （1）（+12）×（-5）； （2） （3）（-25）×（-4）； （4） 【答案】（1）解：原式=-60 （2）解：原式= （3）解：原式=100 （4）解：原式=-1 【知识点】有理数的乘法法则 【解析】【分析】有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2．计算： （1） （2）（-2.5）×4； （3） （4） （5） 【答案】（1）解： （2）解：（-2.5）×4=-（2.5×4）=-10 （3）解： （4）解： （5）解： 【知识点】有理数的乘法法则 【解析】【分析】有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 任何数与零相乘，积为零. 3．计算： （1） （2） 【答案】（1）解：原式 （2）解：原式 【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的乘法法则 【解析】【分析】（1）先将除法转换成乘法，然后再计算； （2）运用乘法分配律，将括号内每个数分别与-24相乘，然后结果相加. 题型4 有理数乘法的运算律 例4．计算： （1） （2） 名师支招 交换律 ：ab=ba（因数位置可互换）。 结合律 ：（ab）c=a（bc）（分组方式不影响结果）。 分配律 ：a（b+c）=ab+ac（分配到每个因数） 【答案】（1）解： . ​​​​ （2）解： . 【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数混合运算法则（含乘方） 【解析】【分析】（1）根据有理数的乘法分配律计算求解即可； （2）先计算有理数的乘方，再计算乘除，最后计算加减即可作答。 （1）解： ； （2）解： 针对训练4 1．计算：． 【答案】解：． 【知识点】有理数的乘法运算律 【解析】【分析】根据有理数的乘法进行运算，进而即可求解。 2． 算式（1.25+1.25+1.25+1.25）×25×8最简便的计算方法是 （　　） A．按顺序计算 B．（1.25×8）×（25×4） C．1.25×4×25×8 D．1.25×25×4×8 【答案】B 【知识点】有理数的乘法运算律 【解析】【解答】解：由题意得算式（1.25+1.25+1.25+1.25）×25×8最简便的计算方法是1.25×4×25×8=（1.25×8）×（25×4） 故答案为： B 【分析】根据有理数的乘法结合题意进行运算，进而即可求解。 3．分配律用式子可表达为．下列四个计算：①；②；③；④．适合运用分配律来简化计算的算式有（　　）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【知识点】有理数的乘法运算律 【解析】【解答】解：①，故①适合运用分配律来简化计算； ②不适合运用分配律来简化计算； ③，故③适合运用分配律来简化计算； ④，故④适合运用分配律来简化计算； 故答案为：D． 【分析】利用乘法分配律逐项判定解题. 题型5 有理数乘法的实际应用 例5．列方程解应用题：根据图中情景，解下列问题 “元旦”大酬宾： 跳绳每根 25 元； 购买超过 10 根，全部跳绳享受八折优惠。 她付的钱怎么比我还少? （1）填表： 购买跳绳数（根） 5 13 a（a≤10） b（b>10） 付款数（元） ▲ ▲ ▲ ▲ （2）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少付了5元，你认为这种情况有可能吗?请利用方程知识说明理由. 名师支招 负数与分数相乘需先化简。 带变量的乘法遵循实数规则，注意符号变化 【答案】（1）解： 购买跳绳数（根） 5 13 a（a≤10） b（b>10） 付款数（元） 125 260 25a 20b （2）解：设小明买了x根，则小红买了(x+2)根 由题意x≤10，x+2>10. 因此 20(x+2)+5=25x， 解得x=9. 答：小明买了9根，则小红买了11根。 【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数乘法的实际应用；用代数式表示实际问题中的数量关系 【解析】【解答】解：(1) 购买跳绳数5根， 则付款数为5×25 =125元，因为13>10， 所以购买跳绳数13根，则付款数为 13×25×0.8=260元， 购买跳绳数a(a≤10)根，则付款数为25a元， 购买跳绳数b(b> 10)根， 则付款数为25b×0.8 =20b元， 故可填表如下， 购买跳绳数 (根) 5 13 a(a≤10) b(b>10) 付款数 (元) 125 260 25a 20b 故答案为： 125； 260； 25a； 20b； 【分析】(1)根据“跳绳每根25元；购买超过10根，全部跳绳享受八折优惠”，分别求解即可； (2)设小明买了x根，则小红买了(x+2)根，由题意易知x≤10， x+2>10， 然后列出关于x的方程并求解，即可获得答案. 针对训练5 1．为实现节能减排， 同时考虑惠民利民， 某地实施阶梯电价． 电价分为夏季和非夏季标准， 每年的月执行夏季标准， 其余月份执行非夏季标准． 具体执行标准如下表： 阶梯电价 夏季标准 非夏季标准 第一档用电量 千·瓦时 千瓦时 第一档电价 元/千瓦时 第二档用电量 千瓦时 千瓦时 第二档电价 元/千瓦时 第三档用电量 千瓦时及以上 千瓦时及以上 第三档电价 元/千瓦时 （1）某用户 9 月份用电量为 千瓦时，需支付电费是__________．某用户 12 月份用电量为千瓦时，需支付电费是__________． （2）某用户 11 月份支付电费元，求该用户的用电量． （3）小宁和小波有两个关于电费的判断，请你选择其中的一个说法作出判断并说明理由： 小宁： “两个月用电量相同， 电费却相差元．” 小波： “月用电量在某个范围时， 夏季标准和非夏季标准的电费金额始终相差元． 【答案】（1）元，元； （2）解：∵， 月用电量在千瓦时及以上． 设用电量为千瓦时， 解得 ． 月该用户的用电量为千瓦时； （3）选小宁：设用电量为 千瓦时， ① 当 时， 解得 ，不合题意，舍去， ②当时， 解得 ． 综上所述， 当用电量为千瓦时， 电费可能相差38 元． 选小波： 设月用电量为千瓦时， ① 当 时，夏季：； 非夏季：，不合题意； ②当 时，夏季：；非夏季：，不合题意； ③当时，夏季： ； 非夏季：；费用相差6元，不合题意； ④当 时，夏季： ； 非夏季： ， 解得； ⑤当时，夏季： ； 非夏季： ，费用相差元，符合题意． 综上所述，当用电量时，电费金额之差固定不变．，始终相差元． 【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题；有理数乘法的实际应用 【解析】【解答】（1）解：9 月份用电量千瓦时， 需支付电费元， 12 月份用电量千瓦时， 需支付电费元． 故答案为：元，元 【分析】（1）根据执行标准列式解题； （2）先根据执行标准得到月用电量在千瓦时及以上，设用电量为千瓦时，利用支付电费元，列方程解题即可； （3）设用电量为千瓦时，然后根据用电量的取值范围分别列方程解题即可． （1）解：9 月份用电量千瓦时， 需支付电费元， 12 月份用电量千瓦时， 需支付电费元． 故答案为：元，元 （2）∵， 月用电量在千瓦时及以上． 设用电量为千瓦时， 解得 ． 月该用户的用电量为千瓦时； （3）选小宁：设用电量为 千瓦时， ① 当 时， 解得 ，不合题意，舍去， ②当时， 解得 ． 综上所述， 当用电量为千瓦时， 电费可能相差38 元． 选小波： 设月用电量为千瓦时， ① 当 时，夏季：； 非夏季：，不合题意； ②当 时，夏季：；非夏季：，不合题意； ③当时，夏季： ； 非夏季：；费用相差6元，不合题意； ④当 时，夏季： ； 非夏季： ， 解得； ⑤当时，夏季： ； 非夏季： ，费用相差元，符合题意． 综上所述，当用电量时，电费金额之差固定不变．，始终相差元． 2．国博首个虚拟数字人“艾雯雯”是一款以为技术基础的文博工作者，她搭建了交换技术，能根据当日实际访问人数的变化与国博知识库进行数据交换，更新并丰富自己的知识储备与互动技能，完成多场景应用落地． 为了更好地了解“艾雯雯”的受欢迎程度，技术工作组在2024年国庆7天假期里，对“艾雯雯”的访问量进行了跟踪统计，数据如下表（正号表示访问量比前一天增加，负号表示访问量比前一天减少），9月30日的实际访问量是10万人， 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 变化/万人 （1）国庆7天，________日的实际访问量最大； （2）若“艾雯雯”的设置日标准访问量为30万量，请完成下表（差值当日实际访问量日标准访问量）； 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 差值/万人 ________ ________ （3）国庆7天，艾雯雯的平均日访问量是多少万人？（最终结果精确到小数点后一位） （4）当日实际访问量与日标准访问量30万量相比，每相差1人时，“艾雯雯”就会进行2次信息交换．请问国庆7天，“艾雯雯”一共进行了多少万次信息交换？ 【答案】（1）3 （2）0， （3）解：国庆7天艾雯雯的平均日访问量是：(万)． （4）解：7天总差值为：（万人）∵每相差1人时，“艾雯雯”就会进行2次信息交换． ∴总交换次数为：（万次） 【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用；有理数乘法的实际应用 【解析】【解答】（1）1号访问量人数为(万)， 2日访问人数为(万)， 3日访问人数为(万)， 4日访问人数为(万)， 5日访问人数为(万)， 6日访问人数为(万)， 7日访问人数为(万)． ∵， ∴3日访问人数最多， 故答案为∶3． 解：（2）2日的差值为：，7日的差值为：， 故答案为：0， 【分析】（1）根据表格中的数据， 分别求出每一天的访问人数，再结合有理数的比较大小，得出访问量最高的一天，即可得到答案． （2）结合差值当日实际访问量—日标准访问量，计算出2日和7日的差值，即可求解． （3）根据表格中的数据，将7日的总访问量相加然后乘以，即可得出答案． （4）根据第二问，求得国庆七天的差值，再根据差值计算交换次数，即可得到答案． （1）解：1号访问量人数为(万)， 2日访问人数为(万)， 3日访问人数为(万)， 4日访问人数为(万)， 5日访问人数为(万)， 6日访问人数为(万)， 7日访问人数为(万)． ∵， ∴3日访问人数最多， 故答案为∶3． （2）解：2日的差值为：，7日的差值为：， 故答案为：0， （3）解：国庆7天艾雯雯的平均日访问量是：(万)． （4）解：7天总差值为：（万人） ∵每相差1人时，“艾雯雯”就会进行2次信息交换． ∴总交换次数为：（万次） 3．随着科技的进步，机器人的种类日益繁多，应用场景更加广泛．现有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动调试设备、检测温度等．下表是某一段时间内机器人从工作岗位出发的行走记录（规定向东为正，向西为负，单位：） 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 （1）五次行走结束后机器人停在何处？ （2）若该机器人每千米耗电度，在这段行走过程中机器人共耗电多少度？ 【答案】（1）解：， 答：的西面 2 米处； （2）一共耗电度 【知识点】正数、负数的实际应用；有理数乘法的实际应用；有理数除法的实际应用 【解析】【分析】（1）将五次行走的数据相加即可解题； （2）运用机器人所走的路程解题即可． （1）解：， 答：的西面 2 米处； （2）解：， （度）． 答： 一共耗电 0.00296 度． 题型6 求一个数的倒数 例6．下列各组数中，互为倒数的是（　　） A．1与 B．与3 C．与 D．与名师支招 求法与表示 分数 ：交换分子分母位置（如的倒数是2）； 整数 ：写成1/整数形式（如3的倒数是）； 小数 ：先化成分数再求倒数。 【答案】D 【知识点】有理数的倒数；有理数的乘法法则；化简含绝对值有理数 【解析】【解答】解：A．，故1与不是互为倒数，故选项A不符合题意； B．，故与3不是互为倒数，故选项B不符合题意； C．，故与不是互为倒数，故选项C不符合题意． D．，故与互为倒数，故选项D符合题意； 故答案为：D． 【分析】本题主要考查了倒数的定义，乘积为1的两个数叫做互为倒数，根据定义对选项进行逐一判断即可. 针对训练6 1．有下列说法：①若两个数的和为1，则这两个数互为倒数；②若两个数的积为0，则这两个数中至少有一个数为0；③绝对值是本身的有理数只有0；④倒数是本身的数是-1，0，1.其中错误的是(　　) A．① B．①④ C．②③ D．①③④ 【答案】D 【知识点】有理数的倒数；有理数的乘法法则；绝对值的概念与意义 【解析】【解答】解：①、若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数，则①错误； ②、若两个数的积为0，则这两个数中至少有一个数为0，则②正确； ③、绝对值是本身的有理数有0和1，则③错误； ④、倒数是本身的数是-1，1，则④错误， 综上所述，下列说法错误的有：①③④， 故答案为：D. 【分析】根据倒数的定义、有理数的乘法法则和绝对值的性质逐个分析即可求解. 2．与互为倒数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的倒数；有理数的减法法则；有理数的乘法法则 【解析】【解答】解：∵， ∴与互为倒数是， A中，，故A不符合题意； B中，，故B不符合题意； C中，，故C不符合题意； D中，，故D符合题意。 故选：D 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算，倒数的定义，以及有理数的乘法运算法则．根据有理数的减法运算，以及倒数的定义，得到与互为倒数是，再根据有理数的乘法运算运法则，逐项计算求解与判断，即可求解． 3．阅读下列解题过程： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算： ． 【答案】解： ， 原式． 【知识点】有理数的倒数；有理数的乘法运算律；分式的混合运算 【解析】【分析】根据题意利用倒数的意义，可得，再根据分配律去括号进行分数与整数之间的计算，求出原式的倒数，再得原式的值. 创新拓展能力提升 1．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 请解决下列问题： （1）按以上规律写出第5个等式： a5=　 　=　 　×　 　。 （2）计算： 【答案】（1）；； （2） 【知识点】有理数的乘法运算律；探索数与式的规律；有理数的加法运算律；探索规律-等式类规律 【解析】【解答】解：(1). 故答案为：，，. 【分析】(1)根据前4式，找出规律写出第5个等式； (2)代入后，提出，再求出括号里面的，然后乘以即可得出结果. 2．六个整数的积a×b×c×d×e×f=-36，a，b，c，d，e，f互不相等，则a+b+c+d+e+f的和可能是 (　　) A．0 B．10 C．6 D．8 【答案】A 【知识点】有理数的乘法法则；求代数式的值-直接代入求值 【解析】【解答】∵-36=(-1)×1×(-2)×2×(-3)×3， ∴这六个互不相等的整数是-1，1，-2，2，-3，3， ∴a+b+c+d+e+f=(-1)+1+(-2)+2+(-3)+3=0， 故答案为：A. 【分析】先将-36拆分成六个互不相等的整数和积，再求出它们的和. 3．阅读下面的材料： 1×1=1。 根据以上信息计算： 【答案】原式 =1×1×1×…×1=1 【知识点】有理数的乘法运算律 【解析】【分析】先计算括号里面的运算，再利用乘法交换律与结合律将互为倒数的两个数分别相乘，然后计算出结果. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新七年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点6大典例） 第十讲 有理数的乘法 知识点梳理 知识点1 有理数的乘法法则 1.有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘都得零； 2.(1)若同号,则; (2)若异号,则; 3.几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定. (1)当负因数有奇数个时，积为负；(2)当负因数有偶数个时，积为正。 4.几个数相乘,如果其中有因数为0，积等于0。 要点诠释： 避免与加法法则混淆，如“同号取正”仅适用于两数相乘。 多数因数相乘时，优先处理0因数以简化计算 知识点2 有理数的乘法运算 有理数乘法的运算步骤: (1)先确定积的符号 ; (2)再确定积的绝对值; 要点诠释： 计算两个有理数相乘的一般思路： 1. 若有零因数，则积为0；2.若有小数或带分数的因数，一般先化为分数或假分数；3.计算时先确定积的符号，再求两个因数绝对值的积。 计算多个有理数相乘的一般思路 几个不为0的因数相乘，先看负因数的个数确定积的符号，再确定积的绝对值，如果其中有因数为0，则积为0。 知识点3 倒数 乘积是1的两个数互为倒数。注：(倒数同正同负) 要点诠释： 用字母表示乘数时,“x”号可以写成“·”或省略, 如axb可以写成a.b或ab. 典例精讲 题型1 有理数乘法法则的辨析 例1．下列说法正确的是 A．非零两数的和一定大于任何一个加数 B．非零两数的差一定小于被减数 C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数 D．小于1的两数之商一定小于被除数 名师支招 两数相乘，同号得正，异号得负。 几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。 针对训练1 1．已知四个非零有理数相乘，积的符号是负号，则这四个有理数中，正数有　 　个. 2．下列说法中，正确的是（　　） A．两数的积是正数，则这两个数都是正数 B．异号两数的积的符号是绝对值较大的那个因数的符号 C．互为相反数的两个数的积是负数 D．两个有理数，把其中一个因数换成它的相反数，所得的积是原来积的相反数 3．下列说法中，错误的是 (　　) A．一对相反数的积是负数 B．多个有理数相乘积可能为零 C．绝对值和倒数都等于它本身的数只有1 D．几个不为零的有理数相乘，负因数为奇数个，则乘积为负数 题型2 利用有理数乘法辨别符号 例2．已知a+b＜0，ab＜0，|a|＞|b|，则（　　）． A．a＞0，b＜0， B．a＜0，b＞0 C．a＞0，b＞0 D．a＜0，b＜0 名师支招 避免与加法法则混淆，如“同号取正”仅适用于两数相乘。 多数因数相乘时，优先处理0因数以简化计算 针对训练2 1．如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，且AO>BO，则下列结论正确的是（　　） A．a+b>0 B．ab>0 C． D．|a|>|b| 2．如图，数轴上的点，表示的数分别是、．如果，且，那么该数轴的原点的位置应该在（　　） A．点的左侧 B．点的右侧 C．点与点之间且靠近点 D．点与点之间且靠近点 3．如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，正确的是(　　) A．abc>0 B．(c-a)b<0 C．c(a-b)>0 D．(b+c)a>0 题型3 有理数乘法的运算 例3． 计算： （1） （2） （3） （4）（-2）×3×（-0.5）； （5） （6）|-1.25|×（-8）×4。 名师支招 (1) 先确定积的符号 ; (2)再确定积的绝对值; 针对训练3 1．（口答）先说出积的符号，再说出积。 （1）（+12）×（-5）； （2） （3）（-25）×（-4）； （4） 2．计算： （1） （2）（-2.5）×4； （3） （4） （5） 3．计算： （1） （2） 题型4 有理数乘法的运算律 例4．计算： （1） （2） 名师支招 交换律 ：ab=ba（因数位置可互换）。 结合律 ：（ab）c=a（bc）（分组方式不影响结果）。 分配律 ：a（b+c）=ab+ac（分配到每个因数） 针对训练4 1．计算：． 2． 算式（1.25+1.25+1.25+1.25）×25×8最简便的计算方法是 （　　） A．按顺序计算 B．（1.25×8）×（25×4） C．1.25×4×25×8 D．1.25×25×4×8 3．分配律用式子可表达为．下列四个计算：①；②；③；④．适合运用分配律来简化计算的算式有（　　）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 题型5 有理数乘法的实际应用 例5．列方程解应用题：根据图中情景，解下列问题 “元旦”大酬宾： 跳绳每根 25 元； 购买超过 10 根，全部跳绳享受八折优惠。 她付的钱怎么比我还少? （1）填表： 购买跳绳数（根） 5 13 a（a≤10） b（b>10） 付款数（元） ▲ ▲ ▲ ▲ （2）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少付了5元，你认为这种情况有可能吗?请利用方程知识说明理由. 名师支招 负数与分数相乘需先化简。 带变量的乘法遵循实数规则，注意符号变化 针对训练5 1．为实现节能减排， 同时考虑惠民利民， 某地实施阶梯电价． 电价分为夏季和非夏季标准， 每年的月执行夏季标准， 其余月份执行非夏季标准． 具体执行标准如下表： 阶梯电价 夏季标准 非夏季标准 第一档用电量 千·瓦时 千瓦时 第一档电价 元/千瓦时 第二档用电量 千瓦时 千瓦时 第二档电价 元/千瓦时 第三档用电量 千瓦时及以上 千瓦时及以上 第三档电价 元/千瓦时 （1）某用户 9 月份用电量为 千瓦时，需支付电费是__________．某用户 12 月份用电量为千瓦时，需支付电费是__________． （2）某用户 11 月份支付电费元，求该用户的用电量． （3）小宁和小波有两个关于电费的判断，请你选择其中的一个说法作出判断并说明理由： 小宁： “两个月用电量相同， 电费却相差元．” 小波： “月用电量在某个范围时， 夏季标准和非夏季标准的电费金额始终相差元． 2．国博首个虚拟数字人“艾雯雯”是一款以为技术基础的文博工作者，她搭建了交换技术，能根据当日实际访问人数的变化与国博知识库进行数据交换，更新并丰富自己的知识储备与互动技能，完成多场景应用落地． 为了更好地了解“艾雯雯”的受欢迎程度，技术工作组在2024年国庆7天假期里，对“艾雯雯”的访问量进行了跟踪统计，数据如下表（正号表示访问量比前一天增加，负号表示访问量比前一天减少），9月30日的实际访问量是10万人， 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 变化/万人 （1）国庆7天，________日的实际访问量最大； （2）若“艾雯雯”的设置日标准访问量为30万量，请完成下表（差值当日实际访问量日标准访问量）； 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 差值/万人 ________ ________ （3）国庆7天，艾雯雯的平均日访问量是多少万人？（最终结果精确到小数点后一位） （4）当日实际访问量与日标准访问量30万量相比，每相差1人时，“艾雯雯”就会进行2次信息交换．请问国庆7天，“艾雯雯”一共进行了多少万次信息交换？ 3．随着科技的进步，机器人的种类日益繁多，应用场景更加广泛．现有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动调试设备、检测温度等．下表是某一段时间内机器人从工作岗位出发的行走记录（规定向东为正，向西为负，单位：） 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 （1）五次行走结束后机器人停在何处？ （2）若该机器人每千米耗电度，在这段行走过程中机器人共耗电多少度？ 题型6 求一个数的倒数 例6．下列各组数中，互为倒数的是（　　） A．1与 B．与3 C．与 D．与名师支招 求法与表示 分数 ：交换分子分母位置（如的倒数是2）； 整数 ：写成1/整数形式（如3的倒数是）； 小数 ：先化成分数再求倒数。 针对训练6 1．有下列说法：①若两个数的和为1，则这两个数互为倒数；②若两个数的积为0，则这两个数中至少有一个数为0；③绝对值是本身的有理数只有0；④倒数是本身的数是-1，0，1.其中错误的是(　　) A．① B．①④ C．②③ D．①③④ 2．与互为倒数的是（　　） A． B． C． D． 3．阅读下列解题过程： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算： ． 创新拓展能力提升 1．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 请解决下列问题： （1）按以上规律写出第5个等式： a5=　 　=　 　×　 　。 （2）计算： 2．六个整数的积a×b×c×d×e×f=-36，a，b，c，d，e，f互不相等，则a+b+c+d+e+f的和可能是 (　　) A．0 B．10 C．6 D．8 3．阅读下面的材料： 1×1=1。 根据以上信息计算： 学科网（北京）股份有限公司 $$