第六讲 有理数的加法（3个知识点4大典例）暑假预习讲义2025-2026学年七年级上册数学人教版

2025年新七年级数学人教版暑假预习讲义(3个知识点4大典例) 第六讲 有理数的加法 知识点梳理 知识点1 有理数加法的法则 (1)同号两数相加;取相同的符号,并把绝对值相加。 数学表示:若a>0、b>0,则a+b=|a|+|b|; 若a<0、b<0,则a+b=-(|a|+|b|); (2)异号两数相加,绝对值相等(相反数)时和为0;绝对值不相等时,取绝对值较大的数的符号,并且用较大的绝对值减去较小的绝对值。 数学表示:若a>0、b<0,且|a|>|b|则a+b=|a|-|b|; 若a>0、b<0,则a+b=|b|-|a|; (3)一个数同0相加,仍得这个数。 要点诠释: 通过口诀“同号相加号不变,异号相加取大号;互为相反数和为0,0加任何数仍得原数”,可快速掌握有理数加法的基本规则. 知识点2 利用有理数加法的法则计算 要点诠释: 在进行有理数加法运算时,首先判断两个加数的符号:是同号还是异号,是否有0.从而确定用那一条法则.在应用过程中,要牢记“先符号,后绝对值”. 知识点3 有理数加法在生活中的应用 读懂题意列出加法算式,利用有理数加法法则进行计算,得出结论。 要点诠释: 有理数加法通过符号处理和绝对值计算,能有效解决生活中的量化问题,需结合具体场景灵活运用运算律(如交换律、结合律)简化计算. 典例精讲 题型1 有理数的加法法则 例1.若两个有理数相加,它们的和一定是正数或负数吗?还可以是其他值吗?试各举一例加以说明. 名师支招 通过口诀“同号相加号不变,异号相加取大号;互为相反数和为0,0加任何数仍得原数”,可快速掌握有理数加法的基本规则. 变式训练 1.根据有理数加法法则,计算过程正确的是( ) A. B. C. D. 2.下列数中与3相加和为0的是( ) A.1 B. C. D.0 3.如果,,,那么下列各式中大小关系正确的是( ) A. B. C. D. 4.根据有理数加法法则,计算过程正确的是( ) A. B. C. D. 5.如图,数轴上、两点表示的数分别为、,则 0.(填“”“”或“”) 题型2 有理数加法运算 例2.一个数与的和减去等于,求这个数. 名师支招 在进行有理数加法运算时,首先判断两个加数的符号:是同号还是异号,是否有0.从而确定用那一条法则.在应用过程中,要牢记“先符号,后绝对值”. 变式训练 1.计算: (1); (2); (3); (4). 2.计算: (1); (2); (3); (4). 3.在一条不完整的数轴上从左到右有点A,B,C,其中,,如图所示,设点A,B,C所对应数的和是p. (1)若以B为原点,写出点A,C所对应的数,并计算p的值;若以C为原点,p又是多少? (2)若原点O在图中数轴上点C的右边,且,求p. 4.已知,,若,,求的值. 题型3 有理数加法中的符号问题 例3.如图,数轴上的点P,Q分别表示数p,q.若;则下列各式的值一定是负数的是( ) A.p B.q C. D. 名师支招 1.同号相加 两个加数符号相同(同为正或同为负),结果取相同符号,并将绝对值相加。 2.异号相加 两个加数符号不同,结果取绝对值较大的加数符号,并用较大绝对值减去较小绝对值 3.与零相加 任何数与零相加,结果仍为该数本身 计算流程总结 1.先判断符号 根据加数正负确定是同号还是异号,或是否涉及零。 2.再计算绝对值 同号时直接相加绝对值,异号时用较大绝对值减去较小绝对值。 最后确定符号 结合第一步的结果,确定最终符号。 变式训练 1.两个有理数的和是正数.则( ) A.必须是两个正数 B.可以是两个负数 C.可以是一个正数一个负数,且正数的绝对值较大 D.可以是一个正数一个负数,且负数的绝对值较大 2.如果,且,那么p,q,,的大小关系是( ) A. B. C. D. 3.如果,且,那么a、b、、的大小关系是( ) A. B. C. D. 4.如果两数相加的和小于每一个加数,那么下列判断正确的是( ) A.这两个加数一定有一个数是0 B.这两个加数一定都是负数 C.这两个加数一正一负 D.这两个加数的符号不能确定 5.下列叙述正确的是( ) A.若,且,则 B.若,则 C.若,,则 D.若,则 题型4 有理数加法在生活中的应用 例4.如图所示,是北京市地铁1号线的部分线路图.小王到北京市地铁1号线参加志愿者服务活动,从“西单站”入站,服务活动结束后从站出站.若规定向东为正,向西为负,则小王当志愿者过程中乘车的站数;按先后顺序依次记录如下(单位:站):,,,,,,.请通过计算说明站为哪一站. 名师支招 符号处理与绝对值计算 确定结果符号:同号相加取相同符号,异号相加取绝对值较大数的符号。 计算绝对值:用较大绝对值减去较小绝对值, 互为相反数的处理 互为相反数的两数相加得零, 分数与小数化简 通分或转换为整数计算, 实际场景中的综合应用 距离计算 :通过绝对值相加求总位移 成本统计 :合并同类项计算总成本,例如多次购物金额累加。 变式训练 1.某公司设有三个充电桩,分别为一个快充桩和两个慢充桩.每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务,且每辆车充电完成前,充电过程不得中断.现有五辆车待充电,每辆车的充电需求如下表: 车辆序号 A B C D E 快充桩充电时间(分钟) 70 40 无法使用 90 60 慢充桩充电时间(分钟) 210 120 150 无法使用 170 车辆充电交接时间忽略不计,请回答下列问题: (1)若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟,则这四辆车的序号可以为 (写出一种即可); (2)这五辆车完成充电总用时最短为 分钟. 2.某邮递员骑车从邮局出发,先向西骑行2千米到达A村,继续向西骑行3千米到达B村,然后向东骑行9千米到达C村,最后回到邮局. (1)以邮局为原点,以向东方向为正方向,用1厘米表示1千米,画出数轴,并在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置; (2)求这名邮递员一共骑行了多少千米? 3.足球训练中,为了训练球员快速抢断转身,教练在东西方向的足球场上画了一条直线,要求球员在这条直线上进行折返跑训练.如果约定向西为正,向东为负,将某球员的一组折返跑练习记录如下(单位:米):,,,,,,,,,. (1)球员最后到达的地方在出发点的哪个方向?距出发点多远? (2)球员训练过程中,最远处离出发点多少米; (3)球员在这一组练习过程中,共跑了多少米? 4.为了丰富孩子们的校园生活,西宁市第二中学积极开展多种形式的社团课程.某周三在机器人社团活动中,高一学生小华通过编程使一只电子蚂蚁从点处出发,在一直线上连续匀速左右爬行7趟,若向右爬行记为正,向左爬行记为负.电子妈蚁爬行情况依次记为(单位:厘米):,,,,,,. (1)电子蚂蚁最后位于起点的右侧还是左侧?距起点多少厘米? (2)若电子蚂蚁共用了20秒完成上面的路程,求电子蚂蚁的速度. 5.一只小虫从某点A出发在一直线上来回爬行,假定向右爬行的路程记为正数,向左爬行的路程记为负数,爬行的各段路程依次为(单位:):,,,,,,. (1)此时小虫在A点左边还是右边?距A点多远? (2)在爬行的过程中,若每爬行,奖励3粒芝麻,则小虫可得到多少粒芝麻? 易错易混诠释 有理数加法的易错易混点主要集中在符号处理、法则应用及计算细节上,具体如下: 一、符号处理错误 符号判断错误 异号两数相加时,未正确判断和的符号 绝对值相等的异号两数相加,但易混淆为正或负。 去括号错误 0. 运算符号与数的性质符号未用括号区分 针对训练1 1.若,,,则下列关系正确的是( ) A. B. C. D. 2.已知:,,,则的值是( ) A.正数 B.负数 C.非正数 D.0 二、法则应用错误 同号相加法则混淆 同号两数相加时,符号未正确保留 异号相加法则错误 绝对值不等时,未用较大绝对值减去较小绝对值 符号确定错误, 针对训练2 1.如果,,,则下列各式中大小关系正确的是( ) A. B. C. D. 4.m是有理数,则( ) A.可以是负数 B.不可能是负数 C.一定是正数 D.可是正数也可是负数 三、计算细节错误 零的处理不当 任何数与零相加仍为原数 混合运算符号错误 针对训练3 1.已知有理数a、b、c,且、,则a、b、c的大小关系是( ) A. B. C. D.不能确定 2.使等式成立的有理数是( ) A.任意一个整数 B.任意一个非负数 C.任意一个非正数 D.任意一个有理数 创新拓展能力提升 1.某公司为了更好地为客户服务,专门派一名司机小张接送客户.小张从本公司出发向东行驶的公里数记作正数,向西行驶的公里数记作负数,他的一天的记录如下(单位:):. (1)请计算说明小张最后是否回到了公司? (2)请计算小张这一天一共跑了多少千米? (3)在接送过程中,小张离公司最远的距离是多少千米?(直接写出答案) 2.某自行车厂一周计划生产700辆自行车,平均每天生产100辆,由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入,下表是某周的生产情况(超产为正,减产为负). 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 -3 +5 +2 -10 -6 +17 +3 (1)根据记录可知前四天共生产_辆. (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产_辆. (3)该工厂实行计件工资制,生产一辆车给工人50元,超额完成任务每多生产一辆奖10元,少生产一辆扣10元,那么该厂工人这一周的工资总额是多少元? 3.某工艺厂计划一周生产工艺品2800个,平均每天生产400个,但实际每天生产量与计划相比有出入.下表是某周的生产情况(超产记为正、减产记为负): 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减(单位:个) +6 -2 -6 +16 -11 +15 -8 (1)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量; (2)已知该厂实行每周计件工资制,每生产一个工艺品可得70元,若超额完成任务,则超过部分每个另奖60元,少生产一个扣100元.试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额. 4.10名学生体检测体重,以50千克为基准,超过的数记为正,不足的数记为负,称得结果如下(单位:千克): +6 +3 -7.5 -3 +5 -8 +3.5 +4.5 +8 -1.5 (1)这10名学生的总体重为多少? (2)10名学生的平均体重为多少? 学科网(北京)股份有限公司 $$ 2025年新七年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点4大典例） 第六讲 有理数的加法（解析版） 知识点梳理 知识点1 有理数加法的法则 （1）同号两数相加；取相同的符号，并把绝对值相加。 数学表示：若a>0、b>0，则a+b=|a|+|b|； 若a<0、b<0，则a+b=-(|a|+|b|)； （2）异号两数相加，绝对值相等（相反数）时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值。 数学表示：若a>0、b<0，且|a|>|b|则a+b=|a|-|b|； 若a>0、b<0，则a+b=|b|-|a|； （3）一个数同0相加，仍得这个数。 要点诠释： 通过口诀“同号相加号不变，异号相加取大号；互为相反数和为0，0加任何数仍得原数”，可快速掌握有理数加法的基本规则. 知识点2 利用有理数加法的法则计算 要点诠释： 在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 知识点3 有理数加法在生活中的应用 读懂题意列出加法算式，利用有理数加法法则进行计算，得出结论。 要点诠释： 有理数加法通过符号处理和绝对值计算，能有效解决生活中的量化问题，需结合具体场景灵活运用运算律（如交换律、结合律）简化计算. 典例精讲 题型1 有理数的加法法则 例1．若两个有理数相加，它们的和一定是正数或负数吗？还可以是其他值吗？试各举一例加以说明． 名师支招 通过口诀“同号相加号不变，异号相加取大号；互为相反数和为0，0加任何数仍得原数”，可快速掌握有理数加法的基本规则. 【答案】不一定是正数或负数，还可能是0，举例见解析 【分析】根据有理数的加法法则，计算举例即可． 本题考查了有理数的加法法则和乘法法则，解答本题的关键是熟练掌握异号两数相加，取决与绝对值的大小． 【详解】解：两个有理数相加，它们的和可能是正数，例如，， 可能是负数，例如：， 可能是0．例如 ． 变式训练 1．根据有理数加法法则，计算过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的加法运算法则计算，逐项判断即可． 【详解】解：； ，故A选项错误不符合题意； ，故B选项错误不符合题意； ，故C选项错误不符合题意； ，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 2．下列数中与3相加和为0的是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法运算，据此运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 3．如果，，，那么下列各式中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数与数轴，有理数的加法，有理数的大小比较，先根据a，b的正负，结合判断出b比a的绝对值大，进而在数轴上表示出各数，利用数轴比较大小即可． 【详解】解：，， a为正数，b为负数， ， b比a的绝对值大， a，b，，在数轴上的位置如图所示： 由数轴可知，， 故选B． 4．根据有理数加法法则，计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是异号的两数相加，先确定结果的符号为负，再用较大的绝对值减去较小的绝对值即可． 【详解】解：； 故选：D． 5．如图，数轴上、两点表示的数分别为、，则 0．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，有理数的加法运算，由数轴可知，，且，即可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴， 故答案为：． 题型2 有理数加法运算 例2．一个数与的和减去等于，求这个数． 名师支招 在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 【答案】 【分析】该题主要考查了有理数的加法运算，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则． 根据题意得出这个数为再进行运算即可． 【详解】解：由题意得：这个数为 ． 变式训练 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)0.8； (4)． 【分析】此题主要考查有理数的加法运算，解题的关键是熟知其运算法则． （1）根据有理数的加运算法则即可求解，取负号，绝对值47减35； （2）根据有理数的加运算法则即可求解，取正号，绝对值3.75化为，减； （3）根据有理数的加运算法则即可求解，取正号，绝对值化为3.5，3.5减2.7； （4）根据有理数的加运算法则即可求解，取正号，绝对值减． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)82； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加法运算法则计算即可； （3）根据有理数的加法运算法则计算即可； （4）根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p． (1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？ (2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且，求p． 【答案】(1)若以B为原点，点A所对应的数为，点C所对应的数为1，；若以C为原点， (2) 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离以及有理数的加减运算，关键是掌握数轴上两点间的距离与点所对应的数的关系． （1）根据以B为原点，则C表示1，A表示，进而得到P的值；根据以C为原点，则A表示，B表示，进而得到p的值； （2）根据原点O在图中数轴上点C的右边，且，可得C表示，B表示，A表示，据此可得p的值． 【详解】（1）解：若以B为原点，则点A所对应的数为，点C所对应的数为1， 此时，， 若以C为原点，则点A所对应的数为，点B所对应的数为， 此时，； （2）解：若原点O在图中数轴上点C的右边，且， 则点C所对应的数为，点B所对应的数为，点A所对应的数为， 此时，． 4．已知，，若，，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的加法和绝对值的运算，解题的关键是根据绝对值的运算确定x、y的值．由绝对值的定义，得，，再根据，确定x、y的具体对应值，最后代入计算的值． 【详解】解：，， ，， ，， ，， 题型3 有理数加法中的符号问题 例3．如图，数轴上的点P，Q分别表示数p，q．若；则下列各式的值一定是负数的是（   ） A．p B．q C． D． 名师支招 1.同号相加  两个加数符号相同（同为正或同为负），结果取相同符号，并将绝对值相加。 2.异号相加  两个加数符号不同，结果取绝对值较大的加数符号，并用较大绝对值减去较小绝对值 3.与零相加 任何数与零相加，结果仍为该数本身 计算流程总结 1.先判断符号 根据加数正负确定是同号还是异号，或是否涉及零。 2.再计算绝对值 同号时直接相加绝对值，异号时用较大绝对值减去较小绝对值。 最后确定符号 结合第一步的结果，确定最终符号。 【答案】D 【分析】本题考查数轴，正负数，有理数加法法则，由且，判断出q一定是正数，从而判断出一定是负数． 【详解】解：由数轴得，， 因为， 所以q一定是正数， 所以一定是负数， 故选：D．变式训练 1．两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的基本规则和正负数相加时的和的符号判断．通过理解正数和负数相加的规则，可以快速准确地判断出两个有理数的和为正数时，两数可能的正负组合情况，进而选出正确答案．在处理此类问题时，清晰地识别并应用数学规则是关键． 【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误； B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误； C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确； D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误． 故选：C ． 2．如果，且，那么p，q，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，绝对值的含义，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则．根据题目条件分析出，，且，再进一步即可比较大小． 【详解】解：∵，且， ∴，，且， ∴，， ∴． 故选：D． 3．如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，根据题目条件分析出a是正数，且a的绝对值大于b的绝对值，即可比较大小． 【详解】解：∵，且， ∴，且， ∴， 故选：B． 4．如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加法中的符号问题， 根据负数的特点结合有理数加法法则即可得出答案． 【详解】解∶只有两个负数相加和才小于这两个加数． 故选：B． 5．下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加法运算法则、绝对值的意义，根据有理数加法运算法则进行判断即可．解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则． 【详解】解：A、若，且，则，而，故此选项不符题意； B、当，，则，但，故此选项不符题意； C、若，，则，故此选项符题意； D、若，，则，但，故此选项不符题意； 故选：C． 题型4 有理数加法在生活中的应用 例4．如图所示，是北京市地铁1号线的部分线路图．小王到北京市地铁1号线参加志愿者服务活动，从“西单站”入站，服务活动结束后从站出站．若规定向东为正，向西为负，则小王当志愿者过程中乘车的站数；按先后顺序依次记录如下（单位：站）：，，，，，，．请通过计算说明站为哪一站． 名师支招 符号处理与绝对值计算  确定结果符号：同号相加取相同符号，异号相加取绝对值较大数的符号。 计算绝对值：用较大绝对值减去较小绝对值， 互为相反数的处理 互为相反数的两数相加得零， 分数与小数化简  通分或转换为整数计算， 实际场景中的综合应用 距离计算 ：通过绝对值相加求总位移 成本统计 ：合并同类项计算总成本，例如多次购物金额累加。 【答案】站是复兴门站 【分析】本题主要考查了有理数加法运算的应用，根据题意列出算式求出结果，根据求出的结果，结合图形作出判断即可． 【详解】解： ， ∵向东为正，向西为负， ∴所在的位置是复兴门站， 答；站是复兴门站． 变式训练 1．某公司设有三个充电桩，分别为一个快充桩和两个慢充桩．每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有五辆车待充电，每辆车的充电需求如下表： 车辆序号 A B C D E 快充桩充电时间（分钟） 70 40 无法使用 90 60 慢充桩充电时间（分钟） 210 120 150 无法使用 170 车辆充电交接时间忽略不计，请回答下列问题： （1）若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，则这四辆车的序号可以为 （写出一种即可）； （2）这五辆车完成充电总用时最短为 分钟． 【答案】 （答案不唯一） 200 【分析】本题考查了有理数的加减运算的应用，解决本题的关键是根据每辆车的充电需求，合理安排时间． （1）根据其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，进行合理安排即可； （2）优先考虑慢充时间最长的应当安排快充，据此进行求解即可． 【详解】解：（1）要使其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，可安排如下：快充桩可依次提供给充电，两个慢充桩可分别提供给充电， 故答案为：（答案不唯一）； （2）要使五辆车完成充电总用时最短，可安排如下：快充桩可依次提供给充电，共需要（分钟），两个慢充桩可分别提供给充电，其中充电完成需要150分钟，充电完成需要170分钟， 这五辆车完成充电总用时最短为200分钟． 故答案为：200． 2．某邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行2千米到达A村，继续向西骑行3千米到达B村，然后向东骑行9千米到达C村，最后回到邮局． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1厘米表示1千米，画出数轴，并在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置； (2)求这名邮递员一共骑行了多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)18千米 【分析】本题考查了数轴、正负数和有理数的加法在实际中的应用，正确理解题意、列出算式是解题的关键； （1）根据已知条件，在数轴上把A、B、C三个村庄的位置表示出来即可； （2）根据绝对值的意义列出算式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由题意可得：千米； 答：这名邮递员一共骑行了18千米． 3．足球训练中，为了训练球员快速抢断转身，教练在东西方向的足球场上画了一条直线，要求球员在这条直线上进行折返跑训练．如果约定向西为正，向东为负，将某球员的一组折返跑练习记录如下（单位：米）：，，，，，，，，，． (1)球员最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)球员训练过程中，最远处离出发点多少米； (3)球员在这一组练习过程中，共跑了多少米？ 【答案】(1)球员最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点米 (2)在最远处离出发点 (3)球员在一组练习过程中，跑了米． 【分析】本题考查的是有理数加减法的应用． （1）根据加法法则，将正数与正数相加，负数与负数相加，进而得出计算得结果； （2）求出每一段到出发点的距离，即可判断出结果； （3）利用绝对值的性质以及有理数加法法则求出即可． 【详解】（1）解： (米)； 答：球员最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点米； （2）每段路程跑完距离出发点为： 第一段，， 第二段，， 第三段，， 第四段，， 第五段，， 第六段，， 第七段，， 第八段，， 第九段，， 第十段，， ∴在最远处离出发点； （3） (米)， 答：球员在一组练习过程中，跑了米． 4．为了丰富孩子们的校园生活，西宁市第二中学积极开展多种形式的社团课程．某周三在机器人社团活动中，高一学生小华通过编程使一只电子蚂蚁从点处出发，在一直线上连续匀速左右爬行7趟，若向右爬行记为正，向左爬行记为负．电子妈蚁爬行情况依次记为（单位：厘米）：，，，，，，． (1)电子蚂蚁最后位于起点的右侧还是左侧？距起点多少厘米？ (2)若电子蚂蚁共用了20秒完成上面的路程，求电子蚂蚁的速度． 【答案】(1)电子蚂蚁最后位于起点的右侧，距起点8厘米． (2)厘米/秒 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加法应用，有理数的除法应用，根据题意正确的列式计算是解题的关键； （1）各数据相加即可求解； （2）计算出电子蚂蚁爬行的总路程，再除以时间即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴电子蚂蚁最后位于起点的右侧，距起点8厘米． （2）∵， ∴（厘米/秒）． 答：电子蚂蚁的速度（厘米/秒）． 5．一只小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为（单位：）：，，，，，，． (1)此时小虫在A点左边还是右边？距A点多远？ (2)在爬行的过程中，若每爬行，奖励3粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)爬行结束后蚂蚁在点A的右边，与点A的距离是 (2)小虫可得到96粒芝麻 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，正负数，绝对值． （1）由题意知，计算，根据计算结果的正负作答即可； （2）小虫一共得到的芝麻数，与它爬行的方向无关，只与爬行的距离有关，所以应把绝对值相加，再求得到的芝麻粒数． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴爬行结束后蚂蚁在点A的右边，与点A的距离是； （2）解：由题意知，， ∵每爬行，奖励3粒芝麻， ∴（粒）， 答：小虫可得到96粒芝麻． 易错易混诠释 有理数加法的易错易混点主要集中在符号处理、法则应用及计算细节上，具体如下： 一、符号处理错误 符号判断错误  异号两数相加时，未正确判断和的符号 绝对值相等的异号两数相加，但易混淆为正或负。 去括号错误  0. 运算符号与数的性质符号未用括号区分 针对训练1 1．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 2．已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 二、法则应用错误 同号相加法则混淆 同号两数相加时，符号未正确保留 异号相加法则错误  绝对值不等时，未用较大绝对值减去较小绝对值 符号确定错误， 针对训练2 1．如果，，，则下列各式中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数与数轴，有理数的大小比较，先根据a，b的正负，结合判断出b比a的绝对值大，进而在数轴上表示出各数，利用数轴比较大小即可． 【详解】解：，， a为正数，b为负数， ， b比a的绝对值大， a，b，，在数轴上的位置如图所示： 由数轴可知，， 故选D． 4．m是有理数，则（    ） A．可以是负数 B．不可能是负数 C．一定是正数 D．可是正数也可是负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法法则和绝对值的概念，需要分情况讨论．采用分类讨论时，要把所有情况分析清楚．故考虑三种情况，化简原式后判断即可． 【详解】解：当时，； 当时，； ∴， 即：可能是正数，也可能是0，但不可能是负数． A．不可以是负数，此选项错误； B．不可能是负数，此选项正确； C．可能是正数，也可能是0，此选项错误； D．可能是正数，但绝不可能是负数，此选项错误； 故选B． 三、计算细节错误 零的处理不当 任何数与零相加仍为原数 混合运算符号错误 针对训练3 1．已知有理数a、b、c，且、，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法中的符号法则，根据有理数加法的符号法则：“同号相加，取相同的符号，再把绝对值相加，异号相加，取绝对值大的数的符号，再用大的绝对值减去小的绝对值，进行计算”，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴的符号可能同为负，也可能一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值，或者一个为负，一个为0， ∵， ∴的符号可能同为正，也可能一正一负且正数的绝对值大于负数的绝对值，或者一个为正，一个为0， ∴不能确定a、b、c的大小关系， 故选D． 2．使等式成立的有理数是（    ） A．任意一个整数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个有理数 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质判断出与同号或为，然后解答即可． 【详解】解：， 与同号或为， 是任意一个非负数． 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是． 创新拓展能力提升 1．某公司为了更好地为客户服务，专门派一名司机小张接送客户．小张从本公司出发向东行驶的公里数记作正数，向西行驶的公里数记作负数，他的一天的记录如下（单位：）：． (1)请计算说明小张最后是否回到了公司？ (2)请计算小张这一天一共跑了多少千米？ (3)在接送过程中，小张离公司最远的距离是多少千米？（直接写出答案） 【答案】(1)小张最后回到了公司，见解析； (2)小张这一天一共跑了36千米； (3)在接送过程中，小张离公司最远的距离是6千米． 【分析】（1）把这些数全部相加，根据结果判断即可； （2）把这些数的绝对值全部相加即可； （3）要算出每次离公司的距离，然后再进行比较即可． 本题主要考查的是正负和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】（1）解： 答：小张最后回到了公司； （2）解：（千米） 答：小张这一天一共跑了36千米； （3）解：第一天：离公司千米， 第二天： ，离公司3千米， 第三天：，离公司2千米， 第四天：，离公司6千米， 第五天：，离公司1千米， 第六天：，离公司4千米， 第七天： ，离公司0千米， 在接送过程中，小张离公司最远的距离是6千米． 2．某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）. 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 －3 +5 +2 －10 －6 +17 +3 （1）根据记录可知前四天共生产______辆. （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆. （3）该工厂实行计件工资制，生产一辆车给工人50元，超额完成任务每多生产一辆奖10元，少生产一辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】（1）394；（2）27；（3）35480元 【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案； （2）周六最多，周四最少，根据有理数的减法，可得答案； （3）先计算一周总产量，再根据有理数的乘法，可得工资与奖金，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：（1）100×4+（-3+5+2-10）=394（辆）； （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产17-(-10)=27； 故答案为394，27； （3）一周产是=700+（-3+5+2-10-6+17+3）=708（辆） 708×50+8×10=35480（元）． 答：该厂工人这一周的工资总额是35480元． 【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算是解题关键． 3．某工艺厂计划一周生产工艺品2800个，平均每天生产400个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） ＋6 －2 －6 ＋16 －11 ＋15 －8 （1）请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； （2）已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得70元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖60元，少生产一个扣100元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额． 【答案】（1）2810个；（2）197300（元）． 【分析】（1）由表格中的增减情况，把每天对应的数字与2800相加即可； （2）根据（1）中得出的工艺品的数量进行计算即可． 【详解】解：（1）∵计划一周生产工艺品2800个， ∴这周生产的数量=2800+（+6-2-6+16-11+15-8）=2810（个）； （2）∵由（1）可知本周比计划多生产10个， ∴这一周应付出的工资=2810×70+60×10=197300（元）． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算在实际生产中的应用，是一个热点问题，是近几年中考的必考题型，认真阅读，理解题意是解此类题的关键． 4．10名学生体检测体重，以50千克为基准，超过的数记为正，不足的数记为负，称得结果如下(单位：千克)： +6 +3 -7.5 -3 +5 -8 +3.5 +4.5 +8 -1.5 （1）这10名学生的总体重为多少？ （2）10名学生的平均体重为多少？ 【答案】（1）510千克；（2）51千克． 【分析】这10名学生的总体重=50×10+大于或小于基准数的数的总和；平均体重=总体重÷学生数，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：（1）这10名学生的总体重=50×10+[+6+3+（-7.5）+（-3）+5+（-8）+3.5+4.5+8+（-1.5）]=510千克； （2）平均体重为510÷10=51千克． 答：这10名学生的总体重为510千克，平均体重为51千克． 【点睛】解决本题的关键是得到10名学生总体重及平均体重的等量关系；注意总体重应等于10名学生的基准体重之和加上10名学生大于或小于基准数的数的总和． 学科网（北京）股份有限公司 $$