第21章 一元二次方程（章节复习检测中等卷）-2025-2026学年人教版数学九年级上册优选题练习卷（新教材）

2025-2026学年人教版数学九年级上册章节复习检测中等卷（新教材） 第21章 一元二次方程 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.55 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）关于x的一元二次方程的两个根是 ，则的值为（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】A 【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据根与系数的关系得到，，即可求出的值． 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程的两个根是 ， ∴，， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了根的判别式，根据方程根的判别式：方程有实数根，可得答案． 【规范解答】解：将方程化成一般式． 由方程有实数根，得： 解得， 故选：B． 3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）设a，b是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．18 B． C．20 D．22 【答案】A 【思路引导】本题主要考查的是一元二次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系式解此题的关键． 根据根与系数的关系看得，由a，b是方程的两个实数根可得，进而可以得解． 【规范解答】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ； 则的值为18． 故选：A． 4．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且），特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 一元二次方程必须满足三个条件：（1）含有一个未知数，未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；由此判断即可． 【规范解答】解：A．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．当时，该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．该方程不是整式方程，故此选项不符合题意； D．该方程符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意； 故选：D． 5．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．0 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【规范解答】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：A． 6．（24-25九年级上·陕西西安·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【思路引导】根据方程的根的判别式且，计算即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【规范解答】解：∵一元二次方程有实根， ∴且， 解得且， 故选：B． 7．（24-25九年级上·河南开封·期末）关于x的一元二次方程有实数根，则k的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据方程的根的判别式，计算即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【规范解答】解：∵一元二次方程有实根， ∴， 解得， 故选：D． 8．（23-24九年级上·天津和平·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元一次不等式等知识点，解题的关键是掌握根的判式． 利用根的判别式和一元二次方程的定义列出不等式，然后求解即可． 【规范解答】解：根据题意得，， 解得， 又， ∴， ∴且， 故选：A． 9．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于的方程有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点在直线上，点在直线下方，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】先根据一元二次方程根的判别式可得或，则点的坐标为或，再得出点在直线上，从而可得当与两条直线垂直时，的值最小，然后利用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可得． 【规范解答】解：∵关于的方程有两个相等实数根， ∴这个方程根的判别式为， ∴， ∴或，即或， ∵点的坐标为， ∴或， ∴点在直线或直线上， 10．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）已知实数a，b，c，m，n，其中，满足，．则以下说法：①；②若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数；③关于x的一元二次方程的两根为，n．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【思路引导】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，因式分解的应用和整式的混合运算．①根据题意，可得，，将其代入原式中，再利用公式法与提公因式法进行因式分解，可得原式，根据a，m，n是实数，可知，即可得；②若m,n都为整数，其可能情况有：m，n都为奇数；m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，分别进行论证讨论即可．③根据根与系数的关系，将变形得，进而可得结论． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∴ ， ∵a，m，n是实数， ∴， ∴，即①正确； 若m，n都为整数，其可能情况有以下两种： 当m，n都为奇数时，则必为偶数， 又∵， ∴， ∵a为奇数， ∴必为偶数，这与b为奇数矛盾； 当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数， 又∵， ∴， ∵a为奇数， ∴必为偶数，这与c为奇数矛盾； 综上所述，若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数．即②正确； ∵，， ∴，， ∴关于x的一元二次方程的两根为，n．即③正确． 故选：D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25九年级上·山东滨州·期末）若是方程的一个根，则 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【规范解答】解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：2024 12．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）方程的解是 ． 【答案】， 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种解法是解题的关键． 先移项，然后再运用因式分解解一元二次方程即可． 【规范解答】解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 故答案为：，． 13．（24-25九年级上·广东东莞·期末）若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了分式值为的条件，因式分解法解一元二次方程，根据题意可得，解方程即可求解． 【规范解答】解：依题意， ∴或，且 ∴ 故答案为：． 14．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由进行求解即可． 【规范解答】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）若是一元二次方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】 【思路引导】根据方程的解的定义，将代入方程得到关于的等式，再对所求代数式进行变形，最后代入计算．本题主要考查了一元二次方程的解的定义以及代数式求值，熟练掌握方程的解的定义并能对代数式进行合理变形是解题的关键． 【规范解答】解：∵是一元二次方程的解 ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 16．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的倍（），则称这个矩形是给定矩形的“倍”矩形．现有一个长为3，宽为2的矩形，若它的“倍”矩形存在，则的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，矩形的性质，根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 题目说一定存在满足条件的矩形，所以列得关于x的方程的根的判别式一定大于等于零，得到关于k的不等式，进而求出k的范围，于是得到结论． 【规范解答】解：∵现有一个长为3，宽为2的矩形， ∴它的周长，面积， ∴它的“k倍”矩形的面积，周长， 设它的“k倍”矩形的长为x，则宽为， 由题意得：， 整理得：， ∴， ∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积k倍， ∴即：， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·吉林·期末）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 【答案】18 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系，解一元二次方程得，结合三边关系得第三边的长，则第三边为8，再根据三角形的周长公式计算，即可求出答案． 【规范解答】解： ， ， 解得， 三角形的两边长分别为4和6， 第三边的长， 即第三边的长， 第三边的长是一元二次方程的一个根， 第三边为8， 则三角形的周长为， 故答案为：18． 18．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在边长为4的正方形中E是对角线上一动点，连接，将正方形沿所在直线折叠，点D的对应点为（不与正方形的顶点重合），连接，当平行于的边时，的长为 ． 【答案】或4 【思路引导】分和两种情况，利用正方形的性质，等腰直角三角形性质，折叠性质，勾股定理解答即可． 【规范解答】解：根据题意，得 当时，延长交于点M， ∵边长为4的正方形， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵正方形沿所在直线折叠， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当时， ∵边长为4的正方形， ∴，， ∵正方形沿所在直线折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴； 故答案为：或4． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形性质，折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， ． 【思路引导】此题主要考查了用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题关键． （1）利用公式法解方程得出即可； （2）利用公式法解方程得出即可． 【规范解答】（1）解： ， ， ，． （2）解： ， ， ， ． 20．（本题6分）（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若此方程有两个相等的实数根，求实数的值； (2)已知是此方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 【答案】(1) (2)方程的另一个根为， 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程判别式的意义、一元二次方程根与系数的关系． （1）先计算根的判别式，得关于的方程，求解即可； （2）先设出方程的另一个根，根据根与系数的关系进行列式计算，可得结论． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴ ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：设方程的另一个根为， 由题意得：， ∴， 即方程的另一个根为， 则， ∴， 解得． 21．（本题8分）（23-24九年级上·天津和平·期末）软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图是李叔叔的软笔作品，是长，宽的矩形．为了美观，李叔叔装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、下边衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图，左右边衬的宽度是上下边衬的倍，面积变成原作品的倍，求上下边衬的宽度是多少？ 【答案】 【思路引导】首先设上下边衬的宽度为未知数，根据左右边衬与上下边衬宽度的关系表示出左右边衬宽度。再依据装裱后面积与原作品面积的倍数关系，列出方程，最后求解方程并舍去不符合实际意义的解，从而得到上下边衬的宽度． 本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列出方程并求解是解题的关键． 【规范解答】解：设上下边衬的宽度是，则左右边衬的宽度是， 依题意得： （舍） 答：此作品上下边衬的宽度是． 22．（本题8分）（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图所示，一根木棍垂直平分柱子，，．一只老鼠由柱子底端点以的速度向顶端点爬行；同时，另一只老鼠由点以的速度沿木棍爬行．当老鼠在线段上时，是否存在某一时刻，使两只老鼠与点组成的三角形的面积为？若存在，求出爬行的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，当爬行或时，两只老鼠与点组成的三角形的面积为 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的应用、垂直平分线的性质以及三角形面积公式，正确列出方程是解题的关键． 设爬行时间为，则，，；再根据两只老鼠与点组成的三角形的面积为可得，进而求解即可． 【规范解答】解：存在． 垂直平分，， ． 设爬行时间为． 当老鼠在上运动时，，，． 由，得． 整理，得， 解得，． 当时，； 当时，， 和均符合题意． 故答案为：当爬行或时，两只老鼠与点组成的的面积为． 23．（本题8分）（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量销售量），此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足的函数关系式． (1)第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．若公司希望该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？ (2)第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2为90万元时，那么该产品第二年的售价最多是多少？ 【答案】(1)若公司希望该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是元 (2)该公司第二年的利润W2为90万元时，那么该产品第二年的售价最多是元 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）表示出，根据题意列出二元一次方程，解方程即可得解； （2）根据题意列出一元一次不等式并结合题意可得，求出，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解． 【规范解答】（1）解：由题意可得：， ∵公司希望该产品第一年的利润为20万元， ∴， 解得：， ∴若公司希望该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是元； （2）解：∵受产能限制，销售量无法超过12万件， ∴， ∴， ∵为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价， ∴， 由题意可得：， ∵该公司第二年的利润W2为90万元时， ∴， 整理可得：， 解得：，， 故该公司第二年的利润W2为90万元时，那么该产品第二年的售价最多是元． 24．（本题8分）（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为和，分别以，为横、纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的“两根点”． (1)方程的“两根点”的坐标为______（直接写出）； (2)点是关于的一元二次方程的“两根点”． ①若点在直线上，求的值； ②点为坐标原点，当线段取得最小值时点的坐标为______（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)①；② 【思路引导】本题考查了解一元二次方程、一次函数的应用、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先利用因式分解法解方程可得，，再结合定义即可得解； （2）①先解方程得出，再代入直线，计算即可得解；②由①可得点在直线上，令直线交轴于，交轴于，当于时，最小，作于，证明为等腰直角三角形，得出，从而可得，计算即可得解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴方程的“两根点”的坐标为； （2）解：①∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴； ②由①可得， ∴点在直线上， 如图所示，令直线交轴于，交轴于，当于时，最小，作于， ， 在中，当时，，即；当时，，解得，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴． 25．（本题10分）（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）【观察思考】如图，中秋节期间，政府广场上用盆景（用☆表示）和花卉（用口表示）组成似菱形的图案． 【规律发现】请用含的式子填空： （1）第6个图案中盆景的盆数为______； （2）第个图案中花卉的盆数可表示为______； 【规律应用】解决下列问题： （3）若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 【答案】（1）；（2）；（3）盆景的盆数为盆，花卉的盆数为盆 【思路引导】本题考查了用代数式表示图形变化的规律和一元二次方程的应用（其它问题），能根据所给图形发现盆景和花卉盆数变化的规律是解题的关键． （1）根据所给图案，发现盆景数量的变化规律即可解决问题． （2）根据所给花卉盆数的表示方法，用表示出第个图案中花卉的盆数即可． （3）根据（1）（2）发现的规律，列出一元二次方程，即可解决问题． 【规范解答】解：（1）由所给图案可知， 第1个图案中盆景的盆数为：； 第2个图案中盆景的盆数为：； 第3个图案中盆景的盆数为：；…， ∴第个图案中盆景的盆数为盆． ∴第6个图案中盆景的盆数为盆 故答案为：7； （2）∵第1个图案中花卉的盆数可表示为， 第2个图案中花卉的盆数可表示为， 第3个图案中花卉的盆数可表示为， 第4个图案中花卉的盆数可表示为，…， 所以第个图案中花卉的盆数可表示为盆． 故答案为：； （3）由题意得，， 解得或（不合题意，舍去）， 则，， 答：该图案中盆景和花卉的盆数分别为盆，盆； 26．（本题10分）（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，M，N同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为． (1)小明认为：可以平分的周长，请判断他的说法是否正确，并说明理由； (2)小亮认为：可以平分的面积，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)说法错误，见解析 (2)说法正确，见解析 【思路引导】（1）根据动点以的速度移动,动点以的速度移动,运动时间为 ，则，，，，根据题意，点运动停止运动，点运动停止运动，根据题意，平分的周长，得到，构造方程，若方程有正数解且小于3秒即可判定说法正确，反之错误． （2）根据题意，，，若平分的面积，得，解方程解答即可． 【规范解答】（1）解：可以平分的周长说法错误．理由如下： ∵，，， ∴； ∵动点以的速度移动,动点以的速度移动,运动时间为 ， ∴，，，， 根据题意，点运动停止运动，点运动停止运动， 根据题意，平分的周长， ∴， ∴， 解得， 大于了3秒． 故平分的周长的说法是错误的． （2）解：平分的面积说法正确．理由如下： 根据题意，得，， 若平分的面积，得， 解得（舍去）． 故当时，平分的面积． 【考点剖析】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的周长，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练解方程是解题的关键． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年人教版数学九年级上册章节复习检测中等卷（新教材） 第21章 一元二次方程 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.55 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）关于x的一元二次方程的两个根是 ，则的值为（   ） A．8 B． C． D．2 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）设a，b是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．18 B． C．20 D．22 4．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．0 6．（24-25九年级上·陕西西安·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 7．（24-25九年级上·河南开封·期末）关于x的一元二次方程有实数根，则k的值可能是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·天津和平·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 9．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于的方程有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点在直线上，点在直线下方，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）已知实数a，b，c，m，n，其中，满足，．则以下说法：①；②若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数；③关于x的一元二次方程的两根为，n．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25九年级上·山东滨州·期末）若是方程的一个根，则 12．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）方程的解是 ． 13．（24-25九年级上·广东东莞·期末）若，则 ． 14．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知是方程的两个实数根，则的值为 ． 15．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）若是一元二次方程的解，则代数式的值为 ． 16．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的倍（），则称这个矩形是给定矩形的“倍”矩形．现有一个长为3，宽为2的矩形，若它的“倍”矩形存在，则的最小值为 ． 17．（24-25九年级上·吉林·期末）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 18．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在边长为4的正方形中E是对角线上一动点，连接，将正方形沿所在直线折叠，点D的对应点为（不与正方形的顶点重合），连接，当平行于的边时，的长为 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 20．（本题6分）（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若此方程有两个相等的实数根，求实数的值； (2)已知是此方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 21．（本题8分）（23-24九年级上·天津和平·期末）软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图是李叔叔的软笔作品，是长，宽的矩形．为了美观，李叔叔装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、下边衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图，左右边衬的宽度是上下边衬的倍，面积变成原作品的倍，求上下边衬的宽度是多少？ 22．（本题8分）（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图所示，一根木棍垂直平分柱子，，．一只老鼠由柱子底端点以的速度向顶端点爬行；同时，另一只老鼠由点以的速度沿木棍爬行．当老鼠在线段上时，是否存在某一时刻，使两只老鼠与点组成的三角形的面积为？若存在，求出爬行的时间；若不存在，请说明理由． 23．（本题8分）（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量销售量），此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足的函数关系式． (1)第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．若公司希望该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？ (2)第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2为90万元时，那么该产品第二年的售价最多是多少？ 24．（本题8分）（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为和，分别以，为横、纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的“两根点”． (1)方程的“两根点”的坐标为______（直接写出）； (2)点是关于的一元二次方程的“两根点”． ①若点在直线上，求的值； ②点为坐标原点，当线段取得最小值时点的坐标为______（直接写出结果）． 25．（本题10分）（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）【观察思考】如图，中秋节期间，政府广场上用盆景（用☆表示）和花卉（用口表示）组成似菱形的图案． 【规律发现】请用含的式子填空： （1）第6个图案中盆景的盆数为______； （2）第个图案中花卉的盆数可表示为______； 【规律应用】解决下列问题： （3）若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 26．（本题10分）（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，M，N同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为． (1)小明认为：可以平分的周长，请判断他的说法是否正确，并说明理由； (2)小亮认为：可以平分的面积，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$