精品解析：江苏省无锡市金桥实验学校2024-2025学年九年级第一学期第二次月考数学试题

金桥实验初三上学期第二次月考数学卷 一、单选题 1. 如图，，直线，相交于点且分别与，相交于点，，，．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解答． 【详解】∵，直线，相交于点且分别与，相交于点，，，， ∴，即， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例．掌握两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例是解题关键． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数对称轴的公式，代值求解即可得到答案． 【详解】解：抛物线的对称轴， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数对称轴的公式是解决问题的关键． 3. 有一个模拟传染病传播的电子游戏模型：在一个方框中，先放入足够多的白球（模拟健康人），然后在框中同时放入若干个红球（模拟最初感染源），程序设定，每经过一分钟，每个红球均恰好能使方框中个白球同时变成红球（为程序设定的常数），若最初放入的白球数为400个，红球数为4个，从放入红球开始，经过2分钟后，红球总数变为64个，则应满足的方程是（ ） A. 4（1＋）＝64 B. 4（1＋）＝400 C. 4＝64 D. 4＝400 【答案】C 【解析】 【分析】原有4个红球，1分钟后红球数为个，2分钟新增加的红球数为个，由2分钟后，红球总数变为了64个列方程可得结论． 【详解】根据题意得：， 即：， 故选：C． 【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，了解增长率问题是解题的关键． 4. 如图所示，△ABC中，AD⊥BC于D，对于下列给出的条件，不能判定△ABC是直角三角形的是( ) A. CD：AD＝AD：BD B. ∠B＝∠DAC C. ∠B＋∠DAC＝90° D. AB2＝BD·BC 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知对各个条件进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、能∵CD：AD＝AC：AB，∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴Rt△ABD∽Rt△CAD（直角三角形相似的判定定理）， ∴∠ABD＝∠CAD；∠BAD＝∠ACD ∵∠ABD＋∠BAD＝90° ∴∠CAD＋∠BAD＝90° ∵∠BAC＝∠CAD＋∠BAD ∴∠BAC＝90°； B、能，∵∠B＝∠DAC，则∠BAD＝∠C， ∴∠B＋∠BAD＝∠C＋∠DAC＝180°÷2＝90°； C、不能，∵AD⊥BC， ∴∠B＋∠BAD＝90°， ∵∠B＋∠DAC＝90°， ∴∠BAD＝∠DAC， ∴无法证明△ABC是直角三角形； D、能，∵能说明△CBA∽△ABD，∴△ABC一定是直角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，通过计算角相等和边成比例，判断出两个三角形是否相似，进而判断出是否为直角，掌握知识点是解题关键． 5. 已知等腰的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程的两根，则的周长为（ ） A. 6.5 B. 7 C. 6.5或7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意可得关于x的方程有两个相等的实数根，再根据一元二次方程根的判别式求出k的值，然后求出方程的根，最后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】由题意得：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 则其根的判别式， 解得， 则方程为， 整理得：， 解得， 因此，等腰的三边长分别为， 则的周长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、一元二次方程根的判别式等知识点，利用一元二次方程根的判别式求出k的值是解题关键． 6. 如图，基灯塔AB建在陡峭的山坡上，该山坡的坡度i＝1：0.75．小明为了测得灯塔的高度，他首先测得BC＝20m，然后在C处水平向前走了34m到达一建筑物底部E处，他在该建筑物顶端F处测得灯塔顶端A的仰角为43°．若该建筑物EF＝20m，则灯塔AB的高度约为（精确到0.1m，参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）（ ） A. 46.7m B. 46.8m C. 53.5m D. 67.8m 【答案】B 【解析】 【分析】根据山坡的坡度i＝1：0.75，可得＝，设BD＝4x，CD＝3x，然后利用勾股定理求得BD＝4x＝16m，CD＝3x＝12m；再利用矩形的性质求出FG＝DE＝46m，BG＝DG﹣DB＝4m，最后利用三角函数解直角三角形即可． 【详解】解：如图，∵∠ADC＝90°，i＝1：0.75，即＝， ∴设BD＝4x，CD＝3x，则BC＝＝5x＝20m， 解得：x＝4， ∴BD＝4x＝16m，CD＝3x＝12m， 易得四边形DEFG是矩形， 则EF＝DG＝20m，FG＝DE＝DC+CE＝12+34＝46（m）， ∴BG＝DG﹣DB＝4m， 在Rt△AFG中，AG＝FG·tan∠AFG＝46·tan43°≈46×0.93＝42.78（m）， ∴AB＝AG+BG＝42.78+4≈46.8（m）， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角和俯角问题、坡度坡比问题，灵活运用三角函数是解答本题的关键.． 7. 如图将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理在实际生活中的运用以及翻折变换的性质，解题的关键在于作出辅助线利用数形结合解答．连接，过作，交于点，交弦于点，根据折叠的性质可知，再根据垂径定理可知，在中利用勾股定理即可求出的长，进而得到的值． 【详解】连接，过作，交于点，交弦于点 折叠后恰好经过圆心 的半径为cm cm 在中， 故选：B． 【点睛】 8. 如图，是等腰的外接圆，D为弧 ，P为的内心，过P作，若 ，则的值为（　　） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】作于M，于N，连接，在上截取连接，可以证明得到推出是等腰直角三角形， 得到由P是的内心，推出 本题考查三角形的内心，三角形外接圆与外心，等腰直角三角形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，关键是通过辅助线构造全等三角形，并掌握三角形内心的性质． 【详解】解：作于M，于N，在上截取，如图： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵P是的内心， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 9. 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　 ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，∠EAB、∠GAD与∠BAG的和均为90°，即可证明∠EAB与∠GAD相等；②由题意易得AD=DC，AG=FG，进而可得，∠DAG=∠CAF，然后问题可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证△HAF∽△FAC，则有，然后根据等量关系可求解；④由②及题意知∠ADG=∠ACF=45°，则问题可求证． 【详解】解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形 ∴∠EAG=∠BAD=90° 又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG ∴∠EAB=∠GAD ∴①正确 ②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形 ∴AD=DC，AG=FG ∴AC=AD，AF=AG ∴， 即 又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC ∴∠DAG=∠CAF ∴ ∴②正确 ③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线 ∴∠AFH=∠ACF=45° 又∵∠FAH=∠CAF ∴△HAF∽△FAC ∴ 即 又∵AF=AE ∴ ∴③正确 ④由②知 又∵四边形ABCD为正方形， AC为对角线 ∴∠ADG=∠ACF=45° ∴DG在正方形另外一条对角线上 ∴DG⊥AC ∴④正确 故选：D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且，过原点O作，垂足为H，连接HA、HB，则面积的最大值为（ ） A. B. 12 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明ON=CN，再证点H在以ON直径的圆上运动，则当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，由相似三角形的性质可求MK，KQ的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：如下图，连接AD，交EF于N，连接OC，取ON的中点M，连接MH，过点M作MQ⊥AB于Q，交AO于点K，作MP⊥OA与点P， ∵直线y=x−3分别与x轴、y轴相交于点A、B， ∴点A（4，0），点B（0，-3）， ∴OB=3，OA=4， ∴， ∵四边形ACDO是正方形， ∴OD//AC，AO=AC=OD=4，OC=4，∠COA=45°， ∴∠EDN=∠NAF，∠DEN=∠AFN， 又∵DE=AF， ∴△DEN≌△AFN（ASA）， ∴DN=AN，EN=NF， ∴点N是AD的中点，即点N是OC的中点， ∴ON=NC=2， ∵OH⊥EF， ∴∠OHN=90°， ∴点H在以ON直径的圆上运动， ∴当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大， ∵点M是ON的中点， ∴OM=MN=， ∵MP⊥OP，∠COA=45°， ∴OP=MP=1， ∴AP=3， ∵∠OAB+∠OBA=90°=∠OAB+∠AKQ， ∴∠AKQ=∠ABO=∠MKP， 又∵∠AOB=∠MPK=90°， ∴△MPK∽△AOB， ∴， ∴， ∴MK=，PK=， ∴AK=， ∵∠AKQ=∠ABO，∠OAB=∠KAQ， ∴△AKQ∽△ABO， ∴， ∴， ∴KQ=， ∴QM=KQ+MK=+=， ∴点H到AB的最大距离为+， ∴△HAB面积的最大值=×5×(+)=， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，圆等知识，解题的关键是求出MQ的长． 二、填空题 11. 甲、乙两名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9.8（单位：环）及方差分别是1.6和1.8（单位：环）要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择______． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度． 【详解】解：由题意知甲、乙两名射击成绩的平均数相等， ∴甲的方差较小， ∴甲发挥最稳定， ∴选择甲参加比赛． 故答案为：甲． 12. 如图，数学活动小组为了测量学校旗杆的高度AB，小组内一成员站在距离旗杆12米的点C处，测得旗杆顶端点A的仰角为37°，已知测角仪架高CD为1.5米，则旗杆的高度为_________米．（结果精确到0.1米）（参考数据：） 【答案】10.5 【解析】 【分析】根据题意得：DE=BC=12米，BE=CD=1.5米，∠ADE=37°，再由锐角三角函数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：DE=BC=12米，BE=CD=1.5米，∠ADE=37°， 在中，， ∴米， ∴米． 故答案为：10.5 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，明确题意，准确得到直角三角形是解题的关键． 13. 一个扇形的半径为10，圆心角是120°，该扇形的弧长是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式即可求解． 【详解】扇形的弧长为= 故答案为：． 【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 14. 我们可以把较短边与较长边的比值是黄金分割比的矩形，叫做黄金矩形，现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那相邻一条较短边的边长______厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割．据此列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设相邻一条较短边的边长等于厘米， ， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，以点为圆心的弧与相切于点，分别交、于点、，若，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】连接AF，根据切线的性质得出AF⊥BC，根据含30°角的直角三角形的性质求出∠B=30°，根据角的和差关系可得∠CAF=30°，∠BAF=60°，求出AC，BC的长，利用勾股定理求出AF的长，根据线段的和差关系可求出BF的长，根据S阴影=S△ABF-S扇形ADF即可得答案． 【详解】如图，连接AF， ∵以点A为圆心的弧与相切于点， ∴AF⊥BC， ∵，， ∴∠B=30°， ∵∠B+∠BAF=90°，∠CAF+∠BAF=90°， ∴∠CAF=30°，∠BAF=60°， ∵， ∴AC=2CF=2，BC=2AC=4， ∴BF=BC-CF=3，AF==， ∴S阴影=S△ABF-S扇形ADF==， 故答案为： 【点睛】本题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积，三角形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 16. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2＝＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果． 【详解】解：如图， 在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P， 此时PA+2PB最小， ∴∠AFB＝90° ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠BAD＝， ∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°， ∴PF＝， ∴PA+2PB＝2＝＝2BF， 在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°， ∴BF＝AB•sin45°＝4， ∴（PA+2PB）最小＝2BF＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线． 17. 如图，扇形AOB，且OB=4，∠AOB=90°，C为弧AB上任意一点，过C点作CD⊥OB于点D，设△ODC的内心为E，连接OE、CE，当点C从点B运动到点A时，内心E所经过的路径长为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先利用内心的性质求出∠OEC的度数和∠COE=∠BOE，易证△COE≌△BOE，利用全等三角形的性质得∠OEB=∠OEC=135°，从而确定出点E的运动轨迹，则劣弧OB的长即为所求． 【详解】解：∵CD⊥OB ∴∠ODC=90° ∵点E是△ODC的内心 ∴∠OEC=90°+∠ODC=135°，∠COE=∠BOE 又∵OE=OE，OB=OC ∴△COE≌△BOE ∴∠OEB=∠OEC=135° ∴点E的运动轨迹为：以OB为弦，并且弦OB所对圆周角为135°的一段劣弧． 设经过点O、B、E三点的圆M如图所示， 则∠N=180°-∠OEB=45° ∴∠M=2∠N=90° ∴OM=BM=OB=2 ∴劣弧OB的长 ∴内心E所经过的路径长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查弧长计算，熟练掌握圆的内心的性质和全等三角形的性质是解题的关键. 18. 如图，在中，是直径，弦于点，点是上一点，弦，连接交于点，与的延长线交于点．设，已知，当时，__________________，连接，若，则____________________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据直径所对的圆周角是以及垂直定义，得，结合，，即可证明，得，证明，则，即，故，根据勾股定理列式作答即可；如图，因为，是直径，所以，因为，四边形为矩形，设，证明，求得，据此列式计算作答即可． 【详解】解：是直径，弦于点 ，， ， ， ，， ， ， 故， ，， ， ， 即 ， ， 故， ， 在中，， ， 解得， ， 则， 如图：当时，连接， ∵是直径，弦于点， ， ∴四边形为矩形， ∴，，，， 设， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 同理，， ∵，即， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三．解答题（共10小题） 19. 解下列方程： （1）（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝0； （2）（x﹣1）（x+2）＝70． 【答案】（1）x1＝1，x2＝；（2）x1＝﹣9，x2＝8． 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解即可求解； （2）化成一元二次方程的一般式，再用因式分解解即可求解． 【详解】（1）（x﹣1）[（x﹣1）+2x]＝0， （x﹣1）（3x﹣1）＝0， x﹣1＝0或3x﹣1＝0， 所以x1＝1，x2＝； （2）x2+x﹣2＝70， x2+x﹣72＝0， （x+9）（x﹣8）＝0， x+9＝0或x﹣8＝0， 所以x1＝﹣9，x2＝8． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，一元二次方程的解法较多，常用的方法有：直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法，要根据方程的特点选取合适的方法． 20. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，化简绝对值．熟练掌握特殊角三角函数值的混合运算，化简绝对值是解题的关键． （1）先分别求出特殊角的三角函数值，然后进行乘法，加减运算即可； （2）先分别求出特殊角的三角函数值，绝对值，然后进行乘法，加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛，其评分等级如下，A：90分及以上为优秀；B：80~89分为良好；C：60~79分为及格：D：60分以下为不及格．教研员随机抽取20名学生的成绩进行分析，并将测试成绩制成如图表，据此回答下列问题： （1）求被抽取的这20名学生的平均测试成绩； （2）所抽取的这些学生测试成绩的中位数是落在________等级； （3）若参加此次测试的学生有500人，请估计此次测试成绩在“良好”和“优秀”等级的一共有多少人？ 【答案】（1）74.85分 （2）及格 （3）225人 【解析】 【分析】（1）利用百分比之和为1，求出成绩为良好的学生所占的百分比，利用加权平均数的计算方法，进行求解即可； （2）将数据进行排序后，确定第10个和第11个数据所在的等级，即可得出结论； （3）利用样本中成绩在“良好”和“优秀”等级所占的比例，求解即可． 【小问1详解】 解： ， （分） 即被抽取的20名学生的平均成绩为74.85分； 【小问2详解】 不及格的人数为：人；及格的人数为：， ∴将数据排行后，第10个和第11个数据均在及格等级中， ∴中位数在及格等级中， 故答案为：及格； 【小问3详解】 （人） ∴此次测试在“良好”和“优秀”等级的一共大约有225人． 【点睛】本题考查统计图以及平均数和中位数，利用样本估计总体，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个根分别为，且，若，求m的值． 【答案】（1） 证明： ∴ ． ∴不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2）或 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，即可得证； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知条件列出方程，得到，解方程即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵的两个根分别为，且， ∴， ∵ ∴ 即 ∴ 解得：或 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系， (为常数)的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图，⊙O过▱ABCD的顶点A，D，C，边AB与⊙O相切于点A，边BC与⊙O相交于点H． （1）求证：AB=AH； （2）若AD =，sin∠BAH = ．求⊙O的半径． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D， ∵四边形AHCD内接于⊙O， ∴∠AHC+∠D=180°， ∵∠AHC+∠AHB=180°， ∴∠AHB=∠D， ∴∠AHB=∠B， ∴AB=AH； （2）⊙O的半径为． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠B=∠D，根据圆内接四边形的性质得到∠AHB=∠D，等量代换得到∠AHB=∠B，根据等腰三角形的判定定理证明结论； （2）连接AO延长分别交CD和⊙O于点P、F，连DF、OD，过A作AQ⊥BC于点Q，根据切线的性质得到AF⊥AB，进而证明根据等腰三角形的性质∠BAQ=∠FAD，进而证明∠BAH=∠DOP，根据正弦的定义以及勾股定理列式计算，得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接AO延长分别交CD和⊙O于点P、F，连DF、OD，过A作AQ⊥BC于点Q， ∵AD∥BC， ∴AQ⊥AD， ∵AB与⊙O相切于点A， ∴AF⊥AB， ∴∠QAD=∠BAF， ∴∠BAQ=∠FAD， ∵AB=AH， ∴∠BAH=2∠BAQ， ∵OA=OD， ∴∠DOP=2∠FAD， ∴∠BAH=∠DOP， ∵sin∠BAH = ， ∴sin∠DOP= = ， 设DP=8a，DO=17a， ∴OP=15a， ∴AP=17a+15a=32a， 在Rt△ADP中，AD2=AP2+DP2，即()2=(32a)2+(8a)2， 解得：a=， ∴⊙O的半径为DO=17×=． 【点睛】本题考查的是切线的性质、平行四边形的性质、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 24. 如图，是的外接圆，为直径， （1）尺规作图：在直径下方的半圆上找点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，连接，，．已知，， ①求四边形的面积； ②求O到弦的距离． 【答案】（1） 根据题意作图如下： （2）①；② 【解析】 【分析】（1）直接作的垂直平分线即可； （2）①利用分割的思想求解面积，②作出相应辅助线，利用相似三角形的判定及性质求出，再利用勾股定理及等面积法进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如下图： 由圆周角定理知：， ，， ， 解得：， ， ， ， ； ②解：过作的垂线交于，过作的垂线交于，取与的交点为， 根据等面积法得：， 解：， ， ， ， ， ， 解得：， ， 根据等面积法得：， ， O到弦的距离为． 【点睛】本题考查了垂直平分线、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、勾股定理、利用正弦值求边长，解题的关键是利用等面积法建立等式求解． 25. 平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶元，售价为每顶元，平均每周可售出顶商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于元，经调查发现：每降价元，平均每周可多售出顶设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶． （1）平均每周的销售量顶与降价元之间的函数关系式是______； （2）若售价为每顶元，求每周的销售利润； （3）若该商店希望平均每周获得元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 【答案】（1） （2）每周的销售利润为元 （3）每顶头盔应降价元 【解析】 【分析】（1）利用平均每周的销售量，即可找出与之间的函数关系式； （2）利用每周的销售利润每顶的销售利润每周的销售量，即可求出结论； （3）利用每周的销售利润每顶的销售利润每周的销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出的值，再结合降价后每顶头盔的售价不高于元，即可确定结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得： （元）， 答：每周的销售利润为元； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意． 答：每顶头盔应降价20元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 26. 如图，矩形中，，，G在上，，点P从点G出发，以的速度沿运动，同时点Q从点B出发以相同速度沿运动，当点P到达点D时，P、Q两点同时停止运动．设点A关于直线的对称点为E，运动时间为． （1）①求的值； ②点E运动路径长是 ．（请直接写出答案） （2）t为何值时，为直角三角形？ 【答案】（1）①；② （2）1或3 【解析】 【分析】（1）①利用轴对称的性质，余角的性质等可证明，然后在中利用正切的定义求解即可； ②先判定点E在直线上运动，然后分别求出P位于起点和中点时的长度，即可求解； （2）先判断，分，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解∶①设与相交于H， ∵点A关于直线的对称点为E， ∴，， 由题意知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ②由①知：，即与的夹角为定角， ∴点E在直线上运动， 当点P和G重合时，如图， ，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由轴对称知； 当P和D重合时，如图， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 由轴对称知； ∴点E的运动路程长为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵∵点A关于直线的对称点为E， ∴， ∴， ∴， 当时，如图，过E作于N， ∵， ∴， ∴， 根据轴对称得，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ， 解得，（舍去）， 当时，如图， ∵， ∴E在上， 同理， 根据轴对称得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上，t为1或3时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 27. 如图：梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=4， AB=3，，在线段BC上取一点P（不与B、C重合），联结DP，作射线PQ⊥DP，PQ与直线AB交于点Q． （1）求出梯形ABCD的面积； （2）若点Q在边AB上，设CP=x，AQ=y，试写出y关于自变量x的函数关系式，并写出定义域． （3）△DPC是等腰三角形，求AQ的长． 【答案】（1）21；（2），（6≤x<10)；（3）或. 【解析】 【分析】（1）作DH⊥BC，在Rt△DHC中，根据，可求出HC=6，然后按照梯形的面积公式求解即可； （2）先证明△QBP∽△PHD，根据相似三角形的性质可得,由 PC=x，所以PH=x-6，BBP=10-x，代入整理即可； （3）分△DPC是锐角三角形和钝角三角形两种情况求解即可. 【详解】解：（1）作DH⊥BC， ∵DH⊥BC， ∴∠DHP= ∠DHC =90°. 由题意得：AB=DH=3，AD=BH=4 ， ∵Rt△DHC中，， ∴，∴HC=6， ∴BC=10 ， ∴梯形ABCD的面积； （2）∵PQ⊥DP，∠ABC=90°， ∴∠BQP=90°﹣∠QPB=∠DPH， ∵∠ABC=∠DHP=90°， ∴△QBP∽△PHD， ∴， ∵PC=x，∴PH=x-6，BP=10-x， ∵AQ=y，∴BQ= 3-y， ∴， ∴，（6≤x<10) ， （3）当点Q在边AB上， 6≤x<10，△DPC是锐角三角形， DP=DC，舍去， DP=PC，舍去， DC=PC，则， ， 当点Q在射线AB上， 0<x<6，△DPC是钝角三角形， 只有：DP=PC，设DP=PC=x， ∵Rt△DHP中， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：或 . 【点睛】本题考查了梯形的面积公式，锐角三角函数的概念，相似三角形的判定与性质，勾股定理，动点的函数问题及分类讨论的数学思想.正确做出辅助线是解（1）的关键；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解（2）的关键；分类讨论是解（3）的关键. 28. 已知，在平行四边形中，，， （1）点在边上，连接． ①如图1，延长交的延长线于点，若，求的长； ②将绕点逆时针旋转120°得到，求的长的最小值； （2）如图2，过点作于点，点在边上，且，点是射线上一点，以为圆心，为半径的圆与边只有一个交点时，求的取值范围． 【答案】（1）①5；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①证明，而，可得，从而可得答案；②将绕点逆时针旋转得到，当最小时，最小；当于点时，最小，求解，，从而可得答案； （2）过点作于点，点在边上，且，可得，，如图，当与相切于点时，与线段只有一个交点，证明四边形为矩形，可得，当经过点时，连接，过作于点，可得，求解，可得，当过点时，，此时，点在点处，可得，从而可得答案． 【小问1详解】 解：①∵四边形是平行四边形， ， ∴，而， ， ， ②将绕点逆时针旋转得到， ∴当最小时，最小； 当于点时，最小， ，，， ，， 的长的最小值． 【小问2详解】 四边形是平行四边形， ，， 过点作于点，点在边上，且， ， ， ， 如图，当与相切于点时，与线段只有一个交点， 连接， ， ， 四边形为矩形， ， 当经过点时，连接，过作于点， ，， ， ， ， ， ， 当过点时，， 此时，点在点处， ， 的取值范围为或． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的性质与判定，旋转的性质，求解扇形的弧长，相似三角形的判定与性质，圆的切线的性质，锐角三角函数的应用，灵活的应用以上知识解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金桥实验初三上学期第二次月考数学卷 一、单选题 1. 如图，，直线，相交于点且分别与，相交于点，，，．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 3. 有一个模拟传染病传播的电子游戏模型：在一个方框中，先放入足够多的白球（模拟健康人），然后在框中同时放入若干个红球（模拟最初感染源），程序设定，每经过一分钟，每个红球均恰好能使方框中个白球同时变成红球（为程序设定的常数），若最初放入的白球数为400个，红球数为4个，从放入红球开始，经过2分钟后，红球总数变为64个，则应满足的方程是（ ） A. 4（1＋）＝64 B. 4（1＋）＝400 C. 4＝64 D. 4＝400 4. 如图所示，△ABC中，AD⊥BC于D，对于下列给出的条件，不能判定△ABC是直角三角形的是( ) A. CD：AD＝AD：BD B. ∠B＝∠DAC C. ∠B＋∠DAC＝90° D. AB2＝BD·BC 5. 已知等腰的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程的两根，则的周长为（ ） A. 6.5 B. 7 C. 6.5或7 D. 8 6. 如图，基灯塔AB建在陡峭的山坡上，该山坡的坡度i＝1：0.75．小明为了测得灯塔的高度，他首先测得BC＝20m，然后在C处水平向前走了34m到达一建筑物底部E处，他在该建筑物顶端F处测得灯塔顶端A的仰角为43°．若该建筑物EF＝20m，则灯塔AB的高度约为（精确到0.1m，参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）（ ） A. 46.7m B. 46.8m C. 53.5m D. 67.8m 7. 如图将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是等腰的外接圆，D为弧 ，P为的内心，过P作，若 ，则的值为（　　） A. 4 B. C. 2 D. 9. 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　 ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且，过原点O作，垂足为H，连接HA、HB，则面积的最大值为（ ） A. B. 12 C. D. 二、填空题 11. 甲、乙两名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9.8（单位：环）及方差分别是1.6和1.8（单位：环）要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择______． 12. 如图，数学活动小组为了测量学校旗杆的高度AB，小组内一成员站在距离旗杆12米的点C处，测得旗杆顶端点A的仰角为37°，已知测角仪架高CD为1.5米，则旗杆的高度为_________米．（结果精确到0.1米）（参考数据：） 13. 一个扇形的半径为10，圆心角是120°，该扇形的弧长是________． 14. 我们可以把较短边与较长边的比值是黄金分割比的矩形，叫做黄金矩形，现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那相邻一条较短边的边长______厘米． 15. 如图，在中，，，以点为圆心的弧与相切于点，分别交、于点、，若，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 16. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____． 17. 如图，扇形AOB，且OB=4，∠AOB=90°，C为弧AB上任意一点，过C点作CD⊥OB于点D，设△ODC的内心为E，连接OE、CE，当点C从点B运动到点A时，内心E所经过的路径长为 ________． 18. 如图，在中，是直径，弦于点，点是上一点，弦，连接交于点，与的延长线交于点．设，已知，当时，__________________，连接，若，则____________________． 三．解答题（共10小题） 19. 解下列方程： （1）（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝0； （2）（x﹣1）（x+2）＝70． 20. 计算 （1）； （2）． 21. 为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛，其评分等级如下，A：90分及以上为优秀；B：80~89分为良好；C：60~79分为及格：D：60分以下为不及格．教研员随机抽取20名学生的成绩进行分析，并将测试成绩制成如图表，据此回答下列问题： （1）求被抽取的这20名学生的平均测试成绩； （2）所抽取的这些学生测试成绩的中位数是落在________等级； （3）若参加此次测试的学生有500人，请估计此次测试成绩在“良好”和“优秀”等级的一共有多少人？ 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个根分别为，且，若，求m的值． 23. 如图，⊙O过▱ABCD的顶点A，D，C，边AB与⊙O相切于点A，边BC与⊙O相交于点H． （1）求证：AB=AH； （2）若AD =，sin∠BAH = ．求⊙O的半径． 24. 如图，是的外接圆，为直径， （1）尺规作图：在直径下方的半圆上找点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，连接，，．已知，， ①求四边形的面积； ②求O到弦的距离． 25. 平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶元，售价为每顶元，平均每周可售出顶商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于元，经调查发现：每降价元，平均每周可多售出顶设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶． （1）平均每周的销售量顶与降价元之间的函数关系式是______； （2）若售价为每顶元，求每周的销售利润； （3）若该商店希望平均每周获得元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 26. 如图，矩形中，，，G在上，，点P从点G出发，以的速度沿运动，同时点Q从点B出发以相同速度沿运动，当点P到达点D时，P、Q两点同时停止运动．设点A关于直线的对称点为E，运动时间为． （1）①求的值； ②点E运动路径长是 ．（请直接写出答案） （2）t为何值时，为直角三角形？ 27. 如图：梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=4， AB=3，，在线段BC上取一点P（不与B、C重合），联结DP，作射线PQ⊥DP，PQ与直线AB交于点Q． （1）求出梯形ABCD的面积； （2）若点Q在边AB上，设CP=x，AQ=y，试写出y关于自变量x的函数关系式，并写出定义域． （3）△DPC是等腰三角形，求AQ的长． 28. 已知，在平行四边形中，，， （1）点在边上，连接． ①如图1，延长交的延长线于点，若，求的长； ②将绕点逆时针旋转120°得到，求的长的最小值； （2）如图2，过点作于点，点在边上，且，点是射线上一点，以为圆心，为半径的圆与边只有一个交点时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $