作辅助线构造全等三角形的四种常用方法 专项突破 习题课件 2025—2026学年冀教版(2024)数学八年级上册

该初中数学课件聚焦作辅助线构造全等三角形的四种方法，通过添加公共边、利用角平分线、倍长中线、截长补短等类型，结合例题导入，形成从基础到综合的学习支架，帮助学生建立构造全等的思维脉络。 其亮点在于方法指导与模型展示结合，培养数学眼光的几何直观和抽象能力，例题推理过程（如倍长中线证不等关系）发展数学思维的推理能力，融入新考向题型提升数学语言的模型意识。学生能系统掌握构造技巧，教师可直接用于教学，提高课堂效率。

专项突破　作辅助线构造全等三角形的四种常用方法  　添加公共边构造全等三角形 方法指导 图形中出现两组线段相等,可以考虑连接图中两点将四条线段放到两个三角形中,所连线段为公共边,此时可以利用“SSS”证明两个三角形全等 模型展示 1.如图,AC=AD,BC=BD.求证:∠C=∠D.   证明　连接AB(图略), 在△ABC和△ABD中,  ∴△ABC≌△ABD(SSS),∴∠C=∠D.  　利用“角平分线”构造全等三角形 方法指导 当题目中出现角平分线时,可以选择在夹这个角的较长边上截取一段,使其等于夹这个角的较短边的长度,并连接所截得的点与角平分线上的一个点,从而借助“SAS”证明两个三角形全等 模型展示 2.如图,在△ABC中,∠B=60°,D,E分别为AB,BC上的点,且AE, CD交于点F.若AE,CD为△ABC的角平分线. (1)求∠AFC的度数. (2)若AD=6,CE=4,求AC的长. 解析    (1)∵AE,CD为△ABC的角平分线, ∴∠FAC= ∠BAC,∠FCA= ∠BCA, ∵∠B=60°,∴∠BAC+∠BCA=120°, ∴∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=180°- (∠BAC+∠BCA)= 180°- ×120°=120°. (2)如图,在AC上截取AG=AD=6,连接FG.   ∵AE,CD为△ABC的角平分线, ∴∠FAC=∠FAD,∠FCA=∠FCE, ∵∠AFC=120°,∴∠AFD=∠CFE=60°, 在△ADF和△AGF中,  ∴△ADF≌△AGF(SAS),∴∠AFD=∠AFG=60°, ∴∠GFC=60°=∠CFE, 在△CGF和△CEF中,  ∴△CGF≌△CEF(ASA),∴CG=CE=4, ∴AC=AG+GC=10.  　利用“倍长(类)中线”构造全等三角形 方法指导 先将三角形的中线延长一倍,构造出全等三角形(“8”字形),再利用全等三角形的知识解题. (1)如图1,已知AD为△ABC的边BC上的中线,延长AD到点E,使DE=AD,连接BE; (2)如图2,已知AD为△ABC的边BC上的中线,点M在AB边上(不与点A,B重合),延长MD到点E,使DE=MD,连接CE; (3)如图3,已知E为正方形ABCD的边DC的中点,点F在 AD边上(不与点A,D重合),延长FE交BC的延长线于点G 模型展示   图1 图2 图3 3.【新考向·阅读理解题】 (1)阅读理解:如图1,在△ABC中,AB=5,AC=3,求BC边上的中线 AD的取值范围.解决此问题可用如下方法:延长AD到点E,使 DE=AD,再连接BE.把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形 的三边关系即可求解.请写出完整的求解过程. (2)问题解决:如图2,在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥DF于 点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.求证:BE+CF>EF.   图1 图2 解析    (1)延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,则AE=2AD(图略), ∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD, 在△EDB和△ADC中,  ∴△EDB≌△ADC(SAS),∴EB=AC=3, ∵AB-EB<AE<AB+EB,∴5-3<2AD<5+3, ∴1<AD<4,∴AD的取值范围是1<AD<4.   ∵D是BC的中点,∴BD=CD, 在△BDG和△CDF中,  (2)证明:如图,过点B作BG∥AC交FD的延长线于点G,连接EG, 则∠DBG=∠C, ∴△BDG≌△CDF(ASA),∴DG=DF,BG=CF, ∵DE⊥DF,∴∠EDG=∠EDF=90°, 易证得△EDG≌△EDF,∴EG=EF, ∵BE+BG>EG,∴BE+CF>EF.  　利用截长法(或补短法)构造全等三角形 方法指导 (1)截长法:先在长线段上取一段,使其等于其中一条短线段,再证明剩下的线段等于另一条短线段. (2)补短法:①先延长其中一条短线段,使延长部分等于另一条短线段,再证明延长后的线段等于长线段;②先延长其中一条短线段,使其等于长线段,再证明延长的部分等于另一条短线段 模型展示 4.【新考向·项目式学习题】探究问题: (1)方法感悟: 如图1,在正方形ABCD中,E,F分别为DC,BC边上的点,且满足 ∠EAF=45°,连接EF,求证:DE+BF=EF. 感悟解题方法,并将过程补充完整: 证明:将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,AD旋转到 AB的位置,由旋转和正方形的性质可得AB=AD,BG=DE,AG= AE,∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°, 因此,点G,B,F在同一条直线上. ∵∠EAF=45°,∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°, ∵∠1=∠2,∴∠1+∠3=_______°,即∠GAF=∠_______. 又∵AG=AE,AF=AF, ∴△GAF≌_______,∴_______=EF, 故DE+BF=BG+BF=GF=EF. (2)方法迁移: 如图2,将直角△ABC沿斜边翻折得到△ADC,E,F分别为DC, BC边上的点,且∠EAF= ∠DAB.试猜想DE,BF,EF之间的数 量关系,并证明你的猜想. (3)问题拓展: 如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,E,F分别为DC,BC边上的点, 且满足∠EAF= ∠DAB,试猜想当∠ABC与∠ADC满足什么 关系时,DE+BF=EF?请直接写出你的猜想(不必说明理由). 图1 图2 图3 解析    (1)45;EAF;△EAF;GF. (2)猜想:EF=DE+BF. 证明:如图,将直角△ADE绕点A顺时针旋转,使得AD与AB重 合,得到△ABH, 由旋转可得AH=AE,BH=DE,∠1=∠2,∠ABH=∠D=∠ABF= 90°,∴∠HAF=∠1+∠3=∠2+∠3, ∵∠EAF= ∠DAB,∴∠2+∠3= ∠BAD,∴∠HAF=∠EAF, ∵∠ABH+∠ABF=90°+90°=180°,∴H,B,F三点共线, 在△AEF和△AHF中,  ∴△AEF≌△AHF(SAS),∴EF=HF, ∵HF=BH+BF,∴EF=DE+BF. (3)当∠ABC+∠ADC=180°时,DE+BF=EF. 提示:延长CB至点G,使BG=DE,连接AG,如图,   ∵∠ABF+∠ABG=180°,∠ABF+∠ADC=180°, ∴∠ABG=∠ADC, 又∵AB=AD,BG=DE, ∴△ABG≌△ADE(SAS),∴AG=AE,∠DAE=∠BAG, ∵∠EAF= ∠BAD,∴∠EAF=∠BAF+∠DAE, ∴∠GAF=∠BAG+∠BAF=∠DAE+∠BAF=∠EAF, 又∵AF=AF,AE=AG, ∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=FG, ∵FG=GB+BF=DE+BF,∴DE+BF=EF. END THANKS 感谢您的观看 $$