2.3.1 平均值不等式及其应用（教学课件）数学沪教版2020必修第一册

2.3.1 平均值不等式及其应用 第二章 等式与不等式 沪教版2020必修第一册·高一 章节导读 2.1等式与不等式性质 2.2不等式求解 2.3基本不等式及其应用 一元二次不等式的求解 一元一次不等式及 一元一次不等式组的求解 等式的性质与方程的解集 一元二次方程的解集根与系数的关系 不等式的性质 含绝对值不等式的求解 分式不等式的求解 三角不等式 平均值不等式及其应用 学 习 目 标 1 2 3 深入理解平均值不等式的核心概念与理论基础 熟练掌握平均值不等式的应用方法与解题技巧 拓展平均值不等式的应用场景与数学思维 读教材 阅读课本P50-P53，5分钟后完成下列问题： 1. 基本不等式 （）是如何推导的？ 我们一起来探究“平均值不等式”吧！ 2. 资料中提到的 “一正、二定、三相等” 具体指什么？ 3.“相等”的意义:为什么要强调“当且仅当时等号成立”？ 学习过程 01 02 目录 1 平均值不等式 2 题型训练 从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？ 要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！ 新知探究 a2＋b2＞2ab a2＋b2＝2ab 当a＞0，b＞0时，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 赵爽弦图与不等式 新知探究 前面我们利用面积法和完全平方公式得出了一类重要不等式： ，有： 特别地，如果，我们用分别代替上式中的 ，可得： 当且仅当时，等号成立. 当且仅当时，等号成立 赵爽弦图与不等式 新知1 基本不等式 概念讲解 ——基本不等式 如果a>0，b>0，则___________，当且仅当 时，等号成立. a＝b 几何平均数 算术平均数 可以得到：两个正数的几何平均数 它们的算术平均数. 小于等于 新知1 基本不等式——1.证明(分析法) 分析法(执果索因) 新知1 基本不等式——2.结构及意义 (3)代数意义：两正数的算术平均数大于或等于几何平均数. 几何意义：见下页内容 积定和最小 和定积最大 (求最值) 新知1 基本不等式——3.几何法证明 半径 半弦 几何意义：①圆的半径大于或等于半弦； ②直角三角形的斜边上的中线大于或等于斜边上的高. 新知1 基本不等式——3.和积定理 已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值 ；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时， 积xy有最大值 ，简记为：积定和最小，和定积最大. 注意点： (1)三个关键点：一正、二定、三相等.①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备.(2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配项等变换. 典例分析 明辨是非(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)基本不等式≤中的a,b只能是具体的数. (　 ) 提示:a,b既可以是具体的某个数,也可以是代数式. (2)重要不等式a2+b2≥2ab与基本不等式≤成立的条件是相同的. (　 ) 提示:不同,前者要求a,b是实数即可,而后者要求a>0,b>0. (3)不等式m2+1≥2m中等号成立的条件是m=1. (　 ) 提示:当且仅当m=1时等号成立. (4)若a+b=2,则≤1. (　 ) 提示:若成立,需要增加条件a>0,b>0.如当a=-1,b=3时,a+b=2,但无意义. × × √ × 学习过程 01 02 目录 1 平均值不等式 2 题型训练 平均值不等式的理解 题型1 题型探究 “含有负”问题 题型2 题型探究 【例2】（1）已知x<0,则3x+的最大值为________.  “含有负”问题的解题步骤 当a<0,b<0时,也可以利用基本不等式求最值,其步骤为: (1)各项提取“负号”,化负为正利用基本不等式; (2)利用不等式的性质,改变不等号的方向,求得最值. 一正二定三相等 【解析】因为x<0,所以-x>0.则3x+=-[+(-3x)]≤-2=-12,当且仅当=-3x,即x=-2时,3x+取得最大值为-12. “含有负”问题 题型2 题型探究 （2）已知x<0,则x+-2有 (　　) A.最大值0 B.最小值0 C.最大值-4 D.最小值-4 【解析】选C.因为x<0,所以-x>0,所以x+-2=-[(-x)+]-2≤-2-2=-4. 当且仅当-x=-,即x=-1时“=”成立. 所以x+-2(x<0)有最大值-4. “凑定值”问题 题型3 题型探究 【例3】(1)已知0<x<,则y=x(1-2x)的最大值为________.  【解析】因为0<x<,所以1-2x>0, 所以y=×2x(1-2x)≤×()2=×=,当且仅当2x=1-2x(0<x<),即x=时,上式等号成立,故当x=时,ymax=. “凑定值”问题 题型3 题型探究 (2)已知x>,则函数y=x-1+的最小值为________.  【解析】由x>得x->0, 则函数y=x-1+=x-++≥2+=2+=, 当且仅当,即x=时,等号成立,此时函数取得最小值. “1”的代换 题型4 题型探究 “分式型”问题 题型5 题型探究 【例5】(1)已知x>-1,则的最小值为________.  【解析】(1)==(x+1)++10, 因为x>-1,所以x+1>0,所以(x+1)++10≥2+10=16, 当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立. “分式型”问题 题型5 题型探究 【例5】 (2)已知x>-1,则的最大值为________.  【解析】(2)y===, 因为x>-1,所以x+1>0,所以y≤==, 当且仅当x+1=即x=-1时,等号成立.故所求最大值为. 不等式的证明 题型6 题型探究 不等式的证明 题型6 题型探究 【例6】（2）已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1.求证: (1)(-1)(-1)(-1)≥8; (2)++≥9. 【证明】(1)因为a,b,c均为正实数,a+b+c=1,所以-1==≥,同理-1≥,-1≥. 上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得(-1)(-1)(-1)≥··=8. 当且仅当a=b=c=时,等号成立. (2)(++)(a+b+c)=++=3+(+)+(+)+(+)≥3+2+2+2=9, 当且仅当a=b=c=时,等号成立. 基本不等式的实际应用 题型7 题型探究 【例7】(1)用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，当这个矩形 的边长为多少时，所用的篱笆最少，最短长度是多少？ 【解析】由题意设篱笆的长和宽分别为米，且 所以米 当且仅当米，即围成正方形时，有最短长度40米 基本不等式的实际应用 题型7 题型探究 【例7】(2)用一段长为36米的铁丝网围成一个矩形菜园，当这个矩形 的长和 宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【解】由题意设篱笆的长和宽分别为米，且 所以为平方米，根据基本不等式， ，即 当且仅当，即围成正方形时，有最大面积81平方米. 课堂小结 3.代数意义:两正数的算术平均数大于或等于几何平均数. 积定(和最小) 和定(积最大) a,b的算术 平均数 a,b的几何 平均数 基本不等式的应用 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 求最值 证明不等式 实际应用 (1)整体代换求最值 ①根据变形确定定值；②把定值变形为1；③构造和或积的形式；④利用基本不等式求解最值. （2）证明不等式的方法与特征： ①方法：从已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逻辑推理，最后转化为所求问题， ②特征：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知” （1）证明不等式： ①多次使用基本不等式，要注意等号能否成立; ②注意使用;累加法和拼凑法 （2）用基本不等式解决实际问题时，注意变量的取值范围、等号能否取到，最终结果要转化为实际意义 数学建模：通过基本不等式的实际应用，培养数学建模的核心素养 逻辑推理：通过不等式的证明，培养逻辑推理的核心素养 课堂小结 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 ≤ ≤ S2 2 【例1】下列结论正确的是 (　　) A．若x∈R，且x≠0，则＋x≥4 B．当x>0时，＋≥2 C．当x≥2时，x＋的最小值为2 D．当0<x≤2时，x－无最大值 【解析】对于选项A，当x<0时，＋x≥4显然不成立； 对于选项B，符合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”； 对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x＝，则x＝±1，均不满足x≥2；对于选项D，x－在0<x≤2的范围内单调递增，有最大值2－＝. 【例4】已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为________． 解析：x＋y＝(x＋y)· ＝10＋＋≥10＋2＝10＋6＝16. 即x＝4，y＝12时等号成立，所以x＋y的最小值为16. 【例6】(1)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca). 【证明】　(1)∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b≥2eq \r(ab)>0，b＋c≥2eq \r(bc)>0，c＋a≥2eq \r(ca)>0. ∴2(a＋b＋c)≥2(eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca))， 即a＋b＋c≥eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca). 由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a＋b＋c>eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca). $$