精品解析：广西部分学校2025-2026学年高三上学期开学考数学试题

高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】去括号化简，利用共轭复数的定义得出答案 【详解】因为， 所以的共轭复数是. 故选：D 2. 已知集合，，则的元素个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集运算即可求解. 【详解】由题意可得，则， 故有2个元素. 故选：B 3. 若椭圆的焦距是短轴长的2倍，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用结合已知条件：焦距是短轴长的2倍，带入离心率计算公式可求解 【详解】设椭圆的焦距为，长轴长为，短轴长为，则， 所以，， 所以椭圆的离心率. 故选：B 4. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用图象变换得，再计算. 【详解】由题意可得， 则. 故选：A. 5. 若函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数单增得在上恒成立，即，所以有，从而得解． 【详解】由题意可得.因为是上的增函数， 所以在上恒成立， 所以，解得. 故选：B. 6. 已知三棱柱的所有顶点都在半径为的球的球面上，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据题意先计算得外接圆的半径.如果三棱柱的顶点都在球的球面上,可判断该三棱柱为直三棱柱，利用球半径，圆半径和球心到圆面距离的关系计算即可. 【详解】设，则，，所以外接圆的半径. 因为三棱柱的所有顶点都在半径为的球的球面上， 所以，即，解得，所以. 故选：C. 7. 已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得直线过定点，判断点在圆内，可判断直线与圆相交. 【详解】由题意可得直线：过定点. 因为，所以点在圆内， 则直线与圆相交. 故选：C. 8. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积是（ ） A. B. C. 9 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】先根据同角基本关系式计算出，的值，再利用正弦定理得到，进而得到b，c分别的值，最后带入得到答案 【详解】∵，，且，， ∴，， ∴，即. ∵， ∴，. ∵， ∴， 则的面积是. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 如图，这是某班20名同学暑假的课外阅读量的折线统计图，则（ ） A. 这20名同学暑假的课外阅读量的众数是3 B. 这20名同学暑假的课外阅读量的极差是5 C. 这20名同学暑假的课外阅读量的中位数是3.5 D. 这20名同学暑假的课外阅读量的平均数是3.4 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意可得相关阅读量以及相应频数，进而可求众数、极差、中位数和平均数. 【详解】由图可知： 课外阅读量（本） 1 2 3 4 5 6 频数 2 3 5 6 3 1 则众数为4，极差是， 中位数是，平均数是， 所以A错误，BCD正确. 故选：BCD. 10. 已知，是双曲线：的两个焦点，是上的一点，则（ ） A. 当时，双曲线的实轴长为4 B. 当时， C. 无论取何值，双曲线的焦距都为 D. 当时，双曲线的渐近线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】先根据参数的特点分析出双曲线焦点位置，然后由双曲线性质逐一分析每个选项. 【详解】由双曲线的方程为，依题意，， 注意到，故，设双曲线方程为. B选项，由，即，则，解得，B正确； C选项，，，则， 所以，所以双曲线的焦距为，C错误； A选项，由，得双曲线的方程为，即， 则双曲线的实轴长为4，A正确； D选项，由，得双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为，D错误. 故选：AB 11. 若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，先进行指对互化，将已知条件转化为三个不同的对数函数，作出图象，进行比较即可 【详解】设，则，，. 如图，作出函数，，的图象， a，b，c的值分别是函数，，的图象与直线的交点的纵坐标. 由图可知，随着的变化，可能出现，，. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】表示出，由向量垂直的条件，列式解出答案 【详解】因为，， 所以. 因为， 所以， 解得. 故答案为： 13. 在正四棱台中，，点到平面的距离为6，则正四棱台的体积是_________. 【答案】56 【解析】 【分析】根据题意，由棱台的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设正四棱台的高为，则. 由棱台体积公式可得正四棱台的体积是： . 故答案为：56 14. 小华进行3次投篮，每次投篮得1分或2分.第一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为.若某次投篮得1分，则下一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为；若某次投篮得2分，则下一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为.记小华3次投篮的累计得分为，则的数学期望_________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据条件概率来计算事件的概率及数学期望. 【详解】由题意可知的所有可能取值分别为3，4，5，6，记表示“第次投篮得1分”的事件， 表示“第次投篮得2分”的事件. ， ， ， 所以分布列为 X 3 4 5 6 P 0.18 0.32 0.32 0.18 故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 夏季游泳是兼具健康、舒适与趣味的夏日活动.某社区为了了解该社区居民夏季的游泳情况，随机抽取了100人进行调查，统计了这100人的游泳情况，数据如下表： 天气 游泳人数 未游泳人数 合计 晴天 60 40 100 雨天 30 70 100 合计 90 110 200 （1）分别估计该社区居民晴天和雨天游泳的频率； （2）试根据小概率值的独立性检验，分析游泳人数是否与天气有关. 参考公式：，. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）， （2）认为游泳人数与天气有关 【解析】 【分析】（1）利用频率计算公式直接计算即可 （2）计算的值，与10.828比较，由此作出判断. 【小问1详解】 由题意可知样本中该社区居民晴天游泳的频率为， 则该社区居民晴天游泳的频率的估计值为. 由题意可知样本中该社区居民雨天游泳的频率为， 则该社区居民雨天游泳的频率的估计值为. 【小问2详解】 零假设为：游泳人数与天气无关. 根据题中的数据，计算得到. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为游泳人数与天气有关，此推断犯错误的概率不大于0.001. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，E为棱的中点，，. （1）证明：平面； （2）若，，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，进而得，再根据线面垂直的判定定理得证； （2）以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解. 【小问1详解】 因为，E为棱的中点，所以， 因为平面，平面，所以. 因为平面，平面，且，所以平面. 因为平面，所以. 因为，平面，平面，且，所以平面. 【小问2详解】 取棱的中点，连接， 因为E为棱的中点，所以∥， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以，，两两垂直， 所以以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，， 则，，. 设平面的法向量为， 则，令，得. 由（1）可知平面的一个法向量为. 由， 所以二面角的正弦值为. 17. 在数列中，，，且（，）. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）处理已知条件得到为等差数列，求出的通项公式，进而得到答案 （2），利用错位相减法，计算得到答案 【小问1详解】 因为，所以. 因为，，所以， 所以是首项为1，公差为1的等差数列， 则，故. 【小问2详解】 由（1）可知，则， 所以，① ，② 由①②得， 即， 则. 18. 已知函数，曲线在处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）求在上的最小值； （3）证明：对任意的正整数，都有. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由切线与已知直线位置关系求解； （2）二次求导判断单调性求解； （3）将（2）中结论对任意的恒成立，转化为对任意的恒成立，即对任意的恒成立，然后令，累加放缩可证. 【18题详解】 因为，所以，则. 因为曲线在处的切线与直线垂直， 所以，即的值为. 【19题详解】 由（1）可知，则. 设，则. 显然在上恒成立， 则在上单调递增，即在上单调递增. 因为，所以在上恒成立， 则在上单调递增， 故，即在上的最小值为. 【20题详解】 证明：由（2）可知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立. 令，则， 所以，，，…，， 所以， 即， 故. 19. 已知抛物线：（）的焦点为F，O是坐标原点，（异于点）是抛物线上一点，且点到轴的距离是点到轴距离的2倍，且点到抛物线的准线的距离是. （1）求抛物线的方程； （2）直线与拋物线相切于点（），过点作直线的垂线交抛物线于另一点，交轴于点，点关于轴的对称点为点，过点作抛物线的切线，切点为（异于点）. ①当时，求的面积； ②当直线的斜率取得最小值时，求的值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题意可得，计算可求得抛物线的方程； （2）①由题意可知，利用导数求得切线方程，求得直线的方程，计算可求得，可求得的面积；②因为，直线的斜率为，与抛物线方程联立，求得的坐标，设，可求得点的坐标为，可求的斜率，利用导数可求最小值，进而可求解. 【小问1详解】 设，，由题意可得，解得， 故抛物线的方程为. 【小问2详解】 ①由题意可知. 因为，所以，所以直线的斜率为. 因为直线与直线垂直，故的方程为，即， 将代入，得，即， 解得或，则点的坐标为. 因为直线与轴交于点，所以点的坐标为. 设，则，解得（舍去），则的坐标为， 故点到直线的距离. 因为，，所以， 则的面积为. ②因为，所以直线的斜率为，则直线的斜率为， 故直线的方程为，即，即. 将代入，得，即， 即， 解得或，则点的坐标为. 因为直线与轴交于点，所以点的坐标为. 设，则，解得（舍去）， 则点的坐标为， 又点关于轴的对称点为点，则点的坐标为 故直线的斜率. 设（），则. 令，得， 则存在，使得. 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增. 故当时，取得最小值，即当时，直线的斜率取得最小值， 此时，，，又， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则的元素个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若椭圆的焦距是短轴长的2倍，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 0 C. D. 2 5. 若函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知三棱柱的所有顶点都在半径为的球的球面上，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 8. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积是（ ） A. B. C. 9 D. 18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 如图，这是某班20名同学暑假的课外阅读量的折线统计图，则（ ） A. 这20名同学暑假的课外阅读量的众数是3 B. 这20名同学暑假的课外阅读量的极差是5 C. 这20名同学暑假的课外阅读量的中位数是3.5 D. 这20名同学暑假的课外阅读量的平均数是3.4 10. 已知，是双曲线：的两个焦点，是上的一点，则（ ） A. 当时，双曲线的实轴长为4 B. 当时， C. 无论取何值，双曲线的焦距都为 D. 当时，双曲线的渐近线方程为 11. 若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则_________. 13. 在正四棱台中，，点到平面的距离为6，则正四棱台的体积是_________. 14. 小华进行3次投篮，每次投篮得1分或2分.第一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为.若某次投篮得1分，则下一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为；若某次投篮得2分，则下一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为.记小华3次投篮的累计得分为，则的数学期望_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 夏季游泳是兼具健康、舒适与趣味的夏日活动.某社区为了了解该社区居民夏季的游泳情况，随机抽取了100人进行调查，统计了这100人的游泳情况，数据如下表： 天气 游泳人数 未游泳人数 合计 晴天 60 40 100 雨天 30 70 100 合计 90 110 200 （1）分别估计该社区居民晴天和雨天游泳的频率； （2）试根据小概率值的独立性检验，分析游泳人数是否与天气有关. 参考公式：，. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 如图，在四棱锥中，平面，，E为棱的中点，，. （1）证明：平面； （2）若，，求二面角的正弦值. 17. 在数列中，，，且（，）. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 已知函数，曲线在处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）求在上的最小值； （3）证明：对任意的正整数，都有. 19. 已知抛物线：（）的焦点为F，O是坐标原点，（异于点）是抛物线上一点，且点到轴的距离是点到轴距离的2倍，且点到抛物线的准线的距离是. （1）求抛物线的方程； （2）直线与拋物线相切于点（），过点作直线的垂线交抛物线于另一点，交轴于点，点关于轴的对称点为点，过点作抛物线的切线，切点为（异于点）. ①当时，求的面积； ②当直线的斜率取得最小值时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $