精品解析：安徽省合肥一六八中学2025-2026学年高三8月入学检测数学试题

合肥一六八中学2026届高三8月份段（入学）质量检测 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 2. 已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由面面平行的性质、线面、面面平行的判定即可判断. 【详解】因为，若，则由线面平行的性质可知，故“”是“”的充分条件， 设，，显然，从而有成立，但此时不平行. 故选：A. 3. 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A. 120 B. 60 C. 30 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【详解】不妨记五名志愿者为， 假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法， 同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种. 故选：B. 4. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 5. 已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程． 【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离． 依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ， 当直线时，， ，此时最小． ∴即 ，由解得， ． 所以以为直径圆的方程为，即 ， 两圆的方程相减可得：，即为直线的方程． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 6. 已知数列的前n项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分奇数项和偶数项求递推关系，然后记，利用构造法求得，然后分组求和可得. 【详解】因为， 所以，，且， 所以， 记，则，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，， 记的前n项和为，则. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于先分奇数项和偶数项求递推公式，然后再并项得的递推公式，利用构造法求通项，将问题转化为求的前50项和. 7. 设实数，若对任意的正实数x，不等式恒成立，则m的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得不等式恒成立即恒成立，设函数，分析出的单调性,将问题转化为恒成立，由单调性即恒成立，即，设，求出的导数得到其单调性，从而得到的最大值，得出答案. 【详解】∵，，∴，当时，不等式显然成立， 当时，原不等式可变形为， 设函数，， 当，，∴当时，递增， 则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，，设，则， 当时，，当时，， ∴在递增，递减，， 故选:A. 【点睛】本题主要考查不等式恒成立的问题，考查对数与指数的相互转化，导数性质的应用，体现了转化的思想，关键是构造出合适的函数.属于中档题. 8. 已知，函数，．记函数的值域为，函数的值域为，若，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用导数分析函数的单调性，可得出，然后分和两种情况讨论，利用函数的单调性可求得，验证是否成立，由此可求得实数的最大值. 【详解】，， ， ， 所以，函数在上单调递增， ，当时，；当时，. 所以，函数在上单调递减，在上单调递增. ，则函数的值域为，即. ①当时，即当时，由上可知，函数的值域为，满足； ②当时，即当时，由上可知，函数的值域为， 且，此时，不合乎题意. 综上所述，实数的最大值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查含有参数的复合函数的值域问题，利用导数分析函数的单调性，并求出函数的值域是解题的关键，其次就是要分和两种情况讨论，结合函数的单调性求出复合函数的值域，这次解决此类问题的常用方法. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. “内卷”是一个网络流行词，一般用于形容某个领域中发生了过度的竞争，导致人们进入了互相倾轧、内耗的状态，从而导致个体“收益努力比”下降的现象．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）；它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分E，F，G，H作第二个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M，N，P，Q作第3个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形边长为，后续各正方形边长依次为，，…，；如图（2）阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，…．下列说法正确的是（ ）． A. 数列是以4为首项，为公比的等比数列 B. 从正方形开始，连续3个正方形的面积之和为 C. 使得不等式成立的最大值为4 D. 数列前n项和 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，，都是等比数列，从而可求，的通项公式，再对选项逐个判断即可得到答案． 【详解】对于A选项，由题意知，且， 所以，又因为， 所以数列是以4为首项，为公比的等比数列，故A正确； 对于B选项，由上知，，，，， 所以，故B正确； 对于C选项，， 易知是单调递减数列，且，， 故使得不等式成立的最大值为3，故C错误； 对于D选项，因为，且， 所以，所以，故D正确； 故选：ABD． 10. 设抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，的准线与轴交于点，为坐标原点，则（ ） A. 线段长度的最小值为4 B. 若线段中点的横坐标为，则直线的斜率为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设点、，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式可判断A选项；利用韦达定理计算出的值，可判断B选项；计算出，可判断C选项；计算，可判断D选项. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线方程为，点， 设点、， 若直线轴，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，， 对于A选项，， 当且仅当时，等号成立，A对； 对于B选项，由题意可得，解得，B对； 对于C选项，，同理可得， 所以， ，，C错； 对于D选项，， 所以，，D对. 故选：ABD. 11. 若命题“，”是假命题，则的值可能为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 7 【答案】BC 【解析】 【分析】 首先写出特称命题的否定，根据命题“，”是真命题，根据恒成立，讨论的取值，求参数的取值. 【详解】由题可知，命题“，”是真命题， 当时，或. 若，则原不等式，恒成立，符合题意； 若，则原不等式为，不恒成立，不符合题意. 当时，依题意得. 即解得. 综上所述，实数的取值范围为. 故选:BC. 【点睛】本题考查存在量词命题否定的应用，重点考查分类讨论的思想，运算求解能力，属于基础题型. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，则的解析式为________． 【答案】， 【解析】 【分析】由题知用换元法求的解析式，即令，得，解出，将其代入化简后即可求解. 【详解】解：令，则，且有． 把代入 得：. 所以所求函数的解析式为：， 故答案为：， 【点睛】本题考查用换元法求函数的解析式，考查理解辨析能力及运算求解能力，属于基础题. 13. 集合，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是______________． 【答案】或 【解析】 【分析】二次项系数进行分类讨论，结合方程的根的性质计算即可得. 【详解】当时，，解得，故A中元素只有1个，符合要求； 当时，对，需，即； 故答案为：或. 14. 已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】解法一：先通过等价变形将函数的三个零点转化为函数有三个零点；再根据奇函数的定义得出函数是上的奇函数，进一步将条件转化为在上有一个零点；最后求出，分类讨论，利用导函数和零点存在性定理判断出函数的单调性即可求解. 解法二：先根据，为上偶函数，将题目条件转化为直线与函数的图象在上有一个交点；再利用导数判断出函数在上单调性，求出函数值域，即可求解. 解法三：先根据题意构造函数，，与都是上的奇函数，将题目条件问题转化为函数与在上恰有一个交点；再根据函数在上单调递增及导数的几何意义，数形结合即可解答. 【详解】解法一：. ， 的零点等价于函数的零点. 又函数定义域为，且 是上的奇函数， 只需要考虑在上有一个零点即可. 又函数在上单调递增，函数在上单调递增， 当时，， 函数在上单调递增， 在上单调递减，的值域是. 当时，，此时在上单调递增，，无零点，不符合题意； 当时，，此时在上单调递减，，无零点，不符合题意； 当时，由零点存在性定理知，必存在唯一的正数，使. 当时，，此时在上单调递增，，； 当时，，此时在上单调递减； 又，，， ，在上存在唯一零点，符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 解法二：，是的一个零点. 当时，由，得，令，. 函数定义域为， 为上偶函数. 则问题转化为直线与函数的图象在上有一个交点. 由，可得，设， 则.在上单调递增， 则，即当时， ， 在上单调递减. 又，，在上的值域为， 故，即，故实数的取值范围是. 解法三：令，得，设.，. 函数的定义域为，且； 函数的定义域为，且， 与都是上的奇函数， 则问题转化为函数与在上恰有一个交点. 又函数在上单调递增，. 又，，在单调递减， 又，作出函数与直线的图象， ，即，故实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 在中，内角，，所对的边分别，，，且. （1）求角的大小； （2）若，，当仅有一解时，写出的范围，并求的取值范围. 【答案】（1）；（2）或；. 【解析】 【分析】（1）根据降幂公式、射影定理将已知条件角化边，进而在利用余弦定理即可求解角； （2）根据正弦定理求出，又仅有一解，所以或，从而可求，再根据正弦定理将边化角，利用三角函数的性质即可求解. 【详解】解：（1） ，即， ， ， . （2）根据题意，由正弦定理得，则， 仅有一解， 或，即或， 或， 由正弦定理可得 因此有且仅有一个解， 故直线与在上的图象有且仅有一个交点， 当时，，而在为增函数， 故在上为增函数， 因，，故， 【点睛】 16. 已知函数f（x）=（x-m）（x-n）2，m∈R. （1）若函数f（x）在点A（m，f（m））处的切线与在点B（m+1，f（m+1））处的切线平行，求此切线的斜率； （2）若函数f（x）满足：①m<n；②f（x）-λxf′（x）≥0对于一切x∈R恒成立试写出符合上述条件的函数f（x）的一个解析式，并说明你的理由. 【答案】（1） （2）（答案不唯一），理由见解析 【解析】 【分析】（1）求得，再根据题意结合导数的几何意义可得，化简得：，再代入化简即可 （2）根据题意化简可得（*）恒成立，分析可得的系数为0，进而得到恒成立，再根据二次函数的性质分析即可 【小问1详解】 ， 所以 因为函数在点处的切线与在点处的切线平行， 所以，即， 即，故， 化简得：. 所以在点切线的斜率为 【小问2详解】 由恒成立，得所以（*）恒成立. 当时，左边是一个一次因式乘一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负.所以. 所以式化为恒成立 所以. ①若，则. ②若，则，即，与矛盾，舍去 综上： 所以为满足条件的的一个解析式.（答案不唯一） 【点睛】本题第一问考查了导数的几何意义与化简等式的技巧，需要把看成整体，第二问考查了多项式的恒成立问题，属于中档题 17. 设函数． （1）求的单调区间； （2）证明：当时，； （3）设，证明：当时，． 【答案】（1）单调增区间为；单调减区间为； （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】求出导数，由导数大于，可得增区间；导数小于，可得减区间，注意函数的定义域； 由题意可得即证运用的单调性可得，设，，求出单调性，即可得到成立，而得证原不等式； 设，求导数，判断的单调性，结合隐零点技巧，进而证明原不等式． 【小问1详解】 函数的定义域为， 导函数为， 由，可得；由，可得． 即有的单调增区间为；单调减区间为； 【小问2详解】 证明：当时，要证明，只需证明． 由可得在递减， 可得当时，，即有； 设，，， 当时，，可得在单调递增，即有， 即有，则原不等式成立； 即当时，. 【小问3详解】 证明：设， 则需要证明：当时，； ，令， ， 在上单调递减，而，， 由中的单调性，可得， 由可得，当时，，可得在上单调递增， 即有当时，，即 当时， ， ，使得， 即时，，时，； 即在递增，在递减； 又因为：， 时成立，不等式得证； 即，当时，． 18. 在①，②，③三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答． 已知锐角的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c满足_______（填写序号即可） （1）求B﹔ （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①，利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式及三角形内角关系，即可得出答案； 选②，利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得出答案； 选③，根据两角和的余弦公式结合三角形的内角关系，即可得出答案； （2）利用正弦定理及三角形内角关系将用角表示，再结合三角恒等变换化简，结合正切函数的性质即可得出答案. 【小问1详解】 解：选①， 因为， 所以， 即， 又，所以， 因为， 所以； 选②， 因为， 所以， 即， 所以， 因为， 所以； 选③， 因为， 所以， 即， 所以， 因为， 所以； 【小问2详解】 解：由正弦定理， 得， ， 则， 由锐角得， 得，则， 所以，从而， 所以的取值范围为. 19. 已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间和极值； （2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围； （3）若，且，证明：. 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)证明见解析. 【解析】 【详解】（1）， ①时，因为，所以， 函数的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值； ②当时，令，解得， 当时，；当，． 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 在区间上的极小值为，无极大值． （2）由题意，， 即问题转化为对于恒成立， 即对于恒成立， 令，则， 令，则， 所以在区间上单调递增，故，故， 所以在区间上单调递增，函数． 要使对于恒成立，只要， 所以，即实数k的取值范围为． （3）证法1 因为，由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且． 不妨设，则， 要证，只要证，即证． 因为在区间上单调递增，所以， 又，即证， 构造函数， 即，． ， 因为，所以，即， 所以函数在区间上单调递增，故， 而，故， 所以，即，所以成立． 证法2 要证成立，只要证：. 因为，且，所以， 即，， 即， ，同理， 从而， 要证，只要证， 令不妨设，则， 即证，即证， 即证对恒成立， 设，， 所以在单调递增，，得证，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥一六八中学2026届高三8月份段（入学）质量检测 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A. 120 B. 60 C. 30 D. 20 4. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 5. 已知⊙M：，直线：，为上动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前n项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 设实数，若对任意的正实数x，不等式恒成立，则m的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，函数，．记函数的值域为，函数的值域为，若，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. “内卷”是一个网络流行词，一般用于形容某个领域中发生了过度的竞争，导致人们进入了互相倾轧、内耗的状态，从而导致个体“收益努力比”下降的现象．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）；它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分E，F，G，H作第二个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M，N，P，Q作第3个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形边长为，后续各正方形边长依次为，，…，；如图（2）阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，…．下列说法正确的是（ ）． A. 数列是以4为首项，为公比的等比数列 B. 从正方形开始，连续3个正方形的面积之和为 C. 使得不等式成立的最大值为4 D. 数列前n项和 10. 设抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，的准线与轴交于点，为坐标原点，则（ ） A. 线段长度的最小值为4 B. 若线段中点的横坐标为，则直线的斜率为 C. D. 11. 若命题“，”是假命题，则的值可能为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，则的解析式为________． 13. 集合，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是______________． 14. 已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 在中，内角，，所对的边分别，，，且. （1）求角的大小； （2）若，，当仅有一解时，写出的范围，并求的取值范围. 16. 已知函数f（x）=（x-m）（x-n）2，m∈R. （1）若函数f（x）在点A（m，f（m））处的切线与在点B（m+1，f（m+1））处的切线平行，求此切线的斜率； （2）若函数f（x）满足：①m<n；②f（x）-λxf′（x）≥0对于一切x∈R恒成立试写出符合上述条件的函数f（x）的一个解析式，并说明你的理由. 17. 设函数． （1）求的单调区间； （2）证明：当时，； （3）设，证明：当时，． 18. ①，②，③三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答． 已知锐角内角A，B，C，的对边分别为a，b，c满足_______（填写序号即可） （1）求B﹔ （2）若，求的取值范围． 19. 已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间和极值； （2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围； （3）若，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $