精品解析：宁夏回族自治区银川市第三十一中学2024—2025学年八年级上学期期末数学试题

银川市第三十一中学2024—2025学年八年级上 数学期末考试试卷 （ 满分120分，时量120分钟 ） 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分） 1. 2的平方根是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用平方根的定义求解即可． 【详解】解：2的平方根是， 故选：A． 【点睛】本题考查了平方根的定义，解题关键是牢记平方根的定义，其中一个正数的平方根有两个，它们互为相反数． 2. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，，2 C. ，4，7 D. 4，5，6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键 根据勾股定理的逆定理进行解答即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故此选项符合题意； C、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意， 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点P(－2，＋1)所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵－2<0，＋1>0， ∴点P (－2，＋1)在第二象限， 故选：B． 4. 下列命题中的真命题是（　　） A. 内错角相等 B. 若则 C. 是有理数 D. 三角形内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，内错角，不等式性质，三角形内角和，有理数的定义等知识，根据相关知识逐项判断即可 【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、则，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、不是有理数，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、三角形内角和是，是真命题，符合题意； 故选：D． 5. 已知点，点，且直线轴，则的值为（ ） A. B. 0 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】解：点，点，且直线轴， ． 故选：C． 6. 某科研小队在一处遗迹中发现了古人的残破书籍，书籍上记录了一个方程组，翻译后为，方程组的解为，其中与处已经看不清了，请你用所学的知识帮科研人员确定的值为（ ） A. B. C. 1 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程解的定义，熟记二元一次方程解的定义是解题的关键，把代入求出，把代入即可求解． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把代入得：． 故选：B． 7. 我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒斛，1个小桶盛酒斛，下列方程组正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可. 【详解】∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛， ∴5x+y=3， ∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛， ∴x+5y=2， ∴得到方程组， 故选：A. 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键. 8. 在同一平面直角坐标系中，函数y=kx与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数的性质判断出k取值，再根据正比例函数的性质判断出k的取值，二者一致的即为正确答案． 【详解】解：A、由函数y=kx的图象，得k＜0，由y=x+k的图象，得k＜0，故符合题意； B、由函数y=kx的图象，得k＜0，由y=x+k的图象，得k＞0，k值相矛盾，故不符合题意； C、由函数y=kx的图象，得k＞0，由y=x+k的图象不正确，故不符合题意； D、由函数y=kx的图象，得k＞0，由y=x+k的图象不正确，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象，要掌握一次函数的性质才能灵活解题． 二、填空题（每小题3分，满分24分） 9. 已知点都在直线上，则_____．（填＞、＜或＝） 【答案】＞ 【解析】 【分析】由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合即可得出． 【详解】解：∵ ∴y随x的增大而减小， 又∵， ∴． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小”是解题的关键． 10. 如图，，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，平行线的性质，根据三角形的外角的性质可得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 11. 如图，在数轴上点表示的实数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出斜边的长为，再根据点P在原点的左侧，即可得到点P表示的实数． 【详解】解：根据勾股定理得 ∴点P表示的实数为 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，掌握直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 12. 若是y关于x的正比例函数，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟知正比例函数的定义是解题的关键，一般地，形如的函数叫做正比例函数．根据正比例函数的定义求解即可． 【详解】解：是y关于x的正比例函数， ， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，直线与 交点的横坐标为1，则关于、 的二元一次方程组的解为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：直线与交点的横坐标为1， 纵坐标为， 两直线交点坐标， 关于，的方程组的解为． 14. 若一组数据的平均数为6，众数为5，则这组数据的方差为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据这组数的平均数及众数求出中一个是5，另一个是6，再利用方差公式计算即可． 【详解】∵一组数据的平均数为6，众数为5， ∴中至少有一个是5， ∵一组数据的平均数为6， ∴， ∴， ∴中一个是5，另一个是6， ∴这组数据的方差为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了数据的平均数、众数及方差，熟练掌握知识点是解题的关键． 15. 已知关于x，y方程组的解满足，则a的值 _______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，将方程组中两个方程左右两边分别相加，得，再根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：将方程组中两个方程左右两边分别相加，得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图在平面直角坐标系中，，，，，，，…，依次扩展下去，则的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标．解答此题的关键是首先要确定点所在的象限，和该象限内点的规律，然后进一步推理得出点的坐标． 根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，可得点在第二象限，再根据第二象限点的规律即可得出结论． 【详解】解：分析各点坐标可发现，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， ∵， ∴点在第二象限， ∵第二象限的点，点，点，……，， ∴点， 故答案为：． 三、解答题（ 共10道题，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，负整数指数幂及绝对值等知识，掌握运算法则并正确计算是关键； （1）根据平方差公式、二次根式的乘法计算，最后合并同类二次根式即可； （2）分别计算乘方、绝对值及负整数指数幂，最后即可完成计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 用消元法解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由，得． 解法二：由①，得 ，③ 把③代入②，得． （1）反思：上述两个解题过程中，解法 有误； （2）解法二求方程组解的方法是______消元法； （3）请选择一种你喜欢的方法，完成解答． 【答案】（1）一 （2）代入 （3） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用加减消元法进行计算即可解答； （2）利用代入消元法进行计算即可解答； （3）分别利用加减消元法和代入消元法进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：反思：上述两个解题过程中，解法一有误， 故答案为：一： 【小问2详解】 解法二求方程组解的方法是代入消元法， 故答案为：代入； 【小问3详解】 若选择解法一：由，得， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为： 若选择解法二：由①，得，③ 把③代入②，得， 解得：， 把代入③得：， 原方程组的解为： 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）若与关于轴成轴对称，作出； （2）请写出点关于轴对称点的坐标： ； （3）计算的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：（1）如图，即为所求． 【小问2详解】 点关于轴对称点的坐标为． 故答案为：； 【小问3详解】 的面积为. 20. 如图，已知，． （1）证明：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定定理与性质定理，并灵活运用． （1）由平行线的性质可得，从而可求得，即可判定； （2）由平行线的性质可得，，结合条件即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ， ∵， ， ， ， ． 21. 毛泽东主席曾亲笔题词号召全国人民“向雷锋同志学习”，“雷锋精神”激励着一代又一代中国人．今年月号，某校团委组织全校学生开展“学习雷锋精神，爱心捐款活动”，活动结束后对本次活动的捐款抽取了样本进行了统计，制作了下面的统计表，根据统计表回答下面的问题： （1）本次共抽取了______名学生的捐款； （2）补全条形统计图； （3）本次抽取样本学生捐款的众数是______元，中位数是______元； （4）求本次抽取样本学生捐款的平均金额． 【答案】（1） （2）补全条形统计图如下， （3）， （4）本次抽取样本学生捐款的平均金额为元 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握根据百分比估算总体的量，众数，中位数，加权平均数的计算方法等知识即可求解． （1）根据捐款元的人数和百分比即可求解； （2）根据样本容量，可算出捐款的人数为人，由此即可求解； （3）根据众数，中位数的定义及计算方法即可求解； （4）根据加权平均数的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：条形图中捐款元的有人，饼图中捐款元的百分比为， ∴本次共抽取的捐款学生有：（名）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：样本容量为， ∴捐款元的人数为：（人）， 【小问3详解】 解：捐款元的有人，捐款元的有人，捐款元的有人，捐款元的有人，捐款元的有人， ∴捐款的众数是， 捐款的中位数是第名，名的和的一半， ∴捐款的中位数是：， 故答案为：，； 【小问4详解】 解：， ∴本次抽取样本学生捐款的平均金额为元． 22. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示： （1）甲车出发 小时后，乙车才出发； （2）甲车的速度为 ，乙车的速度为 ； （3）请直接写出乙车对应函数的关系式 ； （4）甲、乙两车经过 小时后第一次相遇． 【答案】（1）1 （2）48；80 （3） （4）2.5 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图像的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间． （1）由函数图像可得结论； （2）由速度路程时间得出结论； （3）用待定系数法求函数解析式即可； （4）根据相遇时甲、乙路程相等列出方程即可． 【小问1详解】 由图像可直接得出：甲车出发1小时后，乙车才出发； 故答案为：1； 【小问2详解】 由图像可知，甲车的速度为, 乙车的速度为， 故答案为：48；80； 【小问3详解】 设乙所在的直线解析式为， 把，代入解析式得：， 解得， ∴乙所在的直线解析式为， 故答案为：； 【小问4详解】 设甲出发t小时，两车相遇， 根据题意得：， 解得， ∴甲、乙两车经过2.5小时后第一次相遇． 故答案为：2.5． 23. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的） 【答案】船向岸边移动了9米 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】解：在中： ，米，米， （米）， 此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置， （米）， （米）， （米）， 答：船向岸边移动了9米． 24. 如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点，． （1）求点，的坐标； （2）一次函数的图象与轴交于点，在轴上有一点，使与的面积相等，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，以及函数图像和性质，熟练掌握一次函数图像上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据计算函数值为对应的自变量和自变量为对应的函数值即可得到答案； （2）根据题意求出，分两种情况进行讨论即可得到答案． 【小问1详解】 对于直线，令得到，令得到， ，． 【小问2详解】 一次函数的图象与轴交于点， ， ， 的面积为； 又与的面积相同， 的面积为， 的高为， ， ， ， 点的坐标为或． 25. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． （1）求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，求该公司共有几种购买方案？假如这些新能源汽车全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】（1）种型号的汽车每辆进价为25万元，种型号的汽车每辆进价为元 （2）该公司共有二种购买方案，最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握解二元一次方程组的方法，方案选择的方法是解题的关键． （1）设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆，根据题意列方程求解，根据实际情况选择方法即可． 【小问1详解】 解：设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元， 由题意可得：，解得，， ∴种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元． 【小问2详解】 解：设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆， 由题意可得，，且， ∴， ∵为正整数， ∴或， ∴该公司共有二种购买方案， 当购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆时，获得的利润为：（元）， 当购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆时，获得的利润为：（元）， ∴该公司共有二种购买方案，最大利润为元． 26. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则． ① ； ． ②____________的线段和． （2）在（1）的条件下，已知，求的最小值； 【答案】（1），；②， （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及应用，用轴对称求最小距离等知识，解题的关键是掌握轴对称问题的解决方法． （1）①根据勾股定理可得答案； ②根据图形可得答案； （2）作关于直线的对称点，连接，连接交于，可得，，根据两点之间线段最短可知，当与重合时，最短，再用勾股定理可得答案． 【小问1详解】 解：①∵边长为的正方形，设，则， 由勾股定理可得，，， 故答案为：，； ②，， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 作关于直线的对称点，连接，连接交于，如图： 由，关于直线对称可得，， ， 根据两点之间线段最短可知，当与重合时，最短， ， ， ， 当时，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市第三十一中学2024—2025学年八年级上 数学期末考试试卷 （ 满分120分，时量120分钟 ） 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分） 1. 2的平方根是（ ） A. B. C. D. 4 2. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，，2 C. ，4，7 D. 4，5，6 3. 在平面直角坐标系中，点P(－2，＋1)所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列命题中的真命题是（　　） A. 内错角相等 B. 若则 C. 是有理数 D. 三角形内角和是 5. 已知点，点，且直线轴，则的值为（ ） A. B. 0 C. 3 D. 4 6. 某科研小队在一处遗迹中发现了古人的残破书籍，书籍上记录了一个方程组，翻译后为，方程组的解为，其中与处已经看不清了，请你用所学的知识帮科研人员确定的值为（ ） A. B. C. 1 D. 11 7. 我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒斛，1个小桶盛酒斛，下列方程组正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，函数y=kx与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，满分24分） 9. 已知点都在直线上，则_____．（填＞、＜或＝） 10. 如图，，，，则_______． 11. 如图，在数轴上点表示的实数是__________． 12. 若是y关于x的正比例函数，则m的值为______． 13. 如图，直线与 交点的横坐标为1，则关于、 的二元一次方程组的解为_____________． 14. 若一组数据的平均数为6，众数为5，则这组数据的方差为__________． 15. 已知关于x，y方程组的解满足，则a的值 _______ ． 16. 如图在平面直角坐标系中，，，，，，，…，依次扩展下去，则的坐标为______． 三、解答题（ 共10道题，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 计算： （1） （2） 18. 用消元法解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由，得． 解法二：由①，得 ，③ 把③代入②，得． （1）反思：上述两个解题过程中，解法 有误； （2）解法二求方程组解的方法是______消元法； （3）请选择一种你喜欢的方法，完成解答． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）若与关于轴成轴对称，作出； （2）请写出点关于轴对称点的坐标： ； （3）计算的面积． 20. 如图，已知，． （1）证明：． （2）若，求的度数． 21. 毛泽东主席曾亲笔题词号召全国人民“向雷锋同志学习”，“雷锋精神”激励着一代又一代中国人．今年月号，某校团委组织全校学生开展“学习雷锋精神，爱心捐款活动”，活动结束后对本次活动的捐款抽取了样本进行了统计，制作了下面的统计表，根据统计表回答下面的问题： （1）本次共抽取了______名学生的捐款； （2）补全条形统计图； （3）本次抽取样本学生捐款的众数是______元，中位数是______元； （4）求本次抽取样本学生捐款的平均金额． 22. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示： （1）甲车出发 小时后，乙车才出发； （2）甲车的速度为 ，乙车的速度为 ； （3）请直接写出乙车对应函数的关系式 ； （4）甲、乙两车经过 小时后第一次相遇． 23. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的） 24. 如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点，． （1）求点，的坐标； （2）一次函数的图象与轴交于点，在轴上有一点，使与的面积相等，求点的坐标． 25. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． （1）求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，求该公司共有几种购买方案？假如这些新能源汽车全部售出，最大利润是多少元？ 26. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则． ① ； ． ②____________的线段和． （2）在（1）的条件下，已知，求的最小值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $