第7讲 基本不等式 分层练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

暑假领航（人教A版 必修第一册） 第7讲 基本不等式 A 基础夯实 一、选择题 1．已知且,则的最小值为( ) A. B.8 C.9 D.10 2．已知,,若,则的最小值是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 3．已知a,b为正数,,则的最小值为( ) A. B.8 C. D. 4．某社区计划在一块空地上种植花卉,已知这块空地是面积为1800平方米的矩形,为了方便居民观赏,在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道,则种植花卉区域的面积的最大值是( ) A.1208平方米 B.1448平方米 C.1568平方米 D.1698平方米 5．若2）在处取得最小值，则( ) A.3 B. C. D.4 二、多项选择题 6．已知,则的取值可以是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 7．设正实数m,n满足,则( ) A.的最小值为 B.的最小值为2 C.的最大值为1 D.的最小值为2 三、填空题 8．当时，的最大值为____________. 9．设,则的最小值为________________. 四、解答题 10．(1)已知,求的最大值; (2)已知,求的最大值. 11．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为.如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 12．已知,,. （1）求证：; （2）求的最小值. B 思维拓展 一、选择题 1．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 2．已知,,且,则可能取的值有( ) A.9 B.10 C.11 D.12 三、填空题 3．某电商自营店，其主打商品每年需要6000件，每年进n次货，每次购买x件，每次购买商品需手续费300元，已购进未卖出的商品要付库存费，可认为年平均库存量为，每件商品库存费是每年10元，则要使总费用（手续费＋库存费）最低，则每年进货次数为___________. 四、解答题 4．如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为,宽为. (1)若菜园面积为,则x,y为何值时,可使所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长度为,求的最小值. 第7讲 基本不等式 A 基础夯实 1．答案：C 解析：因为,所以, 当且仅当,即,时等号成立. 故选：C. 2．答案：D 解析：因为,,, 所以基本不等式得,当且仅当时等号成立. 所以的最小值是2, 故选：D. 3．答案：C 解析：因为a,b为正数,,所以, 所以, 当且仅当,即,时等号成立. 故选：C. 4．答案：C 解析：设米,, 则种植花卉区域的面积. 因为,所以,当且仅当时,等号成立, 则,即当米,米时, 种植花卉区域的面积取得最大值,最大值是1568平方米, 故选:C 5．答案：A 解析：，当且仅当，即时，等号成立，所以. 6．答案：BCD 解析：,当且仅当, 即时等号成立,则的最小值为. 故选:BCD. 7．答案：CD 解析：对于选项A, , 当且仅当且时,即,时取等号,则A错误; 对于选项B,, 当且仅当时等号成立,则,即的最大值为2,则B错误; 对于选项C,,即,当且仅当时,等号成立,则C正确; 对于选项D,, 当且仅当时,等号成立,则D正确, 故选：CD. 8．答案：1 解析：因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.故函数的最大值为1. 9．答案：9 解析：因为,所以, 则 ,当且仅当时,等号成立,故的最小值为9. 10．答案：(1); (2). 解析：(1)因为,所以, 所以, 当且仅当时取“=”.所以函数的最大值为. (2)因为,所以, 所以. 当且仅当时取“=”.所以函数的最大值为. 11．答案：198400 解析：设池底的一边长为，则另一边长为，总造价为y元，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以当水池设计成底面边长为的正方形时，总造价最低，最低为198400元. 12．答案：（1）证明见解析 （2）2 解析：（1）由,,,,当且仅当时取等号. 所以,得证. （2）. 当且仅当,时取等号,故的最小值为2. B 思维拓展 1．答案：D 解析：当时，不等式恒成立，，.由于，当且仅当时取等号，故的最小值等于3，，则实数a的取值范围是.故选D. 2．答案：BCD 解析：因为,,且, 所以 ,当且仅当,即取等号, 故选：BCD. 3．答案：10 解析：由题意可得，每年的库存费为（元），则总费用为元.因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以当每年进货次数为10时，总费用最低，为6000元. 4．答案：(1)菜园的长x为,宽y为时,可使所用篱笆总长最小 (2) 解析：(1)由已知可得,而篱笆总长为. 又, 当且仅当,即,时等号成立. 菜园的长x为,宽y为时,可使所用篱笆总长最小. (2)由已知得, 又, ,当且仅当,即,时等号成立. 的最小值是. ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$