第07讲 基本不等式（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第07讲 基本不等式 【人教A版2019】 模块一 两个不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 【题型1 基本不等式的理解及常见变形】 【例1】（24-25高一上·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2025高二·上海·学业考试）下列关于实数a､b的不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【题型2 利用基本不等式比较大小】 【例2】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一上·浙江绍兴·阶段练习）已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一上·陕西西安·期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（　　） A．小于 B．等于 C．大于 D．与左右臂的长度有关 【变式2.3】（2025高一·上海·专题练习）已知，，则，，，中哪一个最大？ 【题型3 利用基本不等式证明不等式】 【例3】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2025·全国·三模）已知，，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，都是正数，求证：. 【变式3.3】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 模块二 基本不等式与最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】 【例4】（24-25高一上·海南儋州·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一上·山西·期中）已知，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式4.2】（24-25高一上·全国·课后作业）回答下面两题 (1)已知，求的最大值． (2)设，求的最大值． 【变式4.3】（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的最值． (1)已知，求的最大值； (2)已知，求的最小值． 【题型5 利用基本不等式求最值（有条件）】 【例5】（24-25高一上·广东河源·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知且，则的最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 【变式5.2】（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 【变式5.3】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）若，，且，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D．4 【题型6 基本不等式的恒成立问题】 【例6】（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【变式6.1】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【变式6.2】（24-25高一上·四川达州·阶段练习）“”是“不等式对于任意正实数x，y恒成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6.3】（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7 基本不等式的有解问题】 【例7】（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 【变式7.1】（23-24高一上·重庆渝北·阶段练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7.3】（24-25高一上·黑龙江大庆·开学考试）在R上定义运算⊗：，时，不等式有解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型8 基本不等式的实际应用】 【例8】（24-25高一上·四川成都·期末）已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（   ） A．20个 B．30个 C．40个 D．50个 【变式8.1】（24-25高一上·辽宁锦州·期末）某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入药剂后，药剂的浓度（单位：）随时间（单位：h）的变化关系可近似的用函数刻画．由此可以判断，要使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（   ） A．1h B．2h C．3h D．4h 【变式8.2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米. (1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为10米，求的最小值. 【变式8.3】（24-25高一上·上海·期中）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， (1)用、表示文字宣传区域面积和； (2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 一、单选题 1．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 2．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建福州·期中）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 4．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知正数满足，则的最小值是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 5．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 6．（24-25高一上·福建漳州·期末）用表示与的最大者，记，其中，都是正数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·上海虹口·期末）设正实数满足，则下列结论不正确的是（    ）. A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 二、多选题 9．（24-25高一上·四川眉山·期末）设，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值为 11．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知x，y都为正数，且2x＋y＝4，则下列说法正确的是（    ） A．xy的最大值为2 B．4x2＋y2的最小值为8 C．＋的最小值为8 D．＋的最大值为 三、填空题 12．（24-25高一上·重庆·期末）已知都是正实数，若，则的最大值为 . 13．（24-25高一上·陕西西安·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为，深．若池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，则建造该蓄水池的最低总造价是 元． 14．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）若正数x，y满足，求的最小值. 16．（24-25高一上·江苏镇江·期末）（1）已知，且，求的最小值； （2）已知，证明：. 17．（24-25高一上·广西南宁·期末）已知，，且． (1)求xy的最大值； (2)求的最小值． 18．（24-25高一上·上海·期中）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室，在室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留2m宽的通道，沿前侧内墙保留4m宽的空地，    (1)写出蔬菜的种植面积关于矩形温室的长之间的关系式． (2)当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 19．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知，. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 基本不等式 【人教A版2019】 模块一 两个不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 【题型1 基本不等式的理解及常见变形】 【例1】（24-25高一上·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本不等式使用的条件判断即可. 【解答过程】对于A：当时，，故A错误； 对于B：取，，故B错误； 对于C：当时，无意义，故C错误； 对于D：，取等条件为，即，故D正确. 故选：D. 【变式1.1】（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由可得． 【解答过程】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 【变式1.2】（2025高二·上海·学业考试）下列关于实数a､b的不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据重要不等式和基本不等式可选出答案. 【解答过程】由重要不等式和基本不等式可知A、B、C恒成立 当时不成立， 故选：D. 【变式1.3】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【解题思路】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可. 【解答过程】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 【题型2 利用基本不等式比较大小】 【例2】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项. 【解答过程】因为，所以，， ，当且仅当时，等号成立， 则. 故选：A. 【变式2.1】（24-25高一上·浙江绍兴·阶段练习）已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用重要不等式可得出四个选项中各数的大小. 【解答过程】因为、为互不相等的正实数， 所以由重要不等式可得，则， 所以，，则， 由基本不等式可得，所以， 因此，最大的数为. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高一上·陕西西安·期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（　　） A．小于 B．等于 C．大于 D．与左右臂的长度有关 【解题思路】利用杠杆原理求得顾客购得的黄金质量的表达式，依据均值定理即可得到顾客购得的黄金质量的取值范围，进而得到选项. 【解答过程】设天平左、右两边的臂长分别为x，y， 设售货员第一次称得黄金的质量为a克，第二次称得黄金的质量为b克， 则，解之得， 则顾客购得的黄金为（克）， （当且仅当时等号成立）， 由题意知，，则克. 故选：C. 【变式2.3】（2025高一·上海·专题练习）已知，，则，，，中哪一个最大？ 【解题思路】先利用基本不等式判断最大数为或，再做差判断正负可得出最大的数. 【解答过程】因为，，所以，， 所以四个数中最大的数应为或； 又因为，，所以 所以，所以最大. 【题型3 利用基本不等式证明不等式】 【例3】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本不等式依次判断选项即可. 【解答过程】A. ∵（当且仅当时取等号）， ∴，当且仅当且时取等号. 选项A正确. B. ，当且仅当即时取等号. 选项B正确. C. ∵（当且仅当时取等号）， ∴. 选项C正确. D. ∵（当且仅当时取等号）， ∴. 选项D错误. 故选：D. 【变式3.1】（2025·全国·三模）已知，，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C. 【解答过程】因为，，且， 由基本不等式可得（当且仅当时取等号），A正确； 由基本不等式知，则， 即（当且仅当时取等号），B正确； 由题得， 由已知，故，所以， 故，C正确； 由基本不等式可得， 即（当且仅当时取等号），D错误. 故选：D. 【变式3.2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，都是正数，求证：. 【解题思路】对分别应用基本不等式求解即可. 【解答过程】证明∵，都是正数， ∴，，，，， ∴，（当且仅当时等号成立）. ∴， 即，当且仅当时，等号成立. 【变式3.3】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【解题思路】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【解答过程】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 模块二 基本不等式与最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】 【例4】（24-25高一上·海南儋州·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将原式化为，然后利用基本不等式求解即可. 【解答过程】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 【变式4.1】（24-25高一上·山西·期中）已知，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【解题思路】由，然后利用基本不等式求最大值． 【解答过程】因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号， 所以的最大值为1. 故选：C. 【变式4.2】（24-25高一上·全国·课后作业）回答下面两题 (1)已知，求的最大值． (2)设，求的最大值． 【解题思路】（1）将所求式子转化为，再利用基本不等式求最值； （2）利用基本不等式求最值. 【解答过程】（1），，， ， 当且仅当，即时，等号成立． 当时，取得最大值1． （2），， ， 当且仅当，即时，等号成立． 当时，取得最大值． 【变式4.3】（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的最值． (1)已知，求的最大值； (2)已知，求的最小值． 【解题思路】（1）利用基本不等式可求得的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当， 即时，等号成立，故的最大值为． （2）因为，所以． 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，函数取得最小值. 【题型5 利用基本不等式求最值（有条件）】 【例5】（24-25高一上·广东河源·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【解题思路】根据基本不等式可求最小值. 【解答过程】为正实数，则为正数，由得， 因为，所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式5.1】（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知且，则的最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 【解题思路】根据基本不等式即可求解. 【解答过程】因为，所以， 当且仅当，即，时等号成立. 故选：C. 【变式5.2】（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解答过程】实数，，满足，故， 即， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为1. 故选：C. 【变式5.3】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）若，，且，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D．4 【解题思路】由变形可得，利用基本不等式求解. 【解答过程】因为，所以， 因为，，所以，同理， 又， 因为，，， 由基本不等式就可得， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 【题型6 基本不等式的恒成立问题】 【例6】（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【解题思路】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【解答过程】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 【变式6.1】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】根据基本不等式“1”的妙用先求得的最小值，进而转化问题为，解不等式即可求解. 【解答过程】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 要使恒成立，则， 解得，即实数的取值范围为. 故选：A. 【变式6.2】（24-25高一上·四川达州·阶段练习）“”是“不等式对于任意正实数x，y恒成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】利用基本不等式结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【解答过程】不等式对于任意正实数x，y恒成立，则， 则， 当且仅当，即时，取等号，则，即， 解得或（舍去），所以， 当时，成立，反之时，不一定成立， 所以“”是“不等式对于任意正实数x，y恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式6.3】（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用基本不等式求得的最小值，由此列不等式来求得的取值范围. 【解答过程】已知，则， 因为4， 当且仅当时等号成立，由，解得. 故的最小值为4. 因为恒成立，所以，解得，即. 故选：B. 【题型7 基本不等式的有解问题】 【例7】（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 【解题思路】根据题意，利用基本不等式求得的最小值，把不等式有解，转化为不等式，即可求解. 【解答过程】由两个正实数满足，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 又由不等式有解，可得，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故选：B. 【变式7.1】（23-24高一上·重庆渝北·阶段练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本不等式"1"的替换进行求解即可. 【解答过程】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当时取等号，即当时，取等号， 因此要想有解， 只需， 故选：B. 【变式7.2】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用基本不等式进行代换，从而求出答案. 【解答过程】由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以，解得或， 故选：C. 【变式7.3】（24-25高一上·黑龙江大庆·开学考试）在R上定义运算⊗：，时，不等式有解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】转化条件得在上有解，利用基本不等式求得在的最大值即可得解. 【解答过程】依题意，在上有解， 则，即在上有解， 又，当且仅当时取等号， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 【题型8 基本不等式的实际应用】 【例8】（24-25高一上·四川成都·期末）已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（   ） A．20个 B．30个 C．40个 D．50个 【解题思路】根据题设有每个面包的总成本，应用基本不等式求结果. 【解答过程】由题设，总成本为，则每个面包的总成本， 当且仅当时取等号，故每个面包的总成本最小，每天应制作40个. 故选：C. 【变式8.1】（24-25高一上·辽宁锦州·期末）某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入药剂后，药剂的浓度（单位：）随时间（单位：h）的变化关系可近似的用函数刻画．由此可以判断，要使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（   ） A．1h B．2h C．3h D．4h 【解题思路】利用基本不等式求解最值可得． 【解答过程】依题意，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h． 故选：C. 【变式8.2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米. (1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为10米，求的最小值. 【解题思路】（1）利用基本不等式求解和的最小值. （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解答过程】（1）依题意，，所用篱笆总长为，而， 当且仅当，即，时取等号， 所以育苗区的长为，宽为时，所用篱笆总长最小. （2）依题意，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值. 【变式8.3】（24-25高一上·上海·期中）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， (1)用、表示文字宣传区域面积和； (2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 【解题思路】（1）利用矩形的面积公式列式即得. （2）由（1）的结论，利用基本不等式求出最大值. 【解答过程】（1）依题意，三个栏目的文字宣传区域拼在一起，相当于长宽分别为的矩形， 所以. （2）依题意，，由（1）知， 当且仅当时取等号，由，解得， 所以纸张的长和宽分别为时，面积取得最大值. 一、单选题 1．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 【解题思路】应用基本不等式求最小值，注意取值条件即可. 【解答过程】由题设，当且仅当时取等号，故原式的最小值为3. 故选：C. 2．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】运用基本不等式“1”的妙用求解即可. 【解答过程】因为，，所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 3．（24-25高一上·福建福州·期中）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 【解题思路】利用基本不等式求最值即可. 【解答过程】设矩形菜园的宽为 ，长 ，则，且，. 因为 （当且仅当，时取“”）. 故选：D. 4．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知正数满足，则的最小值是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【解题思路】应用常值代换结合基本不等式计算求解. 【解答过程】因为正数满足， 则， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值是8. 故选：A. 5．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 【解题思路】由题意可得，求得即可. 【解答过程】因为x，，所以，所以， 又， 当且仅当时，取等号，所以， 所以实数a的最小值是. 故选：B. 6．（24-25高一上·福建漳州·期末）用表示与的最大者，记，其中，都是正数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件有，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【解答过程】因为，所以， 则， 又，都是正数，所以，当且仅当，即时取等号， ，当且仅当，即时取等号， 故，得到，当且仅当，时取等号， 故选：B. 7．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用恒成立等价条件转化，再利用不等式即可求得结果 【解答过程】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号， 故. 故选：A. 8．（24-25高一上·上海虹口·期末）设正实数满足，则下列结论不正确的是（    ）. A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【解题思路】根据基本不等式的应用，结合选项计算即可判断. 【解答过程】A：∵， ∴， 当且仅当即时等号成立，故A正确． B：，得， ，所以， 当且仅当即时等号成立，故B正确． C：，∴，当且仅当时，等号成立，故C错误； D：，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：C． 二、多选题 9．（24-25高一上·四川眉山·期末）设，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用基本不等式判断大小关系，即可得答案. 【解答过程】由，则，故， 综上，有，B对，A、C、D错. 故选：ACD. 10．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值为 【解题思路】根据基本不等式可求得结果，注意“一正二定三相等”. 【解答过程】对于A：当时，，最小值不为，A错误； 对于B：设， 则开口向下，对称轴为， 时，单调递增，当时，单调递减， 当时，取最大值，此时， 则的最大值是，B正确； 对于C：， 当且仅当时等号成立，这样的不存在，C错误； 对于D：根据基本不等式，将原式变形为， 根据基本不等式， 当且仅当，即时取等号， 因此原式最大值为， 又，故上述不等式无法取等号，D错误. 故选：ACD. 11．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知x，y都为正数，且2x＋y＝4，则下列说法正确的是（    ） A．xy的最大值为2 B．4x2＋y2的最小值为8 C．＋的最小值为8 D．＋的最大值为 【解题思路】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】因为x>0，y>0，2x＋y＝4，所以，即xy≤2， 当且仅当2x＝y＝2时取等号，故A正确； 4x2＋y2＝(2x＋y)2－4xy＝16－4xy≥8，当且仅当2x＝y＝2时取等号，故B正确； ＝ ， 当且仅当2x＝y＝2时取等号，故C错误； ，即， 当且仅当2x＝y＝2时取等号，故D错误． 故选：AB. 三、填空题 12．（24-25高一上·重庆·期末）已知都是正实数，若，则的最大值为 . 【解题思路】由基本不等式即可求解； 【解答过程】， 可得：，当且仅当时，取等号， 所以的最大值为， 故答案为：. 13．（24-25高一上·陕西西安·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为，深．若池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，则建造该蓄水池的最低总造价是 元． 【解题思路】设蓄水池池底的一边长为，则根据题意，由基本不等式求最小值即可. 【解答过程】设该蓄水池池底的一边长为，则与该边相邻的一边长为， 设建造该蓄水池的总造价为元， 则． 因为 ，当且仅当时，等号成立， 所以，即建造该蓄水池的最低总造价是元． 故答案为：. 14．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【解题思路】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【解答过程】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）若正数x，y满足，求的最小值. 【解题思路】（1）利用基本不等式求得正确答案. （2）先化简已知条件，然后利用基本不等式求得正确答案. 【解答过程】（1）由于，所以， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. （2）依题意，正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 16．（24-25高一上·江苏镇江·期末）（1）已知，且，求的最小值； （2）已知，证明：. 【解题思路】（1）利用基本不等式计算可得结果； （2）利用作差法计算即可证明得出结论. 【解答过程】（1）易知，即可得, 解得，当且仅当时，等号成立， 此时的最小值为4； （2）因为， 所以 , 因此. 17．（24-25高一上·广西南宁·期末）已知，，且． (1)求xy的最大值； (2)求的最小值． 【解题思路】（1）利用基本不等式可得，即可求解； （2）利用“1”的妙用，结合基本不等式，即可求解． 【解答过程】（1）， ， ，即， 当且仅当，即时，取得最大值； （2） ， 当且仅当，即时，取得最小值． 18．（24-25高一上·上海·期中）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室，在室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留2m宽的通道，沿前侧内墙保留4m宽的空地，    (1)写出蔬菜的种植面积关于矩形温室的长之间的关系式． (2)当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 【解题思路】（1）设蔬菜的种植面积为，矩形温室的长为，可得种植蔬菜矩形的宽为，再根据矩形的面积公式即可得答案； （2）利用基本不等式求解即可. 【解答过程】（1）解：设蔬菜的种植面积为，矩形温室的长为， 则矩形温室的宽为,种植蔬菜矩形的长为，宽为， 所以； （2）解：因为， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 即当矩形温室的一边长为，另一边长为时，蔬菜的种植面积最大，最大为. 19．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知，. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围. 【解题思路】（1）利用基本不等式即可证明； （2）根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用求出最值即可； （3）不等式可化为恒成立，求出最小值，再借助恒成立求解即得. 【解答过程】（1）因为，，所以， 则，故， 当且仅当，即，时取等号. （2）因为，所以，则， 则 ， 当且仅当，即时取得等号， 故的最小值为. （3）因为，，所以， 则可化为恒成立， 又，当且仅当时取得等号， 所以， 则， 故的取值范围为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$