精品解析：广东省云浮市罗定市培献中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

九年级数学第一次素质检测（时间：120分，总分：120分） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知反比例函数 ，它的图象一定经过点( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点．根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于即可判断该点在函数图象上，据此求解． 【详解】解：∵，，，， ∴比例函数的图象一定经过点， 故选：A． 2. 玲玲在绘制某反比例函数的图象时，列表如下． 3 6 8 2 其中记录错误的的数据为（ ） A. B. C. 8 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象的性质，根据反比例函数图象上点的横纵坐标的积是定值可得答案. 【详解】解：∵反比例函数图象上点的横纵坐标的积是定值， ∴， ∴记录错误的的数据为， 故选：C 3. 如图，中，D，E分别是边，上的点，且，若，，则的长为（ ） A. 18 B. 16 C. 12 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可直接求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 4. 如图，AB与CD交于点，且．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用平行线得到相似三角形，并根据相似三角形的性质求解． 先根据平行线证明与相似，再由已知条件得出相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出的值． 【详解】， ， ， 已知，设，则， ， 与的相似比为， 根据相似三角形面积比等于相似比的平方， ． 故选：C． 5. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. B. 5 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．先根据平行线分线段成比例定理可得的长，再根据求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为8，则的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，利用位似的性质得到，所以，然后根据相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵与位似，点O为位似中心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，在中，对角线相交于点O，点E为线段上一点，过点E作交于点F，则下列关系不一定成立的（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，由，得到，可判断A选项不符合题意，D选项符合题意；证明，可判断BC选项不符合题意，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，即，故A选项不符合题意，D选项符合题意； ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，故BC选项不符合题意， 故选：D． 8. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点、 、都在格点上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正弦值，勾股定理．解题的关键在于构造含有的直角三角形．如图，延长到，连接，由图可知，勾股定理求的值，代入中计算求解即可． 【详解】解：如图，延长到，连接 由图可知： ∵， ∴ 故选D． 9. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为则正六边形的外接圆半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质、勾股定理和直角三角形的性质，解题关键是根据正多边形的性质得出含特殊角的直角三角形，解直角三角形即可． 【详解】解：因为正六边形， 所以，，是正六边形的外接圆直径，平分， ∴，， ∴， ，即， ∴， ∴正六边形的外接圆半径为， 故选：B． 10. 如图，在中，，分别以为边向外作正方形和正方形，连结，设，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求正切，正方形的性质，勾股定理；连接，设交于点，则，证明三点共线，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，设交于点，则， ∵四边形，是正方形， ∴ 又∵ ∴ ∴三点共线， 又∵ ∴， ∵ ∴ ∴ 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在中，，，则________． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，根据，，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：45． 12. 两个相似三角形的对应面积比为，则其对应周长比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形周长的比等于相似比．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应周长的比等于相似比解答． 【详解】解：∵两个相似三角形对应的面积之比为， ∴相似比是， 又∵相似三角形对应周长的比等于相似比， ∴对应周长的比为， 故答案为：． 13. 如图，在中，，D是上一点，，，则的长为_______． 【答案】2 【解析】 【详解】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意，得出，再结合相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知，， ， ， ， ∴， 则， ， ， 又， ∴， ∴， 故答案为：2． 14. 如图，D，E分别在边上，已知，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，由题意灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．由题意直接根据相似三角形的性质列出比例式，进行代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 15. 如图，反比例函数的图象经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点的坐标为，则的面积为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式以及三角形的面积，由斜边的中点得到，再求出反比例函数解析式，再根据垂直得到，最后根据计算即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴斜边的中点， 把代入得，，解得， ∴反比例函数解析式为 ∵， ∴轴， ∴ 、的横坐标为， 当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 将特殊角的三角函数值代入原式进行计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，已知，若的面积为12，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴， ∵的面积为， ∴的面积， 答：的面积为． 18. 如图，在中，，，于点，若，求的长． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 先根据正切的定义得出的长，再利用的正切值得出的长，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）在y轴左侧，以为位似中心，画出，使它与的相似比为； （2）根据（1）的作图，　 　． 【答案】（1）画图见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用，进而得出答案． 【小问1详解】 解：在y轴左侧，以为位似中心，相似比为， ∴如图所示， ∴即为所求图形． 【小问2详解】 解：如图所示，过点 作于， ∵，，， ∴，点到的距离（高）是， ∴，且， ∴，即， 在中，， ∴， ∵是的相似图形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了位似变换以及解直角三角形，正确将已知角转化到直角三角形是解题关键． 20. 为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从B点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从B点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图 （1）第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度． （2）第二小组测得米，则______． （3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】（1） （2）30米 （3）可行，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得为等腰直角三角形，即可解答； （2）由题意得为等腰三角形，即可解答； （3）由题意得，即可解答． 【小问1详解】 解：∵点C恰好在点A东南方向， ∴为等腰直角三角形， ∴要知道河宽，只需要知道线段的长度， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ∴， ∴米， 故答案为：30米； 【小问3详解】 解：可行，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∴只要测得就能得到河宽， 故第三小组的方案可行． 【点睛】本题考查了等腰三角形、相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点并运用数学结合思想． 21. 如图所示，函数，的图象交于点． （1）求出点的坐标； （2）直线与函数，的图象交于点、 两点，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数交点问题，掌握利用解方程求交点坐标是解题的关键． （1）联立，解交点坐标即可； （2）当时求出，的值即可解题． 【小问1详解】 解方程组， 解得或， ， ； 【小问2详解】 当时，，， ． 22. 如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点E．求证： （1）APB≌APD； （2）PD2＝PE•PF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，由“SAS”可证△ABP≌△ADP； （2）由全等三角形的性质可得PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，通过证明△EPB∽△BPF，可得，可得结论． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC， 在△ABP和△ADP中， ， ∴△ABP≌△ADP（SAS）； （2）∵△ABP≌△ADP， ∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP， ∵ADBC， ∴∠ADP＝∠E， ∴∠E＝∠ABP， 又∵∠FPB＝∠EPB， ∴△EPB∽△BPF， ∴， ∴PB2＝PE•PF， ∴PD2＝PE•PF． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等与相似的判定方法． 23. 【感知】 如图1，在四边形中，点在边上（点不与A，B重合），．易证：（不要求证明）． 【探究】 （1）如图2，在四边形中，点在边上（点不与点A，B重合），．求证：； 【应用】 如图3，在中，．点在边上（点不与点A，B重合），连接，作与边交于点． （2）当时，求的长； （3）当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】 （1）证明：是的外角， ，即． ， ． 又， ． （2） （3）或 【解析】 【分析】[探究]（1）利用三角形外角的性质，得到，即可求解； [应用]（2）通过三角形外角的性质，得到，利用相似三角形的性质，求解即可； （3）分两种情况，、，分别求解即可． 【详解】[探究]（1）略 [应用]解：（2）设，则． ， ． ， ， ， ，即， 化简可得， 解得（不合题意，舍去）或， 即． （3）由（2）可得，， ， 则为等腰三角形，有两种情况，或． 当时， 由（2）可得，， ， ， ． 当时，， 则， ， ． 设，则， ， 则． 由可得，，即， 解得， ． 综上，或． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解一元二次方程，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第一次素质检测（时间：120分，总分：120分） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知反比例函数 ，它的图象一定经过点( ) A. B. C. D. 2. 玲玲在绘制某反比例函数的图象时，列表如下． 3 6 8 2 其中记录错误的的数据为（ ） A. B. C. 8 D. 2 3. 如图，中，D，E分别是边，上的点，且，若，，则的长为（ ） A. 18 B. 16 C. 12 D. 10 4. 如图，AB与CD交于点，且．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. B. 5 C. D. 8 6. 如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为8，则的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 7. 如图，在中，对角线相交于点O，点E为线段上一点，过点E作交于点F，则下列关系不一定成立的（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点、 、都在格点上，则（ ） A. B. C. D. 9. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为则正六边形的外接圆半径为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，分别以为边向外作正方形和正方形，连结，设，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在中，，，则________． 12. 两个相似三角形的对应面积比为，则其对应周长比为______． 13. 如图，在中，，D是上一点，，，则的长为_______． 14. 如图，D，E分别在边上，已知，若，则_________． 15. 如图，反比例函数的图象经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点的坐标为，则的面积为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，已知，若的面积为12，求的面积． 18. 如图，在中，，，于点，若，求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）在y轴左侧，以为位似中心，画出，使它与的相似比为； （2）根据（1）的作图，　 　． 20. 为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从B点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从B点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图 （1）第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度． （2）第二小组测得米，则______． （3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 21. 如图所示，函数，的图象交于点． （1）求出点的坐标； （2）直线与函数，的图象交于点、 两点，求的长度． 22. 如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点E．求证： （1）APB≌APD； （2）PD2＝PE•PF． 23. 【感知】 如图1，在四边形中，点在边上（点不与A，B重合），．易证：（不要求证明）． 【探究】 （1）如图2，在四边形中，点在边上（点不与点A，B重合），．求证：； 【应用】 如图3，在中，．点在边上（点不与点A，B重合），连接，作与边交于点． （2）当时，求的长； （3）当是等腰三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $