精品解析：安徽省桐城市第二中学2024-2025学年上学期八年级期末数学试卷

桐城二中2024-2025学年度第一学期期末学情调研 八年级数学试题卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若一个三角形的三边长分别为，则的值可以是（ ） A. 9 B. 8 C. 3 D. 2 3. 如图是用尺规作的平分线的示意图，这样作图的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，若点在第二、四象限的角平分线上，则m的值为（　　） A. B. C. D. 2 6. 下列命题中，真命题的个数是（ ） （）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 （）三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角 （）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （）两条边相等及一个角相等的两个三角形一定全等 A. B. C. D. 7. 如图，是的外角的平分线，且，，交的延长线于点E，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的对应关系如图所示：则点C的纵坐标为（ ） A. 350 B. 380 C. 400 D. 420 9. 如图，在中，，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论： ①； ②； ③； ④是直线上不重合的两点，则． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 已知点，先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，恰好落在原点上，则P点坐标为 ___________． 12. 点在直线上，则_________． 13. 如图，中，，D为底边的中点，，的垂直平分线交于点M，交于点N．O为线段上一点，则的最小值为_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点，点P是直线AB上方第一象限内的动点． （1）点P是直线：上一动点，当的面积与的面积相等时，点P的坐标为_______； （2）当为等腰直角三角形时，点P的坐标为_______． 三、（每题8分，共16分） 15. 已知，试判断A，B，C三点是否在同一直线上，并说明理由． 16. 已知等腰三角形周长为，两边之比为，求底边长． 四、（每题8分，共16分） 17. 如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上， （1）直接写出的面积_______； （2）作出关于直线对称的； 18. 已知点，解答下列各题： （1）若点P在x轴上，试求出点P的坐标； （2）若，且轴，试求出点P的坐标． 五、（每题10分，共20分） 19. 如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求k、b的值； （2）若点D在y轴负半轴上，且满足S△COD=S△BOC，求点D的坐标． 六、（每题12分，共24分） 21. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求∠B的度数． 22. 5月12号是全国防灾减灾日，学校对校园隐患进行了排查，发现放学时，七、八年级所处的教学楼楼梯口空间窄，人流量大，极易发生拥堵，从而出现不安全因素、通过观察，发现七年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数 (人)与时间x(分钟)满足关系：，八年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数 (人)与时间x(分钟)满足如图的关系．已知两个年级同时准备通过楼梯口的人数超过70人，就会发生拥堵． （1）试写出八年级学生准备通过楼梯口的人数(人)和时间x(分钟)之间的函数关系式； （2）若七、八年级学生同时放学，几分钟后楼梯口开始拥堵？ （3）为了解决拥堵问题，排除校园安全隐患，学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，请通过计算说明学校的这一举措是否有效． 七、（每题14分，共14分） 23. 如图，分别以三角形的边，为边向外作等边和等边，交于点O，交于M，与交于点N． （1）求度数； （2）连接，求证：平分； （3）若，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桐城二中2024-2025学年度第一学期期末学情调研 八年级数学试题卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点所在的象限是第四象限． 故选：D． 2. 若一个三角形的三边长分别为，则的值可以是（ ） A. 9 B. 8 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系列出不等式组，求出的取值范围,进而即可得解，熟练掌握三角形的三边关系是解决此题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为， ， ∴， 只有选项B符合题意， 故选：B． 3. 如图是用尺规作的平分线的示意图，这样作图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作角平分线的尺规作图，先理解题意，观察作图过程得，证明，则，即可作答． 【详解】解：观察作图过程得， ∴， ∴， 即平分， 故选：B． 4. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 5. 在平面直角坐标系中，若点在第二、四象限的角平分线上，则m的值为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了坐标系中点的规律． 由题意可得点的横坐标和纵坐标互为相反数，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵点在第二、四象限的角平分线上， ∴点的横坐标和纵坐标互为相反数， ∴ 解得， 故选：A． 6. 下列命题中，真命题的个数是（ ） （）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 （）三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角 （）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （）两条边相等及一个角相等的两个三角形一定全等 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题，根据垂线的性质、点到直线的距离、三角形外角性质、平行公理和三角形全等的判定方法逐一判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该命题是真命题，符合题意； （）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题，不合题意； （）三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角，该命题是真命题，符合题意； （）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该命题是真命题，符合题意； （）两条边相等及其夹角相等的两个三角形一定全等，原命题是假命题，不合题意； ∴真命题有个， 故选：． 7. 如图，是的外角的平分线，且，，交的延长线于点E，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义和三角形的外角定理，熟练地掌握角平分线的定义以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键． 根据三角形的外角定理即可求出，根据角平分线的定义，可求出，再根据三角形的外角定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的对应关系如图所示：则点C的纵坐标为（ ） A. 350 B. 380 C. 400 D. 420 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数图像的理解，关键在于读懂题意与看懂函数图像，先根据图像和题意算出慢车速度，然后设快车速度为x千米/小时，列出方程解方程，再求解快车的到达时间以及慢车的行驶路程即可得到答案； 【详解】解：由题意得：慢车总用时10小时， ∴慢车速度为(千米/小时)； 假设快车速度为x千米/小时， 由图像得：，解得：， ∴快车速度为90千米/小时， ∴， ∴， ∴点C的纵坐标为， 故选C 9. 如图，在中，，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后判断出点在的垂直平分线上，根据三角形外心的性质可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理和翻折的性质列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接、， 平分， ， 又， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ， 平分，， 又∵， ， ， ∴点在的垂直平分线上， 又∵是的垂直平分线， ∴点在的垂直平分线上， ∴， ∴， 根据翻折的性质可得， ， ， ， 故选：A． 10. 已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论： ①； ②； ③； ④是直线上不重合的两点，则． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，根据一次函数中的与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题，关键是熟练掌握用数形结合的思想解决问题． 【详解】解：①观察图象可知，的图象过第二、三、四象限， ∴， ∴，故①符合题意； ②将分别代入和得： ，， 观察图象不难发现点在点的上方， ∴，故②符合题意； ③观察图象发现，与交点的横坐标为， ∴当时，两者的函数值相等， ， ，故③符合题意； ④，是直线上不重合的两点， 由的图象可知，当时，，则 当时，，则故④不符合题意； 故选：C． 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 已知点，先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，恰好落在原点上，则P点坐标为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的规律：上加下减，左减右加，列出方程即可求解． 【详解】解：∵点，先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得，且改点恰好落在原点上， ∴，， 解得，． ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了坐标的平移，关键是利用平移的规律：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．在x轴的负半轴上的点的横坐标，纵坐标为0． 12. 点在直线上，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用点在直线上，得到，然后利用整体代入的方法即可计算的值． 【详解】∵点在直线上， ∴，即， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了直线上点的坐标特征，整体思想的应用是正确解答本题的关键． 13. 如图，中，，D为底边的中点，，的垂直平分线交于点M，交于点N．O为线段上一点，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一，连接，中垂线的性质，得到，进而得到，三线合一结合三角形的面积公式求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点M，交于点N， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， ∵，D为底边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点，点P是直线AB上方第一象限内的动点． （1）点P是直线：上一动点，当的面积与的面积相等时，点P的坐标为_______； （2）当为等腰直角三角形时，点P的坐标为_______． 【答案】 ①. ②. 或或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线围成的三角形面积，全等三角形的判定与性质，数形结合是解题的关键． （1）把B的坐标代入直线的解析式，即可求得k的值，进而求出点的坐标，根据的面积与的面积相等列方程即可得答案； （2）分三种情况：当，时，过点P作轴，，根据条件证明，根据对应边相等求解即可；当，时，过点P作轴，当，时，过点P作轴，同理可求． 【详解】解：（1）∵直线交y轴于点A，交x轴于点， ∴ 解得 ∴直线的解析式是； 将代入，解得， ， ， ， 点P是直线上一动点，D点在上，令，则， 则， 设， 的面积与的面积相等 解得或（不合题意，舍去） ； 故答案为：； （2）解：当，时，过点P作轴，，如图， ∵轴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， 设 ∴，，，， ∴，解得：， ∴； 当，时，过点P作轴，如图， 同理可得： ， ∵，， 设 ∴，，，， ∴，，解得：， ∴； 当，时，过点P作轴，如图， 同理可得： ∴， ∵，， 设 ∴，，，， ∴，，解得：， ∴； 或或． 三、（每题8分，共16分） 15. 已知，试判断A，B，C三点是否在同一直线上，并说明理由． 【答案】 解：A，B，C三点在同一直线上，理由如下： ∵， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴， ∴当时，； 故点在直线上，即：A，B，C三点在同一直线上． 【解析】 【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数图象上的点，求出直线的解析式，把点代入解析式，进行判断即可． 【详解】略 16. 已知等腰三角形周长为，两边之比为，求底边长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的有关边的相关知识，此外还涉及到三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．由于题中只给出了两边之比，没有明确说明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行讨论计算即可，但是最后需要结合三角形三边的关系将不合题意的结果舍去． 【详解】解：①当腰长与底边的比为时，设腰长为，底边长为， 则：， 解得， ∴，， ∴此时腰长为：8，底边长为：20， ∵， ∴此时三角形不存在，应舍去； ②当底边与腰长的比为时，设腰长为，底边长为， 则， 解得， ∴,， ∴此时腰长为：15，底边长为：6， 综上：满足条件的等腰三角形的底边长为：6． 四、（每题8分，共16分） 17. 如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上， （1）直接写出的面积_______； （2）作出关于直线对称的； 【答案】（1） （2） 如图，即为所求， 【解析】 【分析】本题考查轴对称的作图和利用网格求三角形面积． （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）分割法求出三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：的面积 故答案为： 【小问2详解】 略 18. 已知点，解答下列各题： （1）若点P在x轴上，试求出点P的坐标； （2）若，且轴，试求出点P的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题运用了平面直角坐标系中点的坐标特征来解决问题，关键是用好数形结合的数学思想． （1）根据轴上的点纵坐标为0解答即可； （2）利用轴时横坐标相等进行解答即可． 【小问1详解】 点在轴上， ， ， ， 【小问2详解】 ，且轴， ，， ， 五、（每题10分，共20分） 19. 如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）6 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质结合线段之间的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求k、b的值； （2）若点D在y轴负半轴上，且满足S△COD=S△BOC，求点D的坐标． 【答案】（1）k=-1，b=4；（2）点D的坐标为（0，-4）． 【解析】 【详解】分析：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出k、b的值； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，设点D的坐标为（0，m）（m＜0），根据三角形的面积公式结合S△COD=S△BOC，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，进而可得出点D的坐标． 详解：（1）当x=1时，y=3x=3， ∴点C的坐标为（1，3）． 将A（﹣2，6）、C（1，3）代入y=kx+b， 得：， 解得：． （2）当y=0时，有﹣x+4=0， 解得：x=4， ∴点B的坐标为（4，0）． 设点D的坐标为（0，m）（m＜0）， ∵S△COD=S△BOC，即﹣m=××4×3， 解得：m=-4， ∴点D的坐标为（0，-4）． 点睛：本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出k、b的值；（2）利用三角形的面积公式结合结合S△COD=S△BOC，找出关于m的一元一次方程． 六、（每题12分，共24分） 21. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求∠B的度数． 【答案】（1） 解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质． （1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知； （2）设，由（1）可知，然后根据三角形的内角和为列出方程即可求出x的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质， ， ∵， ∴， 在中，， 解得，， ∴． 22. 5月12号是全国防灾减灾日，学校对校园隐患进行了排查，发现放学时，七、八年级所处的教学楼楼梯口空间窄，人流量大，极易发生拥堵，从而出现不安全因素、通过观察，发现七年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数 (人)与时间x(分钟)满足关系：，八年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数 (人)与时间x(分钟)满足如图的关系．已知两个年级同时准备通过楼梯口的人数超过70人，就会发生拥堵． （1）试写出八年级学生准备通过楼梯口的人数(人)和时间x(分钟)之间的函数关系式； （2）若七、八年级学生同时放学，几分钟后楼梯口开始拥堵？ （3）为了解决拥堵问题，排除校园安全隐患，学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，请通过计算说明学校的这一举措是否有效． 【答案】（1）； （2）第分钟后会开始拥堵 （3）举措有效， 由题意得， 即， 楼梯口的总人数为， 即， 画出图象如图： 由图可知，总人数最多为65人，小于70人，故不会发生拥堵． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）利用待定系数法分别求解即可； （2）设楼梯口的总人数为人，当时，则，据此列不等式计算即可求解； （3）学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，则，据此楼梯口的总人数为，画出图象，根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：当时，设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴； 当时，设直线的解析式为， 将和代入得，，解得， ∴； 综上，； 【小问2详解】 解：设楼梯口的总人数为人， 当时，， 令，则， 得， 答：第分钟后会开始拥堵； 【小问3详解】 略 七、（每题14分，共14分） 23. 如图，分别以三角形的边，为边向外作等边和等边，交于点O，交于M，与交于点N． （1）求度数； （2）连接，求证：平分； （3）若，，，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，作于，于， ， 由（1）可得， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上，即平分； （3） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，再证明，得出，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）作于，于，由（1）可得，由全等三角形的性质可得，，结合三角形面积公式可得，再由角平分线的判定定理即可得证； （3）作交的延长线于，求出，从而可得，由（1）可得，即可得出，再由计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵、均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作交的延长线于， ， ∵、均为等边三角形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $