精品解析：安徽省六安市金安区六安皋城中学2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

六安皋城中学2024-2025学年度第一学期期末考试 八年级数学试题 时间：120分钟满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 的值随值的增大而增大 B. 它图象经过一、二、三象限 C. 当时， D. 它的图象必经过点（-1，2） 3. 如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A. B. C. D. 4. 已知点，在正比例函数的图象上，且当时，有，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（　　） A. B. C. D. 6. 以下条件中能够判定一个三角形是等腰三角形是（　　） ①一条边上高线与这条边上的中线重合 ②一条边上的高线与这条边所对的角的角平分线重合 ③一条边上的中线与这条边所对的角的角平分线重合 A. 只有①和②可以 B. 只有①和③可以 C. 只有②和③可以 D. ①②③全部都可以 7. 一次函数y1＝ax＋b与一次函数y2＝bx－a在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、中点，，则的值为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 如图，在四边形中，，E是上一点，F是的中点，，若，则的长度是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 把直线向右平移3个单位长度后得到的直线的解析式是___________． 12. 在某等腰三角形中，一条腰上中垂线与另一条腰所在直线的夹角为，则该等腰三角形顶角的度数为___________． 13. 如图，等腰的底边长为8，面积为24，腰的垂直平分线分别交于点E，F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值是______． 14. 已知一次函数（为常数且）． （1）若该一次函数图象经过点，则_____________； （2）当时，函数有最大值，则的值为_____________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知：y-2与x成正比例，且x=2时，y=4. （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点M（m，3）在这个函数的图象上，求点M的坐标． 16. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称； （2）三角形的面积为______； （3）以为边作与全等的三角形，则可作出______个三角形与全等； 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． （1）求、的值； （2）若点在轴上，且满足，求点的坐标． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知正方形在直角坐标系中（如图），，求点B、C的坐标． 20. 在长方形中，动点P从点A开始按的方向运动到点D，如图，设动点P所经过的路程为x，的面积为y(当点P与点A或D重合时，)． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）当的面积y等于4时，求此时P所经过的路程x． 六、（本题满分12分） 21. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）求证：BE=CF； （2）如果AB=8，AC=6，求AE，BE的长． 七、（本题满分12分） 22. 已知，如图，等边三角形中，，点P为边上的任意一点(点P可以与点A重合，但不与点B重合)，过点P作，垂足为E，过点E作，垂足为F，过点F作，垂足为Q，设． （1）写出y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量范围)； （2）当的长等于多少时，点P与点Q重合． 八、（本题满分12分） 23. 爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏．随着春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．肥西县某百货超市计划购进春联和灯笼这两种商品．已知第一次购进3个灯笼和4副春联花费135元，第二次购进9个灯笼和10幅春联花费375元． （1）求每个灯笼和每副春联的进价各是多少元？ （2）由于灯笼和春联畅销，超市决定第三次用不超过6000元的资金购进灯笼和春联这两种商品共300件，其中春联的数量不大于灯笼的数量的2倍，且灯笼和春联的进价保持不变．若每个灯笼的售价为30元，每副春联的售价为25元，在销售中灯笼有的损坏，春联有的损坏．若第三次购进的灯笼和春联全部售出（损坏的灯笼和春联不能售出），请问当第三次购进灯笼多少个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安皋城中学2024-2025学年度第一学期期末考试 八年级数学试题 时间：120分钟满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 故选B． 2. 一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 的值随值的增大而增大 B. 它的图象经过一、二、三象限 C. 当时， D. 它的图象必经过点（-1，2） 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵-2＜0，1＞0， ∴A的值随值的增大而减小，故本选项错误，不符合题意； B、它的图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意； C、当时，，所以当时，，故本选项正确，符合题意； D、当时，，它的图象必经过点（-1，3），故本选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 3. 如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线和作垂线，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．根据尺规作图的痕迹，得到是的角平分线，根据角平分线的性质，，以及直角三角形锐角互余即可逐项判断即可． 【详解】解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 无法证明， 故选：A． 4. 已知点，在正比例函数的图象上，且当时，有，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的性质是解答此题的关键，一次函数的性质得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵点在正比例函数的图象上，且当时，有， ∴随的增大而增大， ∴， 解得． 故选：D． 5. 对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查举反例判断命题的真假，正确记忆相关知识点是解题关键．根据题意找出条件符合题意，但是结论相反的选项，即可求解． 【详解】解：A．，则，，不是反例，故A不符合题意； B．，则，，是反例，故B符合题意． C．，则，，不是反例，故C不符合题意； D．，则，，不是反例，故D不符合题意． 故选：B． 6. 以下条件中能够判定一个三角形是等腰三角形是（　　） ①一条边上的高线与这条边上的中线重合 ②一条边上的高线与这条边所对的角的角平分线重合 ③一条边上的中线与这条边所对的角的角平分线重合 A. 只有①和②可以 B. 只有①和③可以 C. 只有②和③可以 D. ①②③全部都可以 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据各个条件画出图形判断即可． 【详解】解：①一条边上的高线与这条边上的中线重合， 如图，，，则垂直平分， ∴， ∴①一条边上的高线与这条边上的中线重合能够判定一个三角形是等腰三角形； ②一条边上的高线与这条边所对的角的角平分线重合， 如图，，平分，则，， ∴， ∴， ∴②一条边上的高线与这条边所对角的角平分线重合能够判定一个三角形是等腰三角形； ③一条边上的中线与这条边所对的角的角平分线重合， 如图，延长至点E，使， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴③一条边上的中线与这条边所对角的角平分线重合能够判定一个三角形是等腰三角形； 故选：D． 7. 一次函数y1＝ax＋b与一次函数y2＝bx－a在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，确定a，b的正负，看看是否矛盾即可． 【详解】解：A、由y1的图象可知，a＞0，b＞0；由y2的图象可知，b＜0，﹣a＞0，即a＜0，两结论矛盾，故不符合题意； B、由y1的图象可知，a＞0，b＜0；由y2的图象可知，b＜0，﹣a＞0，即a＜0，两结论矛盾，故不符合题意； C、由y1的图象可知，a＜0，b＜0；由y2的图象可知，b＜0，﹣a＜0，即a＞0，两结论相矛盾，故不符合题意； D、由y1的图象可知，a＞0，b＞0；由y2的图象可知，b＞0，﹣a＜0，即a＞0，两结论符合，故符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，解题关键是明确比例系数和常数项与图象位置的关系． 8. 如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 9. 如图，在四边形中，，E是上一点，F是的中点，，若，则的长度是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，延长与交于点，证明得到，，结合，得到垂直平分，则，即可得到． 【详解】解：延长与交于点， ∵， ∴，， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据角平分线的定义求得，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，再求出，再证明，即可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理和翻折的性质列式计算可得． 【详解】解：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据翻折得， ∴， ∴， 由翻折的性质得， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质等知识，熟练运用这些知识是关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 把直线向右平移3个单位长度后得到的直线的解析式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象平移．根据“左加右减，上加下减”的规律写出函数解析式并化简即可． 【详解】解：直线向右平移3个单位长度后得到的直线的解析式是， 故答案为：． 12. 在某等腰三角形中，一条腰上的中垂线与另一条腰所在直线的夹角为，则该等腰三角形顶角的度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等，理解图形的基本性质是解题关键． 根据等腰三角形的性质以及中垂线的性质进行分类讨论求解即可． 【详解】解：①如图1所示，当顶角为锐角时， 由题意，， ； ②如图2所示，当顶角为钝角时， 由题意，， ； 故答案为：或． 13. 如图，等腰的底边长为8，面积为24，腰的垂直平分线分别交于点E，F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】连接交与点，连接，依据等腰三角形三线合一定理可证明为底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得的长；由线段垂直平分线的性质可知，则，故此当A、M、D在一条直线上时，有最小值，即的长． 【详解】解：连接交与点，连接， ∵是等腰三角形，点D是底边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴． ∴． ∴当点M位于点处时，有最小值，最小值是6． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确理解题意推出当点M位于点处时，有最小值是解题的关键． 14. 已知一次函数（为常数且）． （1）若该一次函数图象经过点，则_____________； （2）当时，函数有最大值，则的值为_____________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数性质，熟练掌握一次函数的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）把点代入一次函数的表达式中，即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，当时，结合一次函数的增减性，即可求解． 【详解】（1）把点代入一次函数的表达式中， 得：， 解得：； （2）当时，随增大而增大，则当时，有最大值， ，解得； 当时，随增大而减小，则当时，有最大值， ，解得． 综上所述，的值为或． 故答案为：；或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知：y-2与x成正比例，且x=2时，y=4. （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点M（m，3）在这个函数的图象上，求点M的坐标． 【答案】（1）y=x+2； （2）M（1，3）． 【解析】 【分析】（1）根据正比例函数的定义设y-2=kx（k≠0），然后把x、y的值代入求出k的值，再整理即可得解； （2）将点M（m，3）的坐标代入函数解析式得到关于m的方程即可求解． 【详解】解：（1）设y-2=kx（k≠0）， 把x=2，y=4代入求得k=1， ∴函数解析式是y=x+2； （2）∵点M（m，3）在这个函数图象上， ∴m+2=3， 解得：m=1， ∴点M的坐标为（1，3）． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，注意利用正比例函数的定义设出函数关系式． 16. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称的； （2）三角形的面积为______； （3）以为边作与全等三角形，则可作出______个三角形与全等； 【答案】（1）见解析 （2）3 （3）3 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，构造全等三角形，分割法计算三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质，三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）根据轴对称的定义去构图即可． （2）运用分割法计算． （3）利用对称法、构造平行四边形法和同侧共边全等法构造即可． 【小问1详解】 解：根据题意，画图如下： 则即为所求． 【小问2详解】 解：根据题意，得 ． 故答案为：3． 【小问3详解】 解：利用轴对称法、构造平行四边形法，确定全等三角形如下： 共有3个， 故答案：3． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明； （2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：∵为的角平分线， ∴， 由作图可得， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 ∵，为的角平分线， ∴ 由作图可得， ∴， ∵，为的角平分线， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． （1）求、的值； （2）若点在轴上，且满足，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法求一次函数解析式直线与坐标轴围成的三角形面积； （1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点的坐标，根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出、的值； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点的坐标，设点的坐标为，根据三角形的面积公式结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，进而可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：当时，， 点的坐标为． 将、代入， 得：， 解得：． 【小问2详解】 当时，有， 解得：， 点的坐标为． 设点的坐标为， ，即， 解得： 点的坐标为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知正方形在直角坐标系中（如图），，求点B、C的坐标． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质；正方形的性质． 作轴于D，轴于E，于F，如图，根据正方形的性质得，，则利用同角的余角相等得，则可根据“”判断，所以，同样方法可证得，则，然后利用第三象限点的坐标特征写出B、C点坐标． 【详解】解：作轴于D，轴于E，于F，如图， ∵A点坐标为， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 同样方法可证得， ∴， ∴． 20. 在长方形中，动点P从点A开始按的方向运动到点D，如图，设动点P所经过的路程为x，的面积为y(当点P与点A或D重合时，)． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）当的面积y等于4时，求此时P所经过的路程x． 【答案】（1） （2）当的值为2或8时，的面积为4 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查动点问题的函数图象、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想方法． （1）分以下三种情况：点在上运动、点在上运动、点在上运动，分别根据三角形的面积公式可得； （2）根据题意得或，解方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：在长方形中， 当点在上运动时，即时， 则； 当点在上运动时，即时，则； 当点在上运动时，即时， 则， 综上，； 【小问2详解】 解：当的面积为 4 ， 即， 或， 或， ∴当的值为2或8时，的面积为4． 六、（本题满分12分） 21. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）求证：BE=CF； （2）如果AB=8，AC=6，求AE，BE的长． 【答案】（1）证明见解析，（2）AE＝7，BE＝1． 【解析】 【分析】（1）连接DB、DC，先由角平分线的性质就可以得出DE＝DF，再证明△DBE≌△DCF就可以得出结论； （2）由条件可以得出△ADE≌△ADF就可以得出AE＝AF，进而就可以求出结论． 【详解】解：（1）证明： 连接DB、DC， ∵DG⊥BC且平分BC， ∴DB＝DC． ∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF． 在Rt△DBE和Rt△DCF中 ， Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）， ∴BE＝CF． （2）在Rt△ADE和Rt△ADF中 ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）． ∴AE＝AF． ∵AC+CF＝AF， ∴AE＝AC+CF． ∵AE＝AB﹣BE， ∴AC+CF＝AB﹣BE， ∵AB＝8，AC＝6， ∴6+BE＝8﹣BE， ∴BE＝1， ∴AE＝8﹣1＝7． 即AE＝7，BE＝1． 【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，中垂线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 七、（本题满分12分） 22. 已知，如图，等边三角形中，，点P为边上的任意一点(点P可以与点A重合，但不与点B重合)，过点P作，垂足为E，过点E作，垂足为F，过点F作，垂足为Q，设． （1）写出y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量范围)； （2）当的长等于多少时，点P与点Q重合． 【答案】（1） （2）当时，点与点重合 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质，属于基础题型，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． （1）由题意知：，利用图中边之间的关系和角的性质依次表示出的长，进而求出与之间的等量关系式； （2）再根据点与点重合时，即可解出的值． 【小问1详解】 解：是等边三角形，， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， ， 则． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 【小问2详解】 解：当点与点重合时，， 即， 解得． 故当时，点与点重合． 八、（本题满分12分） 23. 爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏．随着春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．肥西县某百货超市计划购进春联和灯笼这两种商品．已知第一次购进3个灯笼和4副春联花费135元，第二次购进9个灯笼和10幅春联花费375元． （1）求每个灯笼和每副春联的进价各是多少元？ （2）由于灯笼和春联畅销，超市决定第三次用不超过6000元的资金购进灯笼和春联这两种商品共300件，其中春联的数量不大于灯笼的数量的2倍，且灯笼和春联的进价保持不变．若每个灯笼的售价为30元，每副春联的售价为25元，在销售中灯笼有的损坏，春联有的损坏．若第三次购进的灯笼和春联全部售出（损坏的灯笼和春联不能售出），请问当第三次购进灯笼多少个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个灯笼的进价是元，每副春联的进价是元 （2）购进灯笼个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次列不等式组的应用，一次函数的应用，根据题意正确列方程求解是解题关键． （1）设每个灯笼的进价是x元，每副春联的进价是y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设第三次购进灯笼a个，则第三次购进春联幅，根据题意列不等式组，求出a的取值范围，再设第三次销售获得的利润为w，根据题意得出，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：解：设每个灯笼的进价是x元，每副春联的进价是y元，由题意得： ， 解得：， 答：每个灯笼的进价是元，每副春联的进价是元； 【小问2详解】 解：设第三次购进灯笼a个，则第三次购进春联幅，由题意得：，解得：， 设第三次销售获得的利润为w， ∴， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， 答：第三次购进灯笼个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $