精品解析：河南省新乡市河南师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷

河南师大附中 高中部高一年级六月份数学学科月考试卷 考试时长：120分钟 考试时间：2025.6．11 一、单项题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 2. 某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估计该小区业主月均用气量的样本数据的60%分位数为（ ） A. 21 B. 21.5 C. 22 D. 22.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式即可得到答案. 【详解】，则样本数据的60%分位数为. 故选：B. 3. 已知直线，和平面，其中，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由线面垂直判定定理及线面垂直的性质即可判断得出结论. 【详解】由，，则可能有，或者与相交，不能推出， 若，，则有， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 4. 如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，，则原图形的面积是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】还原，求出其边长即可求解直角三角形的面积. 【详解】如图，的直观图是，则， 则的面积为. 故选：C. 5. 一个内径为6cm，高为15cm的圆柱形口杯中，盛有高度为6cm的水，现将一个半径为3cm的小钢球放入口杯中，则此时水面高度为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 10cm D. 15cm 【答案】C 【解析】 【分析】由球的体积公式代入计算，即可得到水面的上升高度，从而得到结果. 【详解】小球体积， 圆柱底面面积， 则水面上升高度， 则此时水面高度为. 故选：C 6. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的公式可求投影向量. 【详解】向量在向量方向上的投影向量为， 故选：A. 7. 建设“书香校园”成为越来越多学校的办学追求.在对某高中1000名高一年级学生的图书馆借阅量的调查中，已知这1000名高一年级学生中男生有600人，采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生借阅量的平均数和方差分别为5和6，女生借阅量的平均数和方差分别为10和6，则估计该校学生借阅量的总体方差是（ ） A. 7 B. 8 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】先根据分层抽样计算出抽取人中男生、女生的比例，然后根据总体方差的计算公式求得正确答案. 【详解】名高一学生，男生人，则女生人， 所以抽取的人中，男生人，女生人， 总体平均数， 所以总体方差为. 故选：C 8. 已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线互相垂直且的面积为2，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二面角的平面角的概念，做出二面角的平面角，求出各边长，在求出二面角的平面角的正弦值，判断角的大小. 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则，由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， ，则，，， 因平面，则为直线SA与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以，， 因为，故，即二面角的大小为. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 如图是根据国家统计局发布的我国2012年至2021年的人口出生率(单位：‰)绘制的条形统计图，根据该图，则下列说法错误的是（ ） A. 这10年的人口出生率逐年下降 B. 这10年的人口出生率有升有降 C. 这10年的人口出生率超过12‰的年数所占比例等于45% D. 这10年的人口出生率的平均数小于12‰ 【答案】AC 【解析】 【分析】由图易判断AB选项；根据出生率超过12‰的年数共有年即可判断C选项；利用平均数的定义即可判断D选项. 【详解】对于A，B，由图可知，这10年的人口出生率有升有降，故A错误，B正确； 对于C，这10年的人口出生率超过12‰的年数共有年，故所占比例等于50%，故C错误； 对于D，这10年的人口出生率的平均数为(14.57‰＋13.03‰＋13.83‰＋11.99‰＋13.57‰＋12.64‰＋10.86‰＋10.41‰＋8.52‰＋7.52‰)＝11.694‰， 故这10年的人口出生率的平均数小于12‰，故D正确. 故选：AC. 10. 对于，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，，则锐角周长的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解AC，根据边角互化，结合二倍角公式即可求解B,利用三角恒等变换，结合三角函数的性质即可求解D. 【详解】对于A,若，则，故,故A正确， 对于B, ，则,则,,进而或，故或,故等腰三角形或直角三角形，B错误， 对于C,由于，故符合条件的有两个，C正确， 对于D,,故, 由于,故，因此，故， 故，故D错误， 故选：BD 11. 已知函数，则下列正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 若是偶函数，则 C. 在上单调递增 D. 若在区间上恰有2个零点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简原函数，结合正弦函数性质判断A，利用偶函数的性质结合题意得到判断B，利用换元法结合正弦函数的性质判断单调性求解C，先求出，再结合正弦函数的性质建立不等式，求解参数范围判断D即可. 【详解】对于A，因为， 所以由二倍角公式得， 结合辅助角公式可得， 由正弦函数性质得， 得到，即的最大值是，故A正确， 对于B，由题意得， 若是偶函数，则，解得，故B错误； 对于C，因为，所以，则， 令，由正弦函数性质得在上单调递增， 在上单调递减，故不可能在上单调递增，故C错误， 对于D，由题意得， 因为，所以， 由正弦函数性质得，解得，故D正确. 故选：AD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量，．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的坐标，再由根据向量平行的坐标性质后可求出的值. 【详解】∵，，∴， 由得，解得，解得. 故答案为：. 13. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填. 考点：正弦定理及运用． 14. 已知圆柱M的底面半径为3，高为，圆锥N的底面直径和母线长相等．若圆柱M和圆锥N的体积相等，则圆锥N的外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，根据体积公式得到方程，解出，再利用勾股定理得到外接球半径即可. 【详解】圆柱的体积为， 设圆锥的底面半径为，则母线长为，故圆锥的高为， 则，故，解得，所以圆锥的高， 画出圆锥的轴截面对应的三角形BCD如下图所示， 则图中，圆锥的外接球半径为， ， 则，解得． 故圆锥的外接球表面积为． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．） 15. 直角坐标系中，已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，且和的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示，可得，然后利用齐次式即可求值； （2）根据向量夹角为锐角，可得数量积小于0且不共线，代入坐标计算即可. 【小问1详解】 因为，，且，所以. 因为，所以，故. 【小问2详解】 因为，所以，又， 所以，. 因为和的夹角为锐角， 所以且与不共线， 则，解得. 又，即， 所以的取值范围是. 16. 在2025年八省联考结束后，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段分组，绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）求出图中a的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）； （2）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数； （3）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数. 【答案】（1）， （2）120分 （3）众数估计值为100分，平均数估计值为分 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，求得，进而得到及格率； （2）分别求得在110以下和130以下的学生所在比例，结合百分数的计算方法，即可求解； （3）结合频率分布直方图的众数和平均数的计算方法，即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图的性质， 可得，解得. 所以及格率为. 【小问2详解】 得分在110分以下的学生所占比例为， 得分在130分以下的学生所占比例为， 所以第80百分位数位于内， 由，估计第80百分位数为120分. 【小问3详解】 由图可得，众数估计值为100分. 平均数估计值为（分）. 17. 如图，四边形为边长为的菱形，，，为的中点． （1）证明：； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）连接，得是正三角形，由三线合一得，，根据线面垂直判定定理得到平面，进而得到结论； （2）在上取点，使，得到，进而，由线面平行判定定理得到结论. 【小问1详解】 连接，由菱形内角，得是正三角形， 由为的中点，得，由，得， 而平面，则平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 在上取点，使，如（1）中的图所示， 因为菱形，则，且， 又因为为中点，所以，则有， ，而平面，平面， 因此平面，即线段上存在点，使得平面，. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，.已知. （1）求角的大小； （2）若，设为的中点，且，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）正弦边角关系有，结合三角形内角的性质、三角恒等变换化简得，即可求解； （2）由题意，应用向量数量积的运算律、定义得，由余弦定理得，进而可得，即可得周长. 【小问1详解】 ∵，由正弦定理得， 即， ∴，又，所以，从而. 【小问2详解】 ∵为的中点，∴，两边平方可得， 即①， 在中，由余弦定理得②， 由①②可得，，，所以，即. 所以的周长为. 19. 在正三角形中，、、分别是、、边上的点，满足：：：：如图将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结如图 （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，利用直线与平面平行的判定定理证明平面； （2）不妨设正三角形的边长为取的中点，连结，证明是正三角形，推出为二面角的平面角，证明然后证明平面； （3）设在平面内的射影为，且交于点，说明就是与平面所成的角，在，求解即可． 【小问1详解】 ：：，， 平面，平面， 平面； 【小问2详解】 不妨设正三角形 的边长为 ， 在图中，取的中点，连结， ：：：， ， 而，是正三角形， 又，， 在图中，，， 为二面角的平面角， 由题设条件知此二面角为直二面角，， 又、平面，， 平面，即平面； 【小问3详解】 在图中，平面，， 设在平面内的射影为，且交于点， 则可得平面， 又平面，， 则就是与平面所成的角， 在中，，， 是等边三角形，， 又平面，，为的中点，且， 又，在，，， 所以直线与平面所成的角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南师大附中 高中部高一年级六月份数学学科月考试卷 考试时长：120分钟 考试时间：2025.6．11 一、单项题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 2. 某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估计该小区业主月均用气量的样本数据的60%分位数为（ ） A. 21 B. 21.5 C. 22 D. 22.5 3. 已知直线，和平面，其中，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，，则原图形的面积是（ ） A. 2 B. C. D. 5. 一个内径为6cm，高为15cm的圆柱形口杯中，盛有高度为6cm的水，现将一个半径为3cm的小钢球放入口杯中，则此时水面高度为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 10cm D. 15cm 6. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 建设“书香校园”成为越来越多学校办学追求.在对某高中1000名高一年级学生的图书馆借阅量的调查中，已知这1000名高一年级学生中男生有600人，采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生借阅量的平均数和方差分别为5和6，女生借阅量的平均数和方差分别为10和6，则估计该校学生借阅量的总体方差是（ ） A. 7 B. 8 C. 12 D. 13 8. 已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线互相垂直且的面积为2，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 如图是根据国家统计局发布的我国2012年至2021年的人口出生率(单位：‰)绘制的条形统计图，根据该图，则下列说法错误的是（ ） A. 这10年的人口出生率逐年下降 B. 这10年人口出生率有升有降 C. 这10年的人口出生率超过12‰的年数所占比例等于45% D. 这10年的人口出生率的平均数小于12‰ 10. 对于，下列说法错误的是（ ） A 若，则 B. 若，则等腰三角形 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，，则锐角周长的取值范围为 11. 已知函数，则下列正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 若是偶函数，则 C. 在上单调递增 D. 若在区间上恰有2个零点，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量，．若，则______． 13. 如图，一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m. 14. 已知圆柱M的底面半径为3，高为，圆锥N的底面直径和母线长相等．若圆柱M和圆锥N的体积相等，则圆锥N的外接球的表面积为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．） 15. 直角坐标系中，已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，且和的夹角为锐角，求的取值范围. 16. 在2025年八省联考结束后，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段分组，绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）求出图中a的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）； （2）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数； （3）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数. 17. 如图，四边形为边长为的菱形，，，为的中点． （1）证明：； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 在中，角，，所对的边分别为，，.已知. （1）求角的大小； （2）若，设为的中点，且，求的周长. 19. 在正三角形中，、、分别是、、边上的点，满足：：：：如图将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结如图 （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $