精品解析：江西省临川第三中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷

北师大版2025-2026高二数学下学期第一次月考试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，，则公差（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 2. 记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 5 3. 在等比数列中，，，则公比（ ） A. B. C. D. 4. 已知正项数列是公比不为的等比数列则（ ） A. B. C. 2 D. 5. 已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（ ） A. B. 2 C. D. 6. 某公司第一年的利润为800万元，计划从第二年起，每一年该公司的利润是上一年的1.5倍.若预计前年的利润总和为6500万元，则（    ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前项和为，满足，在数列中，，且，设为数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是数列中的项 C. 数列单调递减 D. 数列前7项和最大 10. 已知数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等比数列 C. 数列为等差数列 D. 11. 如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角形（为坐标原点）的边长为，数列的前项的和为，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. 数列的前项的和为 D. 若，且，则 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 等差数列的前项和为，若，，则_____． 13. 等差数列的公差不为0，前项和为，若成等比数列，则__________． 14. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1 1，，则an=______ 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 16. 在等差数列中，已知 且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，. （1）求，的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若，求数列的前2n项和. 18. 京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长．某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子．设从2023年开始，第年年底的速生林木保有量为万立方米． （1）求，请写出一个递推公式表示与之间的关系； （2）求数列的通项公式. （3）该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的200万立方米翻两番，则估计至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？ （参考数据：，，，） 19. 若各项均为正数的数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若正项等比数列，满足，求； （3）对于中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版2025-2026高二数学下学期第一次月考试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，，则公差（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 【答案】A 【解析】 【详解】 2. 记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】等差数列中，由，得，即，解得， 而，则公差，所以. 3. 在等比数列中，，，则公比（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列通项公式结合题设可得答案. 【详解】由题，则，故D正确． 4. 已知正项数列是公比不为的等比数列则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】令等比数列的公比为，由，得， 则，即， 所以. 5. 已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设奇数项和为,偶数项和为,再根据题意利用等比数列性质求解即可. 【详解】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得， 而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比. 故选：B 6. 某公司第一年的利润为800万元，计划从第二年起，每一年该公司的利润是上一年的1.5倍.若预计前年的利润总和为6500万元，则（    ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知各年的利润成等比数列，由等比数列前项和的公式即可求得的值. 【详解】由题意知各年的利润成等比数列，记该数列为，前年的利润总和记为，公比. 由，解得. 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案. 【详解】依题意，， 令，得， ， 所以 ， 当时上式也符合，所以，则， 所以. 8. 已知数列的前项和为，满足，在数列中，，且，设为数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系得到另一个式子，作差可求出，根据可推出，累乘法可求出数列的通项公式，再通过数列的递推关系得到另一个式子，作商可得到的通项公式，进而求解，要注意所求式子对的限制. 【详解】因为，① 所以，（若，则，从而得，与矛盾），当时，，② ①②得，移项得，所以. 由得，解得，所以， 所以， 而也满足上式，所以数列的通项公式为. 因为，③ 所以当时，，④ 由指数函数的性质知③，④式等号左右两侧都是正数， 所以③④得，即. 当时，由得，又所以， 所以均满足，所以数列的通项公式为，即数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是数列中的项 C. 数列单调递减 D. 数列前7项和最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】由为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可. 【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确， 由，得，故B错误， 因为，所以数列单调递减，故C正确， 由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确. 故选：ACD 10. 已知数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等比数列 C. 数列为等差数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等比数列的定义可判断AB选项；求出数列的通项公式，可判断C选项；利用等比数列求和公式可判断D选项. 【详解】因为数列的前项和为，且满足，，， 对于A选项，由已知等式变形可得，且， 所以，所以，数列是首项为1，公比的等比数列， 故，A正确； 对于B选项，由已知等式变形得，且， 所以数列是首项为0，公差为0的等差数列，即，故数列不是等比数列，B错误； 对于C选项，由可得， 则，则数列为等差数列，C正确； 对于D选项，，故D正确． 故选：ACD. 11. 如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角形（为坐标原点）的边长为，数列的前项的和为，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. 数列的前项的和为 D. 若，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据题意由正三角形求得点和，代入曲线，即可求解； 对于B，由图可得为，将点坐标代入曲线，整理得，由项与和的关系化简得到即可判断； 对于C，利用裂项相消即可求解； 对于D，利用基本不等式求解即可. 【详解】对于A，由题意可知为等边三角形，如图，，则，所以，解得:， 同理，可得，解得(负值舍去)，故A正确; 对于B，由为的前项和，由图形可得为，即，， 由在曲线上，可得，即得， 当时，由，可得， 两式相减可得， 化为，由，可得，而， 所以数列是首项和公差均为的等差数列，所以，故B正确; 对于C，由于，则， 则， 所以,故C不正确； 对于D，因为​ ， 由，根据均值不等式： ， 所以 ​，故D正确； 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 等差数列的前项和为，若，，则_____． 【答案】15 【解析】 【分析】根据等差数列的性质得到，求出答案. 【详解】设，由等差数列的性质可得， 又，则，解得． 故答案为：15 13. 等差数列的公差不为0，前项和为，若成等比数列，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据条件得，再利用等差数列的前项和公式及等差数列的通项公式，即可求解． 【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列， 则，所以，整理得到， 所以， 故答案为：. 14. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1 1，，则an=______ 【答案】 【解析】 【分析】根据与的递推关系可得为等差数列，求出的通项公式，再进一步求出； 【详解】， ， ， ， 是以1为首项，1为公差的等差数列， ，， 当时，， 当时，， 故答案为： 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为d，根据已知列出方程组求解，再根据等差数列通项公式即可求解； （2）由等差数列的求和公式求得，由得，求解即可． 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为d， 由得：，∴， 由得：， 解得（舍）或， ∴， 数列的通项公式为：． 【小问2详解】 由等差数列的前n通项公式可得：， 则不等式即：，整理可得：， 解得：或，又n为正整数，故n的最小值为5． 16. 在等差数列中，已知 且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列基本量的计算即可求解； （2）由裂项相消求和法即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，设等差数列的公差为，则,， 解得, ,； 【小问2详解】 解：，. 17. 已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，. （1）求，的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若，求数列的前2n项和. 【答案】（1），； （2）； （3） 【解析】 【分析】(1)由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求； (2)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和； (3)由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和． 【小问1详解】 是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为d，公比为， 由，，，，可得，， 解得：负的舍去， 则，； 【小问2详解】 数列的前n项和， ， 两式相减可得， 化为； 【小问3详解】 ， 则数列的前2n项和 . 18. 京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长．某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子．设从2023年开始，第年年底的速生林木保有量为万立方米． （1）求，请写出一个递推公式表示与之间的关系； （2）求数列的通项公式. （3）该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的200万立方米翻两番，则估计至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？ （参考数据：，，，） 【答案】（1）（万立方米），. （2），理由见解析. （3）至少到年底才能达到公司速生林木保有量的规划要求. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得及递推关系； （2）将变形为，此时为等比数列，利用等边数列通项公式求解通项公式即可； （3）令，根据题设中给出的数据可得至少到年底才能达到公司速生林木保有量的规划要求. 【小问1详解】 （万立方米）， 又即. 【小问2详解】 ，设存在非零常数，使得， 整理得到，而，故即. 所以，而， 故即， 所以是首项为，公比为的等比数列， 故即； 【小问3详解】 由（2）知. ， 所以为递增数列， 令，则， 当时，， 当时，， 故至少到年底才能达到公司速生林木保有量的规划要求. 19. 若各项均为正数的数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若正项等比数列，满足，求； （3）对于中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据项与和的关系，可得到数列的递推公式，由此判断数列是等差数列，从而求得其通项公式； （2）由题意求出等比数列的通项公式，根据错位相减求和法，求得； （3）分离参数，并构造新函数，通过分析新函数的最值情况，得到实数的取值范围． 【小问1详解】 由，可得，且， 又，所以，  即， 因为，所以，所以， 所以是公差为的等差数列. 又，得，所以. 【小问2详解】 设的公比为，因为，所以， 即，解得舍或， 因为，所以，， 所以，  ， 两式相减得:. 所以； 【小问3详解】 由（2）得不等式，可变为 当为奇数时，， 记，所以，   ， 令，得，所以. 所以时，，即，即， 时，，即，即且取奇数时，单调递增， 此时，即； 当为偶数时，，所以， 时，，即， 时，，即，且取偶数时，单调递增. 此时，所以，即. 综上所述，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $