精品解析：甘肃省武威第二十中学2024-2025学年下学期八年级数学开学测试卷

甘肃省武威第二十中学2024-2025学年第二学期八年级数学人教版开学测试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 2. 如图，若，平分，且于点，连接，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为(　　) A. B. C. D. 4. 如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在等腰中，，，的邻补角的角平分线交的角平分线于点D，交直线于点E，作交于点F，连接．下列四个结论： ①；②垂直平分；③；④． 其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 6. 如图，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤，其中正确结论有（ ） A. ①②③④ B. ①③⑤ C. ①②③ D. ①②④⑤ 8. 定义一种新运算： ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； ④若关于的二元一次方程组的解为，则关于的方程组 的解满足：． 以上说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（ ） A. B. C. D. 10. 已知代数式，第一次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第二次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第三次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子…以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有（ ） ①； ②若，则； ③不存在整数x使得的值为负整数． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 如图，、、三点在同一条直线上，平分，，于，若，，则的长为________． 12. 关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且最多有六个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为______． 13. 如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为___________． 14. 如图，在中，，和外角的平分线交于点，和的平分线交于点，…，和的平分线交于点，则的度数为__________． 15. 如图，，，分别为，上的点，与交于点，连接．要，还须添加一个条件，如添加，可运用，证得．请写出添加的其它一个条件，仍能证得：________．（说明：原图不再添加点和线，要求写出所有可能） 16. 如图，在中，，点D在边上，、关于所在的直线对称，的角平分线交边于点G，连接．为等腰三角形时，_________． 17. 如图，为等边三角形，D，G为边上两点，，连接，，，过点D作，交的延长线于点E，F为延长线上一点，连接，且，若，，则______． 18. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2.已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为______． 三、解答题（共66分） 19. 在有理数范围分解因式 （1） （2） （3） （4） 20. （1）解方程： (2)关于x的方程的解是正数，求a的取值范围． 21. 如图，在中，，分别为的边上的中线和高，为的角平分线． （1）若，，求的大小； （2）若的面积为，，求的长． 22. 如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）若，，求四边形的面积． 23. 如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． （1）如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； （2）如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； （3）点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 24. 阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到； 第二步，去括号，和对比发现， 二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）； 第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了． 请使用上述方法回答下列问题： （1）因式分解： ①； ②； （2）对关于的多项式因式分解：． 25. 【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 26. 如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，． （1）求证：； （2）求证：是等边三角形； （3）如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省武威第二十中学2024-2025学年第二学期八年级数学人教版开学测试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，先求出方程的解，根据解的情况结合分式有意义，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵关于的方程的解为正数， ∴且， ∴，解得且； 故选C． 2. 如图，若，平分，且于点，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何的综合应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，过点作交于点，过点作交于点；根据角平分线的性质，可得，；过点作交于点；过点作交于点，设与的交点为点；与的交点为点；根据平行线的性质，得到，推出，根据三角形的外角和，角的和差，，根据直角三角形中，角互余，可得，利用角的和差，得到，根据全等三角形的判定和性质，得到，推出，根据矩形的判定和性质，得到四边形是矩形，即，再根据三角形的面积公式，即可． 【详解】解：过点作交于点，过点作交于点； ∵平分， ∴，； 过点作交于点；过点作交于点，设与的交点为点；与的交点为点； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵且， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 3. 如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，由题意平分，平分，推出，，设，设，，用含和的代数式表示和即可解决问题． 【详解】解：如图： 平分，平分， ，， 设，，， 由外角的性质得： ， ， ，解得， ， ． 故选：C． 4. 如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形的内角和定理， 直角三角形的性质，设，根据角平分线的定义得，，由三角形的外角定理得，则，同时，由此得，则，进而得，，然后再根据可得的度数，熟练掌握三角形的外角定理和三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：设， ∵平分， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴ ∵是的外角，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 5. 如图，在等腰中，，，的邻补角的角平分线交的角平分线于点D，交直线于点E，作交于点F，连接．下列四个结论： ①；②垂直平分；③；④． 其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的定义以及外角等于，即可证明①是正确的；证明，得，则②是正确的；将绕点D顺时针旋转90度，与重合，点F与点M是对应点，结合外角性质以及等角对等边，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵的邻补角的角平分线交的角平分线于点D， ∴， 在中，，故①正确； ∵， ∴， ∵的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分，故②正确； 将绕点D顺时针旋转90度，与重合，点F与点M是对应点，如图： 易得， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 则，故④正确； 过点作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误． 综上正确的是①②④． 故选：C 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角以及内角和性质，角平分线，等角对等边等知识内容，解题的关键是正确作出辅助线证明三角形全等． 6. 如图，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形外角的定义及性质、平角的定义，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，由轴对称的性质可得，，，，当、、、在同一直线上时，最小，为，表示出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于， ， 由轴对称的性质可得：，，，， ∴， ∴当、、、在同一直线上时，最小，为， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 故选：A． 7. 如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤，其中正确结论有（ ） A. ①②③④ B. ①③⑤ C. ①②③ D. ①②④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】结合等腰三角形的性质先证，再由全等三角形的性质可推得①正确；结合三角形内角和定理可证②正确；由全等三角形的面积相等推得全等三角形内高相等，结合角平分线的判定定理可证④正确；结合已证的②④即可推得⑤正确；若③成立，推得的条件与题意不符，则③错误，综上即可得到答案． 【详解】解：和都是等腰三角形，， ，，， 即， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， 中，， 中，, ， ，故②正确； 作交于点，交于点， ， ， 即， ， 点在的角平分线上， 即平分，故④正确； 又， ，故⑤正确； 若③成立，则， 由②⑤得，，， ，， 即， 中，， 中，， ， ， ， ，推出， 由题意知，不一定等于，故③错误． 综上，正确结论有①②④⑤． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． 8. 定义一种新运算： ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； ④若关于的二元一次方程组的解为，则关于的方程组 的解满足：． 以上说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】①分类讨论当时和当时，结合新定义的运算法则计算即可判断；②由绝对值的非负性可知．再分类讨论当时和当时，化简绝对值求解即可；③解不等式得：，即得出，，，结合新定义的运算法则可求出 ．再分类讨论当时，即时和当时，即时，化简绝对值求解即可；④由二元一次方程组的解的定义可求出a和b的值，结合完全平方公式可将原方程组改为，再根据平方的非负性结合新定义的运算法则计算即可． 【详解】解：①当时，即， ∴， 解得：； 当时，即， ∴， 解得：，不符合题意， 综上可知若，则，故①错误； ②∵， ∴， ∴． 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：， 综上可知若，则或，故②错误； ③∵， ∴，或，， 解得：． ∴，，， ∴， ∴． 当时，即时，， ∴此时当时有最小值，为； 当时，即时，． 综上可知若，则的最小值为14，故③正确； ④将代入，得：， ∴原方程组为， ∴． ∵，，，，，，， ∴， ， ， ， ∴原方程为， 解得：， ∴，故④错误． 综上可知正确的只有③． 故选A． 【点睛】本题考查新定义运算，化简绝对值，解不等式和不等式组，二元一次方程组的解和解二元一次方程组，完全平方公式的应用，分类讨论思想的运用．理解题意，掌握新定义的运算法则是解题关键． 9. 如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式混合运算在面积中的应用，正确用含，，的代数式表示出、和、是解题关键．用含，，的代数式表示出图1、图2中阴影部分的周长和面积，可得、，代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，得：长方形的长为，宽为， 则，， ， ， ，， ， ∴ ∴， 解得：， 故选：C． 10. 已知代数式，第一次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第二次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第三次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子…以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有（ ） ①； ②若，则； ③不存在整数x使得的值为负整数． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减法，除法运算，依据题意，根据所给信息逐个求出，然后按照分式的加减法法则进行计算，即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴，故①错误． ∴，，． ∴． ∵， ∴． ∴，即，故②正确． ∵， 又若整数x使得为整数， ∴． ∴此时，为15． ∴不存在整数x使得的值为负整数，故③正确． 综上，正确的有②③共2个． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 如图，、、三点在同一条直线上，平分，，于，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形全等．熟练掌握角平分线性质，直角三角形全等的判定和性质，是解题的关键． 作于F，易证，可得，进而可以证明，可得，即可解题． 【详解】过点D作于点F， ∵平分， 于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 12. 关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且最多有六个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，由分式方程得，由一元一次不等式组得，根据不等式组有解且最多有六个整数解，即可得到，再由为整数，即可得到的值，正确掌握解一元一次不等式组和解分式方程得方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由得， ∵不等式组有解且最多有六个整数解， ∴， ∵为整数， ∴或或， 又∵， ∴， ∴， ∴或， ∴所有满足条件的整数的值之和， 故答案为：． 13. 如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为___________． 【答案】54 【解析】 【分析】本题考查了基本图形变换折叠，三角形的内角和定理，换元的思想方法，关键是利用换元的思想方法，使分析思路更清晰． 设，则，设，由翻折可知，，再根据三角形的内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：设，则，设， 由翻折可知，，， ，， 由，得， 在中，， ， 解得：， 在中，， 解得： 由得， 在中，， ． 故答案为：54． 14. 如图，在中，，和外角的平分线交于点，和的平分线交于点，…，和的平分线交于点，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，图形类的规律探索，利用类推法找出规律是解题的关键． 根据角平分线的性质和三角形外角性质得出和的关系，进而求出与的关系，找出规律，得到与的关系即可求解． 【详解】是一个外角， ， ， 和外角的平分线交于点， ，， ， 同理， ， 以此类推： ， ， ； 故答案为：． 15. 如图，，，分别为，上的点，与交于点，连接．要，还须添加一个条件，如添加，可运用，证得．请写出添加的其它一个条件，仍能证得：________．（说明：原图不再添加点和线，要求写出所有可能） 【答案】，，，，，， 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判断，掌握判断定理是解题关键；要，已知一组对应边相等和一个公共角，再添加一个条件可以是角相等，或、，依据是或，也可以是间接条件，得出，如，能间接证出和再有一组角相等或一组边相等即可 【详解】解：添加，依据是， 添加，依据是， 添加，可先得出，从而得出，然后依据可证； 添加可得，则依据证明； 添加可得，则依据可证； 添加，先证，从而得出，进而得出，依据是， 添加，可得出，进而，依据， 故答案为：，，，，，，． 16. 如图，在中，，点D在边上，、关于所在的直线对称，的角平分线交边于点G，连接．为等腰三角形时，_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据题意，先求出 ，再利用轴对称性质得 ，再证明 ，继而得到的度数，为等腰三角形时分三种情况讨论，①当时， ②当时， ③当时，利用的内角和分别求出即可． 【详解】解：在中，， ， 、关于所在的直线对称， ， ， ， 是的角平分线， ， 在与中， ， ， ， ， 如图，令与交点为Q， 因为为等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时， ， ， ， 又， 在中， ， ； ②当时， ， 在中， ， ； ③当时， ， ， 在中， ， ； 综上所述： 当或时，为等腰三角形． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；轴对称的性质，三角形全等的判定定理——，三角形外角的性质，三角形的内角和，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键． 17. 如图，为等边三角形，D，G为边上两点，，连接，，，过点D作，交的延长线于点E，F为延长线上一点，连接，且，若，，则______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．过点G作于点H，先证明,根据直角三角形的性质求出，再证明，求得，即可求得答案． 【详解】解：为等边三角形， ，， ，， ， ∵， ， ， ， ， , ，， ， ， 如图，过点G作于点H，则， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：13． 18. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2.已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为______． 【答案】19 【解析】 【分析】设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意可得：，根据完全平方和公式得到，即两个正方形的面积和，结合图形用正方形的面积和减去和的面积，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b， 根据题意可得：， ， ， ， 是得中点， ， ，， ． 故答案为：19． 【点睛】本题考查完全平方和公式的运用，正确对完全平方和公式进行变形时解题的关键． 三、解答题（共66分） 19. 在有理数范围分解因式 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键． （1）利用提公因式法因式分解即可； （2）把看着一个整体，利用完全平方公式因式分解即可； （3）设，先计算，再分解关于a的多项式，然后代入还原继续因式分解即可； （4）利用分组分解法，利用两次完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 【小问3详解】 设， 则原式， ， ∴原式 【小问4详解】 ， . 20. （1）解方程： (2)关于x的方程的解是正数，求a的取值范围． 【答案】（1） （2），且 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程的方法步骤，注意验根，是解决问题的关键． （1）运用去分母，移项，合并同类项，系数化成1，经检验，即得； （2）运用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1求出x的表达式，根方程的根为正数且分母不为0，即可求出m的取值范围． 【详解】（1）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得， 经检验，是原分式方程的根， 故原分式方程的根为：； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 移项，得， 系数化成1，得； ∵方程的解是正数， ∴，且， ∴，且． 21. 如图，在中，，分别为的边上的中线和高，为的角平分线． （1）若，，求的大小； （2）若的面积为，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用角平分线定义得到，根据三角形的外角，求出，根据高的定义和互余两角的性质求出； （2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式求出的长． 【小问1详解】 解：∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵为的边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可知，，结合，即可证明； （2）根据题意可知，再由全等三角形的性质可得到，最后由四边形的面积即可求得答案． 【小问1详解】 证明：， ，， ， ， 是等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 四边形的面积． 23. 如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． （1）如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； （2）如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； （3）点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 【答案】（1）点到直线的距离为1； （2）证明见解析； （3）或6． 【解析】 【分析】（1）作交于，利用全等三角形判定方法证明，再利用全等三角形对应边相等，即可求解； （2）作交直线于，先利用证出，得到，再利用证出，即可完成证明； （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动，分2类情况讨论：①若在线段上；②若在延长线上，由，得出，设，则，利用（2）中的全等三角形结论，用表示出、，再利用列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：作交于，则， ， ， ， ， ， 又， ， ， 点到直线的距离为1． 【小问2详解】 作交直线于，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【小问3详解】 由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动， 下面分2类情况讨论： ①若在线段上，同（2）作辅助线， 由（2）得，，， ， ， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， ； ②若在延长线上，同（2）作辅助线， 同①可得：， 设，则， ，， ， 解得：， ． 综上所述，的长为或6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、作垂线辅助线构造全等、三角形的面积问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形并证明，以及学会将三角形面积关系转化为线段关系并通过方程思想解决问题，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 24. 阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到； 第二步，去括号，和对比发现， 二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）； 第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了． 请使用上述方法回答下列问题： （1）因式分解： ①； ②； （2）对关于的多项式因式分解：． 【答案】（1）①② （2） 【解析】 【分析】本题考查了新定义“凑数法”因式分解，正确理解阅读材料中的思维方法是解答本题的关键． （1）①根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，进一步推理后又可凑得，，即得答案； ②根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，，进一步推理后又可凑得，，即得答案； （2）设，则，同样可先凑答案，，代入关系式得，比较系数可得，，针对b，d，可进行讨论，并逐一验证，可得，符合题意，即得答案． 【小问1详解】 ①由题意得，，，， 所以可凑数，， 故； ②由题意得，，，， 所以可凑数，， 则，， 又可凑数，， 故； 【小问2详解】 设， 则， 凑数，， ， ，， 分四种情况讨论： 当，时，代入，不成立，舍去； 当，时，代入，不成立，舍去； 当，时，代入，成立，符合题意； 当，时，代入，不成立，舍去； 所以只有，， 故． 25. 【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 【答案】（）；（）；（） 【解析】 【分析】（）根据完全平方公式的变形进行解答即可； （）仿照例题计算即可； （）由已知可得，，，即得，，，得到，再根据倒数法解答即可求解； 本题考查了分式的求值，倒数的应用，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题思路及分式的性质是解题的关键． 【详解】解：（）第②步运用了公式：， 故答案为：； （）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （）∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，． （1）求证：； （2）求证：是等边三角形； （3）如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （3） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，，可推导出，进而证明，得； （2）由，，且，证明，而，，可证明，得，，可推导出，则是等边三角形； （3）由等腰直角三角形的性质得，，，可推导出，进而证明，得，，而，，所以，可证明，得，，推导出，因为，点是的中点，所以，则，所以，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵与都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，且点也是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】此题是三角形综合题，重点考查等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段中点的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $