精品解析：河南省开封市杞县高中附属中学2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试卷

2025年河南省普通高中招生考试试卷 核心诊断卷（一）数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．不要在本试卷上答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 地球绕着太阳转 B. 将油滴入水中，油和水相融 C. 菱形的四条边相等 D. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势 3. 下列计算不正确是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点D在的边上，交于点E．若，则（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的值可能是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向下平移a个单位长度，此时抛物线的顶点恰好落在x轴上，则a的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图是一个办公室脚踏板的实物图，已知脚踏板的上表面与地面的夹角为，则穿37码平底鞋的脚踩在上面时，脚尖与脚后跟的高度差为（ ） 尺码 34 35 36 37 38 39 40 脚长/ 220 225 230 235 240 245 250 A. B. C. D. 8. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到恰好可以在镜子里看到旗杆的顶端．已知小颖的眼睛离地面的高度为，同时量得小颖与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，以为边在第一象限内构造矩形，且．将五边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第26次旋转结束时，点C的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点的横坐标是3，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，y随x的增大而减小 C. 关于x的方程的根为 D. 当时，y的取值范围为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个开口向上，对称轴为y轴的抛物线的表达式：_______． 12. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则_______． 13. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和15个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______． 14. 2023年我国低空经济的市场规模为0.5万亿元，根据中国民航局的数据预测，到2025年，我国低空经济的市场规模将达到1.5万亿元．若设这两年低空经济市场规模年平均增长率为x，则根据题意可列方程为_______． 15. 如图，是中位线，作的平分线交于点G，连接，交于点F．若，当______时，与相似． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 17. 小颖去洛阳旅游时购买了A，B，C，D四款摆件，如图所示．每款摆件均装在一个不透明的礼品盒内，且这四个礼品盒完全相同．小颖先让妈妈从四盒礼品中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走． （1）妈妈拿走的礼品盒里装的是A款摆件的概率是 ． （2）请用画树状图法或列表法求妈妈和爸爸拿走后剩下的是A，D两款摆件的概率． 18. 如图，已知在平面直角坐标系中（提示：正方形网格中每个小正方形边长都是1），其中点． （1）请按要求对作如下变换： ①将绕点O逆时针旋转得到，请画出； ②以点O为位似中心，相似比为2，将在y轴左侧放大得到，请画出． （2）的面积是 ． 19. 如图，在边长为3的正方形中，点E在边上（不与点A，D重合），射线与射线交于点F． （1）若，求的长． （2）猜想的值是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． （3）以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点G．若，求的长． 20. 某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离为，仰角；淇淇向前走后到达点D，透过点P恰好看到月亮，此时淇淇距窗户的水平距离为，仰角，如图是示意图．已知淇淇的眼睛与水平地面的距离的延长线交于点E．已知图中所有点均在同一平面内，求点P到的距离．（参考数据：） 21. 掷实心球是中招体育考试素质类选考项目中的一项．体育模拟测试时，小亮同学掷实心球，实心球离地面的高度满足关系式，其中是实心球离手的时间，是实心球被投掷时竖直方向上的速度．已知实心球离手时与抛出时高度一致． （1）求出的值． （2）实心球离手多长时间时，离地面的高度最大，最大高度为多少？ 22. 许昌假发闻名世界，是展示中国制造魅力的一张名片．某商店销售一款假发制品，每顶假发成本为25元，根据销售经验，可知假发销售单价为50元时，平均每天可销售340顶，假发销售单价每降低1元，平均每天可多销售20顶．春节期间，店家决定进行降价促销活动． （1）当假发销售单价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家实现平均每天8800元利润？ （2）当销售单价定为多少时，该商店每天的利润最大，最大利润为多少？ 23. 综合与实践 问题情境 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．纸片和满足，．将两张纸片放置在同一平面内，点F在边上，绕点F旋转纸片，使交边于点交边于点G． 下面是创新小组的探究过程． 操作发现 （1）如图1，当的顶点F与的中点O重合时，在旋转过程中，发现下列结论： ①与的数量关系为 ； ② ． 类比探究 （2）如图2，当时，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明过程；若不成立，请说明理由． 拓展延伸 （3）在（2）的条件下，连接，如图3．当为等腰三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年河南省普通高中招生考试试卷 核心诊断卷（一）数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．不要在本试卷上答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，即可得出答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故选：A． 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 地球绕着太阳转 B. 将油滴入水中，油和水相融 C. 菱形的四条边相等 D. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件的分类解答即可． 本题考查了事件的分类，正确掌握分类是解题的关键． 【详解】解：A. 地球绕着太阳转是必然事件，不符合题意； B. 将油滴入水中，油和水相融是不可能事件，不符合题意； C. 菱形的四条边相等是必然事件，不符合题意； D. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势是随机事件，符合题意； 故选：D． 3. 下列计算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则，立方根，计算解答即可． 本题考查了二次根式的乘除运算，立方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A. 正确，本选项不符合题意； B. ，本选项错误，符合题意； C. ，本选项正确，不符合题意； D. ，本选项正确，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，点D在的边上，交于点E．若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据得代入解答即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式，计算即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实根， ∴， 解得， 故选：D． 6. 将抛物线向下平移a个单位长度，此时抛物线的顶点恰好落在x轴上，则a的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据向下平移的原则，结合顶点恰好落在x轴上，令纵坐标为0，计算即可． 本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：抛物线向下平移a个单位长度，所得到的抛物线解析式为， 抛物线的顶点恰好落在x轴上， 故， 解得． 故选：A． 7. 如图是一个办公室脚踏板实物图，已知脚踏板的上表面与地面的夹角为，则穿37码平底鞋的脚踩在上面时，脚尖与脚后跟的高度差为（ ） 尺码 34 35 36 37 38 39 40 脚长/ 220 225 230 235 240 245 250 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数解答即可． 本题考查了正弦函数的应用，熟练掌握正弦函数是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得37码平底鞋的脚踩在上面时，脚长， 故脚尖与脚后跟的高度差为， 故选：C． 8. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到恰好可以在镜子里看到旗杆的顶端．已知小颖的眼睛离地面的高度为，同时量得小颖与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，三角形相似的判定和性质，光的反射定理，正确利用三角形相似解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，以为边在第一象限内构造矩形，且．将五边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第26次旋转结束时，点C的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算，，过点C作于点E，后根据题意，确定点，确定循环周期，解答即可． 本题考查了勾股定理，矩形的性质，三角函数的应用，旋转的性质，熟练掌握勾股定理，三角函数的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∴，， ∵以为边在第一象限内构造矩形，且． ∴， ∴ 过点C作于点E， ∴，, ∴，， ∴， ∴， ∵五边形绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴，，，，以后开始循环， 循环周期， ∵， 故点的坐标与相同， 故选：D． 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点的横坐标是3，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，y随x的增大而减小 C. 关于x的方程的根为 D. 当时，y的取值范围为 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，最值等解答即可. 本题考查了抛物线的对称性，抛物线的增减性，抛物线的顶点坐标属性，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的最值，熟练掌握性质是解题的关键. 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点的横坐标是3， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故A错误； 当时，y随x的增大而增大，故B错误； 设抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为m， 则， 解得， 故关于x的方程的根为，故C错误； 当时， ∵关于x的方程的根为， ， 解得， 故抛物线解析式为， 故当时，函数取得最大值，且最大值为4； ∵， ∴与对称轴的距离越大函数值越小， ∵， ∴时，函数取得最小值，且最小值为， ∴y的取值范围为；故D正确； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个开口向上，对称轴为y轴的抛物线的表达式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数开口向上，那么二次项系数为正，对称轴为y轴，则一次项系数为0，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，符合题意的抛物线表达式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方程的解，把代入方程，得到关于m的方程，求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为： 13. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和15个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握求概率公式是解此题的关键．设袋子中红球有x个，根据摸到黑球的频率稳定在左右，可列出关于x的方程，求出x的值，从而得出结果． 【详解】解：由题意，摸到黑球的概率为． 设袋子中红球有x个， 根据题意，得 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴盒子中红球的个数约为45个， 故答案为：45． 14. 2023年我国低空经济的市场规模为0.5万亿元，根据中国民航局的数据预测，到2025年，我国低空经济的市场规模将达到1.5万亿元．若设这两年低空经济市场规模年平均增长率为x，则根据题意可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，由题意得：2024年我国低空经济规模为万亿元，2025年我国低空经济规模为万亿元，据此即可求解． 详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 15. 如图，是的中位线，作的平分线交于点G，连接，交于点F．若，当______时，与相似． 【答案】8或 【解析】 【分析】先根据三角形的中位线性质得到，，再根据平行线的性质和角平分线的性质得到，则，再分和两种情况，利用相似三角形的性质分别讨论求解即可． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ①当时，则， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，则G为的中点； ∴； ②当时，则， ∵，， ∴， 设，，则，， ∵， ∴， ∴，即， 整理，得， 解得，（负值，舍去） ∴， 综上，当或时，与相似． 故答案为：8或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义、解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）0；（2）， 【解析】 【分析】本题考查含特殊角的三角函数的实数运算、解一元二次方程，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，再利用二次根式的运算法则求解即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）原方程化为 ∴或 ∴，． 17. 小颖去洛阳旅游时购买了A，B，C，D四款摆件，如图所示．每款摆件均装在一个不透明的礼品盒内，且这四个礼品盒完全相同．小颖先让妈妈从四盒礼品中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走． （1）妈妈拿走的礼品盒里装的是A款摆件的概率是 ． （2）请用画树状图法或列表法求妈妈和爸爸拿走后剩下的是A，D两款摆件的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率以及用概率公式直接求概率，熟练掌握用列表法或画树状图法求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求概率即可． （2）画树状图，得到共有种等可能的结果，其中剩下的是A，D两款摆件的结果有种，用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵有四个礼品盒， ∴妈妈拿走的礼品盒里装的是A款摆件的概率是； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下， 由树状图得共有种等可能的结果，其中剩下的是A，D两款摆件的结果有种， 剩下的是A，D两款摆件的概率是． 18. 如图，已知在平面直角坐标系中（提示：正方形网格中每个小正方形的边长都是1），其中点． （1）请按要求对作如下变换： ①将绕点O逆时针旋转得到，请画出； ②以点O为位似中心，相似比为2，将在y轴左侧放大得到，请画出． （2）的面积是 ． 【答案】（1）①见解析；②见解析； （2）10 【解析】 【分析】（1）①根据网格结构找出点绕点逆时针旋转的对应点的位置，然后再顺次连接即可；②连接并延长至，使，得到；同理得到，然后再顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：①如图：即为所求； ①如图：即为所求． 【小问2详解】 解：的面积是． 19. 如图，在边长为3的正方形中，点E在边上（不与点A，D重合），射线与射线交于点F． （1）若，求的长． （2）猜想的值是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． （3）以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点G．若，求的长． 【答案】（1）1.5 （2）的值是定值9 （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）证明，由相似三角形的性质可求解； （2）通过证明，可得，可得结论； （3）设，则，，由勾股定理可求解． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ，又， ， ； 【小问2详解】 解：的值是定值9．理由： ， ， 又， ， ， ； 【小问3详解】 解：设， 则，， 在中，由勾股定理得， ， ， ． 20. 某晚，淇淇在家透过窗户最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离为，仰角；淇淇向前走后到达点D，透过点P恰好看到月亮，此时淇淇距窗户的水平距离为，仰角，如图是示意图．已知淇淇的眼睛与水平地面的距离的延长线交于点E．已知图中所有点均在同一平面内，求点P到的距离．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键．分别在中和在中，解直角三角形得到，，由求得，进而可求解． 【详解】解：由题意，，， 在中，，则， 在中，，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：点P到的距离的长为． 21. 掷实心球是中招体育考试素质类选考项目中的一项．体育模拟测试时，小亮同学掷实心球，实心球离地面的高度满足关系式，其中是实心球离手的时间，是实心球被投掷时竖直方向上的速度．已知实心球离手时与抛出时高度一致． （1）求出的值． （2）实心球离手多长时间时，离地面的高度最大，最大高度为多少？ 【答案】（1） （2）实心球离手时，离地面的高度最大，最大高度为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确地求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据实心球离手时与抛出时高度一致，得到和时的函数值相同，进而得到对称轴为直线，利用对称轴公式求出的值即可； （2）求出时的函数值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵已知实心球离手时与抛出时高度一致， ∴和时的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， 解得：； 【小问2详解】 由（1）可知：， ∴当时，的值最大为； 答：实心球离手时，离地面的高度最大，最大高度为． 22. 许昌假发闻名世界，是展示中国制造魅力的一张名片．某商店销售一款假发制品，每顶假发成本为25元，根据销售经验，可知假发销售单价为50元时，平均每天可销售340顶，假发销售单价每降低1元，平均每天可多销售20顶．春节期间，店家决定进行降价促销活动． （1）当假发销售单价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家实现平均每天8800元的利润？ （2）当销售单价定为多少时，该商店每天的利润最大，最大利润为多少？ 【答案】（1）销售单价定为元 （2）销售单价为元时，利润最大，为8820元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出一元二次方程，二次函数的关系式，是解题的关键： （1）设销售单价定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程进行求解即可； （2）设总利润为，销售单价为元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设销售单价定为元，由题意，得： ， 解得：或， ∵让顾客获得最大优惠， ∴； 答：销售单价定为元； 【小问2详解】 设总利润为，销售单价为元，由题意，得： ， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，的值最大为：； 答：销售单价为元时，利润最大，为8820元． 23. 综合与实践 问题情境 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．纸片和满足，．将两张纸片放置在同一平面内，点F在边上，绕点F旋转纸片，使交边于点交边于点G． 下面是创新小组的探究过程． 操作发现 （1）如图1，当的顶点F与的中点O重合时，在旋转过程中，发现下列结论： ①与的数量关系为 ； ② ． 类比探究 （2）如图2，当时，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明过程；若不成立，请说明理由． 拓展延伸 （3）在（2）的条件下，连接，如图3．当为等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）①②（2）①成立，②不成立，见解析（3）或 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握一线三等角相似模型，是解题的关键： （1）①等边对等角，结合三角形的内角和定理以及平角的定义，即可得出结论；②证明，得到，即可得出结果； （2）同法①，即可得出结论； （3）分，，，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）①， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ②∵的顶点F与的中点O重合， ∴， 由①知：，， ∴， ∴， ∴； （2）①成立，②不成立，证明如下： ∵， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； （3）由（2）可知：，，， ∴， ①当时，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，则：， ∴； ③当时，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，此时点不边上，不符合题意； 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$