精品解析：广东省八校联盟2025-2026学年高三质量检测（一）数学试题

2025～2026学年度广东省高三“八校联盟”质量检测（一） 数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 25 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，BC边上一点D满足，且AD平分.若的面积为，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 是圆上的动点， 是直线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在外接球体积为的正方体中，E是线段上的动点（不包括端点），过A，，E三点的平面将正方体截为两个部分，且交于点F，当截得的较小部分的几何体的体积为时，（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量服从正态分布，下列结论中错误的是（ ） A. B. 当时， C. D. 随机变量落在与落在的概率相等 10. 已知点在双曲线（，）上，则下列结论正确的是（ ） A. C的实轴长小于2 B. C的渐近线方程可能为 C. C的离心率大于 D. C的焦距不可能为4 11. 已知函数的定义域为，对于，都有，则（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则，则________． 13. 从1，2，3，…，19，20中选三个不同的数a，b，c，且满足的数组（a，b，c）的个数为________． 14. 已知为抛物线上两点，为焦点，为坐标原点，在第一象限，且点的纵坐标大于点的纵坐标，若，则点的坐标为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，且数列的前n项和为，求证：． 16. 如图，在正四棱锥中，已知，平面，点在平面内，点在棱上． （1）若点是的中点，证明：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值． 17. 某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分．现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表： 科普测试成绩x 科普过程性积分 人数 4 10 3 a 2 b 1 23 0 2 （1）当a=25时， （i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率； （ii）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望； （2）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为．若根据表中信息能推断恒成立，直接写出a的最小值． 18. 如图，，是椭圆：的两个顶点，，直线的斜率为，是椭圆长轴上的一个动点，设点. （1）求椭圆的方程； （2）设直线：与 ，轴分别交于点， ，与椭圆相交于，.证明：的面积等于的面积. （3）在（2）的条件下证明：为定值. 19. 已知函数的导函数为． （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若有三个不同的零点，求实数的取值范围； （3）已知，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度广东省高三“八校联盟”质量检测（一） 数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算先求复数，再利用即可求解. 【详解】由可得，故， 故选：A． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合A和集合B，再利用集合的交集定义求解． 【详解】由题得，集合， 集合， 所以． 故选：D． 3. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，根据单调性列出不等式，进而求出结果. 【详解】，求导得在上恒成立， 则，因为，所以要使得不等式恒成立， 则. 故选：C． 4. 已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得出三角函数的周期，然后求出结果即可. 【详解】由题可知是该函数的周期的整数倍，即， 解得，又，故其最小值为. 故选：B． 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数对数的转化先表示，利用换底公式化简，进而比较与的大小，利用简单的放缩即可比较与1的大小，进而求解. 【详解】由，，得，， 又，即有， 所以，因此，所以． 故选：D． 6. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，BC边上一点D满足，且AD平分.若的面积为，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正弦定理和三角函数的性质求出角，再利用三角形面积公式和角平分线性质建立关于边的方程，进而求出的值. 【详解】依题意，， 由正弦定理得. 移项可得. 所以. 所以，因为，所以， 两边同时除以，可得，即，所以. 由三角形面积公式可得，即，化简可得①. 因为，所以. 又因为平分，根据角平分线定理得， 即，所以②. 由①②解得. 故选：B 7. 是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用几何法先判断直线与圆的位置关系，进而利用圆心到直线的距离减去半径即可求解. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径． 因为到直线的距离， 当且仅当时等号成立，所以直线与该圆相离， 所以的最小值为． 故选：C． 8. 如图，在外接球体积为的正方体中，E是线段上的动点（不包括端点），过A，，E三点的平面将正方体截为两个部分，且交于点F，当截得的较小部分的几何体的体积为时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体外接球体积可求出正方体棱长，然后结合图形和几何关系确定截面，根据较小几何体体积求出结果即可. 【详解】设正方体棱长为，则外接球半径为，所以，解得． 在上取一点，使得，连接，设， 由，可得平面为过，，三点的截面，． ，， 由题意知，整理为，解得或（舍），故． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量服从正态分布，下列结论中错误的是（ ） A. B. 当时， C. D. 随机变量落在与落在的概率相等 【答案】ABC 【解析】 【分析】由正态分布的对称性可判断A，D；由方差的性质可判断B，当时，，利用正态分布的对称性即可判断C. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：当时，，故B错误； 对于C：当时，，，故C错误； 对于D：由正态分布密度曲线的对称性可知，随机变量落在与落在的概率相等，故D正确． 故选：ABC． 10. 已知点在双曲线（，）上，则下列结论正确的是（ ） A. C的实轴长小于2 B. C的渐近线方程可能为 C. C的离心率大于 D. C的焦距不可能为4 【答案】AC 【解析】 【分析】根据即可得，根据实轴的定义即可求解A，根据渐近线方程以及离心率公式即可求解BC，根据焦距求解D. 【详解】将代入可得， 对于A：，故，因此，所以实轴长为，则，故A正确； 对于B：渐近线方程为，若渐近线方程为，则， 结合可得，则，该方程无实数根，故渐近线方程不可能为，故B错误； 对于C：离心率为，故C正确； 对于D：若焦距为4，则，故，故D错误. 故选：AC 11. 已知函数的定义域为，对于，都有，则（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令求出可判断A；利用，可判断B；利用， 可判断C；设，又， 得，可判断D． 【详解】对于A，令，则，可得， 解得，故A正确； 对于B，由，可得， 所以函数的图象关于点中心对称，故B错误； 对于C，由可得， 所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，设①， 又②，由①②可得， 所以，即， 所以，所以， ，所以，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算先求，再由向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】因为，由题意得． 故答案为：. 13. 从1，2，3，…，19，20中选三个不同的数a，b，c，且满足的数组（a，b，c）的个数为________． 【答案】180 【解析】 【分析】由，知，必须同奇或同偶，结合排列问题和分类加法计数原理计算即可求解. 【详解】由，知，必须同奇或同偶， 若，都为奇数，则有种选法； 若，都为偶数，则有种选法； 由分类加法计数原理知，满足题意的数组共有种. 故答案为：. 14. 已知为抛物线上两点，为焦点，为坐标原点，在第一象限，且点的纵坐标大于点的纵坐标，若，则点的坐标为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，当位于轴同侧时无解；当位于轴的不同侧时，，，联立求解即可. 【详解】设，，，则，， 结合抛物线定义，， 当位于轴的不同侧时，， 由， 整理可得，所以，， 所以，解得(负值舍)，此时的坐标为； 当位于轴同侧时，，此时无解. 故答案为： 【点睛】思路点睛：设出，，，则，，由，将其转化为直线与的斜率，建立关于的方程求解即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，且数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1） （2）证明：， ∴． 故命题得证． 【解析】 【分析】（1）由数列的递推公式利用累乘法求解； （2）由（1）求出，再由裂项法求和即可证明． 【小问1详解】 由，则（n≥2）， 两式左右分别相减得，即． 得， 则，，…，，， 将以上个式子相乘得． 上式对仍成立，所以． 【小问2详解】 略 16. 如图，在正四棱锥中，已知，平面，点在平面内，点在棱上． （1）若点是的中点，证明：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：由题意可得正四棱锥所有棱长均为，而是的中点， 所以， 又因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）要证明面面垂直，需通过证明线面垂直得到面面垂直，即证明平面， （2）先建立空间直角坐标系，然后求出各点的坐标，求出平面的法向量的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，易知两两互相垂直，分别以为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，可得，． 由，得，所以，进而． 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以平面的一个法向量为． 易知平面的一个法向量为， 设二面角S-AC-P的平面角为θ，则， 故二面角的余弦值为． 【点睛】 17. 某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分．现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表： 科普测试成绩x 科普过程性积分 人数 4 10 3 a 2 b 1 23 0 2 （1）当a=25时， （i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率； （ii）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望； （2）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为．若根据表中信息能推断恒成立，直接写出a的最小值． 【答案】（1）（i）0.35；（ii） （2）7． 【解析】 【分析】（1）（i）用频率代替概率即可； （ii）先用频率代替概率得出科普过程性积分为的概率，再根据独立事件的乘法公式计算分布列，最后利用期望公式即可； （2）先求出的最大值，再根据各分数段取最小值求得的平均分作为的最小值，根据即可求出. 【小问1详解】 （i）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为， 则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为， 所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.35． （ii）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率为， 所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为， 同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为， X的所有可能值为6，7，8， ，，， 所以X的数学期望. 【小问2详解】 由表知，，则， 从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，则的最大值为69，100名学生科普测试成绩的平均值记为，要使恒成立，当且仅当， 显然的最小值为各分数段取最小值求得的平均分， 因此， 则，解得， 所以根据表中信息能推断恒成立的a的最小值是7． 18. 如图，，是椭圆：的两个顶点，，直线的斜率为，是椭圆长轴上的一个动点，设点. （1）求椭圆的方程； （2）设直线：与，轴分别交于点，，与椭圆相交于，.证明：的面积等于的面积. （3）在（2）的条件下证明：为定值. 【答案】（1） （2）证明：直线的方程为，即，将其代入， 消去，整理得. 设，. ∴，. 记的面积是，的面积是. 由题意，， ∵， ∴， ∵，. ∴的面积等于的面积； （3）证明：由（2）知，，，， ∴， ， ， . 【解析】 【分析】（1）利用，直线的斜率为，建立方程组，即可求椭圆的方程； （2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及三角形的面积公式，即可证得结论； （3）由（2）直接利用两点间的距离公式结合根与系数的关系证明. 【小问1详解】 ∵､是椭圆的两个顶点，且，直线的斜率为， 由，，得， 又，解得，， ∴椭圆的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知函数的导函数为． （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若有三个不同的零点，求实数的取值范围； （3）已知，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再代入得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程； （2）先求出导函数，再得出导函数正负确定函数单调性及极值数形结合计算求参； （3）先求出导函数，再得出导函数正负确定函数单调性及极值数形结合计算求参. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，则， 所以的图象在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 由题知，， 因为有三个不同的零点， 所以方程有三个不等实根， 化简可得方程有三个不等实根， 即可看成直线与曲线有三个不同的交点， ， 所以当或时，单调递减； 当时，单调递增， 所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图1所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为． 【小问3详解】 由题知，，其定义域为， 则， 令，得或， 设，则， 当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减， 又当时，；当时，，且， 所以的大致图象如图2所示， 因为在定义域内有三个不同的极值点， 所以与有两个不同的交点，所以， 不妨设，则， 所以，所以 所以 ， 令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 又， 所以，所以在上单调递增， 因为， 所以当时，恒成立， 即当时，恒成立， 所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $