第22章 二次函数（章节复习检测中等卷）-2025-2026学年人教版数学九年级上册优选题练习卷

2025-2026学年人教版数学九年级上册章节复习检测中等卷（新教材） 第22章 二次函数 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.55 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数，且当时，y随x 的增大而增大．若点为抛物线上的两点，且总有，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）小迪同学以二次函数的图象（O为坐标原点）为灵感设计了一款酒杯，如图为酒杯的设计稿，若，则酒杯的高为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）已知函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x 1 5 y 0 5 9 5 下列结论：①若点，均在二次函数图象上，则；②当时，y的取值范围为；③满足的x的取值范围是或；④该二次函数的图象与直线的图象有交点，则，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值如表： … 0 1 3 … … 3 5 3 … 下列结论：（1）；（2）当时，的值随值的增大而减小．（3）是方程的一个根；（4）当时，．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）把抛物线向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④关于的方程有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为，其中正确的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①； ②（m为任意实数）； ③； ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③当时，；④其中正确结论的本数为 （填序号） 12．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是 ． 13．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，且二次函数的对称轴是直线，则此方程的另一个根为 ． 14．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列6个结论：（1）；（2）；（3） ；（4）（的实数）；（5）；（6）其中正确结论的有 个． 15．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤；⑥一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确结论有 ． 16．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点O，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于另一点；将抛物线绕点，旋转得抛物线；交x轴于另一点…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点在此“波浪线”上，则m的值为 ． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过与两点，关于x的方程有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程有两个整数根，则这两个整数根分别为 ． 18．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在水平地面上的点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球在地面上的落点为点B，网球的飞行路线是一段抛物线，小明在线段之间的点C的右侧竖直向上摆放若干个直径为米、高为米的无盖圆柱形桶（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）已知米，米，网球飞行的最大高度米，若要使网球能落入桶内，则至少需摆放 个无盖圆柱形桶． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）已知二次函数． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是_________． 20．（本题6分）（24-25九年级上·河南濮阳·期中）如图，二次函数的图象经过坐标原点，与x轴交于点．    (1)求此二次函数的解析式及点顶点B的坐标； (2)在抛物线上否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 21．（本题8分）（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为元，实际销售量为y件，销售该品牌玩具获得的利润为元． (1)分别求出y与x、 w与x之间的函数表达式； (2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 22．（本题8分）（2025·陕西榆林·二模）如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口的垂直平分线对称，且碗底与碗口平行，、均在抛物线上，，，已知，，，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式（、为常数）．    (1)求、的值和点的坐标； (2)若碗中装入一定量的水，水面，且与之间的距离为，求水面的宽度． 23．（本题8分）（2025·河南开封·二模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明． 24．（本题8分）（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点P是第一象限抛物线上一点，设P点的横坐标为m．过点P作轴，交于点D，过点D作轴，垂足为E，连接，当和相似时，求点P的坐标； 25．（本题10分）（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，有一座抛物线形拱桥，当水位正常时，水面宽度为，水位上升，就达到警戒水位，这时水面宽度为． (1)在图中建立平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以每天的速度上升，求水过警戒水位后几天淹到桥的拱顶； (3)在正常水位的基础上，当水位上升时，桥下水面的宽度为，求出用n表示为l的函数解析式． 26．（本题10分）（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）某学校有一个长为的矩形网球训练场地，童童和青青在该场地打网球，点O 在童童所在区域的边界线上，点A 在青青所在区域的边界线上，，球网高为（点B位于中点处且），以点 O为原点，所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系．若童童在点 O 处接球后击出的网球的行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为（），且落地点在点 A 处． (1)童童击出的网球运动到最高点时距地面__________． (2)求童童接球时，网球的高度； (3)在其他条件不变的情况下，童童调整接球后击球的角度，使网球擦网而过，落地点仍在点A处，此时网球的运动路线在一条新的抛物线上． ①新抛物线的解析式为：_________． ②青青预判到了网球的运动路线，从点A处向前走了几步，接住了网球，接球的高度恰好与童童接球时的高度相同，青青向前走了多少米？ ③在②的条件下，青青回了童童一个球，网球的运动路线在以点C为最高点的抛物线上，青青的回球能否落在童童所在区域内？ 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年人教版数学九年级上册章节复习检测中等卷（新教材） 第22章 二次函数 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.55 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数，且当时，y随x 的增大而增大．若点为抛物线上的两点，且总有，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数，得出二次函数对称轴为直线，结合当时，y随x的增大而增大，得出二次函数的开口方向向上，越靠近对称轴的所对应的函数值越小，因为点为抛物线上的两点，且总有，列出，再化简求解，即可作答． 【规范解答】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴二次函数的开口方向向上，越靠近对称轴的所对应的函数值越小 ∵为抛物线上的两点，且总有， ∴， ∴， 当时， ∴（舍去）， 当时， ∴， 综上：， 故选：A 2．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）小迪同学以二次函数的图象（O为坐标原点）为灵感设计了一款酒杯，如图为酒杯的设计稿，若，则酒杯的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题可先根据的长度确定点的横坐标，再代入二次函数求出点的纵坐标，最后结合二次函数顶点坐标求出的长度．本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【规范解答】解：，且抛物线关于轴对称 点的横坐标为 点在抛物线上 当时， 抛物线的顶点的坐标为 故选：D． 3．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）已知函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小． 由函数解析式得到抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上，则A、B、C的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断，，的大小关系，据此进行分析，即可作答． 【规范解答】解：∵函数 ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上， 则A、B、C的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小， ∵函数的图象上有三点，，，且 ∴ 故选：B． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【规范解答】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 5．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x 1 5 y 0 5 9 5 下列结论：①若点，均在二次函数图象上，则；②当时，y的取值范围为；③满足的x的取值范围是或；④该二次函数的图象与直线的图象有交点，则，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了二次函数的图象和性质．利用待定系数法求出的值，利用对称性可判断；利用二次函数的性质可判断；解不等式，可判断③；联立解析式得，由根的判别式可判断． 【规范解答】解：把，，代入得， ， 解得， ∴，其对称轴为直线， ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 又∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值， ∵与时函数值相等，等于， ∴当时，的取值范围为，故错误； 解不等式，即，解得或，故③正确； 联立与，得， 由该二次函数的图象与直线的图象有交点，得， 解得，故④错误； 综上，正确结论为①和③，共2个， 故选：B． 6．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值如表： … 0 1 3 … … 3 5 3 … 下列结论：（1）；（2）当时，的值随值的增大而减小．（3）是方程的一个根；（4）当时，．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与不等式，二次函数的性质是解题的关键． 根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的性质进行分析判断即可得解． 【规范解答】解：①由图表中数据可知，和时，函数值相同，都是3， ∴对称轴为直线， ∵时，， ∴， ∵时，， ∴， ∴，故（1）正确， ②∵， ∴开口向下， ∵抛物线的对称轴， ∴当时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误， ∵时，，即抛物线经过， ∵抛物线的对称轴， ∴抛物线经过， 即时，， ∴是方程的一个根； 故（3）正确； 当时，， ∴， ∴， ∴是方程的一个根． ∵时，， ∴， ∴， ∴是方程的一个根， ∴当时，，故（4）正确． 综上所述，正确的有3个， 故选：C． 7．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决． 【规范解答】解：由图象可得：，，， ，故①正确； 当时，，故②正确； 当时，， 由得：， 则，即，故④错误； ，， ，故③正确； 综上，①②③正确，共3个． 故选：C． 8．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）把抛物线向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后得到点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【规范解答】抛物线的顶点坐标为， 把点向左平移2个单位，再向下平移5个单位得到点的坐标为， 所以平移后的抛物线解析式为． 故选B． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④关于的方程有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为，其中正确的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路引导】此题主要考查了的图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、抛物线与x轴交点的个数确定．由抛物线的开口方向判断a符号，然后根据抛物线与x轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【规范解答】解：观察图象得：抛物线开口向上，与x轴没有交点， ∴，，故①正确，②错误； 把点代入，得： ， ∴，即，故③正确； ∵抛物线的顶点在x轴的上方，且开口向上， ∴抛物线与直线没有交点， ∴关于的方程没有实数根，故④错误； 如图， 设过点的直线的解析式为， ∴，解得：， ∴过点的直线的解析式为， 观察图象得：当时，抛物线的图象位于直线的下方， ∴不等式的解集为， 即不等式的解集为，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤，正确个数为3个， 故选：B 10．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①； ②（m为任意实数）； ③； ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据对称性可得即可判断④，即可求解． 【规范解答】解：∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与轴交于正半轴，则 ∴，故①错误， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线, ∴当时，取得最大值，最大值为 ∴（m为任意实数） 即，故②正确； ∵时， 即 ∵ ∴ 即 ∴，故③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于对称， ∴即故④不正确， 正确的有②③， 故选：B． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③当时，；④其中正确结论的本数为 （填序号） 【答案】①②③④ 【思路引导】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 根据二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴，，根据对称轴为直线可得，由此即可判断①；求出二次函数与轴的另一个交点坐标为，进而得到当时，，由此即可判断②；根据时，，即可判断④；利用图象法即可判断③． 【规范解答】解：∵二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴， ， ∵二次函数的对称轴为直线， ， ， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为， ∴二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， ∴，故②正确； 时，， ， ∴，即，故④正确； 由函数图象可知，当时，，故③正确； 综上所述，其中正确的结论有①②③④， 故答案为：①②③④． 12．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了抛物线的平移规律，熟练掌握平移规律是解题的关键．根据左加右减，上加下减的平移规律计算即可． 【规范解答】解：因为抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位， 所以抛物线解析式为， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，且二次函数的对称轴是直线，则此方程的另一个根为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，以及抛物线的对称性，明确抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键． 根据抛物线的对称性，可知的图像与x轴的两个交点关于直线对称，两交点的横坐标即为方程的两根，根据对称性建立关系式即可求解． 【规范解答】解：设方程的另一根为， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴，即， 解得，， ∴另一根为， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列6个结论：（1）；（2）；（3） ；（4）（的实数）；（5）；（6）其中正确结论的有 个． 【答案】4 【思路引导】（1）由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴位置确定的符号，可对（1）作判断；（2）根据时，函数值小于，即可求解；（3）根据对称性可得：当时，，可作判断；（4）根据顶点坐标的纵坐标为最大值可作判断；（5）根据对称轴为，即可判断；（6）根据对称轴为：可得：，结合时，，可作判断； 【规范解答】解：（1）该抛物线开口方向向下， 抛物线对称轴在轴右侧， 、异号， ； 抛物线与轴交于正半轴， ， ；故（1）正确； （2）根据函数图象，可得当时，函数值小于， 即，故（2）不正确； （3）根据抛物线的对称性知，与的函数值相等，故当时，，即；故（3）正确； （4）对应的函数值为， 对应的函数值为， 又时函数取得最大值， 当时 即，故（4）错误 （5）∵对称轴为：, ， ，故（5）正确. （6）∵对称轴方程， ， ， 当时，， ∴， ，故（6）正确； 故正确的有（1）（3）（5）（6），共5个 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤；⑥一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确结论有 ． 【答案】①③④⑤⑥ 【思路引导】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图象的关系，结合图像逐项分析，结合已知条件得出结论是解题的关键． ①根据图象开口向上，对称轴位置，与y轴交点分别判断出a，b，c的正负；②根据对称轴公式，判断之间的关系；③根据时，，比较与0的大小；④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等结合②的结论判断即可；⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论；⑥方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标即可得到结论． 【规范解答】解：①∵抛物线图象开口朝上， ∴ ， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，即，故②错误； ∵抛物线图象与y轴交点位于x轴下方， ， ，故①正确； ③经过， 又由①得，， ，故③正确； ④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等， 当时，即 ， 即， 经过，即经过，故④正确； ⑤当时，，当时，， ， 函数有最小值， ， ∴， ∴，故⑤正确； ⑥方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标，结合函数图象可知，抛物线与直线有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根，故⑥正确； 综上所述：①③④⑤⑥正确． 故答案为：①③④⑤⑥． 16．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点O，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于另一点；将抛物线绕点，旋转得抛物线；交x轴于另一点…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点在此“波浪线”上，则m的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了函数图象的基本规律，结合题意确定函数图象变化规律是解题关键．根据确定，，的解析式为，图象开始循环，横坐标以12为循环节，函数值相等，计算，判定m与时的函数值相等，据此求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴的解析式为， 根据题意，得函数图象开始循环，横坐标以12为循环节，函数值相等， ∵， ∴m与时的函数值相等， 当时，， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过与两点，关于x的方程有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程有两个整数根，则这两个整数根分别为 ． 【答案】和2 【思路引导】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程的两个整数根，从而可以解答本题． 【规范解答】解：∵二次函数的图象经过与两点， ∴时，的两个根为和1，函数的对称轴是直线， 又∵关于x的方程有两个根，其中一个根是3， ∴方程的另一个根为， ∵关于x的方程有两个整数根， ∴抛物线与直线的交点的横坐标在与之间和1与3之间， ∴关于x的方程有两个整数根，这两个整数根是和2， 故答案为：和2． 18．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在水平地面上的点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球在地面上的落点为点B，网球的飞行路线是一段抛物线，小明在线段之间的点C的右侧竖直向上摆放若干个直径为米、高为米的无盖圆柱形桶（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）已知米，米，网球飞行的最大高度米，若要使网球能落入桶内，则至少需摆放 个无盖圆柱形桶． 【答案】 【思路引导】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．先建立直角坐标系，求出函数解析式，根据二次函数的图像和性质即可得到答案． 【规范解答】解：先以所在直线为轴建立直角坐标系，二次函数的图像过，设抛物线的解析式为， ， ， 抛物线解析式为：， 当时，， 当时，， 桶高米，设可以摆放个桶 ， 解得， 故至少要摆个桶， 故答案为：． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）已知二次函数． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是_________． 【答案】(1)直线 (2) 【思路引导】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据二次函数的对称轴公式可直接进行求解； （2）首先得到抛物线开口向上，进而求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵， ∴该抛物线开口向上， ∴当y随x的增大而增大时，x的取值范围是． 故答案为：． 20．（本题6分）（24-25九年级上·河南濮阳·期中）如图，二次函数的图象经过坐标原点，与x轴交于点．    (1)求此二次函数的解析式及点顶点B的坐标； (2)在抛物线上否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为或或 【思路引导】本题考查了二次函数解析式的求法以及利用点的坐标求三角形的面积，同时注意数形结合思想的灵活运用． （1）由于二次函数经过原点和A点，将二点坐标代入，求解即可； （2）由，求得y的值，再将y的值代入解析式求解x，得出P点坐标． 【规范解答】（1）解：将A、O两点坐标代入解析式，有 ，解得：； ∴此二次函数的解析式为， 变化形式得: ，故顶点坐标； （2）解：假设存在满足条件的点P， 则根据题意得：， 解得：或， 当时，，即， 解得，，即； 当时，， 则； ∴点P的坐标为或或． 21．（本题8分）（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为元，实际销售量为y件，销售该品牌玩具获得的利润为元． (1)分别求出y与x、 w与x之间的函数表达式； (2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)y与x之间的函数表达式为，w与x之间的函数表达式为 (2)10000元 【思路引导】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解． （1）根据用600减去减少的销售量可得y与x之间的函数表达式；根据一件的利润与销售数量的积，即可表示出w与x函数关系式； （2）由题意列出不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润． 【规范解答】（1）解∶ y与x之间的函数表达式为， w与x之间的函数表达式为； （2）解∶根据题意得：， 解得：； ∵，且， ∴当时，w取得最大值，最大值为10000， 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元． 22．（本题8分）（2025·陕西榆林·二模）如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口的垂直平分线对称，且碗底与碗口平行，、均在抛物线上，，，已知，，，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式（、为常数）．    (1)求、的值和点的坐标； (2)若碗中装入一定量的水，水面，且与之间的距离为，求水面的宽度． 【答案】(1)，，点的坐标为 (2) 【思路引导】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意可得抛物线的对称轴为直线，则由对称轴计算公式可得，再求出，利用待定系数法求出c的值，进而求出点B的坐标即可； （2）求出点E和点F的纵坐标，进而求出点E和点F的横坐标即可得到答案． 【规范解答】（1）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ， 解得．     ，，，， ∴ ∴．     将点代入，得，    ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴点的坐标为． （2）解：与之间的距离为， 点与点的纵坐标为．     令，得，解得，，    ， 即水面的宽度为． 23．（本题8分）（2025·河南开封·二模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明． 【答案】(1) (2)能，见解析 【思路引导】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中坐标问题，然后利用坐标数值关系反推实际问题． （1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）只要判断出乒乓球在运行中，高于，并落在之间即可； 【规范解答】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为，即 （2）解：能，理由如下： 当时，， 当时，， 解得（舍去），， ∴乒乓球在运行中，高于，并落在的中点处， ∴小明抛出的乒乓球能投入箱子； 24．（本题8分）（23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点P是第一象限抛物线上一点，设P点的横坐标为m．过点P作轴，交于点D，过点D作轴，垂足为E，连接，当和相似时，求点P的坐标； 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点P的坐标或 【思路引导】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数，二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，两点间的距离公式，二次函数的最值等知识，第二问注意两三角形相似时根据边的对应关系分情况讨论是解题的关键， （1）用待定系数法进行解答即可； （2）根据已知P点的横坐标为m，可得点P和D的坐标，用m的代数式表示和，根据相似三角形的两种情况，由两直角边对应成比例，列出m的方程即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线交x轴于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，令，得， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 依题意得，则， ∴， ∵， ∵， ∴当和相似时， ∴或， ∴或， ①当时，， ， 解得（舍）或2， ∴， ②当时，， 解得：（舍）或， ∴； 综上，点P的坐标为：或． 25．（本题10分）（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，有一座抛物线形拱桥，当水位正常时，水面宽度为，水位上升，就达到警戒水位，这时水面宽度为． (1)在图中建立平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以每天的速度上升，求水过警戒水位后几天淹到桥的拱顶； (3)在正常水位的基础上，当水位上升时，桥下水面的宽度为，求出用n表示为l的函数解析式． 【答案】(1) (2)水过警戒水位后天淹到桥的拱顶； (3) 【思路引导】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题关键． （1）以所在直线为轴，中点所在直线为轴建立平面直角坐标系，令与轴的交点为，顶点为，根据题意可得，，，，设该抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）先得到顶点坐标，从而得出，再除以水位上涨速度求解即可； （3）由题意可知，点在抛物线上，代入求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，以所在直线为轴，中点所在直线为轴建立平面直角坐标系，令与轴的交点为，顶点为， 由题意可知，，，， ，，，， 设该抛物线的解析式为， 则，解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：， ， ， ， 水位以每天的速度上升， ， 即水过警戒水位后天淹到桥的拱顶； （3）解：由题意可知，点在抛物线上， 则． 26．（本题10分）（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）某学校有一个长为的矩形网球训练场地，童童和青青在该场地打网球，点O 在童童所在区域的边界线上，点A 在青青所在区域的边界线上，，球网高为（点B位于中点处且），以点 O为原点，所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系．若童童在点 O 处接球后击出的网球的行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为（），且落地点在点 A 处． (1)童童击出的网球运动到最高点时距地面__________． (2)求童童接球时，网球的高度； (3)在其他条件不变的情况下，童童调整接球后击球的角度，使网球擦网而过，落地点仍在点A处，此时网球的运动路线在一条新的抛物线上． ①新抛物线的解析式为：_________． ②青青预判到了网球的运动路线，从点A处向前走了几步，接住了网球，接球的高度恰好与童童接球时的高度相同，青青向前走了多少米？ ③在②的条件下，青青回了童童一个球，网球的运动路线在以点C为最高点的抛物线上，青青的回球能否落在童童所在区域内？ 【答案】(1) (2) (3)①；②青青向前走了；③青青的回球能落在童童所在区域内． 【思路引导】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确利用二次函数解决问题是解题的关键． （1）由抛物线的顶点坐标即可解答； （2）把点代入抛物线上，求出a的值，得到抛物线解析式，再令，即可求解； （3）解：①运用待定系数法求解即可； ②令，求出自变量x的值，即可解答； ③运用待定系数法求出青青回球后，网球的运动路线所在抛物线的解析式为．令 ，求得青青的回球的落地点坐标，进行判断即可． 【规范解答】（1）解：∵网球的行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为（）， ∴顶点坐标为， ∴童童击出的网球运动到最高点时距地面． 故答案为： （2）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得 ∴该抛物线的解析式为 ∴当时，， ∴童童接球时，网球的高度为． （3）解：①∵点B是的中点， ∴， ∵， ∴， 由（2）有， ∴， 设新抛物线的解析式为， ∵新抛物线过点，，， ∴，解得， ∴新抛物线的解析式为． 故答案为： ②在中，令，则 解得，， ∴ ∴青青向前走了． ③∵青青回球后，网球的运动路线在以点为最高点的抛物线上， ∴设青青回球后，网球的运动路线所在抛物线的解析式为． 由②可知青青回球时，球的坐标为， ∴，解得， ∴青青回球后，网球的运动路线所在抛物线的解析式为． 令 解得 ∴青青的回球的落地点为点 ∴青青的回球能落在童童所在区域内． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$