22.3实际问题与二次函数同步练习卷-2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.3实际问题与二次函数同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为点，建立如图2所示的坐标系，若点A的坐标为，点是图1中沙丘两个端点，则的值为（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 2．一个小球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）和弹起的最高高度（米）分别是（   ） A．1，4 B．2，5 C．5，10 D．10，20 3．飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数关系式是，则飞机着陆后滑行（    ）秒才能停下来？ A．10 B．15 C．20 D．30 4．如图是小颖家门口的路灯示意图，为垂直于地面的竖直灯杆（点在地面上），灯杆顶端与灯泡之间用一根曲杆连接，曲杆的形状可看成是一条抛物线的一部分，以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知该拋物线的顶点，竖直灯杆的高度为，灯泡到轴的水平距离为，则灯泡到地面的高度为（    ） A． B． C． D． 5．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）近似满足函数关系式，如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋较角度约为（   ） A． B． C． D． 6．某商家代销一种产品，销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件产品下降1元时，日销售量增加2件．已知每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品售价为（元），商家每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 7．某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图所示：种植果树的利润（万元）与投资量（万元）成二次函数关系，如图所示如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共万元，则他能获取的最大总利润是（    ） A． B． C． D． 8．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为16m，当水位上升3m时，水面宽为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，抛物线与直线相交于点、，若，则点的坐标为 ． 10．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 ． 11．如图，硬叶柳是杨柳科柳属直立灌木，在海拔到的高山环境下，其叶片长度与海拔满足关系式：．若，则硬叶柳生长的海拔为 ． 12．火炮发明于中国，是指利用机械能、化学能(火药)、电磁能等能源抛射弹丸，射程超过单兵武器射程，由炮身和炮架两大部分组成的武器.在某次训练中，向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且y与x的关系式为若此炮弹在第6秒和第14秒时的高度相等，则此炮弹飞行第 秒时的高度是最高的. 13．如图，抛物线与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设的面积为S，则S可用含m的式子表示为 14．一种商品在原售价的基础上涨价销售，每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图1，日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图2．则日销售的最大利润为 元． 15．如图，综合实践小组的同学们研究了某草坪喷灌系统的设计，发现喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线（其中为垂直高度，为水平距离，单位：m），则该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离为 m． 16．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即的长）为 米． 三、解答题 17．如图所示，有一建筑工地从高的窗口处用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如果抛物线的最高点离墙，离地面． (1)求抛物线的解析式； (2)求水流落地点离墙的距离． 18．已知二次函数自变量x的值和它对应的函数值y如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 m … (1)求该二次函数的解析式 (2)设该二次函数图像与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图像上点C的横坐标为4．求的面积． 19．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第四象限抛物线上一点，当四边形的面积最大时，求点的坐标和四边形的最大面积； (3)如图2，在抛物线对称轴上找一点，使的外心在轴上，求点的坐标． 20．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 21．南昌生米大桥（图1）是南昌市中南部城市主干道的重要构成部分之一，横跨赣江，是一座集现代设计美学与工程技术创新于一体的标志性建筑．如图2，主桥拱可近似地看作抛物线的一部分，桥面的一部分可看作水平线段，其跨度为，桥拱的最大高度为．以点为原点，线段所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，构建平面直角坐标系． (1)求主桥拱所在抛物线的解析式； (2)如图2，若在两端之间的桥面与桥拱之间铺设满垂直于桥面的5根杆状景观灯，且相邻景观灯的间距、端点，到相邻景观灯之间的距离均相等，已知杆状景观灯平均的铺设成本为270元/，求5根景观灯的铺设成本． 22．如图1，2024年尤尼克斯世界青年羽毛球锦标赛于9月30日在南昌国际体育中心成功闭幕，这是江西省首次举办的世界级别的羽毛球赛事．在精彩的比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是如图2所示的抛物线的一部分（水平地面为轴，垂直水平地面为轴，单位：m）． (1)求出球点离点的距离的长）． (2)求羽毛球横向飞出的最远距离的长），并直接写出羽毛球运动路线最高点到水平地面的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《22.3实际问题与二次函数同步练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C D D D D B 1．B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式．根据题意，可设抛物线的解析式为，将点A坐标代入求出m的值即可得出其解析式，再求出时x的值即可得出答案． 【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 则抛物线解析式为， 当时，， 解得：， ∵点B在第四象限， ． 故选：B． 2．B 【分析】此题考查了求二次函数的应用． 根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到回到地面所花的时间（秒）．化为顶点式可求出弹起的最高高度（米）． 【详解】解：球弹起后又回到地面时，即， 解得（不合题意，舍去），， ∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2． ∵， ∴弹起的最高高度（米）是5． 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握配方法是解题的关键．把二次函数解析式转化为顶点式，求出为何值时取最大值即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴当时，有最大值， 即飞机着陆后滑行20秒才能停下来． 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了二次函数的应用．利用待定系数法求得抛物线解析式为，再由P点横坐标为3求出P的纵坐标，再加即可求解． 【详解】解：∵拋物线的顶点， ∴设抛物线解析式为， ∵抛物线经过原点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 则将代入，可得， ∴P到地面的高度为， 故选：D． 5．D 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可知，物线开口向上， 从18和72两个点可以看出对称轴， 所以最终对称轴的范围是， 即对称轴位于直线与直线之间， 所以此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为． 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确列出函数解析式是解题关键．先求出日销售量为件，再根据利润（售价支付厂家和其他的费用）日销售量即可得． 【详解】解：设每件产品售价为（元），则日销售量为件， ∵每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元， ∴， 故选：D． 7．D 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数和二次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，然后设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元，根据题意可得：，最后进行计算即可解答． 【详解】解：设， 把代入中得：， ； 设， 把代入中得： ， 解得：， ； 设这位专业户投入种植果树的资金为万元，则投入种植茶树的资金为万元，他获得的利润为万元， 由题意得： ， ， 当时，， ， 当时，， 能获取的最大总利润是万元， 故选：D． 8．B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时求得，再根据水位上升3米时，代入解析式求出x即可解答． 【详解】解：∵米， ∴当时，， 当水位上升3m时，， 把代入得：，解得：， 此时水面宽米． 故选B． 9． 【分析】本题考查了抛物线与直线的交点问题、一元二次方程的求解以及抛物线的对称性．解题的关键是联立方程后，利用抛物线对称轴和的长度确定交点的横坐标，进而得到点B的坐标． 联立抛物线与直线方程，得到关于x的一元二次方程．利用一元二次方程根与系数的关系或抛物线对称性，结合求出交点横坐标．确定点B的坐标． 【详解】解：将代入抛物线方程，可得，整理为． 设点 A 的坐标为，点B 的坐标为，则是方程的两个根． ∴， ∵，且纵坐标相同， ∴，则， ∵， ∴，解得． 把代入方程，得， 化简得：， 解方程得：， 故B的坐标为． 故答案为：． 10．4 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 先确定抛物线的对称轴方程，再根据抛物线的对称性可得出结论． 【详解】解：根据函数的图象可得抛物线的对称轴方程为：， 因为抛物线与x轴的一个交点横坐标为0， 所以，抛物线与x轴的另一个交点横坐标为， 所以，足球从踢出到落地所需的时间是， 故答案为：4 11． 【分析】本题考查了二次函数的应用，将代入解析式，求得，即可求解． 【详解】解：依题意，当时， 解得：（负值舍去）， 故答案为：． 12．10 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，解题的关键是掌握当抛物线开口向下时，函数在对称轴处取得最大值．根据炮弹在第6秒和第14秒时高度相等列式，得，然后求出对称轴，依据抛物线在对称轴处函数的最值确定答案． 【详解】解：依题意，当，值相等， ， 整理，得， 抛物线， 抛物线的对称轴方程为：， 因为炮弹高度的函数图象是开口向下的抛物线， ， 炮弹在处高度最高， 炮弹飞行第10秒时的高度是最高的， 故答案为：10． 13． 【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、平移的性质以及三角形面积的求法等知识，作轴于H，设，求出，把代入，得，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，作轴于H， 设， 令，则，解得：，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∵， ∴． 故答案为：． 14．2450 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求一次函数解析式，读懂题意，正确列出函数解析式是解题的关键；先求出每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系，再求出日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系，根据日销售利润等于日销售数量与每件利润的积，得到二次函数，由二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】解：设每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系为， 由图1知，函数图象过点， 把这两点坐标分别代入上述解析式中，得：， 解得， ∴； 设日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系为， 由图2知，函数图象过点， 把这两点坐标分别代入上述解析式中，得：， 解得：， ∴； 设日销售利润为w，则， 即， ∵， ∴当时，有最大利润，且最大利润为2450元； 故答案为：2450． 15．6． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，读懂题意将问题转化为是解题的关键． 根据题意得到，解方程即可得到结论． 【详解】解：， 当时，即， 解得，（不合题意，舍去）， 该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离米． 故答案为：6． 16．40 【分析】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用．以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得内侧抛物线的解析式，则可知点、的横坐标，从而可得的长． 【详解】 解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系： ，，， 设抛物线的解析式为，将代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， 米， 故答案为：40． 17．(1) (2)3米 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）根据点的坐标可得抛物线解析式的顶点式，然后将点的坐标代入即可得； （2）令可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得． 【详解】（1）由题意，， 设抛物线解析式的顶点式为， 将点代入得：， 解得， 则抛物线解析式的顶点式为， 即抛物线的解析式为； （2）令得：， 即， 解得或（不符题意，舍去）， 则， 故水流落地点离墙的距离米． 18．(1) (2)3 【分析】（1）先根据待定系数法求出二次函数的解析式； （2）先求出的值，根据二次函数图象的对称性及已知表格可求得点B、A、C的坐标，再过B作轴，过C作，垂足为D，过A作，垂足为E，如图，则D、E的坐标可求，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：根据二次函数图象的对称性，设该二次函数的解析式为， ∵点是图象上一点， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为，即； （2）解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， 当时，， ∴m的值为3； 根据二次函数图象的对称性及已知表格可得点B、A、C的坐标分别是、、， 过B作轴，过C作，垂足为D，过A作，垂足为E，如图所示． 则D、E的坐标分别为、． ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的图象与性质以及三角形的面积等知识，属于基本题型，熟练掌握以上基本知识是解题关键． 19．(1)； (2)当M为时，四边形的面积有最大值为； (3)点D的坐标为或． 【分析】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，铅垂法求三角形面积，二次函数的最值，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，三角形的外心的性质等，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用数形结合思想． （1）将A，C两点坐标代入，利用待定系数法求解； （2）连接，过M作x轴的垂线交于点N，，其中为定值，设M点坐标为，则，化为顶点式，即可求出最值； （3）由题意判断得到是等腰直角三角形，据此求解即可． 【详解】（1）解：把，分别代入抛物线解析式， 得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）如图，连接，过M作x轴的垂线交于点N， 在中，令，则 ， 解得或， ∴B点坐标为． ∴，且， ∴， 设直线解析式为，将，分别代入，得： ，解得， ∴直线解析式为， 设M点坐标为，则N点坐标为， ∵M在第四象限， ∴， ∴， ∴当时，，， ∴当M为时，四边形的面积有最大值， 最大值． （3）∵，， ∴抛物线的对称轴为， 如图，设抛物线的对称轴交轴于点， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴， ∵的外心在轴上， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴D点坐标为， 当点在轴下方时，同理D点坐标为， 综上，点D的坐标为或． 20．(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）连接交对称轴于点P，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线解析式为，得出当时，，即可得出答案； （3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图1中，连接交对称轴于点P， 根据对称性可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线解析式为，则， 解得， ∴直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴点P坐标． （3）在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形． 理由如下： ∵， ∴顶点D的坐标为， ∵， ∴， 设点M的坐标为，则： ，， ①当A为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ②当D为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ③当M为直角顶点时，由勾股定理，得，即 ， 解得或， 所以点M的坐标为或； 综上可知，在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形，此时点M的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，三角形周长，二次函数的顶点式，勾股定理等知识，有一定的难度，数形结合、分类讨论及方程思想的运用是解题的关键． 21．(1) (2)5根景观灯的铺设成本为元 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）根据题意设出二次函数顶点式，利用待定系数法求解； （2）先求出相邻景观灯之间的距离，再利用（1）中结论及二次函数图象的对称性求出5根杆状景观灯的长度，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，顶点，， 设主桥拱所在抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得． ∴主桥拱所在抛物线的表达式为； （2）． 当时，； 当时，； 当时，； 由对称性得，当时，；当时，． ∴5根杆状景观灯的总长度为． （元）． 答：5根景观灯的铺设成本为元． 22．(1) (2)， 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解横纵坐标的实际意义是解题的关键． （1）当时，即可求解； （2）当时，解一元二次方程，即可求解，将二次函数化为，由二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：∵ ∴当时，， 的长为； （2）解：当时， ， 整理，得， 解得（舍去），， 的长为． 羽毛球运动路线最高点到水平地面的距离为． ， ， 当时，y的值最大，且最大值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$