精品解析： 安徽省阜阳市颍州区新世纪学校2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年安徽省阜阳市颍州区新世纪学校 九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 2. 若是关于的一元二次方程的一个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解根与方程的关系．把代入方程，从而可直接求． 【详解】解：把代入中， 得：， 解得：， 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为，则下列说法不正确的是（ ） A. 点M在第四象限 B. 点M关于x轴的对称点的坐标为 C. 点M关于y轴的对称点的坐标为 D. 点M关于原点的对称点的坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的位置和对称点的坐标，解题的关键是熟练掌握对称点坐标变化规律． 先确定平面直角坐标系中M点的位置，再确定其对称点的位置即可． 【详解】解：A．点M在第四象限，选项正确，不符合题意； B．点M关于x轴的对称点的坐标为，选项正确，不符合题意； C．点M关于y轴的对称点的坐标为，选项正确，不符合题意； D．点M关于原点的对称点的坐标为，选项错误，符合题意； 故选：D． 4. 下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是( ) A. yx B. y2x1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，以及反比例函数的性质，即可得到当x＜0时，y随x的增大而减小的函数． 【详解】A、为正比例函数，，y随x的增大而增大，不符合题意； B、为一次函数，，y随x的增大而增大，不符合题意； C、为反比例函数，，当时，y随x的增大而减小，符合题意； D、为反比例函数，，当时，y随x的增大而增大，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的性质；解题时注意：一次函数的比例系数，y随x的增大而增大；比例系数，y随x的增大而减小．反比例函数中，在每个象限内，y随x的增大而减小；，在每个象限内，y随x的增大而增大． 5. 有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是2的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出所有可能，根据概率公式即可求解．本题考查了列举法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：∵有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数， ∴摆出的三位数有共6种可能，其中是2的倍数， ∴摆出的三位数是2的倍数的概率是， 故选：C． 6. 如图，五边形为的内接正五边形，点P为劣弧上的任意一点（不与D，E重合），则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理，圆内接四边形的性质．连接，根据正五边形的性质可得，再由圆周角定理可得，然后根据圆内接四边形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵五边形为的内接正五边形， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 故选：B 7. 如图，边长为的正方形绕点顺时针旋转到正方形，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图连接，根据得到，再结合面积公式求解即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵边长为的正方形绕点顺时针旋转到正方形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质及三角形全等的判定与性质，解题的关键是得到． 8. 如一次函数与反比例函数 的图像如图所示，则二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为x=-，找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y1=ax+c图象过第一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0， ∴-＞0， ∴二次函数y3=ax2+bx+c开口向下，二次函数y3=ax2+bx+c对称轴在y轴右侧； ∵反比例函数y2=的图象在第一、三象限， ∴c＞0， ∴与y轴交点在x轴上方． 满足上述条件的函数图象只有选项A． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系． 9. 如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，求出，，求出，根据勾股定理求出，求出，根据三角形的中位线求出，根据相似三角形的判定得出，根据相似三角形的性质得出，再求出答案即可． 【详解】解析：四边形是矩形，，， ，，， 点E、F分别为、的中点， ，， ， ， ， ． 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键． 10. 如图，点A，B是半径为2的上的两点，且．下列说法错误的是（ ） A. 圆心O到的距离为1 B. 在圆上取异于A，B的一点C，则面积的最大值为 C. 以为边向上作矩形，交于点P，Q，则扇形的面积为π D. 取弦的中点D，当绕点O旋转一周时，点D运动的路线长为 【答案】C 【解析】 【分析】过点O作于点H，连接，由垂径定理，勾股定理求出；延长交圆于C，可得，即可求出的最大面积为；以为边向上作矩形，由勾股定理求出，判定为等边三角形，求出，即得扇形的面积为；当绕点O旋转一周时，点D运动的路线是以O为圆心半径是1的圆，即可求出D运动的路线长为．于是可以得到答案． 本题主要考查了垂径定理，勾股定理，三角形面积，等边三角形，扇形面积．熟练掌握垂径定理，勾股定理解直角三角形，三角形面积的计算，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，是解题的关键． 【详解】 如图1，过点O作于点H，连接， 则． 在中，由勾股定理得，， ∴圆心O到的距离为1， 故选项A正确； 如图1，延长交于点C， 此时的面积最大． ∵， ∴， ∴面积的最大值为， 故选项B正确； 如图2，连接，． ∵四边形是矩形， ∴， ∴，是的直径， ∴． 在中，由勾股定理得，． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选项C错误； 连接，，． 则， ∵点D是弦的中点， ∴， ∴， ∴当绕点O旋转一周时， 点D运动的路线是以O为圆心，半径长是1的圆， ∴点D运动的路线长为，， 故选项D正确． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线y＝x2向下平移2个单位后所得新抛物线的表达式为y＝x2-2． 故答案是：y＝x2-2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答本题的关键． 12. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理； 求出一元二次方程的解，根据三角形三边关系定理得出等腰三角形的三边为2，4，4，即可得出答案． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，周长为， ∴该三角形的周长为10， 故答案为：10． 13. 如图，点A在x轴的正半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B．若点B是的中点，的面积为2，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义是解答的关键． 根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得，进而得出，由系数k的几何意义可得答案． 【详解】解：如图，过点C作轴于D， ∴， ∵点B是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在边长为4的正方形中，P为的中点，点Q在射线上，过点Q作于点E，连接，请探究下列问题： （1）______ ； （2）当时，______ ． 【答案】 ①. ②. 5 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可求解． （2）由相似三角形的性质可求，，由平行线的性质可证，可得，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ， 点P为的中点， ， ， 故答案为：； （2）， ，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，求出的长是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分、满分16分） 15. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，方程整理后，根据因式分解法解方程即可． 【详解】解：方程整理得： ∴， ∴或 解得． 16. 如图，为的半径，弦垂直平分半径，垂足为E．若的长为6，求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，勾股定理．熟练掌握垂径定理，线段垂直平分线性质，勾股定理，作出辅助线构造直角三角形，是解题关键． 连接，根据垂直平分线的性质和垂径定理可得，，设的半径为r，则，在中，由勾股定理得，然后代入求值，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵为的半径，弦垂直平分半径，， ∴，， 设的半径为r， 则， 在中， 由勾股定理得， 即， 解得或（不合题意，舍去）， ∴的半径为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）和点D，点D在网格的格点上． （1）以点D为位似中心，在网格内点D上方画出的位似图形且使得它们的相似比为2：1； （2）将（1）中的绕点D顺时针旋转90°得到，画出． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了作图-位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．也考查了旋转变换． （1）利用网格特点，延长到使，延长到B1使，延长到使，从而得到； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点即可； 【小问1详解】 如图，为所作； 【小问2详解】 如图，为所作； 18. 【观察】 ，，，…，，，，，，…，，，． 【发现】 根据以上材料，回答下列问题： （1）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是______； 【类比】 观察下列两数的积：，，，，…，，…，，，，． （2）猜想的最大值为______，并用你学过的知识加以证明． 【答案】（1）；（2）1600，证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，二次函数的性质的应用，理解题意是关键； （1）根据观察发现两数和为定值60，从而可得答案； （2）由．可得，再代入，利用二次函数的性质可得结论． 【详解】解：（1）由题意可得：； 故答案为：； （2）1600 证明如下： 由题意，得． 将代入， 得， ∴当时，的最大值为1600． 故答案为：1600． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出当时，对应的x的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象， （1）反比例函数的图象过点得，即可得反比例函数为，根据反比例函数的图象过点得，则，根据直线过点，得，进行计算即可得； （2）令一次函数与y轴交于点C，与x轴交于点D，在中，令，则，令，即，令，则，计算得，即，根据进行计算即可得； （3）观察函数图象即可得； 掌握反比例函数的性质，一次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式； 【小问2详解】 解：如图所示，令一次函数与y轴交于点C，与x轴交于点D， 在中，令，则，令，即， 令，则， ， 即， ∴ ； 【小问3详解】 解：根据函数图象得，当时，或． 20. 定远池河大桥，原名太平桥，位于安徽省定远县池河镇西官驿道上，雄跨于蜿蜒的池河之上，如图，拱桥的拱形是抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度米时，水面离桥洞最大距离为1米，以水平面为轴，点为原点建立平面直角坐标系． （1）求该拱桥所在抛物线的解析式； （2）当水面离桥洞最大距离为3米时，求此时拱桥内水面的宽度． 【答案】（1）拱桥所在抛物线的解析式为：； （2）此时拱桥内水面的宽度为米． 【解析】 【分析】（1）根据水面宽度，求出抛物线的对称轴，进而通过水面离桥洞最大距离，确定抛物线顶点坐标，设顶点式抛物线方程，将点坐标代入即可求解， （2）根据题意，得出水面所在的直线解析式，与抛物线方程联立，求出两交点间的距离，即为所求答案， 本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，以及求一元二次方程与直线交点，解题的关键是：实际问题到数学问题的转化． 【小问1详解】 解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，． ∵水面离桥洞最大距离为1米， ∴该抛物线顶点坐标为． 设该抛物线解析式为，把代入， 得，解得， 故该拱桥所在抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 由题意，得． 把代入， 得，解得：，， （米）， 故此时拱桥内水面的宽度为米． 六、（本题满分12分） 21. 如图，是的外接圆．是的直径，过点O作于点E，延长至点D，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定、勾股定理、三角形的面积公式、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，根据垂线的定义得到，求得，根据等腰三角形的性质得出，推出，根据切线的判定定理即可得出结论； （2）由勾股定理可得，根据三角形的面积公式得到，最后再由垂径定理即可得出结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 七、（本题满分12分） 22. 如图，过等边的顶点A作的垂线l，点P为l上一点（不与点A重合），连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接并延长交直线于点D．若， ①试猜想和的数量关系，并证明； ②若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①，证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，由旋转得，则，则，，再由全等三角形的性质求解即可； （2）①连接，旋转得，则是等边三角形，，是垂直平分线，即可得到； ②由（1）得，，求得，在中，，则． 【小问1详解】 证明：在等边中，， 由旋转可得，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①． 证明：连接，如图： 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∵， ∴． ∴是垂直平分线， ∵点B在上， ∴； ②由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵, ∴, ∵， ∴． ∴， ∴． 【点睛】此题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． （1）求线段的长； （2）若点P为直线上方抛物线上的一点，当的面积最大时，求点P的坐标； （3）如图2，若点M为该抛物线的顶点，直线轴于点D，在直线上是否存在点N，使点N到直线的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用．掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）求出的自变量的值，得到两点的坐标，进一步求解即可； （2）连接，设，根据，将三角形的面积转化为二次函数求最值即可； （3）过点N作于点H，连接，求出点坐标，进而求出的解析式，推出，设，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：令，得， 解得，，即，B（3，0）， ∴． 【小问2详解】 ∵，当时，， ∴点C的坐标为， 如图1，连接，设， 则 ∵， ∴当时，， 此时，， ∴当的面积最大时，点P的坐标为． 【小问3详解】 存在满足条件的点N， 如图2，过点N作于点H，连接， ∵， ∴， ∵点C的坐标为， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设直线与轴的交点为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 设，则，， ∴，解得， ∴点N的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年安徽省阜阳市颍州区新世纪学校 九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若是关于的一元二次方程的一个根，则（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为，则下列说法不正确的是（ ） A. 点M在第四象限 B. 点M关于x轴的对称点的坐标为 C. 点M关于y轴的对称点的坐标为 D. 点M关于原点的对称点的坐标为 4. 下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是( ) A. yx B. y2x1 C. D. 5. 有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是2的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，五边形为的内接正五边形，点P为劣弧上的任意一点（不与D，E重合），则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，边长为的正方形绕点顺时针旋转到正方形，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如一次函数与反比例函数 的图像如图所示，则二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（ ） A. B. 1 C. D. 10. 如图，点A，B是半径为2的上的两点，且．下列说法错误的是（ ） A. 圆心O到的距离为1 B. 在圆上取异于A，B的一点C，则面积的最大值为 C. 以为边向上作矩形，交于点P，Q，则扇形的面积为π D. 取弦的中点D，当绕点O旋转一周时，点D运动的路线长为 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是______． 12. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为________． 13. 如图，点A在x轴的正半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B．若点B是的中点，的面积为2，则k的值为______． 14. 如图，在边长为4的正方形中，P为的中点，点Q在射线上，过点Q作于点E，连接，请探究下列问题： （1）______ ； （2）当时，______ ． 三、（本大题共2小题，每小题8分、满分16分） 15. 解方程：． 16. 如图，为的半径，弦垂直平分半径，垂足为E．若的长为6，求的半径． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）和点D，点D在网格的格点上． （1）以点D为位似中心，在网格内点D上方画出的位似图形且使得它们的相似比为2：1； （2）将（1）中的绕点D顺时针旋转90°得到，画出． 18. 【观察】 ，，，…，，，，，，…，，，． 【发现】 根据以上材料，回答下列问题： （1）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是______； 【类比】 观察下列两数的积：，，，，…，，…，，，，． （2）猜想的最大值为______，并用你学过的知识加以证明． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出当时，对应的x的取值范围． 20. 定远池河大桥，原名太平桥，位于安徽省定远县池河镇西官驿道上，雄跨于蜿蜒的池河之上，如图，拱桥的拱形是抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度米时，水面离桥洞最大距离为1米，以水平面为轴，点为原点建立平面直角坐标系． （1）求该拱桥所在抛物线的解析式； （2）当水面离桥洞最大距离为3米时，求此时拱桥内水面的宽度． 六、（本题满分12分） 21. 如图，是的外接圆．是的直径，过点O作于点E，延长至点D，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 七、（本题满分12分） 22. 如图，过等边的顶点A作的垂线l，点P为l上一点（不与点A重合），连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接并延长交直线于点D．若， ①试猜想和的数量关系，并证明； ②若，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． （1）求线段的长； （2）若点P为直线上方抛物线上的一点，当的面积最大时，求点P的坐标； （3）如图2，若点M为该抛物线的顶点，直线轴于点D，在直线上是否存在点N，使点N到直线的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $