专题08 （优质好题速递）一元二次函数、方程和不等式必刷题型（9大题型64题）高一数学人教A版2019必修第一册

专题08 一元二次函数、方程和不等式必刷题型 （9大题型64题） 题型01 利用不等式的性质求取值范围 一、单选题 1．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·月考）已知实数且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高一上·河北廊坊·月考）已知实数x，y满足，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（23-24高一上·黑龙江鹤岗·月考）正实数、满足：，则的取值范围为 . 4．（24-25高一上·上海·月考）已知实数x、y满足:则 的取值范围是 5．（24-25高一上·河北石家庄·期中）设表示，，中最大的数，设，且，则的最小值为 ． 题型02 利用基本不等式求最值 一、单选题 1．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知，，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 2．已知，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（24-25高一下·浙江·月考）若正实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 二、多选题 6．设正数满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为 7．已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 8．（24-25高一上·陕西渭南·月考）已知，则的最大值为 ．已知，，且，则的最小值为 9．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为 ；（2）若，则的最大值为 . 题型03 证明不等式 一、解答题 1．（24-25高一上·山西·期中）设，均为正数，且. (1)求的最小值； (2)证明：， 2．（24-25高一上·陕西西安·月考）已知，且. (1)求的最大值； (2)证明:. 3．（24-25高一上·重庆万州·期中）（1）已知，且，求的最大值. （2）证明：. （3）求的最小值. 4．（24-25高一上·重庆·月考）学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，，且，求的最小值. 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同. 李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为. 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为. (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误?（错误的需说明理由） (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）已知，，，且，求证：. （ii）已知，，，求的最小值. 5．（24-25高一上·上海奉贤·月考）问题：正实数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是.学习上述解法并解决下列问题： (1)已知是正实数，且，求的最小值； (2)①已知实数，满足，求证：； ②求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 6．（24-25高一上·安徽·期中）我们知道，若，则有不等式成立（当且仅当时等号成立）．从可以得到．即正数a，b，c的算术平均数的平方不大于a，b，c平方的算术平均数．请运用这个结论解答下列三道题： (1)求代数式的最大值； (2)已知，若不等式恒成立，求实数m的取值范围； (3)若a，b，，证明：． 7．（24-25高一上·陕西西安·月考）已知． (1)若，证明：； (2)若，证明：； (3)若，证明． 8．（24-25高一上·福建泉州·月考）（1）已知，，均为正实数，且满足．证明： ①． ②． （2）已知，若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 题型04 基本不等式在实际问题中的应用 一、单选题 1．（24-25高一上·福建福州·期中）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 2．（24-25高一上·江苏盐城·期末）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值等于（    ） A． B．12 C． D． 3．（24-25高一上·陕西西安·月考）小明､小红两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小明每次购买3千克葡萄，小红每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（    ） A．小明两次购买葡萄的平均价格比小红低 B．小红两次购买葡萄的平均价格比小明低 C．小红与小明两次购买葡萄的平均价格一样 D．两次购买葡萄的平均价格无法比较 二、解答题 4．（24-25高一上·四川成都·期末）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 5．（24-25高一上·浙江丽水·期末）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求的最大值. 6．已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米? 题型05 基本不等式中的恒成立与有解问题 一、单选题 1．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川达州·月考）“”是“不等式对于任意正实数x，y恒成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·安徽亳州·月考）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 5．（24-25高一上·辽宁大连·期中）不等式对所有的正实数，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 二、填空题 6．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 7．（24-25高一上·天津·期中）不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 8．（24-25高一上·贵州·期中）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 题型06 一元二次不等式恒成立问题 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 2．（24-25高一上·重庆·期中）当时，恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高一上·广东广州·期末）使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 . 5．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数，a为实数，若对于恒成立，则实数a的取值范围是 ． 6．（24-25高一上·重庆·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为 . 7．（24-25高一上·上海杨浦·月考）若不等式对所有恒成立，则的取值范围为 . 四、解答题 8．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 题型07 一元二次不等式有解问题 一、单选题 1．（23-24高一上·山东聊城·月考）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏常州·月考）方程在区间[1,3]内有解，则实数的取值范围是（   ） A．[2,5] B．[1,7] C． D．[1,5] 3．（24-25高一上·山西·期中）若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·福建莆田·月考）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高一上·陕西渭南·月考）已知命题，的否定是真命题，则命题成立的一个充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（24-25高一上·四川德阳·月考）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是 . 7．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 题型08 含参一元二次不等式分类讨论 一、单选题 1．（24-25高一上·广东湛江·月考）已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（24-25高一上·云南昭通·月考）关于x的不等式的解集可能为（   ） A． B． C． D． 三、解答题 3．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）已知，． (1)若不等式的解集为或，求的值； (2)若，解不等式． 4．设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． 5．（24-25高一上·浙江杭州·开学考试）解关于x的不等式. 6．（24-25高一上·广东梅州·期末）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求实数k，b的值； (2)对于参数，解关于x的不等式． 7．（24-25高一上·江苏连云港·月考）解关于x的不等式： (1)； (2). 题型09 一元二次不等式整数解问题 一、单选题 1．（24-25高一上·福建·期中）已知关于的不等式的解集中不含有整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏苏州·月考）关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 3．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）设，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是 . 4．（23-24高一上·江苏常州·月考）若，关于的不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值范围是 ． 5．（24-25高一上·河北石家庄·期中）已知实数，关于的不等式组与不等式组具有相同的整数解，那么适合第一个不等式组的所有可能的整数对的集合为 ． 三、解答题 6．（24-25高一上·上海杨浦·月考）已知关于的不等式的解集为，其中. (1)当时，求集合； (2)求上述不等式的解集； (3)是否存在实数，使得上述不等式的解集中只有有限个整数?若存在，求出使得中整数个数最少的的值；若不存在，请说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 一元二次函数、方程和不等式必刷题型 （9大题型64题） 题型01 利用不等式的性质求取值范围 一、单选题 1．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·月考）已知实数且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由等式得到关于的表达式，再由条件得到，进而分析各不等式得到的取值范围，从而得解. 【详解】由，得， 因为且，所以， 所以由，得，所以， 由，得，所以， 由，得， 综上，，即. 故选：B. 二、多选题 2．（23-24高一上·河北廊坊·月考）已知实数x，y满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式的基本性质同向可加性可判断A、B，把，分别转化，再利用不等式的性质可判断C、D. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，解得，故B错误； 因为，又， 所以，故C正确； 因为，又， 所以，故D错误. 故选：AC 三、填空题 3．（23-24高一上·黑龙江鹤岗·月考）正实数、满足：，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，可得到，即得，即可求得答案. 【详解】由题意知正实数、满足：， 令，则，所以， 即，则，故， 则的取值范围为， 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·月考）已知实数x、y满足:则 的取值范围是 【答案】 【分析】设，，可得，化简得，从而可得，再结合，从而得，从而可求解. 【详解】设，，则，， 则，即，当时取等号， 又因为，则，又因，所以可得， 则， 所以则 的取值范围为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·河北石家庄·期中）设表示，，中最大的数，设，且，则的最小值为 ． 【答案】/0.2 【分析】利用换元法可得，进而根据不等式的性质求解. 【详解】令其中， 所以， 因为，则，即， ， 则,故,则， 当且仅当且时等号成立， 如取时可满足等号成立， 所以的最小值为， 故答案为： 题型02 利用基本不等式求最值 一、单选题 1．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知，，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】两次使用基本不等式求解即可； 【详解】，，， 当且仅当且，即时等号成立， 故选：C. 2．已知，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】整理题干中的等式，根据基本不等式中隐藏“1”的解题方法，可得答案. 【详解】由，则， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：B. 3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，利用的代换结合基本不等式求出最小值． 【详解】，， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 4．（24-25高一下·浙江·月考）若正实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简再应用基本不等式计算求解. 【详解】由， 又因为，所以， 即得， 所以当且仅当时取等号， 所以，所以的最大值是 故选：B. 5．（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】由条件得，还原利用基本不等式求的最小值. 【详解】由，得， 则， ∴， 当且仅当，即时等号成立． ∴的最小值是18. 故选：B 二、多选题 6．设正数满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】直接利用均值不等式判断A选项，通过“1”的代换判断B选项，利用平方判断CD选项. 【详解】A选项，， 当且仅当即时等号成立，故的最大值为，A错误； B选项，，当且仅当时等号成立，故B正确； C选项，由，得， 所以，当且仅当时等号成立，故C正确； D选项，由，得， 当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：BCD. 7．已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A，利用变形，利用基本不等式求解即可；B，由可得，利用基本不等式求解即可；C，利用，解一元二次不等式即可；D，原式变形为，利用基本不等式求解即可. 【详解】由得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，对 , ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错 因为，当且仅当时取等号， 解不等式得，故的最大值为，C对 ， 当且仅当即时取等号， 此时取得最小值，D正确 故选：ACD. 三、填空题 8．（24-25高一上·陕西渭南·月考）已知，则的最大值为 ．已知，，且，则的最小值为 【答案】 / 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】当时，，故， 当且仅当时取到等号，故的最大值为 由于，，故， 则， 当且仅当时，即时取到等号，故的最小值为. 故答案为：；. 9．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为 ；（2）若，则的最大值为 . 【答案】 9 【分析】（1）直接由基本不等式得，再将看成一个整体解一元二次不等式即可. （2）方法一：首先根据得，通分后将代入，再利用判别式法求最值即可； 方法二：设，，代入化简可得，利用分离常数法与基本不等式求解即可. 【详解】（1），为正数，且， ，，. （2）方法一：因为，所以，所以， 等号成立当且仅当， 从而， 令，设， 显然，则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得， 注意到，从而， 等号成立当且仅当， 即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 方法二：设，， 则 . 故答案为：. 题型03 证明不等式 一、解答题 1．（24-25高一上·山西·期中）设，均为正数，且. (1)求的最小值； (2)证明：， 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式放缩求解； （2）把不等式右边的式子变形为， 再利用“1”的代换，凑出积为定值，从而求得最小值． 【详解】（1），均为正数，且， ， ，， （当且仅当时取“”）， 的最小值为； （2） ， 当且仅当，时等号成立， 故不等式. 2．（24-25高一上·陕西西安·月考）已知，且. (1)求的最大值； (2)证明:. 【答案】(1)4 (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意结合基本不等式可得，再结合指数函数求最值即可； （2）整理可得，利用乘“1”法可得，即可得结果. 【详解】（1）因为， 且， 则，即，当且仅当时，等号成立， 可得，所以的最大值为4. （2）证明：因为， 且， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 3．（24-25高一上·重庆万州·期中）（1）已知，且，求的最大值. （2）证明：. （3）求的最小值. 【答案】（1）3；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）直接应用均值不等式再解出即可； （2）直接应用均值不等式与不等式的性质即可证明； （3）将应用不等式即可解得. 【详解】（1）解：因为，且， 所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最大值为3. （2）证明：因为都是正数， 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故. （3）解：因为， 所以， 当且仅当，即，亦即时，等号成立， 故所求最小值为. 4．（24-25高一上·重庆·月考）学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，，且，求的最小值. 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同. 李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为. 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为. (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误?（错误的需说明理由） (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）已知，，，且，求证：. （ii）已知，，，求的最小值. 【答案】(1)李雷的解法错误，韩梅梅的解法正确，理由见解析； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）利用基本不等式等号成立的条件，即可判断； （2）（ⅰ）利用“1”的妙用，转化为基本不等式，即可证明； （ⅱ）两次利用“1”的妙用，结合基本不等式，即可求最值. 【详解】（1）李雷的解法错误，韩梅梅的解法正确， 李雷的解法中，，等号成立的条件是， ，等号成立的条件是， 等号同时成立的条件是，此时，这与已知矛盾， 所以李雷的解法中取不到； （2）（ⅰ） ， 其中，当时，等号成立， ，当时，等号成立，，当时，等号成立， 所以， 当时，等号成立. （ⅱ） ， 当，即时，等号成立，联立，得， 所以的最小值为. 【点睛】关键点的点睛：本题的关键是理解利用基本不等式的使用条件需要保证“一正，二定，三相等”，“1”的妙用的灵活应用. 5．（24-25高一上·上海奉贤·月考）问题：正实数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是.学习上述解法并解决下列问题： (1)已知是正实数，且，求的最小值； (2)①已知实数，满足，求证：； ②求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②，最小值. 【分析】（1）化为，根据题中示例，利用乘法结合基本不等式求解即可； （2）①化，结合基本不等式求解；②利用换元法，令，则，再利用①求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以， ， 当且仅当，即时等号成立， 故取得最小值. （2）①因为，所以， 因为 ， 当且仅当且同号时取等号，此时满足， 所以. ②令，所以， 由，解得， 构造，由，则， 所以，利用①中结论，有： 当且仅当且时，即取等号， 解得时，取最小值. 6．（24-25高一上·安徽·期中）我们知道，若，则有不等式成立（当且仅当时等号成立）．从可以得到．即正数a，b，c的算术平均数的平方不大于a，b，c平方的算术平均数．请运用这个结论解答下列三道题： (1)求代数式的最大值； (2)已知，若不等式恒成立，求实数m的取值范围； (3)若a，b，，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由，即，由三个正数的算术几何平均不等式求解即可； （2）由，得，然后由恒成立，分离参数求解即可； （3）作差之后与零比较大小，结合三个正数的算术几何平均不等式证明即可. 【详解】（1）当时，有， 即，当且仅当，即时等号成立． 而，故代数式的最大值为． （2）当时，有， 所以，即，当且仅当时等号成立． 因此的最小值为． 恒成立恒成立． 故实数m的取值范围是． （3）因为， 所以 ， 当且仅当时等号成立． 故a，b，． 7．（24-25高一上·陕西西安·月考）已知． (1)若，证明：； (2)若，证明：； (3)若，证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）化简所求不等式，结合基本不等式来证得不等式成立. （2）通过对进行展开，结合已知条件以及基本不等式来证明. （3）利用综合法以及基本不等式来证得不等式成立. 【详解】（1）要证，因为，两边同时平方，即证. 展开得，已知，所以即证， 也就是证，即证. 对于，有，已知，所以，则， 当且仅当时等号成立. 所以得证. （2）根据二项式，将，代入可得： 整理得 因为，所以 已知，可得，即 ，当且仅当时取等号. 同时，由第一问可知（当且仅当时等号成立）. 将和代入可得： ，当且仅当时等号成立. 综上，若，得证. （3）因为，所以， 以上三个式子相加得， 所以，当且仅当时等号成立， 因为，且，所以， 所以，所以. 8．（24-25高一上·福建泉州·月考）（1）已知，，均为正实数，且满足．证明： ①． ②． （2）已知，若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1）① 证明见解析；②证明见解析 ；（2）． 【分析】（1）①由题意得到，，，三式相加即可证明；②由题意得到，再结合，，即可证明结论． （2）由条件可得，由此可得，换元并结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）①，，均为正实数， 则（当且仅当时取“＝”）， 同理可得：，（当且仅当，时等号成立）， 故（当且仅当时取“＝”）， 又，故； ② （当且仅当时取“＝”）， 同理（当且仅当时取“＝”）， （当且仅当时取“＝”）. 又由，， 所以，（当且仅当时取“＝”）， 所以， 故 ， （当且仅当时取“＝”）． （2）因为对任意，不等式恒成立， 所以，则，， 令，则，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 即当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】关键点睛：求的最小值的关键是依据题设将双元问题转化成一元问题，再结合换元法简化问题从而得解. 题型04 基本不等式在实际问题中的应用 一、单选题 1．（24-25高一上·福建福州·期中）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 【答案】D 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】设矩形菜园的宽为，长，则，且，. 因为（当且仅当，时取“”）. 故选：D 2．（24-25高一上·江苏盐城·期末）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值等于（    ） A． B．12 C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理得，再利用重要不等式即可求的最大值，进而得周长的最大值. 【详解】 如图所示，在直角中，两直角边长为，斜边长为，则. 因为，所以，即， 当且仅当时，等号成立，又，则， 所以直角的周长， 即这个直角三角形周长的最大值等于. 故选：C. 3．（24-25高一上·陕西西安·月考）小明､小红两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小明每次购买3千克葡萄，小红每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（    ） A．小明两次购买葡萄的平均价格比小红低 B．小红两次购买葡萄的平均价格比小明低 C．小红与小明两次购买葡萄的平均价格一样 D．两次购买葡萄的平均价格无法比较 【答案】B 【分析】根据题意计算出两人两次购买葡萄的平均价格，再用均值不等式来比较大小即可. 【详解】设两次葡萄的单价分别为元/千克和元/千克，且， 则小明两次购买3千克葡萄，平均价格为元/千克， 小红两次购买50元葡萄，平均价格为元/千克， 根据均值不等式有：， 由于，可知：， 所以有小红两次购买葡萄的平均价格比小明低， 故选：B. 二、解答题 4．（24-25高一上·四川成都·期末）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 【答案】(1)，其中，． (2) (3) 【分析】（1）根据题设有，化简整理可得关系式； （2）根据（1）可得，结合对应函数的单调性求最小值； （3）解法一：应用基本不等式有，解一元二次不等式求得，结合求最大值； 解法二：根据已知得，再应用基本不等式求最大值. 【详解】（1）由题设，则且； （2）由，得， 易知S是关于b的减函数，所以当b取最大值3m时，S取最小值． 故仓库占地面积的最小值为，此时． （3）解法一：由，得． 因为（当且仅当时取等号）． 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）． 所以仓库容积的最大值为，此时． 解法二：由，得． 故． 因为（当且仅当时取等号）． 所以（当且仅当时取等号）． 故仓库容积的最大值为，此时． 5．（24-25高一上·浙江丽水·期末）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可证，即可得到，再由勾股定理计算可得； （2）首先证明，得到，在利用勾股定理得到，从而得到，再由面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】（1）如图，由矩形的周长为，，可知，. ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即，解得. （2）如图，由矩形的周长为，可知，， ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即， 解得， 所以. 所以的面积为 . 由基本不等式与不等式的性质，得， 当且仅当时，即当时，的面积最大， 面积的最大值为. 6．已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米? 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)米 【分析】（1）用基本不等式，整理化简可得答案； （2）令，将看成整体再次用基本不等式，整理化简可证； （3）先设出长方体的长、宽、高，表示出体积，再套用（2）中已证明的不等式即可求出最值. 【详解】（1）证明：因为，，当且仅当，时等号成立, 所以当且仅当，时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. （2）解：由于，当且仅当时等号成立， 令, 得， 即，故. 所以，当且仅当时等号成立. （3）解：做成的长方体的底面是一个边长为的正方形，高为. 所以. 由（2）中已证的不等式，可知， 当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立. 所以，因此， 综上所述，当米，长方体盒子的容积取到最大值立方米. 题型05 基本不等式中的恒成立与有解问题 一、单选题 1．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用恒成立等价条件转化，再利用不等式即可求得结果 【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号， 故. 故选：A 2．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，计算得到答案. 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 3．（24-25高一上·四川达州·月考）“”是“不等式对于任意正实数x，y恒成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用基本不等式结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】不等式对于任意正实数x，y恒成立，则， 则， 当且仅当，即时，取等号，则，即， 解得或（舍去），所以， 当时，成立，反之时，不一定成立， 所以“”是“不等式对于任意正实数x，y恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（24-25高一上·安徽亳州·月考）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 【答案】B 【分析】由题意可得，求得即可. 【详解】因为x，，所以，所以， 又， 当且仅当时，取等号，所以， 所以实数a的最小值是. 故选：B. 5．（24-25高一上·辽宁大连·期中）不等式对所有的正实数，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】由题意可得 ，令，则有，，结合基本不等式求得，于是有，从而得答案. 【详解】因为,为正数，所以， 所以，则有， 令，则， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，则， 又，所以， 即， 所以的最小值为， 所以，即的最大值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常采用参变分离法，只需求出分离后的函数(代数式)的最值即可得解. 二、填空题 6．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【详解】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 7．（24-25高一上·天津·期中）不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 【答案】 【分析】由题意不等式对于恒成立，故只需结合基本不等式求得的最小值即可. 【详解】因为不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 而当时，，等号成立当且仅当， 所以当时，有最小值3， 则m的取值范围为. 故答案为：. 8．（24-25高一上·贵州·期中）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由已知条件可得：，因不等式恒成立，则需恒成立，则需要，利用“1的妙用”，求出的最小值，即可得到的取值范围. 【详解】将化为：， 即：，不等式化为：， 上述不等式要恒成立，则小于的最小值. 因为，则 ， 当且仅当，即且时，取“”， 所以，即. 故答案为：. 题型06 一元二次不等式恒成立问题 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】将不等式整理为；当时可知不等式恒成立；当时，结合二次函数图象可得，解不等式组求得结果. 【详解】不等式可化为：， 当，即时，不等式为，恒成立，满足题意； 当，即时，要使不等式恒成立，则需， 解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：C. 2．（24-25高一上·重庆·期中）当时，恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题转化为恒成立，再结合基本不等式求解即可； 【详解】当时，恒成立，等价于恒成立， 又，当且仅当即时取等号， 所以， 故选：C. 二、多选题 3．（24-25高一上·广东广州·期末）使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先求出不等式对一切实数都成立时的取值范围，然后再看各个选项是否在这个取值范围内. 【详解】当时，此时不等式变为，这个不等式对于一切实数恒成立. 当时，不等式是一个二次不等式，要使其对一切实数都成立，则二次函数的图象需开口向下，且与轴无交点.开口向下：二次项系数，即. 与轴无交点：判别式.此种情况，解得.   综合两种情况 不等式对一切实数都成立时的取值范围是. 分析各个选项： A选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. B选项：不满足，所以不是不等式成立的充分条件. C选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. D选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. 故选：ACD. 三、填空题 4．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【分析】条件可转化为在上恒成立，再求的最大值即可确定的范围. 【详解】由不等式在上恒成立， 得在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，故的最小值为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数，a为实数，若对于恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】可以把问题转化成二次函数在上大于等于0的问题来解决.结合函数与轴的交点，则或对称轴在轴或轴左侧，即可求出的取值范围. 【详解】由，得，. 设，. 因为，所以，或. 由； 由. 所以的取值范围为：. 故答案为： 6．（24-25高一上·重庆·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】将不等式分解可得，根据不等式恒成立对的取值分类讨论可得结果. 【详解】由已知可得， 易知该不等式对应的三个根为，且恒成立； 由已知时，不等式恒成立， 则需满足（1），解得成立； （2）时，，，解得成立； 综上可得或. 故答案为：或 7．（24-25高一上·上海杨浦·月考）若不等式对所有恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据条件列出不等式，根据不等式的运算，即可求解. 【详解】由条件可知，， ，， ， 则， 则, 由条件可知，，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是不等式的运算，从而构造出. 四、解答题 8．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在实数 (2) (3) 【分析】（1）根据条件，分和两种情况，利用一元一次不等式和一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据条件得到，令，得到，再求出的最小值，即可求解； （3）设，将问题转化成时，恒成立，从而得到，即可求解. 【详解】（1）原不等式等价于． 当时，，解得，不满足题意， 当时，则，得到， 所以，不存在实数，使不等式对恒成立． （2）因为，所以，，则， 令，则，得到， 设，，显然在单调递增， 当时，，当时，，所以，则， 所以，即的取值范围是． （3）设，当时，恒成立． 即成立，即， 由，得到， 由，得到或， 所以，所以实数的取值范围是． 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（3）问，构造一次函数，将问题转化成在区间上恒成立，从而得到，即可求解. 题型07 一元二次不等式有解问题 一、单选题 1．（23-24高一上·山东聊城·月考）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，由参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最大值，即可求得实数的取值范围. 【详解】当时，由，可得，则， 因为，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当时，的最大值为，故. 故选：A. 2．（24-25高一上·江苏常州·月考）方程在区间[1,3]内有解，则实数的取值范围是（   ） A．[2,5] B．[1,7] C． D．[1,5] 【答案】B 【分析】问题化为在上有解，利用二次函数性质求右侧的值域，即可确定参数范围. 【详解】由题设在内有解，即在上有解， 令，，则在上递增， 所以，故. 故选：B 3．（24-25高一上·山西·期中）若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的否定与真假性，将问题转化为二次不等式的有解问题，从而得解. 【详解】因为“，”为假命题， 所以“，”为真命题， 则在区间上有解， 设，则的图象开口向上，对称轴为， 且，则当时，函数取得最大值为， 所以，即的取值范围是. 故选：C. 4．（24-25高一上·福建莆田·月考）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知原题意等价于，使得成立，令，利用基本不等式结合存在性问题分析求解. 【详解】因为，即， 又因为，则，可得， 原题意等价于，使得成立， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的范围是. 故选：B. 二、多选题 5．（24-25高一上·陕西渭南·月考）已知命题，的否定是真命题，则命题成立的一个充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据全称命题的否定，结合二次函数的性质，利用分类讨论，求得参数范围，再根据充分条件的定义，可得答案. 【详解】由题意，命题的否定为命题：，， 当时，则，解得，此时命题为真； 当时，函数为开口向下的二次函数，显然命题为真； 当时，函数为开口向上的二次函数， 令，解得，根据二次函数的性质，此时命题为真. 综上可知，当时，命题为真. 根据题意，结合充分条件的定义，知命题成立的一个充分条件应为的子集， 而ABD三个选项中的范围是的子集. 故选：ABD. 三、填空题 6．（24-25高一上·四川德阳·月考）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据基本不等式求的最小值，解一元二次不等式即可求实数的取值范围. 【详解】不等式有解，满足即可， 两个正实数，满足， 则， 当且仅当，即时等号成立，得， 则有，即，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 7．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】把关于的不等式在上有解的问题，利用分离参数求最值转化为，在上有解，再求，的最小值即可. 【详解】要使不等式在上有解， 则，在上有解， 令，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故时，， 因此要使不等式在上有解， 则， 故答案为：. 题型08 含参一元二次不等式分类讨论 一、单选题 1．（24-25高一上·广东湛江·月考）已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解含参数的一元二次不等式得到和的值，再代入中，结合均值不等式求解最值即可. 【详解】不等式可化为， 因为，所以，所以不等式的解集为， 所以，，则， 因为，所以，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以. 故选：D． 二、多选题 2．（24-25高一上·云南昭通·月考）关于x的不等式的解集可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，将分式不等式化为整式不等式，然后分类讨论求解，即可得到结果. 【详解】由可得，即， 当时，不等式为，不等式无解； 当时，不等式为，不等式的解集为； 当时，不等式为，不等式的解集为； 故选：BC 三、解答题 3．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）已知，． (1)若不等式的解集为或，求的值； (2)若，解不等式． 【答案】(1)； (2)答案见详解. 【分析】（1）根据不等式的解集以及根与系数关系即可求；. （2）对进行分类讨论，由此求得不等式的解集. 【详解】（1）由题意不等式的解集为或， 所以，解得. （2）由题意，可化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为， 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 4．设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）解不含参的一元二次不等式即可得解； （2），对分类讨论即可得解. 【详解】（1）若，，则，即， 而，故的解集为； （2）若，则， （i）当时，，解得， （ii）当时，解不等式得，， （iii）当时，解不等式得，或， （iv）当时，解不等式得，或， （v）当时，解不等式得，或， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 5．（24-25高一上·浙江杭州·开学考试）解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】根据一元二次不等式解集的形式，分类讨论，求不等式的解集. 【详解】原不等式可化为：. 若，则不等式的解为：. 若，则，所以或. 若，则. 当，即时，不等式解集为：； 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解集为：. 综上可知： 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 6．（24-25高一上·广东梅州·期末）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求实数k，b的值； (2)对于参数，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定方程的根，利用韦达定理列方程求解即可； （2）结合二次函数的图象与性质，按照判别式的符号分类讨论求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 可知方程的两根为，． 由韦达定理，可知，解得． （2）令， ①当，即时， 函数图像与轴至多只有1个交点，且开口向上． 因此，不等式的解集为． ②当，即或时， 函数图像与轴有两个交点，且开口向上． 令，则方程有两个不等实根， 为：，. 可知，不等式的解集为： 或. 综上所述，①当时，不等式的解集为； ②当或时，不等式的解集为 或. 7．（24-25高一上·江苏连云港·月考）解关于x的不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据分式不等式解法运算求解； （2）分类讨论和判别式的符号，结合一元二次不等式运算求解. 【详解】（1）不等式，移项得，通分得， 可转化为且，解得， 故原不等式解集为． （2）当时，，解得； 当时，则， ①时，则，解得； ②时，则有： 若，即时，则； 若，即时，则且； 若，即时，解得或； 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为． 题型09 一元二次不等式整数解问题 一、单选题 1．（24-25高一上·福建·期中）已知关于的不等式的解集中不含有整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对实数的取值进行分类讨论，再由解集中不含有整数限定出不等式可得结果. 【详解】不等式可分解为， 当时，不等式解集为，依题意可得，解得， 所以； 当，不等式为，此时解集为空集，符合题意； 当时，不等式解集为，依题意可得，解得， 所以； 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D 2．（24-25高一上·江苏苏州·月考）关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据含参的一元二次不等式的解法，分类讨论求出不等式的解集，然后分析该集合中能含有哪两个整数，即可求出实数的取值范围． 【详解】由题意得，原不等式可转化为， 当时，解得，此时解集中的整数为2，3，则； 当时，解得，此时解集中的整数为0，，则； 当时，不等式为，无解，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是或. 故选：B． 二、填空题 3．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）设，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由可得，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围. 【详解】关于的不等式，两边平方整理得：， 因为，不等式的解集中的整数恰有3个，所以， 所以不等式的解集为，所以解集里的整数是三个， 故有，又因为，所以， 综上. 故答案为： 4．（23-24高一上·江苏常州·月考）若，关于的不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将不等式化为，讨论的取值范围，确定不等式的解集，根据题意确定解集中仅有的四个整数，由此列出关于的相应的不等式，求得的取值范围. 【详解】由，可得， 当，即时，不等式的解集为， 若满足解集中仅有四个整数，为，则， 此时，又，所以， ②当，即时，不等式的解集为； 若满足解集中仅有四个整数，为，则， 此时，与矛盾，不符合题意； ③当时，即，不等式的解集为，不符合题意； ④当，即时，不等式的解集为； 若满足解集中仅有四个整数，可能为，或， 当整数解为时，，且，无解， 当整数解为时， 且，解得， 当整数解为时，且，无解； 综上，实数的取值范围是． 故答案为：. 5．（24-25高一上·河北石家庄·期中）已知实数，关于的不等式组与不等式组具有相同的整数解，那么适合第一个不等式组的所有可能的整数对的集合为 ． 【答案】 【分析】解不等式分析可知不等式组整数解为，解不等式，分析可得，运算求解即可. 【详解】由，可得，等价于，解得， 由，解得， 可知不等式组的解集为，整数解为， 对于不等式组，且，解得， 可知的整数解为，则，解得， 且，则， 所以整数对的集合为. 故答案为：. 三、解答题 6．（24-25高一上·上海杨浦·月考）已知关于的不等式的解集为，其中. (1)当时，求集合； (2)求上述不等式的解集； (3)是否存在实数，使得上述不等式的解集中只有有限个整数?若存在，求出使得中整数个数最少的的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)存在时，A中整数的个数为有限个， 当时，A中整数的个数最少． 【分析】（1）代入，可得，即可求解； （2）设原不等式的解集为，分类讨论，结合一元二次不等式分析运算； （3）根据（2）中求出的不等式的解集，得到当小于0时，中的整数解个数有限个，利用基本不等式求出的最大值，进而求出此时k的值． 【详解】（1）当时，可得：， 即，解得：， 所以 （2）（ⅰ）当时，则不等式为，解得， 所以不等式的解集为； （ⅱ）当时，令，解得或， ①当且时，原不等式化为， 因为，解得或， 所以不等式的解集为； ②当时，原不等式化为，解得， 所以不等式的解集为； ③当时，原不等式化为， 因为，解得， 所以不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当且时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）存在，理由如下： 由（2）知：当时，中整数的个数为无限个； 当时，中整数的个数为有限个， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以当时，中整数的个数最少； 综上所述：当时，中整数的个数为有限个， 当时，中整数的个数最少． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$