3.2.3 对数的换底（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

3.2.3 对数的换底 题型一 运用换底公式化简计算 1．（24-25高一上·上海·期中）已知e是自然对数的底，求值： ． 2．（24-25高一上·上海·期末）的值是 . 3．化简求值： . 4．（24-25高一上·天津·期末）计算 5．若，则的值为 ． 6．若，则 . 7．（24-25高一上·上海闵行·期末）若，，则 8．（24-25高一上·上海·期中）若，且，则实数 . 9．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知，则= ． 10．已知则 . 11．（24-25高一上·上海·期中）设，是方程的两根，则 ． 12．若实数，且，则 . 题型二 结合对数的换底用已知对数表示对数 13．（23-24高一上·上海普陀·期中）若，则 ． 14．（24-25高一上·上海·期中）若，则用来表示是 . 15．（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知，，则用、表示 . 16．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知，则 ．（用a和b表示） 17．（24-25高一上·上海松江·期中）已知，则 ．（用的代数式子表示） 18．（24-25高一上·上海·期中）已知，，则 .（结果用表示） 19．若，则等于 A． B． C． D． 20．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知，则可用a，b表示为 ． 21．（24-25高一上·上海·期中）已知， (1)求的值； (2)用a，b表示. 22．设，则（    ）． A． B． C． D． 题型一 结合对数的换底公式证明 23．（1）若，求的值． （2）设都是正数，且，证明：． 24．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 25．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 题型二 对数型糖水不等式的应用（拓展） 26．（1）设，，证明：． （2）设，，证明：． 27．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了， (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)运用该不等式比较以下三个值的大小：，， 28．克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高一上·上海浦东新·期末）记，那么 ． 30．（24-25高一上·上海·期中）甲、 乙两人同时解关于的方程：.甲写错了常数，得两根为及；乙写错了常数，得两根及，则这个方程的真正的根为 31．设都是正数，且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若方程的两个解为，，求的值为 ． 33．（24-25高一上·上海宝山·期中）设，，则 . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.3 对数的换底 题型一 运用换底公式化简计算 1．（24-25高一上·上海·期中）已知e是自然对数的底，求值： ． 【答案】/ 【分析】利用对数的换底公式求解. 【详解】解：， 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·期末）的值是 . 【答案】1 【分析】利用换底公式计算可得结果. 【详解】易知. 故答案为：1 3．化简求值： . 【答案】/0.75 【分析】根据对数的运算法则、性质，换底公式求解. 【详解】 . 故答案为： 4．（24-25高一上·天津·期末）计算 【答案】/ 【分析】根据对数的运算性质计算即可. 【详解】 . 故答案为： 5．若，则的值为 ． 【答案】125 【分析】由题意，结合对数的换底公式计算即可求解. 【详解】由题意知，，则， 所以， 解得. 故答案为：125 6．若，则 . 【答案】 【分析】直接由指对互换、对数运算法则即可求解. 【详解】若，则. 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海闵行·期末）若，，则 【答案】1 【分析】指数式化为对数式，结合换底公式得到. 【详解】由，得，， 故，， 故. 故答案为：1 8．（24-25高一上·上海·期中）若，且，则实数 . 【答案】/ 【分析】由题意，根据指数式与对数式的互化，结合对数的换底公式计算即可求解. 【详解】由题意知，，则， 所以， 又，所以. 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知，则= ． 【答案】 【分析】先利用对数的定义可得，，代入利用对数的换底公式计算即可求值. 【详解】因为，所以，， ，所以． 故答案为：. 10．已知则 . 【答案】1 【分析】根据对数的运算性质及换底公式计算可得结果. 【详解】由题意得，， ∴. 故答案为：1. 11．（24-25高一上·上海·期中）设，是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】先由韦达定理得，，然后化简求解即可. 【详解】因为，是方程的两根， 所以由韦达定理可知，. 则 . 故答案为：. 12．若实数，且，则 . 【答案】0 【分析】由，可得，据此可得答案. 【详解】因，则，， 又由换底公式推论可得，设，则， 故， 由换底公式，则. 故答案为：0 题型二 结合对数的换底用已知对数表示对数 13．（23-24高一上·上海普陀·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】利用对数的运算性质和换底公式求解． 【详解】，，， ， 故答案为：． 14．（24-25高一上·上海·期中）若，则用来表示是 . 【答案】 【分析】根据题意利用换底公式以及对数的运算性质求解. 【详解】若，所以. 故答案为：. 15．（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知，，则用、表示 . 【答案】. 【分析】根据对数的运算性质结合换底公式即可求得结果. 【详解】解：. 故答案为：. 16．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知，则 ．（用a和b表示） 【答案】 【分析】由题意可得，利用换底公式结合对数运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：. 17．（24-25高一上·上海松江·期中）已知，则 ．（用的代数式子表示） 【答案】 【分析】根据对数的运算即可得． 【详解】由，，则． 故答案为：． 18．（24-25高一上·上海·期中）已知，，则 .（结果用表示） 【答案】 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 19．若，则等于 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化为，化再利用换底公式化简，解得，最后利用换底公式求结果. 【详解】∵18b=5，∴，又，联立解得． ∴．故选B． 【点睛】本题考查换底公式，考查基本化简求解能力. 20．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知，则可用a，b表示为 ． 【答案】 【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 21．（24-25高一上·上海·期中）已知， (1)求的值； (2)用a，b表示. 【答案】(1)108 (2) 【分析】（1）利用幂的运算性质计算即得； （2）利用对数换底公式和对数的运算性质化简计算即得. 【详解】（1）； （2）由，，可得 则. 22．设，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，利用换底公式求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：D 题型一 结合对数的换底公式证明 23．（1）若，求的值． （2）设都是正数，且，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）根据对数的运算性质可得，再代入计算即可. （2）令，再用对数表示，再由对数运算性质即可证明. 【详解】（1）由，得， 所以． （2）证明：令，得， 则， 则， 根据可知，． 24．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将两边取对数化简即可得解； （2）由(1)解得，代入计算即可得解. 【详解】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以. （2）由，得，. 所以，， 则，故. 25．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）证明见解析； 【分析】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可； （2）利用换底公式证明即可； （3）利用换底公式证明即可. 【详解】解答：（1）证明： 设，则，化为， 又，所以； （2）解：； （3）证明： ． 所以． 题型二 对数型糖水不等式的应用（拓展） 26．（1）设，，证明：． （2）设，，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】(1)利用作差法计算可得，即可证明； (2) 根据题意和(1)结论可知，利用对数的换底公式可得即可证明. 【详解】证明：（1）由，， 可得， 所以； （2）由题意知，，， 所以， 由（1）的结论知， 27．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了， (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)运用该不等式比较以下三个值的大小：，， 【答案】(1)；证明见解析 (2) 【分析】（1）根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出，利用作差法证明不等式成立即可． （2）利用（1）中结论可得，时，，依此不等式即可比较所给三个数的大小. 【详解】（1）由题意可得：，时，． 证明如下：， ，，，， ，． （2）由（1）知，时，，即； 则， ， 又 综上所述，. 28．克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件及不等式的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由得，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，由题得，故C错误； 对于D，由糖水不等式得，所以，故D错误. 故选：A. 29．（23-24高一上·上海浦东新·期末）记，那么 ． 【答案】 【分析】利用对数的换底公式计算可得答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为：1. 30．（24-25高一上·上海·期中）甲、 乙两人同时解关于的方程：.甲写错了常数，得两根为及；乙写错了常数，得两根及，则这个方程的真正的根为 【答案】或 【分析】利用对数方程的解法进行分析即可求解. 【详解】原方程可变形为： 甲写错了，得到根为及，； 又乙写错了常数，得到根为及，； 原方程为，即， 或，或. 故答案为：或. 31．设都是正数，且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数式、对数式互化，再利用对数换底公式及对数运算求解作答. 【详解】因为都是正数，设，则， 即有，显然， 所以，即，A正确； ，B不正确； ，C不正确； ，D不正确. 故选：A 32．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若方程的两个解为，，求的值为 ． 【答案】 【分析】利用换底公式，得到，再结合韦达定理求值. 【详解】由题意：， 又． 故答案为：． 33．（24-25高一上·上海宝山·期中）设，，则 . 【答案】/ 【分析】结合指、对运算的性质分部求解，利用立方和公式及已知条件对化简求值；利用换底公式对化简求值；利用对数恒等式对化简求值等；再然后做加减混合运算即可得. 【详解】由式子有意义可知，且，故，且. 由，，得， 则； 又； ； ； 则原式； 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$