2.2.1 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

2.2.1 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 题型一 解不含参的一元一次不等式 1．（24-25高一上·山东菏泽·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元一次不等式的解法求解集即可. 【详解】由，可得，故解集为. 故选：B. 2．（24-25高一上·重庆渝北·期中）设，则 ． 【答案】5 【分析】解一元一次不等式求结果. 【详解】由. 故答案为：5 3．如图，已知函数和的图象交于点的解集是 . 【答案】 【分析】将点代入两个函数中求出的值，然后代入不等式中解出即可. 【详解】因为函数和的图象交于点， 所以， ， 所以不等式为， 解得：， 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·课前预习）解不等式，并用区间表示解集． 【答案】 【分析】由一元一次不等式的求解可得，即可求解. 【详解】解：去分母，得；去括号，得； 移项，得；化简，得； 两边同除以的系数，得． 用区间表示不等式的解集为． 题型二 解不含参的一元一次不等式组 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式组，的解集为 ． 【答案】 【分析】先解每一个不等式，再求两解集的交集即可. 【详解】由，得， 由，得， 所以不等式组的解集为. 故答案为： 6．（24-25高一上·广西南宁·期中）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求解，再计算交集即可. 【详解】由，解得，所以不等式组的解集为， 故选：B. 7．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质求解易得. 【详解】由可得，故得. 故选：C. 8．（24-25高一上·上海·课前预习）解不等式组，并用区间表示解集． 【答案】 【分析】先解每一个不等式，再求两解集的交集即可. 【详解】解：由①得，解得，解集为． 由②，解得，解集为 所以不等式组的解集为． 9．解不等式组. 【答案】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再求出公共解集即可求解. 【详解】由（1）可得，解得：； 由（2）可得，也即，解得：， 所以原不等式组的解集为. 10．（24-25高一上·上海·课后作业）求不等式组：的解集，并把解集表示在同一数轴上． 【答案】解集为，图象见解析. 【分析】解一元一次不等式，再求交集即可，最后画出数轴即可. 【详解】解出不等式①②得，解集为， 数轴表示如下． 11．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析. 【分析】解不等式组，求出解集，并在数轴上表示出来. 【详解】解不等式①，得；解不等式②，得．所以原不等式组的解集为． 在数轴上表示不等式①②的解集如图． 题型一 解含参的一元一次不等式 12．设，解关于的不等式，下列说法正确的是（      ） A．该不等式的解集为； B．该不等式的解集为； C．该不等式的解集可能为； D．该不等式的解集不可能为. 【答案】C 【分析】对分四种情况讨论得解. 【详解】解：当时，，该不等式的解集为； 当时，，该不等式的解集为； 当，时，该不等式的解集为； 当，时，该不等式的解集为. 故选：C 13．设a、b为实数，解关于x不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】将不等式化为，讨论、的取值，利用一元一次不等式的解法即可求解. 【详解】． ①当时，解为； ②当时，解为； ③当，时，解为； ④当，时，无解． 综上所述，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当，时，不等式解集为； 当，时，解集为. 14．设，解关于x的不等式：． 【答案】当时，R；当时，；当时，． 【分析】首先把不等式整理为，然后分，，三种情况求解即可. 【详解】由，得， 当时，原不等式为，所以不等式的解集为R； 当时，由，得，所以不等式的解集为； 当时，由，得，所以不等式的解集为. 综上知：当时，解集为R；当时，解集为； 当时，解集为． 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）解关于的不等式，其中． 【答案】答案见解析 【分析】对一次项系数进行分类讨论，分三类求对应解集. 【详解】原不等式整理为． 当时，解得，解集为， 当时，解得，解集为， 当时，则，为任意实数，解集为． 16．（23-24高一·上海·课堂例题）设，解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论的取值，结合不等式的性质求解即可． 【详解】整理得， 当时，不成立，； 当时，，故； 当时，，故． 17．解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】由可得，然后分，，，共三种情况讨论，即可求解. 【详解】由，可得， 当时，即，此时，则不等式的解集为； 当时，即，此时，解得； 当，即，此时，解得. 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型二 解含参的一元一次不等式组 18．（24-25高一上·上海·期末）不等式组无实数解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论的取值范围，利用不等式组无实数解即可得解. 【详解】对于， 当时，解得，不满足题意； 当时，与矛盾，即不等式组无实数解， 综上，. 故答案为： 19．（24-25高一上·上海·随堂练习）设为实数，解关于x的一元一次不等式组 【答案】当时，解集为；当时，解集为． 【分析】对进行分类讨论求解结果即可. 【详解】 所以当时，解集为；当时，解集为． 20．设a为实数，解关于x的不等式组：． 【答案】答案见解析 【分析】化简不等式组，对进行分类讨论，由此求得不等式组的解集. 【详解】原不等式组等价于， 当，即时，原不等式组的解集为； 当，即时，原不等式组的解集为． 21．（24-25高一上·上海·课后作业）一元一次不等式组的解为，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】画出数轴即可求解. 【详解】利用数轴，画出，如下图， 由一元一次不等式组的解为，可知. 故答案为：. 题型三 有解问题 22．（24-25高一上·上海·随堂练习）若有解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】解出不等式组，根据非空解集可得答案. 【详解】，不等式组有解, 则，解得 故答案为：． 23．若不等式组的解集不是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解不等式，根据不等式解集不是空集，即可求得参数范围. 【详解】由得且 ， 因为不等式组有解， 则的取值范围是，解得即. 故选：D 24．（23-24高一上·上海·期中）若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数 . 【答案】0 【分析】先化简不等式组，依题意表示得出的范围，再取最大整数值即可. 【详解】由可得：要使不等式组的解集非空， 须使即：故满足条件的最大整数0. 故答案为：0. 25．（24-25高一上·上海·期中）已知，若关于的不等式的解集为，则 . 【答案】1 【分析】由题意知不等式的解集为，则，解之即可求解. 【详解】原不等式可化为， 又不等式的解集为， 所以一次函数的图象都在轴的下方， 则，解得， 故答案为： 26．（25-26高一上·全国·课后作业）若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数a为（     ）. A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】先化简不等式组，依题意表示得出a的范围，再取最大整数集即可. 【详解】由，可得：要使不等式组的解集非空， 须使即： 故满足条件的最大整数0. 故选：C. 27．（24-25高一上·上海·课后作业）若不等式组有解，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】分别求解两个不等式，根据不等式组有解可得. 【详解】解不等式，得． 解不等式，得． 因为不等式组有解，所以，即． 所以实数的取值范围为. 28．（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数 【答案】 【分析】不等式可化为，对分等于，大于，小于三种情况进行讨论即可. 【详解】由不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为，符合题意； 当，即时，不等式可化为，不符合题意； 当，即时，不等式可化为，不符合题意； 综上，实数. 故答案为：. 题型四 已知解集求参数 29．不等式的解集为，则 ． 【答案】 【分析】根据不等式性质可知，为方程的根，带入计算即可得出值. 【详解】由题意得是关于的方程的根，所以，即． 故答案为：−5 30．（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为 . 【答案】 【分析】由给定的解集确定关于的方程的根及一次项的系数正负，再代入解方程即得. 【详解】由关于x的不等式的解集为， 得1是关于的方程的根，且， 因此，即，而，解得， 所以实数a的值为. 故答案为： 31．若不等式组的解集是，则m的取值范围（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据解集确定集合包含关系，即可得参数范围. 【详解】因为不等式组的解集是， 所以， 故. 故选：B 32．已知不等式的解集为，求a的值. 【答案】 【分析】将不等式变形为，由不等式的解集为可知即可解得. 【详解】原不等式等价于. 因为不等式的解集为， 则有，解得. 33．若关于x的不等式组的解集为，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式组的解集来求得的取值范围. 【详解】， 由于的解集为，所以. 故答案为： 34．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知关于的不等式组的解集是，求、的值． 【答案】 【分析】解不等式组，再与解集对照，得到方程组，求出答案. 【详解】记原不等式组为 解不等式①，得； 解不等式②，得． 因为原不等式组的解集为，所以 解得 35．（24-25高一上·上海·随堂练习）如果不等式的解集为，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式解法分类讨论求解即可. 【详解】当时，； 当时，不等式无解； 当时，，故． 故答案为：. 题型五 已知解集解不等式 36．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知、为实数，且不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】 【分析】根据不等式的解集求出且，再解不等式即可. 【详解】∵的解集为， ∴且，即，∴， 则不等式可化为． ∵，即，解得．∴不等式的解集为． 37．（23-24高一·上海·课堂例题）设，已知关于x的不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】 【分析】由不等式与方程的关系知1为的根，可得出关系，代入不等式求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以且，即且， 所以可化为， 解得， 所以不等式的解集为. 38．（22-23高一上·上海宝山·期中）若关于的不等式解集为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据给定的解集，求出a，b的关系，再代入求解不等式作答. 【详解】因关于的不等式解集为，则1是方程的根，且， 因此，且，不等式化为：，而，解得， 所以关于的不等式的解集为. 故答案为： 39．若不等式的解集是，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据题意得到是方程的根，求得且，进而化简不等式，即可求解. 【详解】因为不等式的解集是， 所以是方程的根，且， 即，且，可得， 则不等式可化为， 因为，解得， 即不等式的解集为. 故答案为：. 题型六 整数解问题 40．（24-25高一上·上海·随堂练习）求适合不等式的整数解． 【答案】 【分析】根据题意，转化为，求得，结合，即可求解. 【详解】解：由不等式，可得， 解得，即 ， 又由，所以， 所以原不等式的整数解组成的集合为． 41．设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】求得不等式组的解集为，则0一定为不等式组的一个整数解，分不等式的4个整数解为0，1，2，3和不等式的4个整数解为两种情况讨论，即可得出答案. 【详解】解：关于x的一元一次不等式组的解集为，则， 故0一定为不等式组的一个整数解， 若不等式的4个整数解为0，1，2，3时， 则，解得； 当不等式的4个整数解为时， 则，不等式组无解， 综上所述，a的取值范围是. 故答案为：. 题型七 不等式的实际应用 42．足球赛期间，某球迷俱乐部一行 56 人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A、B两个出租车队，A队比B队少 3 辆车.若全部安排乘A队的车，每辆车坐 5 人，车不够，每辆车坐 6 人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐 4 人，车不够，每辆车坐 5 人，有的车未坐满.则A队有出租车（    ） A．11辆 B．10辆 C．9辆 D．8辆 【答案】B 【分析】设A队有x辆车，由题设有求的解集，即可确定A队有出租车数量. 【详解】设A队有出租车x辆，则B队有出租车(x＋3)辆， 由题意得：，解得， ∴，而x为正整数，故x＝10. 故选：B. 43．（24-25高一上·上海·随堂练习）把一些书分给几个学生，学生的人数不超过6人，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的人每人分5本，最后一人分不到3本，求书有多少本？学生有多少人？ 【答案】书26本，学生6人 【分析】结合题意列关于学生人数的不等式求解,并结合学生的人数求解书本的人数即可. 【详解】设学生有x人，x为正整数， 解得，x为正整数，所以． 故学生有6人，书本人数为 所以书26本，学生6人． 44．4位同学要完成100米的接力跑，要求每个人跑的路程不超过其他任一同学所跑路程的3倍，若某一同学所跑路程为米，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，列出符合题意的不等式组，求得不等式组的解集，即可得到答案. 【详解】由题意知，该同学所跑的路程为米， 若最小，则其他3位同学所跑的路程最大者，应满足，解得； 若最大，则其他3位同学所跑的路程最小者，应满足，解得； 综上可得，的取值范围是. 故选：D. 1．若关于的一元一次不等式组有2个负整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式得，根据关于的一元一次不等式组有2个负整数解得出这两个解为：，；进而得出的取值范围. 【详解】已知，解不等式得：； 又因为，关于的一元一次不等式组有2个负整数解，则这两个解为：，， 所以，. 故选：B. 2．把16根火柴首尾相接，围成一个长方形（不包括正方形），试找到围出不同形状的长方形个数最多的办法？最多个数是多少？ 【答案】办法见解析，3个． 【分析】设出每根火柴长度为1，则其周长为16，设长方形相邻两边长为x、，由边长关系得出不等式组，且，可得答案. 【详解】不妨假设每根火柴长为1，则16根火柴长为16，围成长方形，设相邻两边长为x、， 由围成一个长方形不是正方形，则长方形的两两边不相等，不妨设 可得不等式组等价于． 所以x所取的值为1，2，3． 由此只要分别取1根火柴，2根火柴，3根火柴作相邻两边中较短的一条边， 则对应的邻边也分别取7根火柴，6根火柴，5根火柴，就能围成所有不同形状的长方形， 所以这样的长方形一共有3个． 3．求关于的不等式的解集. 【答案】答案见解析. 【分析】将转化为，利用一元一次不等式的解法求解. 【详解】不等式等价于， ①当时，原不等式的解集为. ②当时，原不等式等价于 若，则，上述不等式组的解集为； 若，则，上述不等式组的解集为. ③当时， 若，则原不等式等价于由于，故上述不等式组的解集为； 若，则原不等式的解集为; 若，则原不等式等价于由于，故上述不等式组的解集为. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.1 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 题型一 解不含参的一元一次不等式 1．（24-25高一上·山东菏泽·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆渝北·期中）设，则 ． 3．如图，已知函数和的图象交于点的解集是 . 4．（24-25高一上·上海·课前预习）解不等式，并用区间表示解集． 题型二 解不含参的一元一次不等式组 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式组，的解集为 ． 6．（24-25高一上·广西南宁·期中）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 7．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·上海·课前预习）解不等式组，并用区间表示解集． 9．解不等式组. 10．（24-25高一上·上海·课后作业）求不等式组：的解集，并把解集表示在同一数轴上． 11．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 题型一 解含参的一元一次不等式 12．设，解关于的不等式，下列说法正确的是（      ） A．该不等式的解集为； B．该不等式的解集为； C．该不等式的解集可能为； D．该不等式的解集不可能为. 13．设a、b为实数，解关于x不等式：． 14．设，解关于x的不等式：． 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）解关于的不等式，其中． 16．（23-24高一·上海·课堂例题）设，解关于的不等式：． 17．解关于的不等式． 题型二 解含参的一元一次不等式组 18．（24-25高一上·上海·期末）不等式组无实数解，则的取值范围是 . 19．（24-25高一上·上海·随堂练习）设为实数，解关于x的一元一次不等式组 20．设a为实数，解关于x的不等式组：． 21．（24-25高一上·上海·课后作业）一元一次不等式组的解为，则与的大小关系是 ． 题型三 有解问题 22．（24-25高一上·上海·随堂练习）若有解，则a的取值范围为 ． 23．若不等式组的解集不是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一上·上海·期中）若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数 . 25．（24-25高一上·上海·期中）已知，若关于的不等式的解集为，则 . 26．（25-26高一上·全国·课后作业）若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数a为（     ）. A．2 B．1 C．0 D． 27．（24-25高一上·上海·课后作业）若不等式组有解，求实数的取值范围． 28．（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数 题型四 已知解集求参数 29．不等式的解集为，则 ． 30．（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为 . 31．若不等式组的解集是，则m的取值范围（ ） A． B． C． D．无法确定 32．已知不等式的解集为，求a的值. 33．若关于x的不等式组的解集为，则实数a的取值范围 ． 34．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知关于的不等式组的解集是，求、的值． 35．（24-25高一上·上海·随堂练习）如果不等式的解集为，那么a的取值范围是 ． 题型五 已知解集解不等式 36．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知、为实数，且不等式的解集为，求不等式的解集． 37．（23-24高一·上海·课堂例题）设，已知关于x的不等式的解集为，求不等式的解集． 38．（22-23高一上·上海宝山·期中）若关于的不等式解集为，则关于的不等式的解集为 . 39．若不等式的解集是，则不等式的解集是 ． 题型六 整数解问题 40．（24-25高一上·上海·随堂练习）求适合不等式的整数解． 41．设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是 . 题型七 不等式的实际应用 42．足球赛期间，某球迷俱乐部一行 56 人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A、B两个出租车队，A队比B队少 3 辆车.若全部安排乘A队的车，每辆车坐 5 人，车不够，每辆车坐 6 人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐 4 人，车不够，每辆车坐 5 人，有的车未坐满.则A队有出租车（    ） A．11辆 B．10辆 C．9辆 D．8辆 43．（24-25高一上·上海·随堂练习）把一些书分给几个学生，学生的人数不超过6人，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的人每人分5本，最后一人分不到3本，求书有多少本？学生有多少人？ 44．4位同学要完成100米的接力跑，要求每个人跑的路程不超过其他任一同学所跑路程的3倍，若某一同学所跑路程为米，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 1．若关于的一元一次不等式组有2个负整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．把16根火柴首尾相接，围成一个长方形（不包括正方形），试找到围出不同形状的长方形个数最多的办法？最多个数是多少？ 3．求关于的不等式的解集. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$