3.2.1 对数的定义（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

3.2.1 对数的定义 题型一 已知对数有意义求参数范围 1．（22-23高一上·上海徐汇·期中）若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用对数中底数和真数的范围，可得出关于的不等式组，即可解得实数的值. 【详解】对于等式，有，解得且， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 2．在对数式中，实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据对数式中底数与真数范围列不等式组即可求解． 【详解】解：由对数式可知： ,解之得：且 故答案为：且． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得. 【详解】依题意，，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 4．（22-23高一上·上海静安·期中）在中，x的取值范围是 【答案】 【分析】根据底数和真数的范围，列出不等式，求解即可. 【详解】要使得有意义，则，且，解得. 故答案为：. 5．（22-23高一上·上海浦东新·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题得，解出即可. 【详解】根据真数大于0得，解得， 故答案为：. 6．（23-24高一上·上海奉贤·期中）对数式中的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由条件列出不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 7．（22-23高一上·上海虹口·期中）使得表达式有意义的x范围是 ． 【答案】 【分析】根据对数的真数大于0求解即可. 【详解】式子要有意义，则， 解得， 所以x范围是. 故答案为：. 8．在对数式中，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的概念，底数大于且不等于，真数大于0，列不等式组即可求解． 【详解】要使对数式有意义，需满足， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故选:D. 9．代数式有意义时，求x的取值范围． 【答案】 【分析】首先根据对数的概念得到，再解不等式组即可. 【详解】由题意可得解得． 故答案为： 题型二 指对互化（基础版） 10．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），对数式为 ； （2），对数式为 ； （3），指数式为 ； （4），指数式为 ． 【答案】 ； ； ； . 【分析】运用指对互化规则，“底不变，其他换”，即可转化. 【详解】运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），对数式为； （2），对数式为； （3），指数式为； （4），指数式为. 故答案为：；；；. 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 【答案】 ； ； ； . 【分析】运用指对互化规则，“底不变，其他换”即可解题. 【详解】运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），指数式为； （2），指数式为； （3），对数式为； （4），对数式为. 故答案为：；；；. 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式和对数式的互换公式直接得出答案： 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 13．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)1000. 【分析】根据指数式和对数式的互化解答（1）（2）；根据对数的性质解答（3）（4）. 【详解】（1）∵，∴，即，∴，解得． （2）∵，∴，∴． （3）∵，∴，∴． （4）∵，∴，∴． 14．若实数、满足、，则 ． 【答案】 【分析】根据指数式与对数式的关系，将转化为指数式，再根据指数运算公式求值. 【详解】由，得， 所以， 故答案为：. 15．已知，，则 【答案】 【分析】将对数式转化为指数式，再通过指数运算公式即可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为： 16．已知正实数x、y满足，，则 ． 【答案】 【分析】根据指对互化求，再根据指数运算求解. 【详解】，所以. 故答案为： 题型三 利用恒等式求对数值 17．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用对数的运算性质，换底公式，对数恒等式等性质计算即可. 【详解】（1）. （2）根据换底公式，. （3）根据换底公式，. （4）根据对数恒等式，. 18．（24-25高一上·上海·随堂练习） ． 【答案】 【分析】根据对数的运算性质可得答案. 【详解】. 故答案为：. 19．求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】（1）根据指数式与对数式的相互转化,即可求得答案; （2）根据指数式与对数式的相互转化,即可求得答案; （3）根据指数式与对数式的相互转化,即可求得答案; （4）根据指数式与对数式的相互转化,即可求得答案; 【详解】（1）根据指数式与对数式的相互转化, , . （2）根据指数式与对数式的相互转化, , . （3）根据指数式与对数式的相互转化, , . （4）根据指数式与对数式的相互转化, , . 【点睛】本题主要考查指数式与对数式的相互转化,考查了计算能力,属于基础题. 20．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)2 (2)0 (3)-1 (4)-3 【分析】利用对数的运算求解. 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）. 21．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列各式的值： （1） ； （2） ． 【答案】 4 【分析】运用对数运算性质公式求解即可. 【详解】（1）; （2）. 故答案为：4; . 题型一 解对数型方程 22．设，则x的值等于（    ） A．10 B．13 C．100 D． 【答案】B 【分析】由公式指数性质和对数的性质即即得. 【详解】由得，所以. 故选：B. 23．若，则x的值等于 ． 【答案】 【分析】通过指对互化即可求解． 【详解】因为，所以， 所以 故答案为：. 24．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】利用对数与指数的互化可得出的值. 【详解】因为，则，所以，. 故答案为：. 25．若，则 . 【答案】 【解析】利用对数为0，真数为1，底数的对数为1，即可得答案； 【详解】，故. 故答案为：. 【点睛】本题考查对数的概念及运算，属于基础题. 26．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则 ． 【答案】2 【分析】由对数和指数的互化求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：2 27．（24-25高一上·上海宝山·期末）方程的解 . 【答案】 【分析】由对数式与指数式的互化可得出的值. 【详解】方程的解. 故答案为：. 28．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】利用对数运算法则直接计算即可. 【详解】，则，故. 故答案为：. 29．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列各式中的值： （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ； （4）若，则 ． 【答案】 998 4或 【分析】运用指数对数互化和对数性质结论可解. 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）. 故答案为：；998；4或；. 30．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则 ． 【答案】32 【分析】由对数的运算求解即可. 【详解】因为，所以，则. 故答案为： 31．（22-23高一上·上海浦东新·期中）若，则 . 【答案】 【分析】由对数的概念运算求解即可. 【详解】由对数运算的定义，有 ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 32．（24-25高一上·上海·期中）关于的方程的解集为 ． 【答案】 【分析】整理可得，结合对数解方程即可. 【详解】因为，可得， 所以方程的解集为. 故答案为：. 33．（24-25高一上·上海·期中）已知，则实数 . 【答案】 【分析】根据指数式与对数式的互化得解. 【详解】因为， 所以，解得或（由底数为正数，舍去）， 故答案为： 题型二 指对互化（提升版） 34．（24-25高一上·上海·期中）已知，，则的值为 . 【答案】/ 【分析】将对数式化成指数式，利用指数幂的运算计算即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以. 故答案为:##. 35．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题得，再化简代入即得解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 36．已知，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意整理可得，分析可得，运算求解即可. 【详解】设，则， ∵，即，整理得， 注意到，则， 解得，即. 故选：D. 【点睛】本题考查指数式与对数式的互化、指数的运算. 37．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，且，则xy的值为 ． 【答案】98 【分析】令，把对数式化为指数式，，利用解出，可得的值. 【详解】由对数的性质，得，令，则，. 因为，所以，即，解得. 所以，，从而. 故答案为：98 38．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】根据对数的概念得，从而得，利用指数运算化简求解式子即可得答案. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故答案为：. 1．设实数a，b，c为正数，且满足，，，求实数a，b，c的值． 【答案】 【分析】利用对数式指数式互化及条件即求. 【详解】由得，即， 由得，又， ∴. 2．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知，对任意的，且，当时，不合乎题意，进而可知，对任意的，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】对任意的，代数式有意义， 则对任意的，且， 当时，则且，解得且，不合乎题意； 当时，由题意可知，必有，由二次函数的基本性质可知， 对任意的，，则， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.1 对数的定义 题型一 已知对数有意义求参数范围 1．（22-23高一上·上海徐汇·期中）若，则的取值范围是 . 2．在对数式中，实数的取值范围是 ． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是 ． 4．（22-23高一上·上海静安·期中）在中，x的取值范围是 5．（22-23高一上·上海浦东新·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是 . 6．（23-24高一上·上海奉贤·期中）对数式中的取值范围为 ． 7．（22-23高一上·上海虹口·期中）使得表达式有意义的x范围是 ． 8．在对数式中，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．代数式有意义时，求x的取值范围． 题型二 指对互化（基础版） 10．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），对数式为 ； （2），对数式为 ； （3），指数式为 ； （4），指数式为 ． 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．若实数、满足、，则 ． 15．已知，，则 16．已知正实数x、y满足，，则 ． 题型三 利用恒等式求对数值 17．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 18．（24-25高一上·上海·随堂练习） ． 19．求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）. 20．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 21．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列各式的值： （1） ； （2） ． 题型一 解对数型方程 22．设，则x的值等于（    ） A．10 B．13 C．100 D． 23．若，则x的值等于 ． 24．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，则 ． 25．若，则 . 26．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则 ． 27．（24-25高一上·上海宝山·期末）方程的解 . 28．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若，则 ． 29．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列各式中的值： （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ； （4）若，则 ． 30．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则 ． 31．（22-23高一上·上海浦东新·期中）若，则 . 32．（24-25高一上·上海·期中）关于的方程的解集为 ． 33．（24-25高一上·上海·期中）已知，则实数 . 题型二 指对互化（提升版） 34．（24-25高一上·上海·期中）已知，，则的值为 . 35．已知，则的值为 ． 36．已知，则（    ） A． B． C．2 D．3 37．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，且，则xy的值为 ． 38．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知，则 . 1．设实数a，b，c为正数，且满足，，，求实数a，b，c的值． 2．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$