2.2.2 一元二次不等式的求解（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

2.2.2 一元二次不等式的求解 题型一 解不含参数的一元二次不等式 1．（24-25高一上·上海奉贤·期末）不等式的解集为 ． 【答案】R 【分析】根据根的判别式，数形结合得到不等式解集. 【详解】开口向上，， 二次函数图象在轴上方，故不等式解集为R. 故答案为：R 2．（23-24高一上·上海闵行·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由恒成立， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海长宁·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据题意利用配方法分析求解. 【详解】因为，即不等式对任意实数均成立， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为方程的解为，， 所以不等式的解集为：， 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·课后作业）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用因式分解法求解一元二次不等式即可. 【详解】由题意得，故， 故，解得. 故原不等式的解集为. 故答案为： 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】利用一元二次不等式的解法来求解即可. 【详解】（1）不等式可化为，∴不等式的解集是． （2）不等式可化为，∴不等式的解集是． （3）不等式可化为，∴不等式的解集是． （4）不等式可化为，∴不等式的解集是或． 7．（24-25高一上·新疆·期中） 解下列不等式： (1) (2) 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即可． （2）利用一元二次不等式的解法求解即可． 【详解】（1）方程的解为，， 不等式可化为， ∴或 所以的解集为：或. （2）方程的解为，， ∵不等式可化为， ∴ 所以的解集为：. 8．（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 题型二 由一元二次不等式的解确定参数 9．（23-24高一上·上海·期中）已知一元二次不等式的解集为，则 . 【答案】 【分析】由题意可得方程的根为，再利用韦达定理即可得解. 【详解】因为一元二次不等式的解集为， 所以方程的根为， 则. 故答案为：. 10．（23-24高一上·上海浦东新·期中）关于的不等式的解集为，则 . 【答案】2 【分析】由一元二次不等式的解集知是方程的两个根，结合根与系数关系求参数，即可得答案. 【详解】由题设是方程的两个根，则， 所以. 故答案为：2 11．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若关于x的不等式的解集为，则 . 【答案】 【分析】根据三个二次关系计算即可. 【详解】由题意可知有两个实数根， 由根与系数的关系，则. 故答案为： 12．（23-24高一上·上海虹口·期末）若一元二次不等式的解集为，则实数 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系解出即可. 【详解】根据题意可知方程的两根分别为， 根据韦达定理可知，， 故答案为：. 13．（24-25高一上·上海普陀·期中）关于的不等式的解集为，则 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集求得，进而求得. 【详解】由于不等式的解集为， 所以，解得， 所以. 故答案为： 14．（24-25高一上·上海·期中）已知不等式 的解集是，则 ①； ②若不等式的解集为，则； ③若不等式的解集为，则； ④若不等式的解集为，且，则． 其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理进行求解. 【详解】由题意，不等式的解集是， 所以，，所以①正确； 变形为，其解集为， 所以，得，故成立，所以②正确； 若不等式的解集为，由韦达定理知： ，所以③错误； 若不等式的解集为，即的解集为， 由韦达定理知：， 则，解得， 所以④正确. 综上，正确的为：①②④ 故选：C 15．（24-25高一上·江西赣州·期中）若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以， ， 因为，所以，解得或1（舍去）. 故选：B. 题型三 由一元二次不等式的解解不等式 16．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由不等式的解集求出的关系，再把不等式化为可以解答的一元二次不等式，求出解集即可． 【详解】因为不等式的解集为， 所以 和是的两根，且， 所以即， 所以可化为， 所以， 解得. 故答案为： 17．（22-23高一上·上海杨浦·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据一元二次不等式与对应方程根与系数的关系，求出与的关系，代入所求不等式，求出解集即可. 【详解】一元二次不等式的解集为，且是的两个实数根，由韦达定理得：，解得，所以不等式可化为， 即，解得或，所以所求不等式的解集为 故答案为： 18．（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集是，则的解集为 . 【答案】 【分析】由不等式的解集知方程的两个根，根据韦达定理求得的值，再解不等式即可求得解集. 【详解】∵不等式的解集是， ∴方程的两个根为 则. 由得，即， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为：. 19．（24-25高一上·上海·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由题意可得，和3为方程的根，且，进而结合韦达定理可求得的值，再根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由题意，和3为方程的根，且， 则，解得，， 所以不等式，即为， 即，解得， 即不等式的解集为. 故答案为：. 20．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】先根据一元二次不等式的解集求出的值，代入到不等式中可求得解集. 【详解】由一元二次不等式的解集为， 所以方程的两根为和，则，， ，， 所以不等式为， 解得，即不等式的解集为. 故答案为：. 21．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集 ． 【答案】 【分析】由题意可知：的根为，且，利用韦达定理可得之间的关系，代入运算即可. 【详解】由题意可知：的根为，且， 则，可得， 不等式即为， 且，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 22．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式（，，均为实数）的解集为，则关于的不等式解集为 ． 【答案】 【分析】由已知可得是方程的两根且，可求得，可求不等式的解集. 【详解】因为不等式的解集为， 所以是方程的两根且， 所以，所以， 由不等式，可得，因为， 所以，所以，解得或， 所以不等式解集为. 故答案为：. 题型四 解不含参的不等式组 23．（24-25高一上·甘肃武威·期中）不等式组的解集是 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解，再取交集即可求解. 【详解】，即， 解得或， ，即， 即， 解得， 所以的解集为. 故答案为：. 24．求下列不等式组的解集： （1）；     （2）. 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）分别求解二次不等式和一次不等式取交集即可； （2）分别求解两个二次不等式，取交集即可. 【详解】（1）原不等式组等价于， 即，其解集为x>3. 因此，原不等式组的解集为. （2）原不等式组等价于， 即，其解集为5≤x<6. 因此，原不等式组的解集为. 25．（24-25高一上·上海·课堂例题）解关于的不等式组： 【答案】 【分析】解两个一元二次不等式，再求交集即可. 【详解】原不等式组可化为，即， 所以原不等式组的解集为. 26．（24-25高一上·上海·课堂例题）解关于的不等式组： 【答案】 【分析】分别求解原不等式组中的两个一元二次不等式，然求两个解集的交集即可得解. 【详解】原不等式组可化为 即 所以，原不等式组的解集为． 27．解不等式组 【答案】 【分析】将 转化为 ，不等式则转化为 或. 【详解】解：由题意 等价 或，即或，故原不等式组等价于 , 综上. 【点睛】本题主要考查用因式分解法解一元二次方程，难易程度适中. 28．解不等式组： 【答案】 【分析】求出两个二次不等式的解，然后取公共部分即可. 【详解】 故不等式的解集为. 题型一 解含参数的一元二次不等式 29．（24-25高一上·广东广州·期中）关于的不等式：，当时，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将不等式分解因式可得答案. 【详解】由得， 由，得， 解得，或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 30．求不等式的解集． 【答案】答案见解析 【分析】根据二次函数图象性质对参数进行分类讨论即可. 【详解】不等式，可化为， 即， 令，解得，， 当时，，解集为或； 当时，，解集为； 当时，，解集为或. 31．解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【分析】首先将不等式左侧因式分解，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】不等式，即， 当时，原不等式即，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 综上可得：当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为或， 当时不等式的解集为或. 32．（24-25高一上·北京·期中）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况解不等式. 【详解】当时，原不等式可化为：. 当时，. 若即时，原不等式的解为：或； 若即时，原不等式的解为：； 若即时，原不等式的解为：或. 当时，. 因为，所以. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 33．（15-16高二上·陕西榆林·期末）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】根据解含参的一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】将不等式变形为． 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或 综上所述，当或时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为． 34．解关于x的不等式：． 【答案】答案见解析. 【分析】分类讨论解含参的一元二次不等式即得. 【详解】不等式化为， 当时，解得； 当时，不等式化为，解得或； 当时，不等式化为， 若，即，解得； 若，解得； 若，即，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 35．解关于的不等式，． 【答案】答案见解析 【分析】将不等式化为，再分类讨论的范围即可求解． 【详解】， 当时，由得：； 当时，不等式无解； 当时，由得：； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 36．解下列关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】根据一元二次不等式对应二次函数的开口方向，并讨论符号求解集即可. 【详解】由对应函数开口向上，且， 当，即时，恒成立，原不等式解集为； 当，即或时，由，可得， 所以原不等式解集为； 综上，解集为； 或解集为. 37．解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】根据判别式分类讨论或、和三种情况，即可求出一元二次不等式的解集. 【详解】由题意知， ①当，即或时， 方程的两根为， 所以解集为； ②若，即时， 当时，原不等式可化为， 即，所以， 当时，原不等式可化为， 即，所以； ③当， 即时，原不等式的解集为； 综上，当或时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 38．解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】当时，不等式化为；当时，可化为 ，后讨论与4的大小可得答案. 【详解】当时，不等式化为； 当时，. 当时，若，不等式解为或； 若，不等式解为； 若，不等式解为或； 当时，此时，， 不等式解为. 综上，时，不等式解为；时，不等式解为或； 时，不等式解为；时，不等式解为或； 时，不等式解为. 39．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论的符号，结合二次函数解不等式. 【详解】当时，，解得； 当时，则， ①时，则，解得； ②时，则有： 若，即时，则； 若，即时，则且； 若，即时，解得或； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解得. 40．（23-24高一上·湖南长沙·期末）当时，解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】根据、和分类讨论解不等式即可. 【详解】当时，代入不等式可得，解得； 当时，化简不等式可得即， 由得不等式的解为， 当时，化简不等式可得即， 由得不等式的解为或， 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 41．（23-24高一上·上海·期中）解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【分析】根据题意将不等式因式分解为：，然后再分情况进行讨论，从而求解. 【详解】由题意得：，可化简为：，得：有两解：，， 当时，即：时，不等式的解集为：； 当时，即：时，不等式解集为：； 当时，即：时，不等式解集为：； 综上所述： 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：. 42．解下列关于的不等式：（）. 【答案】答案见解析 【分析】分成，，，，五种情况分别讨论不等式的解. 【详解】不等式化为：， 当，原不等式化为，解得， 当，原不等式化为，解得或， 当，原不等式化为， 当时，解得，当时，不等式无解，当时，解得， 所以当，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 43．解关于的不等式: . 【答案】答案见解析 【分析】分成，，，，几种情况分别讨论不等式的解集； 【详解】原不等式可化为.. （1）当时，有. （2）当时， 式，∵， ①当时，，∴. ②当时，，，此时解集为. ③ 当时，.∴. （3）当时，式，∵，∴.∴或. 综上所述，原不等式的解集为: 当时，为或； 当时，为； 当时，为； 当时，为； 当时，为. 题型二 已知一元二次不等式有解求参数范围 44．已知，设集合不为空集，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】对参数分类讨论不等式的解集问题. 【详解】当时，，舍去； 当时，由，对应方程的，满足题意， 当时，若集合不为空集,，所以，或（舍去） 综上，a的取值范围为． 故答案为：. 45．已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据三个“二次”的关系，分类讨论即可解出． 【详解】因为不等式有解，当时，显然不等式有解；当时，不等式 有解等价于方程有两相异实根，所以，解得：，综上，实数的取值范围是． 故答案为：． 46．关于的不等式的解集不为空集，则的取值范围为 . 【答案】或 【分析】当时,显然不成立;当时,利用二次函数的图象分析,列式可解得. 【详解】因为关于的不等式的解集不为空集, 所以关于的不等式有解, 当时,不等式化为无解; 当时,二次函数的开口向下,关于的不等式恒有解; 当时,二次函数的开口向上, 由关于的不等式有解,可得判别式大于0, 即,化简得,解得或, 又,所以. 故实数的取值范围是或. 故答案为: 或. 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质,以及分类讨论思想,解题关键是对分三种情况讨论,属于中档题. 47．（24-25高一上·安徽黄山·期末）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】对分类讨论，结合二次不等式与二次函数的关系即可分类求解. 【详解】若，则不等式为，不符合题意，舍去， 若，则不等式为，解得，符合题意， 若或，此时，为开口向上的二次函数， 此时不等式的解不为空集，符合题意， 若，此时，为开口向下的二次函数， 要使不等式的解不为空集，需要满足，所以， 综上可得或， 故答案为： 题型三 已知一元二次不等式无解求参数范围 48．（24-25高一上·上海·期中）若关于的不等式 的解集为空集，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】先对进行分类讨论，当时，，符合题意；当时，若想不等式解集为空集，必有，解之可得的范围. 【详解】由题意得，关于的不等式 的解集为空集， 当时，，符合题意； 当时，则须满足，即，解得， 综上所述，的取值范围是， 故答案为： 49．（24-25高一上·上海·课堂例题）若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围． 【答案】 【分析】就参数分类考虑，利用二次函数的图象数形结合即可求得参数范围. 【详解】因关于的不等式的解集为空集， 即的解集为． 当时，原不等式为，即，不符合题意，舍去． 当时，原不等式为一元二次不等式，只需且， 即解得． 综上，的取值范围为． 50．（24-25高一上·上海·随堂练习）当为何值时，关于x的一元二次不等式的解集为空集． 【答案】 【分析】将不等式整理后，由题意可得，从而可求出的范围. 【详解】由题意，得的解集为空集， 所以，即． 51．已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考虑和，两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】当时，解得或， 当时，不等式为，解集不为空集，不合要求，舍去； 当时，不等式为，解集为空集，满足要求， 当时，要想不等式解集为空集，则， 解得， 综上，实数的取值范围是 故答案为： 52．（24-25高一上·上海·期中）关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用判别式法求解. 【详解】解：因为关于x的一元二次不等式的解集为空集， 所以，对恒成立， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为， 故答案为： 53．（24-25高一上·上海·期中）若，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用空集的定义，结合一元二次不等式的解集情况，分类列式求出范围. 【详解】当时，不成立，，符合题意，； 当时，由，得，解得， 所以m的取值范围为. 故答案为： 54．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】． 【分析】由已知结合二次不等式及一次不等式的求法即可求解． 【详解】由可得， 由可得， 若不等式组没有实数解， 则． 故答案为：． 55．（23-24高一上·四川泸州·期中）若不等式的解集是． (1)求实数的值； (2)当的解集为时，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题得出的两个解为，代入即可； （2）分类讨论是否为0，然后结合二次函数图像判断取值范围. 【详解】（1）由题得的两个解为， 代入得，解得, 所以. （2）由（1）得的解集为， 当时： 当时，原不等式等价为，显然为，合题意； 当，原不等式等价为，显然不为，舍去； 当时，要想的解集为， 需要，解得，即， 综上b的取值范围为. 题型四 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 56．（24-25高一上·上海·期中）已知对于任意，，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】易知当时符合题意，当时，根据一元二次不等式恒成立建立关于的不等式组，解之即可. 【详解】由题意知，不等式对恒成立， 当时，不等式变形为，恒成立； 当时，对于方程， 有，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为： 57．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据题意对a进行分类讨论，结合的开口与判别式即可. 【详解】当时，,满足题意； 当时，易得且，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 58．（23-24高一上·上海·期末）对任意，都成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】对任意，都成立, 当时，则有，合乎题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 59．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立列式求解即得. 【详解】当时，恒成立，因此； 当时，，解得，因此， 所以实数m的取值范围是. 故答案为： 60．（24-25高一上·上海·期中）关于x的不等式对于任意恒成立，则k的取值范围是 【答案】． 【分析】根据的范围分类讨论可得． 【详解】即时，原不等式为，恒成立， 时，原不等式恒成立，则，解得， 综上，， 故答案为：． 61．（24-25高一上·上海松江·期中）已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意讨论：时显然满足题意；时，结合二次函数图象求解即可. 【详解】当时，恒成立，满足题意； 当时，，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为： 62．（24-25高一上·上海·期中）若不等式 对一切实数都成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将问题转化为，由此可求的取值范围. 【详解】因为，恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 63．（24-25高一上·上海·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据和进行分类讨论，当时直接分析即可，当时结合二次函数开口方向以及判别式求解出结果. 【详解】当时，恒成立，满足要求； 当时，若不等式的解集为， 则需要满足，解得， 综上所述，的取值范围是， 故答案为：. 64．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】或 【分析】分类讨论，根据不等式恒成立建立不等式得解. 【详解】当时，或， 时不等式为，不满足题意；时不等式为，符合题意； 当时，即时，不等式恒成立需满足， 解得或； 综上，实数的取值范围为或. 故答案为：或 65．（24-25高一上·上海静安·阶段练习）若不等式的解集为，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】对不等式的类型分类讨论，根据判别式及二次项系数的符号列式可求出结果. 【详解】①当，即时， ，解得. ②当，即时， 若，则原不等式为，恒成立． 若，则原不等式为，即，不符合题目要求，舍去． 综上所述，当时，原不等式的解集为R. 故答案为：. 题型五 整数解问题 66．（24-25高一上·上海·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将不等式转化为恒成立，通过对勾函数求得的取值范围. 【详解】由题意：不等式对恒成立， 又因为，所以恒成立， 设，，则是对勾函数， 且在时取得最大值为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 67．关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】不等式化为，讨论与的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出. 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 68．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知不等式组只有一个整数解，则实数k的取值范围 【答案】 【分析】先解不等式，对进行讨论，求不等式的解，由不等式组的解集，求k的取值范围. 【详解】不等式解得， 不等式，即， 当时，不等式无解，不合题意； 当时，解得，则原不等式组无解，不合题意； 当时，解得， 不等式组只有一个整数解，则有，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 69．设为常数，关于的不等式的解集中有且仅有两个整数解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求出不等式的解集，通过解集可确定仅有的两个整数解为，进而可通过在解集中，3不在解集中列不等式求出的取值范围 【详解】由整理得 由题知，解得， 解不等式得， 又， 所以解集中有且仅有两个整数解为 于是，解得 故答案为： 70．（24-25高一上·上海·阶段练习）关于x的不等式组的整数解只有，求的取值范围 . 【答案】 【分析】由已知，先求解不等式的解集，然后再对不等式进行转化，通过讨论，和三种情况，分别列式作答即可. 【详解】由已知，不等式的解集为或， 不等式可转化为， 当时，不等式的解集为， 由解集中整数为，不合题意； 当时，不等式的解集为， 由解集中整数为，得，解得， 当时，不等式的解集为，不满足题意， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 71．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出每一个不等式，然后由不等式组整数解只有，列出关于的不等式组，从而可求出的取值范围. 【详解】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于x的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，的解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 故选：D 72．已知关于的不等式组恰有两个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次不等式组有且仅有两个整数解，分类讨论，即可. 【详解】由，解得或， 由，解得或， 当时，的解为， 因为不等式有且仅有两个整数解， 所以，解得， 当时，的解为， 因为不等式有且仅有两个整数解， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是 故选：C 73．关于的不等式组的整数解的集合为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分析可知，求出两个不等式的解集，将这两个解集取交集，可知交集中只含唯一的整数，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】解不等式，可得或， 由得， 因为关于的不等式组的整数解的集合为， 则，可得， 所以，不等式的解集为， 关于的不等式组的整数解的集合为， 所以，或中只含唯一的整数，不含整数，如下图所示：    则. 故答案为：. 74．若关于的不等式组只有一个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由已知，先求解不等式的解集，然后再对不等式进行转化，通过讨论，和三种情况，分别列式作答即可. 【详解】由已知，不等式的解集为， 不等式可转化为， 当时，不等式的解集为， 由解集中整数为，不合题意； 当时，不等式的解集为， 由解集中整数为，得，解得， 当时，不等式的解集为，不满足题意， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型六 一元二次不等式的实际应用 75．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意列出不等式，最后求解不等式即可. 【详解】第一次操作后，利下的纯药液为， 第二次操作后，利下的纯药液为，由题意可知： ， 因为，所以， 故答案为： 76．（24-25高一上·广东揭阳·期中）某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设每件衬衫提价元，则每件衬衫的售价为元，表示出每天出售衬衫的净收入，由不等关系列出不等式，解出的范围，即可得件衬衫的售价的取值范围. 【详解】设每件衬衫提价元，则每件衬衫的售价为元， 则每天出售衬衫的净收入为：（元）， 由题可知，， 整理得，，解得， ， 每件衬衫的售价的取值范围是. 故答案为：. 77．某网店销售一批新款削笔器,每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售,每天能卖出30个;若一个削笔器的售价每提高1元,日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批削笔器的销售价格? 【答案】销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元) 【解析】设削笔器的销售价格定为,根据题意可得关于的一元二次不等式,解不等式即可求得削笔器的销售价格范围. 【详解】设这批削笔器的销售价格定为元/个 由题意得,即 ∵方程的两个实数根为, 解集为 又 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元),才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入. 【点睛】本题考查了一元二次不等式在实际问题中的应用,属于基础题. 78．（24-25高一上·上海·课后作业）已知学校超市准备制订新一年的热饮销售计划，根据去年的统计，当热饮单价为1.5元/杯时，每日可卖出800杯，且单价每提高0.1元时，日销售量就降低20杯．若该热饮成本为0.9元/杯，为使今年的日销售利润不低于720元，应如何控制热饮的单价？ 【答案】答案见解析. 【分析】根据题意列出不等式，即可根据一元二次不等式求解. 【详解】解：设该热饮的销售单价提高元，由题意可得， 化简得， 解得， 所以热饮的单价为，即． 故热饮的单价为 79．（23-24高一上·上海奉贤·期中）某服装公司生产的衬衫每件定价160元，在某城市年销售10万件．现该公司计划在该市招收代理来销售衬衫，以降低管理和营销成本．已知代理商要收取的代理费为总销售金额的（每100元销售额收取元），且为正整数．为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫价格提高到元，但提价后每年的销售量会减少万件．若为了确保代理商每年收取的代理费不少于65万元，则正整数的取值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】由题设有且，，应用一元二次不等式的解法求的范围，即得答案. 【详解】由题设，且，， 所以且，即，， 令，则， 所以两根分别为，， 综上，可得，， 所以正整数的取值组成的集合为. 故答案为： 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】由题意可得集合以及两集合之间的包含关系，分情况讨论，建立不等式，可得答案. 【详解】由题意可得， ，， 当时，，可得； 当时，，显然成立； 当时，，可得； 综上所述，. 故答案为： 2．设，集合，若⫋ A ⫋，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由已知结合二次不等式与二次函数的转化关系，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】若⫋A⫋，则有两个不等正根，或1个正根，1个0， 设其两根分别为， ，解得． 故答案为： 3．关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的整数解恰有3个，先确定且有得出，再用表示出不等式解集为，可以确定，故三个整数解为，从而可列出另一个端点的取值范围为 ，从而解得的范围. 【详解】关于的不等式等价于， 此不等式整数解恰有3个，则有且有，故有， 令即得， ， 故不等式的解集为， 因为，所以 所以解集中一定恰有三个整数 ，可得，解得. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，，，，其中，下列说法正确的是（   ） A．对任意a，是的子集；对任意b，不是的子集 B．对任意a，是的子集；存在b，使得是的子集 C．对任意a，不是的子集；对任意b，不是的子集 D．对任意a，不是的子集；存在b，使得不是的子集 【答案】B 【分析】运用集合的子集的概念，令，推导出，可得对任意a，是的子集； 再由，，求得，，即可判断与的关系. 【详解】对于集合，， 可得当即可得， 即有，可得对任意a，是的子集； 当时，， 可得是的子集； 当时，， 可得不是的子集； 综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集. 故选：B 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.2 一元二次不等式的求解 题型一 解不含参数的一元二次不等式 1．（24-25高一上·上海奉贤·期末）不等式的解集为 ． 2．（23-24高一上·上海闵行·期中）不等式的解集为 . 3．（23-24高一上·上海长宁·期中）不等式的解集为 . 4．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集是 . 5．（24-25高一上·上海·课后作业）不等式的解集为 ． 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（24-25高一上·新疆·期中） 解下列不等式： (1) (2) 8．（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式 (1) (2) 题型二 由一元二次不等式的解确定参数 9．（23-24高一上·上海·期中）已知一元二次不等式的解集为，则 . 10．（23-24高一上·上海浦东新·期中）关于的不等式的解集为，则 . 11．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若关于x的不等式的解集为，则 . 12．（23-24高一上·上海虹口·期末）若一元二次不等式的解集为，则实数 ． 13．（24-25高一上·上海普陀·期中）关于的不等式的解集为，则 ． 14．（24-25高一上·上海·期中）已知不等式 的解集是，则 ①； ②若不等式的解集为，则； ③若不等式的解集为，则； ④若不等式的解集为，且，则． 其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 15．（24-25高一上·江西赣州·期中）若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．4 题型三 由一元二次不等式的解解不等式 16．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 17．（22-23高一上·上海杨浦·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 . 18．（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集是，则的解集为 . 19．（24-25高一上·上海·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为 . 20．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是 . 21．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集 ． 22．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式（，，均为实数）的解集为，则关于的不等式解集为 ． 题型四 解不含参的不等式组 23．（24-25高一上·甘肃武威·期中）不等式组的解集是 24．求下列不等式组的解集： （1）；     （2）. 25．（24-25高一上·上海·课堂例题）解关于的不等式组： 26．（24-25高一上·上海·课堂例题）解关于的不等式组： 27．解不等式组 28．解不等式组： 题型一 解含参数的一元二次不等式 29．（24-25高一上·广东广州·期中）关于的不等式：，当时，不等式的解集为 ． 30．求不等式的解集． 31．解关于的不等式：. 32．（24-25高一上·北京·期中）解关于的不等式：． 33．（15-16高二上·陕西榆林·期末）解关于的不等式：． 34．解关于x的不等式：． 35．解关于的不等式，． 36．解下列关于的不等式． 37．解关于的不等式. 38．解关于的不等式. 39．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：． 40．（23-24高一上·湖南长沙·期末）当时，解关于的不等式. 41．（23-24高一上·上海·期中）解关于的不等式：. 42．解下列关于的不等式：（）. 43．解关于的不等式: . 题型二 已知一元二次不等式有解求参数范围 44．已知，设集合不为空集，则的取值范围为 ． 45．已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是 . 46．关于的不等式的解集不为空集，则的取值范围为 . 47．（24-25高一上·安徽黄山·期末）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为 . 题型三 已知一元二次不等式无解求参数范围 48．（24-25高一上·上海·期中）若关于的不等式 的解集为空集，则实数的取值范围是 49．（24-25高一上·上海·课堂例题）若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围． 50．（24-25高一上·上海·随堂练习）当为何值时，关于x的一元二次不等式的解集为空集． 51．已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是 ． 52．（24-25高一上·上海·期中）关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ． 53．（24-25高一上·上海·期中）若，则m的取值范围为 ． 54．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为 ． 55．（23-24高一上·四川泸州·期中）若不等式的解集是． (1)求实数的值； (2)当的解集为时，求实数的取值范围． 题型四 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 56．（24-25高一上·上海·期中）已知对于任意，，则实数的取值范围为 . 57．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围 ． 58．（23-24高一上·上海·期末）对任意，都成立，则实数的取值范围为 . 59．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，则实数m的取值范围是 ． 60．（24-25高一上·上海·期中）关于x的不等式对于任意恒成立，则k的取值范围是 61．（24-25高一上·上海松江·期中）已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是 ． 62．（24-25高一上·上海·期中）若不等式 对一切实数都成立，则实数的取值范围是 ． 63．（24-25高一上·上海·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 ． 64．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 . 65．（24-25高一上·上海静安·阶段练习）若不等式的解集为，则实数a的取值范围是 . 题型五 整数解问题 66．（24-25高一上·上海·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 67．关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是 ． 68．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知不等式组只有一个整数解，则实数k的取值范围 69．设为常数，关于的不等式的解集中有且仅有两个整数解，则实数的取值范围为 . 70．（24-25高一上·上海·阶段练习）关于x的不等式组的整数解只有，求的取值范围 . 71．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 72．已知关于的不等式组恰有两个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 73．关于的不等式组的整数解的集合为，则实数的取值范围为 . 74．若关于的不等式组只有一个整数解，则实数的取值范围是 ． 题型六 一元二次不等式的实际应用 75．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则的取值范围为 . 76．（24-25高一上·广东揭阳·期中）某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ． 77．某网店销售一批新款削笔器,每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售,每天能卖出30个;若一个削笔器的售价每提高1元,日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批削笔器的销售价格? 78．（24-25高一上·上海·课后作业）已知学校超市准备制订新一年的热饮销售计划，根据去年的统计，当热饮单价为1.5元/杯时，每日可卖出800杯，且单价每提高0.1元时，日销售量就降低20杯．若该热饮成本为0.9元/杯，为使今年的日销售利润不低于720元，应如何控制热饮的单价？ 79．（23-24高一上·上海奉贤·期中）某服装公司生产的衬衫每件定价160元，在某城市年销售10万件．现该公司计划在该市招收代理来销售衬衫，以降低管理和营销成本．已知代理商要收取的代理费为总销售金额的（每100元销售额收取元），且为正整数．为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫价格提高到元，但提价后每年的销售量会减少万件．若为了确保代理商每年收取的代理费不少于65万元，则正整数的取值组成的集合为 ． 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数a的取值范围是 2．设，集合，若⫋ A ⫋，则实数的取值范围为 ． 3．关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，，，，其中，下列说法正确的是（   ） A．对任意a，是的子集；对任意b，不是的子集 B．对任意a，是的子集；存在b，使得是的子集 C．对任意a，不是的子集；对任意b，不是的子集 D．对任意a，不是的子集；存在b，使得不是的子集 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$