2.3.2 三角不等式（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

2.3.2 三角不等式 题型一 绝对值三角不等式的取等条件 1．三角不等式中，等号当且仅当 成立． 2．已知为实数，求证：，并指出等号成立的条件． 3．取等号的条件是 . 4．已知写出不等式等号成立的所有条件 5．通过三角不等式可知，则等号成立的条件为 . 题型二 绝对值三角不等式的直接应用 6．函数的最小值等于 ． 7．函数的最小值为 . 8．（24-25高一上·上海·期末）代数式的最小值是 ． 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）若的最小值为5，则a的值为 ． 题型一 绝对值三角不等式中的恒成立问题 10．（23-24高一上·上海静安·期中）对所有实数恒成立，则的取值范围是 . 11．（24-25高一上·上海·单元测试）若对恒成立，求实数的取值范围． 12．（22-23高一上·上海长宁·期末）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 13．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）已知对所有实数x恒成立，则等号成立时x的取值范围为 . 14．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若关于x的不等式对任意实数x恒成立，则实数a的最大值是 ． 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对所有实数x都成立，则等号成立时x的取值范围为 ． 16．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）当且仅当实数x的范围是 时，不等式等号成立. 17．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 18．（24-25高一上·上海金山·期末）已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为 . 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）求证：对所有实数恒成立，并求等号成立时的范围． 20．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，且恒成立，求的取值范围． 21．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是 22．（23-24高一上·上海·期中）关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 ． 23．（24-25高一上·上海长宁·期末）若对任意，都有，则实数的最大值为 24．（24-25高一上·上海徐汇·期末）若关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是 . 25．（22-23高一上·上海静安·期中）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 26．（22-23高一上·上海静安·期中）关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型二 绝对值三角不等式中的有解（成立）问题 27．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 28．（23-24高一上·上海虹口·期末）若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是 ． 29．求解下列问题. （1）运用三角不等式证明：，，并指出等号取到的充要条件； （2）已知关于x的不等式有实数解，求实数m的取值范围. 30．若关于x的不等式在R上有解，则实数a的取值范围是 ； 31．（24-25高一上·上海·阶段练习）存在使不等式成立，则实数的取值范围是 . 题型三 绝对值三角不等式中的证明 32．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求证：． 33．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求证：． 34．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）对于实数、、，求证：成立； （2）对于实数、，若，，求的最大值． 题型四 绝对值三角不等式中的解集 35．（24-25高一上·上海·随堂练习）设，求方程的解集． 36．方程的解集为 . 37．（1）已知，，为实数，求证：，并说明等号成立的条件； （2）设，求方程的解集. 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知对于实数，满足且，则的最大值为 ． 41．（24-25高一上·上海·期中）对任意给定的实数，有，且等号当且仅当实数的取值范围为 时成立. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知不等式的解集为，求实数的取值范围． 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设，若，则的取值范围为 4．（24-25高一上·上海·期中）已知，，，，则的最大值为 ． 5．对任意的实数，的最小值为 ． 6．（22-23高一上·上海浦东新·期中）若实数，满足，则的最小值为 ． 7．存在使不等式成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．不等式对一切都成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3.2 三角不等式 题型一 绝对值三角不等式的取等条件 1．三角不等式中，等号当且仅当 成立． 【答案】 【分析】当、同号或时，的等号成立. 【详解】当时，，当时，，故当且仅当时，等号成立 故答案为： 2．已知为实数，求证：，并指出等号成立的条件． 【答案】证明见解析，时取等. 【分析】不等式等价于，利用三角不等式即可得出. 【详解】证明：等价于， 由三角不等式，有， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 3．取等号的条件是 . 【答案】 【分析】根据绝对值的三角不等式分析求解. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 4．已知写出不等式等号成立的所有条件 【答案】或 【解析】根据，将证等号成立条件，转化为证等号成立条件求解. 【详解】因为， 所以要证的等号成立条件 ， 只需证的等号成立条件 ， 即的等号成立条件 ， 当时，， 当时，， 所以当且仅当，即或时，取等号， 故答案为：或 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式等号成立的条件，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题. 5．通过三角不等式可知，则等号成立的条件为 . 【答案】 【分析】根据三角不等式的定义结合一元二次不等式的解法即可得出答案. 【详解】解：由三角不等式可知， 当且仅当，即时，取等号， 所以等号成立的条件为为. 故答案为：. 题型二 绝对值三角不等式的直接应用 6．函数的最小值等于 ． 【答案】4 【解析】利用绝对值不等式求解. 【详解】因为, 当时，取等号， 所以的最小值为4 故答案为：4 7．函数的最小值为 . 【答案】4 【分析】利用绝对值三角不等式进行求解 【详解】由绝对值三角不等式得： 所以函数的最小值是4 故答案为：4 8．（24-25高一上·上海·期末）代数式的最小值是 ． 【答案】60 【分析】利用绝对值三角不等式求出最小值. 【详解】. 故答案为：60 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）若的最小值为5，则a的值为 ． 【答案】4或－6 【分析】运用绝对值的三角不等式可解. 【详解】运用绝对值的三角不等式可得，，所以． 则或. 故答案为：4或－6. 题型一 绝对值三角不等式中的恒成立问题 10．（23-24高一上·上海静安·期中）对所有实数恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用三角不等式求得的最小值，根据不等式恒成立的意义即可求得答案. 【详解】因为， 当且仅当时等号成立，即， 故不等式对所有实数恒成，则， 故答案为： 11．（24-25高一上·上海·单元测试）若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】若对恒成立，分离参数，利用绝对值不等式的性质可得，当且仅当取等号，继而可求得的取值范围． 【详解】解：∵对恒成立， ∴对恒成立． ∵，当且仅当取等号， ∴当时，．又， ∴，即的取值范围为． 12．（22-23高一上·上海长宁·期末）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由绝对值三角不等式得，进而结合题意得. 【详解】解：由绝对值三角不等式得：，当且仅当时等号成立，即时等号成立， 关于x的不等式的解集为， ，即实数a的取值范围是． 故答案为： 13．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）已知对所有实数x恒成立，则等号成立时x的取值范围为 . 【答案】 【分析】由 ，根据三角不等式等号成立的条件即可得出答案. 【详解】因为 ，由三角不等式， 有 ， 当且仅当 即 时等号成立. 故答案为： . 14．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若关于x的不等式对任意实数x恒成立，则实数a的最大值是 ． 【答案】3 【分析】根据恒成立问题结合绝对值的三角不等式分析求解. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 若关于x的不等式对任意实数x恒成立，则， 所以实数a的最大值是3. 故答案为：3. 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对所有实数x都成立，则等号成立时x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式关系即可求解. 【详解】因为，当且仅当时，即时等号成立． 故答案为： 16．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）当且仅当实数x的范围是 时，不等式等号成立. 【答案】 【分析】利用绝对值的三角不等式计算可得恒成立，可得. 【详解】由题意可知，即可知最小值为1； 所以不等式恒成立，此时. 故答案为：. 17．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据三角不等式得到，再由可求的取值范围. 【详解】因为，当且仅当时，取得等号， 即的最小值为， 所以或即或 故答案为：． 18．（24-25高一上·上海金山·期末）已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据绝对值不等式求解最值即可求解. 【详解】恒成立，等价于， 又，. 故答案为： 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）求证：对所有实数恒成立，并求等号成立时的范围． 【答案】证明见解析， 【分析】利用绝对值三角不等式进行放缩，结合不等式恒成立问题求解． 【详解】证明：因为，由三角不等式，得， 所以，当且仅当时成立， ∴时等号成立． 20．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，且恒成立，求的取值范围． 【答案】． 【分析】根据题意，利用绝对值的三角 不等式，求得，得到不等式，即可求解. 【详解】解：因为，所以， 则． 因为恒成立，则的最小值大于或等于2． 因为， 当且仅当时取等号，所以， 可得或，解得或， 故实数的取值范围为． 21．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意，由绝对值不等式可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为对一切实数x都成立，即， 又，所以，解得，所以实数a的取值范围是. 故答案为： 22．（23-24高一上·上海·期中）关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意首先由三角不等式得到的最小值为，然后将问题转换为恒成立问题来做，进一步分类讨论解绝对值不等式即可. 【详解】因为， 所以， 即， 所以，等号成立当且仅当在和1两个数之间，规定时的取等条件为， 综上所述的最小值为， 因为关于的不等式的解集是， 所以恒成立， 所以当且仅当， 当时，不可能成立，当时，，解得. 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 23．（24-25高一上·上海长宁·期末）若对任意，都有，则实数的最大值为 【答案】 【分析】利用绝对值不等式的性质求出的最小值，再根据已知条件确定实数的最大值. 【详解】根据绝对值不等式. 对于，这里，，则. 当且仅当时等号成立，所以的最小值是. 因为对任意，都有恒成立. 这就意味着要不大于的最小值. 而最小值是，所以，那么实数的最大值就是. 故答案为：3. 24．（24-25高一上·上海徐汇·期末）若关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用绝对值三角不等式求左侧最小值，结合恒成立有，即可求参数范围. 【详解】由，当且仅当时取等号， 所以. 故答案为： 25．（22-23高一上·上海静安·期中）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值不等式求出的最小值即可求解. 【详解】因为， 当且仅当即时取等号， 所以， 又因为关于的不等式恒成立，所以， 故选:A. 26．（22-23高一上·上海静安·期中）关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角不等式求的最小值，再解不等式即可. 【详解】因为恒成立， 所以有. 而， 当且仅当与异号，即时取等号. 所以，解得. 故选：D 题型二 绝对值三角不等式中的有解（成立）问题 27．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用绝对值不等式求得的最小值，从而利用能成立问题得到，解之即可得解. 【详解】因为， 当且仅当时，等号成立， 因为有解，所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 28．（23-24高一上·上海虹口·期末）若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的三角不等式结合存在性问题分析求解. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 由题意可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 29．求解下列问题. （1）运用三角不等式证明：，，并指出等号取到的充要条件； （2）已知关于x的不等式有实数解，求实数m的取值范围. 【答案】（1）证明见解析，时等号成立；（2）. 【解析】（1）利用绝对值三角不等式，结合一元二次不等式的解法求解即可； （2）关于x的不等式有实数解，即有实数解，再利用绝对值三角不等式求出的最小值即可. 【详解】（1）因为， 所以， 当时等号成立， 即时等号成立； （2）关于x的不等式有实数解， 即有实数解， 只需即可， 因为， 所以， 即实数m的取值范围是. 【点睛】方法点睛：不等式有解问题与不等式恒成立问题是常考题型，不等式有解问题：有解可以转化为；有解可以转化为. 30．若关于x的不等式在R上有解，则实数a的取值范围是 ； 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等关系可得的最小值，即可根据有解转化成最值问题即可求解. 【详解】由于， 当时等号成立， 所以 故要使不等式在R上有解， 只需要，即. 故答案为：. 31．（24-25高一上·上海·阶段练习）存在使不等式成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据绝对值的三角不等式和一元二次不等式计算即可. 【详解】存在,不等式成立，变形即成立， 由于，当且仅当时取等号， 因此有， 两边平方，解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 题型三 绝对值三角不等式中的证明 32．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用绝对值不等式证明； 【详解】证明： ， 又因为， 所以，，所以 所以成立． 33．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据绝对值三角不等式进行证明． 【详解】证明：∵， 又且， ∴， ∴该不等式得证． 34．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）对于实数、、，求证：成立； （2）对于实数、，若，，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】由绝对值不等式即可求解. 【详解】（1）因为， 当且仅当同号时，等式成立. （2）由题意， 因为， 又． 当且仅当同号时，等式成立. 所以的最大值为. 题型四 绝对值三角不等式中的解集 35．（24-25高一上·上海·随堂练习）设，求方程的解集． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质求解即可. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 即当或时，等号成立，所以原方程的解集为． 36．方程的解集为 . 【答案】 【分析】利用绝对值三角不等式，转化原方程，解不等式得到方程的解集. 【详解】由绝对值三角不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立， 故的解集为. 故答案为：. 37．（1）已知，，为实数，求证：，并说明等号成立的条件； （2）设，求方程的解集. 【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】（1）将证明转化为，再用分析法进行证明； （2）利用（1）中等号成立的条件确定方程的解集. 【详解】（1）令，， 则， 要证， 即证 要证成立， 只需证， 即证， 即证， 显然成立， 且当且仅当，即时取等号； 所以成立，当且仅当时取等号； 则成立，当且仅当时取等号. （2）可化为： ， 由（1）得， 且当且仅当取等号， 所以当且仅当时， 成立， 解得：或， 即的解集为：. 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知对于实数，满足且，则的最大值为 ． 【答案】8 【分析】根据绝对值不等式可轻松求解. 【详解】 故答案为：8 41．（24-25高一上·上海·期中）对任意给定的实数，有，且等号当且仅当实数的取值范围为 时成立. 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式的取等条件即可求解. 【详解】，即， 所以当，即或时等号成立. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知不等式的解集为，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】利用三角不等式得到，再解绝对值不等式即可. 【详解】由题意可知，不等式对任意的恒成立， 由三角不等式可得， 则，即，解得， 因此，实数的取值范围是． 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设，若，则的取值范围为 【答案】 【分析】先利用三角不等式得到所以时，满足，，然后利用不等式的基本性质求解. 【详解】解：因为， ， 当且仅当，，即，时，等号成立， 所以，又， 所以时，满足，， 则，，， 所以， 故的取值范围为， 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·期中）已知，，，，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】利用绝对值三角不等式求解. 【详解】解：因为，，，， 所以， ， 故答案为： 5．对任意的实数，的最小值为 ． 【答案】4 【分析】利用基本不等式与绝对值三角不等式求解即可，另外要特别注意等号成立的条件. 【详解】因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当，且，即或且时等号成立， 当时，，当且仅当，即时等号成立， 当时，，当且仅当，即时等号成立， 所以，则， 当且仅当，且，即或且时等号成立， 所以， 当且仅当或且时等号成立， 即的最小值为4. 故答案为：4. 6．（22-23高一上·上海浦东新·期中）若实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由三角不等式结合已知条件可推得，求解即可 【详解】由，得， 由三角不等式得，， ， 即， 所以， 所以， 所以，即， 当且仅当时，取到最小值为 故答案为： 7．存在使不等式成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值的三角不等式和一元二次不等式计算即可. 【详解】存在,不等式成立，变形即成立， 由于， 因此有， 两边平方， 解得或. 故选：A. 8．不等式对一切都成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意结合绝对值三角不等式得到关于a的不等式，求解不等式即可确定实数的取值范围. 【详解】题中所给的不等式即：， 则：， 据此得绝对值不等式：， 故，整理可得：. 即实数的取值范围是. 故选C. 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，绝对值不等式的解法，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$