2.2.3 分式不等式的求解（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

2.2.3 分式不等式的求解 题型一 解不等式右侧为0的分式不等式 1．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 2．（24-25高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为 . 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）不等式的解集为 . 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)． 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）不等式的解集为 . 6．（24-25高一·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 题型二 解不等式右侧非0的分式不等式 7．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 9．（24-25高一上·上海·单元测试）分式不等式的解集为 ． 10．（24-25高一上·上海闵行·期中）不等式的解集为 . 11．（24-25高三上·山东聊城·期中）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 12．（24-25高一上·上海·期中）设，则不等式的解集为 . 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）关于的不等式的解集为 ． 14．（24-25高一上·上海·期末）不等式的解集为 ． 15．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 16．（23-24高一上·上海崇明·阶段练习）不等式的解集为 . 题型三 解含有分式不等式的不等式组 17．解不等式组：. 18．（23-24高一上·上海黄浦·期中）解关于的不等式组：. 19．（24-25高一上·上海青浦·阶段练习）解关于的不等式组 20．解不等式组：. 21．（23-24高一上·上海浦东新·期中）解不等式组 题型一 解“高次”分式不等式 22．（24-25高一上·上海·假期作业）解不等式：. 23．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 24．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）不等式的解集为 25．（24-25高一上·上海·课堂例题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高一上·上海·期中）下列不等式中，与不等式解集相同的是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）解不等式； （2）； （3）. 28．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 题型二 已知不等式解集求参数解分式不等式 29．（24-25高一上·上海·期中）设关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 30．（24-25高一上·广东佛山·期中）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 31．（22-23高一上·上海静安·期中）关于的不等式的解集是，则的解集是 32．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集． 33．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集为 ． 题型三 已知不等式解集中某个元素求参数范围 34．（24-25高一上·上海·随堂练习）关于的不等式的解集是，若，则实数的取值范围是 ． 35．（24-25高一上·上海·期中）设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是 . 36．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为．若，，则的取值范围是 ． 37．设为实数，关于的不等式组的解集为，若，则的取值范围是 ． 38．已知关于x的不等式的解集为S. (1)当时，求集合S； (2)若且，求实数m的取值范围. 39．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知关于x不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是 . 题型四 解含参的分式不等式 40．（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式：. 41．（24-25高一上·上海·随堂练习）解关于的不等式． 42．（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式：. 43．已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为或，求的值； (2)求关于的不等式的解集． 44．（24-25高一上·上海·期中）已知不等式的解集为或或． (1)求实数a，b的值； (2)解不等式． 题型五 整数解问题 45．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为 ． 46．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则a的取值范围为 ． 47．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知关于的不等式组的整数解恰好有两个，则实数的取值范围是 ． 48．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知关于的不等式组的整数解恰好有四个，则实数的取值范围是 . 1．已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是 . 2．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 ． 3．已知、、、为常数，若不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 4．解下列不等式： (1)； (2) 5．（24-25高一上·吉林长春·期中）设不等式的解集为，关于的不等式的解集为． (1)求集合； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.3 分式不等式的求解 题型一 解不等式右侧为0的分式不等式 1．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法计算即可求解. 【详解】由，得， 解得或， 原不等式的解集为. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】不等式等价于，解得或， 故原不等式的解集为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，运用一元二次不等式解法计算即可. 【详解】不等式的解集，等价于, 即，即,解得. 故答案为：. 【点睛】 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】先把分式不等式转化为一元二次不等式或一元二次不等式组，再解出不等式解集即可； 【详解】（1）原不等式可化为，所以原不等式的解集为． （2）∵，∴，解得， 所以原不等式的解集为． 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】或 【分析】根据分式不等式的解法来求得正确答案. 【详解】依题意，， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或 6．（24-25高一·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)或. 【分析】（1）（2）把分式不等式转化成一元二次不等式求解即得. （3）变形给定的不等式，再转化成一元二次不等式组求解. 【详解】（1）不等式，解得或， 所以原不等式的解集为或. （2）不等式，解得， 所以原不等式的解集为. （3）不等式化为：，即， 则或，解得或， 所以原不等式的解集为或. 题型二 解不等式右侧非0的分式不等式 7．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分式不等式求解，移项通分变形，可由符号法则转化为整式不等式求解. 【详解】不等式可化为， 即，则有①，或②， 由①得， 由②得，解得， 故原不等式的解集为. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，求解得出解集. 【详解】不等式可变为，即，解得或. 即不等式的解集为. 故答案为： 9．（24-25高一上·上海·单元测试）分式不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分式不等式转化为整式不等式求解. 【详解】由，得， 即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 10．（24-25高一上·上海闵行·期中）不等式的解集为 . 【答案】或 【分析】根据分式不等式的求解步骤求解即可. 【详解】，所以，所以或， 所以的解集为或. 故答案为：或 11．（24-25高三上·山东聊城·期中）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】首先求出时的范围，再根据充分条件，必要条件的定义即可求解. 【详解】由，解得或， 又“或”“”， “” “或”， 则“”是“”的必要不充分条件， 故选：C. 12．（24-25高一上·上海·期中）设，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】由可得， 即， 解得或， 所以不等式的解集为， 故答案为： 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】对不等式整理可得，运算求解即可. 【详解】由可得，等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将1移到不等号左边，通分化简即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，即， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 15．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分式不等式转化为一元二次不等式计算即可. 【详解】. 故不等式的解集为. 故答案为：. 16．（23-24高一上·上海崇明·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将原不等式化为，再将分式不等式等价变形可得不等式解集为. 【详解】将不等式变为，即，可得； 等价于，解得，即； 所以不等式解集为. 故答案为： 题型三 解含有分式不等式的不等式组 17．解不等式组：. 【答案】 【分析】先求一元二次不等式的解集，再求分式不等式的解集，最后求交集 【详解】由得：，故解得：或 由得：，即，故，解得： 综上，与取交集，答案为 18．（23-24高一上·上海黄浦·期中）解关于的不等式组：. 【答案】 【分析】分别求解原不等式组中的分式不等式和一元二次不等式，即可得解. 【详解】由，等价于且，解得； 由，即，解得； 所以原不等式组的解集为. 19．（24-25高一上·上海青浦·阶段练习）解关于的不等式组 【答案】 【分析】分别解出各不等式，即可求出不等式组的解集. 【详解】由，即，即，解得； 由，等价于，解得或， 所以不等式组的解集为. 20．解不等式组：. 【答案】 【分析】直接解不等式组即可解得. 【详解】对于不等式 由①式可得：或③ 由②式可得：④ 由③、④可得：不等式组的解集为. 所以原不等式的解集为. 21．（23-24高一上·上海浦东新·期中）解不等式组 【答案】. 【分析】分别解一元二次不等式和分式不等式后，再求交集可得. 【详解】， ， 所以原不等式组的解集为. 题型一 解“高次”分式不等式 22．（24-25高一上·上海·假期作业）解不等式：. 【答案】 【分析】移项通分转化为解一元二次不等式可得答案. 【详解】由得， 即，可得， 令解得或， 所以原不等式的解集为. 23．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由于恒成立，所以将解分式不等式问题转化为解一元二次不等式，则答案可得. 【详解】因为，所以恒成立， 所以， 所以，， 所以． 故答案为：. 24．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）不等式的解集为 【答案】 【分析】不等式等价于，即可求解. 【详解】原不等式等价于，也即， 解得：， 所以解集为：. 故答案为： 25．（24-25高一上·上海·课堂例题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把分式不等式转化为一元二次不等式组，求出不等式组的解集即为原不等式的解集. 【详解】原不等式等价于不等式且，即 解得原不等式的解集为或． 故选：D. 26．（24-25高一上·上海·期中）下列不等式中，与不等式解集相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易得，再结合不等式的性质即可得出答案. 【详解】因为， 所以不等式等价于不等式. 故选：D. 27．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）解不等式； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2） ；（3） 【分析】（1）将分式不等式转化为整式高次不等式后计算即可得； （2）将分式不等式转化为整式高次不等式后计算即可得； （3）将分式不等式转化为整式高次不等式后，结合分母不为零计算即可得； 【详解】（1），即， 令，有或或， 则该不等式的解集为； （2） ，即， 令，有或或， 又恒成立， 故该不等式的解集为； （3） ，即， 由，故， 对： 令，有或或， 又恒成立，故有， 故该不等式的解集为. 28．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用不等式的等价变形可得，再利用数轴标根法可求得不等式的解集. 【详解】由， 可得， 所以 方程的根为， 由数轴标根法可得. 故答案为：. 题型二 已知不等式解集求参数解分式不等式 29．（24-25高一上·上海·期中）设关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分式不等式转化为整式不等式后由二次不等式求得解集. 【详解】由题意可得， 解，整理得， ∵，∴解集为. 故答案为：. 30．（24-25高一上·广东佛山·期中）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的解的关系，可解得的值，进而可解分式不等式. 【详解】由题意可知，且1和2是方程的两根， 所以解得所以，即为， 可化为，即，解得. 所以所求不等式的解集是. 故答案为：. 31．（22-23高一上·上海静安·期中）关于的不等式的解集是，则的解集是 【答案】 【分析】根据不等式的解集求得参数，再求目标分式不等式即可. 【详解】等价于，因其解集为， 故可得，且，，故可得， 则，即，等价于， 解得. 故答案为：. 32．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集． 【答案】． 【分析】由的解集得出，且，再将分式不等式转化为一元二次不等式，从而得出解集. 【详解】解：由题意关于的不等式的解集是，可得，且， 所以所求不等式可化为，可变为，解得或． 所以原不等式的解集为． 33．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法，得到，，进而将问题转化成求解不等式，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 则方程的两解为，且， 则，得到，，所以， 又，等价于，解得， 所以不等式的解集为， 故答案为：. 题型三 已知不等式解集中某个元素求参数范围 34．（24-25高一上·上海·随堂练习）关于的不等式的解集是，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由，得出，再将其转化为一元二次不等式，求解即可得出实数的取值范围. 【详解】∵，∴，即， ∴，所以或， 即实数的取值范围是． 故答案为： 35．（24-25高一上·上海·期中）设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先假设，即时，不等式成立，得到：，然后解不等式得到的取值范围，最后对的取值范围取补集即为最终结果. 【详解】假设，即当时不等式成立， 代入可得：，解得：或. 由于已知，故的取值范围为. 故答案为： 36．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为．若，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由，，可得或，解不等式组与方程即可. 【详解】由已知，则，即，解得或； 又，则或，即或，解得； 综上所述或， 故答案为：. 37．设为实数，关于的不等式组的解集为，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据，判断或 或即可得解. 【详解】由题意的解集不包含，或的解集不包含2， 所以或 或， 解得，或或， 故答案为：. 38．已知关于x的不等式的解集为S. (1)当时，求集合S； (2)若且，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入后，将分式不等式转化为一元二次不等式求解； （2）根据元素与集合的关系，转化为不等关系，列式求m的取值范围. 【详解】（1）当时，， 解得：， 所以不等式的集合为； （2）若且， 则或，解得：或， 所以的取值范围是. 39．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知关于x不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据得到时不等式不成立，即或，然后解不等式和方程即可. 【详解】因为，所以或，即或，解得或. 故答案为：或. 题型四 解含参的分式不等式 40．（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【分析】由题意，原不等式可变形为，分类讨论的取值情况，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】， 当时，，解得，此时原不等式的解集为； 当时，令，得， 当即时，，此时原不等式的解集为； 当且即时，此时原不等式的解集为； 当且即时，此时原不等式的解集为； 当且即时，此时原不等式的解集为. 综上，时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 41．（24-25高一上·上海·随堂练习）解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，讨论根的大小得出解集. 【详解】解：不等式可化为，即． 即. ①当，即时，不等式的解集为； ②当，即时，不等式的解集为， ③当，即时，不等式的解集为． 42．（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【分析】先将原不等式化为右边为零的形式，再转化成整式不等式，对进行分类讨论，根据一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集. 【详解】由，得到，等价于且， 当时，解得或，当时，解得， 当，即时，，当，即时，， 当，即时，， 综上所述，当时，原不等式解集为或， 当时，原不等式解集为， 当时，原不等式解集为， 当时，原不等式解集为， 当时，原不等式解集为. 43．已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为或，求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）不等式变形为，故为的两个根，从而得到方程，求出； （2）不等式等价于，分，，，和五种情况，求出不等式的解集. 【详解】（1）， 不等式等价于， 不等式的解集为或，故为的两个根， 显然为的根，故，解得； （2）由（1）知，不等式等价于， 若，则，解得， 若，解得， 若，的两根为， 若，即时，解得或， 若，即时，， 解得， 若，即时，解得或； 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. 44．（24-25高一上·上海·期中）已知不等式的解集为或或． (1)求实数a，b的值； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）得到为方程的两根，由韦达定理得到方程，求出； （2）分式不等式转化为，求出不等式解集. 【详解】（1）由题意得为方程的两根，且， 故，解得； （2）由（1）得， ， 等价于，解得， 不等式解集为 题型五 整数解问题 45．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别求解两个不等式，对于不等式，按照的取值进行分类比较两根的大小，求得不等式的解集，再根据题意，借助于数轴表示即可求出的取值范围. 【详解】由可得，解得或， 由可得（*）. ① 若，即时，由（*）可得，显然解集为，不合题意； ② 若，即时，由（*）可得， 因原不等式组仅有一个整数解，故，解得； ③ 若， 即时，由（*）可得， 因原不等式组仅有一个整数解，则，解得. 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 46．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】解不等式，再分类讨论不等式的解集，结合集合关系求得参数的取值范围. 【详解】解不等式，得，得或； 解方程，得 ①当时，原不等式无解，此时不满足题意； ②当，即时，不等式的解满足:， 此时不等式组的解集为, 若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即; ③当,即时，不等式的解为:， 因为比大，且与最接近的整数是， 所以若不等式组仅有一个整数解， 则，即， 综上所述，可知的取值范围为， 故答案为：. 47．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知关于的不等式组的整数解恰好有两个，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分、、、四种情况求解不等式组的解集，再根据题意列不等式组求解即可. 【详解】由可得， 当时，，原不等式组无解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有两个整数解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有两个整数解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为， 因为原不等式组的解集中恰好有两个整数解， 所以这两个整数解为，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 48．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知关于的不等式组的整数解恰好有四个，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分为，，，四种情况求解不等式组的解集，再根据题意列不等式组求解即可. 【详解】由可得， 当时，，原不等式组无解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有四个整数解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有四个整数解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为， 因为原不等式组的解集中恰好有四个整数解， 所以这两个整数解为，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 1．已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】不等式等价于的解集是，分和两种情况讨论求实数的取值范围. 【详解】恒成立， 不等式等价于的解集是， 当时，不成立，解集是， 当时， ，解得：， 综上：. 故答案为： 2．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】由函数定义域解不等式即可得，对在不同区间内的取值进行分类讨论即可求得不等式的解集. 【详解】根据题意可知，解得； 当时，易知，满足题意； 当时，，所以，符合题意； 当时，当时，，原不等式成立； 当时，，若要满足题意只需，解得，所以可得； 综上可知，原不等式的解集为. 故答案为： 3．已知、、、为常数，若不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，则对变形得，此时不等式的形式与的形式相同，则由原不等式的解集可得或，从而可求得结果. 【详解】若，原不等式化为，显然不成立， ∴，由得， 即． ∵不等式的解集为， ∴或，解得或， 故原不等式的解集为． 4．解下列不等式： (1)； (2) 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分析分母恒大于0，再解一元二次不等式即可； （2）因式分解得，再对分类讨论即可. 【详解】（1），即， 而恒成立， 则，解得，即解集为. （2）当时，不等式，解得； 当时，当，有或， 当时，由，不等式解得； 当时，由，不等式解得； 当时，由，不等式解得或； 当时，不等式为，不等式无解. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 5．（24-25高一上·吉林长春·期中）设不等式的解集为，关于的不等式的解集为． (1)求集合； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分式不等式的解法求解即可； （2）由题意可得是的真子集，再结合含参数的一元二次不等式的解法分类讨论即可； 【详解】（1）由题意可得， 解得，所以集合. （2）由可得， 当时，解得； 当时，无解； 当时，解得， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以当时，，解得； 当，不符合题意； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$