专题06 分式不等式和绝对值不等式的解法-【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题06 分式不等式和绝对值不等式的解法 考点剖析 2 （一）分式不等式的解法 2 （二）绝对值不等式的解法 3 过关检测 3 A组 双基过关 3 B组 巩固提高 4 C组 综合训练 5 D组 拓展延伸 6 （一）知识回顾 1. 集合的区间表示法； 2. 一元二次不等式的解法； 3. 一元二次不等式、一元二次方程及二次函数的关系. （二）引入 解不等式 法1：一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系. 法2：转化为一元一次不等式组求解. 二、知识梳理 （一）分式不等式的解法 形如或（其中为整式且）的不等式称为分式不等式（fractional inequality）. 通常，我们把分式不等式转化为求解，注意接下来第一步把最高次项的系数化为正数. （I） （II） 对于不是标准形式的，要先化到形如或再按照上面的方法求解. （二）绝对值不等式的解法 表示实数在数轴上所对应的点到原点的距离. 因此，求不等式的解集就是求在数轴上到原点的距离小于的点所对应的实数的集合. 的解集 的解集 考点剖析 （一）分式不等式的解法 例1. 解不等式：. 例2. 解不等式： . 例3. 解不等式：. 【注】当分母恒大于零或恒小于零时，可以直接应用不等式的基本性质3去分母，转化为整式不等式求解. 例4. 解关于的不等式. 例5. （1）解不等式； （2）； （3）. （二）绝对值不等式的解法 例6. 求下列不等式的解集. （1） （2） （3） （4） 例7. （1）解不等式 （2）解不等式. 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高一上·上海浦东新·期末）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 3．（23-24高三上·上海·期中）关于x的不等式的解是 ． 4．（21-22高一上·上海宝山·阶段练习）不等式的解集是 . 5．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）关于x的不等式的解集是 . 6．（23-24高一上·上海·期末）函数（）的最小值是 . 7．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 8．（23-24高一上·上海金山·期中）已知a为正数，比较大小： 4. 9．（23-24高一上·上海黄浦·期中）不等式的解集是 ． 10．（23-24高一上·上海松江·期末）解下列不等式： (1): (2). B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 11．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知.且，则下列结论正确的是（    ） ①； ②的最小值为； ③的最小值为； ④的最小值为. A．①②④ B．①②③ C．①② D．②③④ 12．（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·上海·期中）已知，则“成立”是“成立”的 条件. 14．（23-24高一上·上海浦东新·期末）方程的解集为 ． 15．（23-24高一上·上海青浦·期末）设实数，当代数式取最小值时，的值为 . 16．（23-24高一上·上海·期末）若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 17．（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集为 . 18．（23-24高一上·上海奉贤·期末）不等式的解集用区间表示为 . 19．（23-24高一上·上海虹口·期末）已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 ． 20．（23-24高一上·上海·阶段练习）求下列不等式（组）的解集： (1)； (2). C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 21．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 ． 22．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知关于的不等式组的整数解恰好有两个，则实数的取值范围是 ． 23．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）对任意实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 24．（23-24高一上·上海闵行·期末）设集合. (1)若，试用区间表示集合，并求； (2)若，求不等式的解集. 25．（23-24高一上·上海奉贤·期中）（1）已知集合，，且，求实数的取值范围； （2）已知集合，，若且，求的值； （3）已知，当变化时，求不等式的解集． 26．（23-24高一上·上海·期中）已知代数式和． (1)若，求不等式的解集； (2)若，证明中至少有一个数不小于； (3)若，不等式对任意实数恒成立，试确定实数满足的条件. 27．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设x、y、z为互不相同的实数，对于﹐ (1)令，用a、b表示 (2)求的最小值． 28．（23-24高一上·上海普陀·期中）（1）若，求的最小值； （2）解不等式：； （3）已知对一切实数x都成立，求实数k的取值范围. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】29．（23-24高一上·上海浦东新·期中）根据三角不等式我们可以证明：，当且仅当，，时等号成立．若等式对任意x，y，都成立，则符合要求的有序数组数量为（    ） A．有且仅有6组 B．有且仅有12组 C．大于12组，但为有限多组 D．无穷多组 30．（23-24高一上·上海·期中）已知不等式恒成立，则实数不可能是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 31．（23-24高一上·上海闵行·期中）对于两个实数，，规定， (1)证明：关于的不等式解集为； (2)若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； (3)设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解集都包含于，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 分式不等式和绝对值不等式的解法 考点剖析 2 （一）分式不等式的解法 2 （二）绝对值不等式的解法 3 过关检测 4 A组 双基过关 4 B组 巩固提高 7 C组 综合训练 10 D组 拓展延伸 17 （一）知识回顾 1. 集合的区间表示法； 2. 一元二次不等式的解法； 3. 一元二次不等式、一元二次方程及二次函数的关系. （二）引入 解不等式 【答案】 法1：一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系. 法2：转化为一元一次不等式组求解. 二、知识梳理 （一）分式不等式的解法 形如或（其中为整式且）的不等式称为分式不等式（fractional inequality）. 通常，我们把分式不等式转化为整式不等式求解，注意接下来第一步把最高次项的系数化为正数. （I） （II） 对于不是标准形式的，要先移项通分化到形如或再按照上面的方法求解. （二）绝对值不等式的解法 表示实数在数轴上所对应的点到原点的距离. 因此，求不等式的解集就是求在数轴上到原点的距离小于的点所对应的实数的集合. 的解集 的解集 考点剖析 （一）分式不等式的解法 例1. 解不等式：. 【答案】 例2. 解不等式： . 【答案】 例3. 解不等式：. 【答案】 【注】当分母恒大于零或恒小于零时，可以直接应用不等式的基本性质3去分母，转化为整式不等式求解. 例4. 解关于的不等式. 【答案】①当，即或时，不等式的解集为； ②当，即或时，不等式的解集为； ③当，即时，不等式的解集为. 例5. （1）解不等式； （2）； （3）. 【答案】（1）； （2） ； （3） 【注】穿针引线：从右向左，自上而下，奇穿偶回 （二）绝对值不等式的解法 例6. 求下列不等式的解集. （1） （2） 【答案】 【答案】 （3） （4） 【答案】 【答案】 【提示】 【提示】 【注】含有绝对值的不等式有不同解法，常见的有两种：一种是根据绝对值的意义作分类讨论；二是当不等式的两边都为非负时，两边平方，将绝对值不等式转化为不含绝对值符号的不等式（组）后再求解. 例7. （1）解不等式 （2）解不等式. 【答案】 【答案】 【提示】法一：或 【提示】零点分段法 法二： 【注】双绝对值：①零点分段法，②数形结合法（“平底锅”+“Z字型”） 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高一上·上海浦东新·期末）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由不等式性质及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】由，则有或， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 2．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将原不等式转化为，再求解集即可. 【详解】等价于，解得， 故答案为：. 3．（23-24高三上·上海·期中）关于x的不等式的解是 ． 【答案】 【分析】解分式不等式可得答案. 【详解】由可得，即， 解得， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 4．（21-22高一上·上海宝山·阶段练习）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】分式不等式等价为整数不等式，即可求解. 【详解】. 故答案为： 5．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）关于x的不等式的解集是 . 【答案】 【分析】把给定不等式化成一元二次不等式求解即可. 【详解】不等式化为：，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 6．（23-24高一上·上海·期末）函数（）的最小值是 . 【答案】 【分析】借助基本不等式即可得. 【详解】由，故， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 7．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据基本不等式即可求解最值. 【详解】由得， 又，，所以，当且仅当即时等号成立， 故答案为：2 8．（23-24高一上·上海金山·期中）已知a为正数，比较大小： 4. 【答案】 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 9．（23-24高一上·上海黄浦·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】变换得到，解得答案. 【详解】，则，解得或. 故答案为：. 10．（23-24高一上·上海松江·期末）解下列不等式： (1): (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简后解不等式组即可得到答案； （2）根据绝对值分类讨论即可得到答案. 【详解】（1）由，得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为 （2）当，即时，，得， 此时，， 当，即时，，得， 此时，， 综上所述，，即不等式的解集为 B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 11．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知.且，则下列结论正确的是（    ） ①； ②的最小值为； ③的最小值为； ④的最小值为. A．①②④ B．①②③ C．①② D．②③④ 【答案】A 【分析】由可得，判断①，利用基本不等式中消元、配凑、“”的代换的方法即可判断②③④. 【详解】由可得， 所以，①正确； ， 当且仅当即时，等号成立，②正确； ， 当且仅当即时，等号成立，③错误； 由可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，④正确. 故选：A 12．（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由基本不等式验证即可，注意取等条件. 【详解】由题意，所以直接由基本不等式可得， 等号成立当且仅当，即，此时满足题意. 故选：A. 13．（23-24高一上·上海·期中）已知，则“成立”是“成立”的 条件. 【答案】充要 【分析】先证充分性，由求出的取值范围，再根据的取值范围化简即可，再证必要性,根据绝对值的性质可知． 【详解】充分性：若，则， ， 必要性：若，又， ， 由绝对值的性质：若，则， ， 所以“成立”是“成立”的充要条件. 故答案为：充要 14．（23-24高一上·上海浦东新·期末）方程的解集为 ． 【答案】或 【分析】根据绝对值三角不等式等号成立的条件即可求解. 【详解】由于，等号成立的条件为，所以或 故解集为或， 故答案为：或 15．（23-24高一上·上海青浦·期末）设实数，当代数式取最小值时，的值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立. 故答案为： 16．（23-24高一上·上海·期末）若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】分和两种情况，结合二次不等式的恒成立问题分析求解. 【详解】因为关于的不等式对一切实数都成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 17．（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质，结合分式不等式的解法进行求解即可. 【详解】 ， 因为， 所以由且， 所以原不等式的解集为， 故答案为： 18．（23-24高一上·上海奉贤·期末）不等式的解集用区间表示为 . 【答案】 【分析】根据条件，利用分数不等式的解法即可求出结果. 【详解】由，得到，等价于且， 所以，即， 故答案为：. 19．（23-24高一上·上海虹口·期末）已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式不等式可得，由题意分析可知是的子集，根据子集关系列式求解即可. 【详解】由可得，则，解得， 即， 若是的充分条件，则是的子集， 可得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 20．（23-24高一上·上海·阶段练习）求下列不等式（组）的解集： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分类讨论解含绝对值的不等式； （2）分别解二次不等式和分式不等式，取交集得不等式组的解集. 【详解】（1）不等式，等价于或，解得或，则所求解集为； （2）不等式，即，解得， 所以. 故所求解集为. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 21．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】由函数定义域解不等式即可得，对在不同区间内的取值进行分类讨论即可求得不等式的解集. 【详解】根据题意可知，解得； 当时，易知，满足题意； 当时，，所以，符合题意； 当时，当时，，原不等式成立； 当时，，若要满足题意只需，解得，所以可得； 综上可知，原不等式的解集为. 故答案为： 22．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知关于的不等式组的整数解恰好有两个，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分、、、四种情况求解不等式组的解集，再根据题意列不等式组求解即可. 【详解】由可得， 当时，，原不等式组无解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有两个整数解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有两个整数解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为， 因为原不等式组的解集中恰好有两个整数解， 所以这两个整数解为，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 23．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）对任意实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先若满足不等式恒成立，即，利用绝对值三角不等式求最小值，最后解不等式求的取值范围. 【详解】， 若满足不等式对于任意实数x恒成立， 即 ，即或 ， 解得：. 故答案为：. 24．（23-24高一上·上海闵行·期末）设集合. (1)若，试用区间表示集合，并求； (2)若，求不等式的解集. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）解绝对值不等式、一元二次不等式并结合区间的概念、并集的概念即可得解. （2）由一元二次不等式的解集与一元二次方程的跟的关系可先得，再解分式不等式即可得解. 【详解】（1）由，得， 因为，所以，故， 所以. （2）由题意得有两个根为1和5， 所以， 则的解集为. 25．（23-24高一上·上海奉贤·期中）（1）已知集合，，且，求实数的取值范围； （2）已知集合，，若且，求的值； （3）已知，当变化时，求不等式的解集． 【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析. 【分析】（1）先化简集合、，由包含关系，列出不等式组求解即可； （2）先化简集合，利用，且，可求得集合，再利用韦达定理即可求得答案； （3）先讨论当时，易得不等式解集；再讨论时，先把不等式看成方程，可求得两个解，利用作差法求得两个解的差的表达式，再讨论的取值范围，即可分别求得不等式的解集. 【详解】（1）依题意， ， ∵， ∴，解得； （2）依题意有， ∵，且， ∴， ∴方程的解为：，， 则有，得，，得， ∴． （3）当时，不等式，可化为， 解得：； 当时，解方程，得或， 且． ①当时，，则， 此时，解原不等式可得：，即解集为：； ②当或时，，即， 此时，解原不等式可得：或，即解集为：； ③当时，，原不等式即为，解得，即解集为：． 综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当或时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为． 26．（23-24高一上·上海·期中）已知代数式和． (1)若，求不等式的解集； (2)若，证明中至少有一个数不小于； (3)若，不等式对任意实数恒成立，试确定实数满足的条件. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用三段法求解绝对值不等式； （2）反证法进行证明； （3）分；；；四种情况，进行讨论，求出答案. 【详解】（1）， 当时，，解得，故， 当时，，解得，故， 当时，，解得，故， 综上，不等式的解集为； （2）假设均小于， 则，解得，解①得， 解②得， 故方程组无解，所以假设不成立， 中至少有一个数不小于； （3）若，不等式对任意实数恒成立， ①当时,, ，要使不等式在R上恒成立，则， 解得，满足，此时由可得，与必有交集，满足要求； ②当时,, ,要使不等式在R上恒成立，则，与矛盾； ③当时,, ,要使不等式在R上恒成立，则，解得； 将代入中,得,要使与有交集,则, 与矛盾； ④当时,, ，要使不等式在R上恒成立，则与矛盾； 综上,要使不等式在R上恒成立,实数满足的条件为. 27．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设x、y、z为互不相同的实数，对于﹐ (1)令，用a、b表示 (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，消去y即可得结果； （2）令，由（1）整理可得，结合常用不等式分析求解. 【详解】（1）因为，可得， 整理得. （2）令，由（1）可得：，即， 因为，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当，等号成立， 即，则， 可得，即， 所以的最小值为. 28．（23-24高一上·上海普陀·期中）（1）若，求的最小值； （2）解不等式：； （3）已知对一切实数x都成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）由基本不等式求解最小值； （2）分类讨论去绝对值，运算求解，最后再求并集. （3）先考虑时的情况，再考虑时的情况，当时根据一元二次不等式恒成立问题的解法即可求解. 【详解】（1），则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）当时，不等式化简为，解得，所以； 当时，不等式化简为，解得，所以； 当时，不等式化简为，解得. 综上所述：不等式的解集为. （3）当即时，不等式可化为，此时不等式恒成立， 当即时，若对一切实数x都成立， 则，解得， 综上所述，若对一切实数x都成立，则. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 29．（23-24高一上·上海浦东新·期中）根据三角不等式我们可以证明：，当且仅当，，时等号成立．若等式对任意x，y，都成立，则符合要求的有序数组数量为（    ） A．有且仅有6组 B．有且仅有12组 C．大于12组，但为有限多组 D．无穷多组 【答案】A 【分析】利用赋值法结合三角不等式等号成立的条件进行分析即可. 【详解】若等式对任意x，y，都成立， 则当或者时，等式均成立， 故， ， ，当且仅当，，时等号成立． 故，，. ，， ，等号成立， ， ，当且仅当时，等号成立 故，，， 结合，，得：，，. 且 所以或 此时对任意x，y，都成立. 故符合要求的有序数组有且仅有6组. 故选：A 30．（23-24高一上·上海·期中）已知不等式恒成立，则实数不可能是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】分类讨论出绝对值不等式的最值即可求解. 【详解】原式 时，原式恒成立 由于 当且仅当时，取得最小值8，即，则 时，原式恒成立 绝对值内用代替有 当且仅当时，取得最大值8，即，则 故 故选：D. 31．（23-24高一上·上海闵行·期中）对于两个实数，，规定， (1)证明：关于的不等式解集为； (2)若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； (3)设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解集都包含于，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或或 【分析】（1）分类讨论解绝对值不等式即可证明； （2）解集非空转化为最大值大于1解不等式即可； （3）先解一元二次不等式和绝对值不等式确定，再分和两种情况讨论求解可得的值. 【详解】（1）不等式化为， 当时，，解得，又，所以； 当时，，符合题意，则； 当时，，解得，又，所以； 综上所述：，即关于的不等式解集为. （2）不等式即解集非空， 记，则， ，当等号成立. 故，解得或，故实数的取值范围. （3）由得，解得； 不等式即，也即， 当时，，解得，故； 当时，，解得，故. 综上所述：. 故. 不等式即，也即， 当时，，解得，满足条件； 当时，设， 因为，所以， 所以，解得或. 当，， 当，， 当，，，符合题意， 当，， 当，，， 当，，，符合题意. 综上，或或. 【点睛】关键点点睛：对于解集非空问题即有解问题，可以分离变量转化为函数的最值问题， 即有解，有解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$