3.2.2 对数的运算性质（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

3.2.2 对数的运算性质 题型一 利用对数的运算性质求值 1．（24-25高一上·上海虹口·期末）计算： . 【答案】 【分析】根据对数的运算公式计算即可. 【详解】原式. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·期末）计算 ． 【答案】 【分析】利用指数运算及对数运算计算得解. 【详解】. 故答案为： 3．（23-24高三上·山东泰安·阶段练习） 【答案】 【分析】根据指数幂的运算性质，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】原式 . 故答案为：. 4．（23-24高一上·上海·期中）已知，则的值为 ． 【答案】100 【分析】根据对数运算法则计算即可. 【详解】，故，解得. 故答案为：100 5．（23-24高一上·上海长宁·期末）若与互为相反数，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用对数性质，结合相反数性质计算． 【详解】与互为相反数，则，即，则. 故选：D. 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则 ． 【答案】2024 【分析】利用对数的运算性质计算即得. 【详解】． 故答案为：2024. 7．（23-24高一上·上海浦东新·期中）计算： (1)计算． (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合对数运算性质求解即可； （2）根据题意结合指数幂运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：. （2）因为，所以． 题型二 用已知式子表示对数值 8．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，则 （用a表示）． 【答案】 【分析】根据对数运算性质进行运算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为： 9．（24-25高一上·上海·期末）已知，，若用，表示，则 ． 【答案】/ 【分析】由指数式与对数式的互化得出，再利用对数的运算性质可得出结果. 【详解】因为，则，又因为，则. 故答案为：. 10．（24-25高一上·上海·期中）已知，用含的代数式表示 ． 【答案】 【分析】根据对数运算来求得正确答案. 【详解】. 故答案为： 11．（24-25高一上·上海金山·期末）设，，用a，b表示的结果为 . 【答案】 【分析】由对数的运算性质即可得解. 【详解】. 故答案为：. 12．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知，则 .（用表示） 【答案】/ 【分析】根据指对互化可得，再结合对数运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：. 13．（23-24高一上·上海·期末）已知，．则 ．（用及表示） 【答案】/ 【分析】利用对数的运算法则计算即可. 【详解】由可知，所以. 故答案为： 14．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知，，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数和对数的互化以及对数运算法则即可得出结果. 【详解】由，则，又， . 故选：A. 15．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则用表示为 ． 【答案】 【分析】由换底公式和对数的计算公式即可得到结果. 【详解】. 故答案为：. 16．（23-24高一上·上海宝山·期中）已知，，试用、表示的值. 【答案】 【分析】根据题意，由对数的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，即，所以，且， 则. 17．（24-25高一上·上海·期中）已知，，用表示. 【答案】 【分析】根据条件，利用对数的运算，即可求解. 【详解】因为，又，， 所以. 18．（24-25高一上·上海·期中）若，则可以用及表示: 【答案】 【分析】根据指数运算及与对数关系有，，结合目标式求表达式. 【详解】由题设，则，， 所以. 故答案为： 19．（24-25高一上·上海·期中）已知，用的代数式表示 ． 【答案】； 【分析】应用对数运算律计算化简即可. 【详解】因为，则 所以． 故答案为：. 20．（24-25高一上·上海·期中）若实数，且，则 . 【答案】1 【分析】根据换底公式及对数式与指数式的转化即可得解. 【详解】因为，所以， 由， 解得或（舍去）， 所以，即， 所以， 故答案为：1 题型一 对数运算性质与基本不等式结合 21．（24-25高一上·上海·期末）已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】20 【分析】根据对数运算和基本不等式求得正确答案. 【详解】， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：20 22．（24-25高一上·上海·期末）函数的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据对数运算有，换元得，利用二次函数求最小值. 【详解】, 令，则有， 当时，，所以的最小值为. 故答案为：. 23．（23-24高一上·上海奉贤·期中）设且，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据题意，由基本不等式结合对数的运算，即可得到结果. 【详解】因为， 且， 即，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2 24．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，若．则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式性质结合对数的运算性质分析求解. 【详解】因为，，可知， 则， 所以的取值范围是. 故答案为：. 25．（23-24高一上·上海虹口·期中）若，，，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】利用基本不等式及对数的运算性质求得，即可求目标式的最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，又， 当且仅当，即时等号成立，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8 26．（24-25高一上·上海·期中）已知实数a，b满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】，利用对数运算法则得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】，， 故，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 27．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据对数的性质计算的关系式，利用基本不等式计算即可. 【详解】由可得， 所以， 当且仅当即时取得最小值. 故答案为： 题型二 对数运算性质的应用 28．（23-24高一上·上海闵行·期末）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字､十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已知，则的估算值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】现根据对数运算结合已知数据求出，根据指对互化，即可得出答案. 【详解】， 所以，. 故选：A. 29．（24-25高一上·上海奉贤·期末）如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）之间的函数关系是，这里表示以为底的自然对数．若已知火箭的最大速度为，火箭的质量约为，则火箭需要加注的燃料质量约为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得到方程，得到. 【详解】由题意得，即， . 故选：B 30．（23-24高一上·上海闵行·期中）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等或亮度满足：，其中星等为的星亮度为，已知太阳的星等是，某天体的亮度是太阳的倍，则此天体的星等约为 ．（精确到） 【答案】 【分析】由已知，，且，可得解. 【详解】设太阳的星等为，此天体的星为， 则， 所以， 解得， 故答案为：. 31．（22-23高一上·上海奉贤·期末）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值y[单位：dB（分贝）]定义为，其中I为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．则声强级为60dB时的声强度是声强级为50dB时的声强度的（    ）倍． A．10 B．100 C．1.2 D．12 【答案】A 【分析】根据题意，得到可得，两式相减得，即可求解. 【详解】由题意知，声强级是表示声强度相对大小的指标值的定义为， 可得， 两式相减得， 即，解得， 所以声强级为dB时的声强度是声强级为dB时的声强度的倍． 故选：A. 32．（24-25高一上·上海宝山·期中）大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则 . 【答案】 【分析】利用对数的运算法则计算即可. 【详解】根据题意可得，， 两式相减得，所以， 所以，所以. 故答案为：. 33．（24-25高一上·上海奉贤·期中）数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”，试估计“梅森素数”的位数为（   ）． A．607 B．608 C．609 D．610 【答案】B 【分析】由题意求出的近似值，可将写成的形式，即可得到结果. 【详解】因为，则， 即，所以的位数为. 故选：B. 34．（24-25高一上·上海金山·期中）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的.  假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是.  一年后“进步者”是“退步者”的倍.  照此计算，大约经过（    ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A．33 B．35 C．37 D．39 【答案】B 【分析】列出方程，并根据已知数据求解即可. 【详解】设经过天后“进步者”是“退步者”的倍，则. 故，根据已知条件有， 所以（天）. 故选：B. 35．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把已知代入丰富度指数公式，然后两式消去后，由对数运算可得结论． 【详解】由已知，，所以，即，∴， 故选：D． 1．（24-25高一上·上海·期末）解方程：． 【答案】或 【分析】先根据二次方程解，再根据对数方程解得结果. 【详解】即， 所以，所以或， 所以或． 2．（22-23高一上·上海徐汇·期中）若，，，则 . 【答案】 【分析】利用对数与指数的互化可得出、，再利用对数的运算性质可求得的值. 【详解】因为，，，则，，可得， 因此，. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海普陀·期中）若，则 .（用表示） 【答案】 【分析】利用对数运算法则计算即可得. 【详解】根据题意可知，均大于0， 易知， 由对数运算法则可得，解得； 故答案为： 4．（23-24高一上·上海普陀·期中）若，是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】由对数运算法则利用韦达定理即可求得结果. 【详解】根据题意由根与系数的关系可知，， 所以， 即. 故答案为： 5．（23-24高一上·上海虹口·期中）若方程的两根为，，则的值为（    ） A． B．6 C．36 D．1 【答案】C 【分析】由根与系数关系得，再应用指数运算性质及指对数关系求目标式的值. 【详解】方程的两根为，所以， 由. 故选：C 6．（24-25高一上·上海·期中）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合对数的运算，化简可得，得到并解出方程组即可. 【详解】由题可得：， 即， 所以，解得：. 所以. 故选：B. 7．（24-25高一上·山东威海·期末）已知，且，则 ．． 【答案】 【分析】利用对数的运算性质化简原式，结合换元法求解方程，得到参数值即可. 【详解】因为，所以， 令，则，化简得， 即，解得或(舍去)， 故，解得，符合题意. 故答案为： 8．已知，则 ． 【答案】 【分析】先应用对数运算律对化简，再求解． 【详解】依题意，， ，所以． 故答案为：. 9．若实数x，y满足，且，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】由给定条件可得，再变形配凑借助均值不等式计算作答. 【详解】由得：，又实数x，y满足， 则，当且仅当，即时取“=”， 由解得：， 所以当时，取最小值8. 故答案为：8 【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件. 10．（24-25高一上·浙江宁波·期中）实数，满足，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】由条件分离出，代入转化为关于的式子，利用对数运算后由基本不等式求最值. 【详解】由可得， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于怎样建立已知条件与待求式之间的联系，通过类似消元的思想，利用对数运算与性质得出，再由均值不等式得解. 11．（24-25高一上·河南南阳·期末）已知实数a，b满足，，则 . 【答案】 【分析】根据对数指数运算整理条件，得和为方程的根，且都等于，进一步运算可解. 【详解】根据已知，，即， 也就是，同理， 所以和为方程的根， 而方程的根为和， 又因为，，所以，， 即，则， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：通过化简得，，从而和为方程的根是解题关键. 12．（23-24高一上·上海青浦·期中）在自由声场（开阔空间）条件下，点声源的声波遵循球面发散规律，在与声源距离为（单位：m）处，声音强度的衰减量 （单位:dB）. 若在位置的声源的强度为(单位: dB),与声源距离为(单位：m)的位置的声音强度为(单位: dB),则, (1)有两个距离某一声源分别为20m和50m的声音探测仪和，它们的读数相差多少分贝?（结果精确到1dB） (2)已知某单一声源、两个声音探测仪与，依次在同一条直线上，与间的距离为400m. 假设两个探测仪的读数分别为61.05dB和47.07dB，试求声源与探测仪的距离（结果精确到1m）以及声源处的声音强度（结果精确到1dB）.参考数据：， 【答案】(1)8dB (2)声源与探测仪的距离为100m, 声源处的声音强度为100dB 【分析】（1）根据所给公式即可代入求解， （2）根据，结合对数的运算即可求解距离，进而可求解声源处的声音强度. 【详解】（1）设对应的声音强度分别为，声音强度分别为， 所以， 则 （2）设声源与探测仪的距离为，声源强度为,声音强度衰减量为 则声源与探测仪的距离为，声源强度为，声音强度衰减量为, 所以， 所以，故，解得， 所以, 故声源处的声音强度为100dB. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.2 对数的运算性质 题型一 利用对数的运算性质求值 1．（24-25高一上·上海虹口·期末）计算： . 2．（24-25高一上·上海·期末）计算 ． 3．（23-24高三上·山东泰安·阶段练习） 4．（23-24高一上·上海·期中）已知，则的值为 ． 5．（23-24高一上·上海长宁·期末）若与互为相反数，则有（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则 ． 7．（23-24高一上·上海浦东新·期中）计算： (1)计算． (2)若，求． 题型二 用已知式子表示对数值 8．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，则 （用a表示）． 9．（24-25高一上·上海·期末）已知，，若用，表示，则 ． 10．（24-25高一上·上海·期中）已知，用含的代数式表示 ． 11．（24-25高一上·上海金山·期末）设，，用a，b表示的结果为 . 12．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知，则 .（用表示） 13．（23-24高一上·上海·期末）已知，．则 ．（用及表示） 14．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知，，则（   ）. A． B． C． D． 15．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则用表示为 ． 16．（23-24高一上·上海宝山·期中）已知，，试用、表示的值. 17．（24-25高一上·上海·期中）已知，，用表示. 18．（24-25高一上·上海·期中）若，则可以用及表示: 19．（24-25高一上·上海·期中）已知，用的代数式表示 ． 20．（24-25高一上·上海·期中）若实数，且，则 . 题型一 对数运算性质与基本不等式结合 21．（24-25高一上·上海·期末）已知实数、满足，则的最小值为 ． 22．（24-25高一上·上海·期末）函数的最小值为 . 23．（23-24高一上·上海奉贤·期中）设且，则的最小值为 ． 24．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，若．则的取值范围是 ． 25．（23-24高一上·上海虹口·期中）若，，，则的最小值为 ． 26．（24-25高一上·上海·期中）已知实数a，b满足，则的最小值为 . 27．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，，，则的最小值为 . 题型二 对数运算性质的应用 28．（23-24高一上·上海闵行·期末）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字､十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已知，则的估算值为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一上·上海奉贤·期末）如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）之间的函数关系是，这里表示以为底的自然对数．若已知火箭的最大速度为，火箭的质量约为，则火箭需要加注的燃料质量约为（    ）． A． B． C． D． 30．（23-24高一上·上海闵行·期中）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等或亮度满足：，其中星等为的星亮度为，已知太阳的星等是，某天体的亮度是太阳的倍，则此天体的星等约为 ．（精确到） 31．（22-23高一上·上海奉贤·期末）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值y[单位：dB（分贝）]定义为，其中I为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．则声强级为60dB时的声强度是声强级为50dB时的声强度的（    ）倍． A．10 B．100 C．1.2 D．12 32．（24-25高一上·上海宝山·期中）大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则 . 33．（24-25高一上·上海奉贤·期中）数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”，试估计“梅森素数”的位数为（   ）． A．607 B．608 C．609 D．610 34．（24-25高一上·上海金山·期中）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的.  假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是.  一年后“进步者”是“退步者”的倍.  照此计算，大约经过（    ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A．33 B．35 C．37 D．39 35．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·上海·期末）解方程：． 2．（22-23高一上·上海徐汇·期中）若，，，则 . 3．（23-24高一上·上海普陀·期中）若，则 .（用表示） 4．（23-24高一上·上海普陀·期中）若，是方程的两个根，则 ． 5．（23-24高一上·上海虹口·期中）若方程的两根为，，则的值为（    ） A． B．6 C．36 D．1 6．（24-25高一上·上海·期中）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·山东威海·期末）已知，且，则 ．． 8．已知，则 ． 9．若实数x，y满足，且，则的最小值为 . 10．（24-25高一上·浙江宁波·期中）实数，满足，则的最小值为 . 11．（24-25高一上·河南南阳·期末）已知实数a，b满足，，则 . 12．（23-24高一上·上海青浦·期中）在自由声场（开阔空间）条件下，点声源的声波遵循球面发散规律，在与声源距离为（单位：m）处，声音强度的衰减量 （单位:dB）. 若在位置的声源的强度为(单位: dB),与声源距离为(单位：m)的位置的声音强度为(单位: dB),则, (1)有两个距离某一声源分别为20m和50m的声音探测仪和，它们的读数相差多少分贝?（结果精确到1dB） (2)已知某单一声源、两个声音探测仪与，依次在同一条直线上，与间的距离为400m. 假设两个探测仪的读数分别为61.05dB和47.07dB，试求声源与探测仪的距离（结果精确到1m）以及声源处的声音强度（结果精确到1dB）.参考数据：， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$