精品解析：山东省滨州市滨城区莲华学园2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末学业质量检测八年级数学学科试题 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据按从小到大的顺序排列为1、2、3、x、4、5，若这组数据的中位数为3，则这组数据的方差是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，则关于与的关系，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在学校科技节活动中，聪聪用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线，则图1中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，边长为4的正方形中，E 是对角线上的一点，且，点 P 在 上． 于点 M， 于点 N，则的值为 （ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 如图1，在直角中，，点D是的中点，动点P从点C沿出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的图象如图2所示，则的面积为（ ） A. 16 B. 12 C. 32 D. 9 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 若式子有意义，则实数x的取值范围是__________． 10. 点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于_____． 11. 2023年春季开学伊始，流感在全国多个区域频发．某中学为有效预防流感，购买了，，，四种艾条进行消毒，它们的单价分别是元，元，元，元．四种艾条的购买比例如图所示，那么所购买艾条的平均单价是___． 12. 已知x，y两个实数在数轴上位置如图所示，则化简的结果是__________． 13. 直线 沿y轴向下平移5个单位，则平移后直线与x轴的交点坐标为_____． 14. 荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动、有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地面EF的垂直高度，将它往前推送1.8m（水平距离）时，秋千的踏板离地面的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索的长度是__________． 15. 如图，直线y=kx+b过A（-1，2）、B（-2，0）两点，则0≤kx+b≤-2x的解集为______． 16. 如图，正方形中，E、F分别为的中点，交于点，连接．则下列结论中：①；②；③；④，所有正确的结论是（只需填写序号）__________． 三、解答题（共8题，72分） 17. 计算． （1）； （2）． 18. 已知：，，求： （1）； （2）的值． 19. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 20. 为积极落实“双减”政策，让作业布置更加精准高效，某校对八年级部分学生每天完成作业所用的时间进行调查，并用得到的数据绘制了如下不完整的统计图，如图，根据图中信息完成下列问题： （1）本次共调查了 名学生，并补全上面条形统计图； （2）在扇形统计图中，每天完成作业所用时间为小时的部分所对的圆心角度数是 ； （3）本次抽查学生每天完成作业所用时间的中位数为 ；众数为 ； （4）该校八年级有800名学生，请你估计八年级学生中，每天完成作业所用时间为小时的学生有多少人？ 21. 工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为（个），乙组加工零件的数量为（个），其函数图象如图所示． （1）求与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）求a的值，并说明a的实际意义； （3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 22. 如图，在中，分别为的中点，，延长交的延长线于点N，连接． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，判断四边形的形状，并说明理由． 23. 疫情过后，越来越多的人意识到“强身健体”的重要性，体育用品需求不断增加．某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用3000元购进A种球拍的数量与用2500元购进B种球拍的数量相同． （1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价； （2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共80副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这80副羽毛球拍的资金不超过8900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？ （3）若销售A种羽毛球拍每副可获利润30元，B种羽毛球拍每副可获利润25元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？ 24. 如图，已知点A（2,-5）在直线：y＝2x+b上，和：y＝kx﹣1的图象交于点B，且点B的横坐标为8． （1）直接写出b、k的值； （2）若直线、与y轴分别交于点C、D，点P在线段BC上，满足，求出点P的坐标； （3）若点Q是直线上一点，且∠BAQ＝45°，求出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末学业质量检测八年级数学学科试题 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，分母中不含有根号，即可解答． 【详解】解：A、，被开方数含分母，故不是最简二次根式，故不符合题意； B、，是最简二次根式，故符合题意； C、，被开方数含分母，故不是最简二次根式，故不符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：B． 2. 一组数据按从小到大的顺序排列为1、2、3、x、4、5，若这组数据的中位数为3，则这组数据的方差是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析:先根据中位数的定义求出x的值，再根据方差的计算公式计算即可. 详解: ∵从小到大的顺序排列的1、2、3、x、4、5数据的中位数为3， ∴（3+x）÷2=3， ∴x=3, ∴, ∴. 故选D. 点睛: 本题考查了算术平均数和方差的计算，算术平均数的计算公式是：,方差的计算公式为：，根据公式求解即可. 3. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查长方形的性质，根据长方形的对角线把长方形的面积平分求解即可． 【详解】解：∵是长方形的对角线， ∴，故选项A正确，不符合题意； 由题意，四边形和四边形均为长方形， ∵、分别是长方形、长方形的对角线， ∴，，故选项D正确，不符合题意； ∴， ∴，故选项B正确，不符合题意； 不能证明，故选项C错误，符合题意， 故选：C． 4. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理可以判断各个选项的条件能否判断三角形是否为直角三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，故选项A不符合题意； ∵ ∴设 ∴，即， ∴是直角三角形，故选项B不符合题意； ∵ ∴ ∵， ∴， ∴是直角三角形，故选项C不符合题意； ∵，， ∴， ∴一定不是直角三角形，故选项D符合题意． 故选：D． 5. 如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，则关于与的关系，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解． 【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为m的两个点A和B， 则，， ∵， ∴， 当取横坐标为正数时，同理可得， 综上所述， 故选：D 【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到比例系数的关系． 6. 在学校科技节活动中，聪聪用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线，则图1中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键定灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 如图1中连接，如图2中，连接．在图2中，利用勾股定理求出，在图1中，只要证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：如图1中连接，如图2中，连接． 在图2中， ∵四边形是正方形， ， ，， ∴ ， 在图1中， ∵四边形是菱形，， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴， 故选：C． 7. 如图，边长为4的正方形中，E 是对角线上的一点，且，点 P 在 上． 于点 M， 于点 N，则的值为 （ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理，连接，设点C到的距离为h，然后根据求出，再根据正方形的性质求出h即可． 【详解】解：如图，连接，设点C到的距离为h， 则， 即， ∵， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴，， ∴， 在中，， ∴ ∴， 故选：B． 8. 如图1，在直角中，，点D是的中点，动点P从点C沿出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的图象如图2所示，则的面积为（ ） A. 16 B. 12 C. 32 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，利用函数图象得出的长是解题的关键． 设点的运动路程为，根据图象可得当点P在上运动时，，再利用函数图象当取最大值时，有最大值，此时点与点重合时可得，最后利用三角形面积公式解答即可． 【详解】解：当点P在上运动时， ∵， ∴， 即 ∴由图象可知：当时，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴当取最大值时，有最大值，此时点与点重合时， ∴由图象可知：当时，， ∴， ∵， ∴在中，， 故选A． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 若式子有意义，则实数x的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题的关键在于熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0． 10. 点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于_____． 【答案】-3 【解析】 【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式，得出3a﹣b＝﹣2，代入2（3a﹣b）+1即可． 【详解】解：∵点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上， ∴b＝3a+2， 则3a﹣b＝﹣2． ∴6a﹣2b+1＝2（3a﹣b）+1＝﹣4+1＝﹣3， 故答案为﹣3． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质，结合代数式求值是解题的关键． 11. 2023年春季开学伊始，流感在全国多个区域频发．某中学为有效预防流感，购买了，，，四种艾条进行消毒，它们的单价分别是元，元，元，元．四种艾条的购买比例如图所示，那么所购买艾条的平均单价是___． 【答案】元 【解析】 【分析】根据题意中的数据和扇形统计图中的数据，可以计算出所购买艾条的平均单价． 【详解】解：由图可得，所购买艾条的平均单价是：（元）． 故答案为：元． 【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法． 12. 已知x，y两个实数在数轴上位置如图所示，则化简的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值和二次根式，根据点在数轴上的位置，得到，进而得到式子的符号，化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 直线 沿y轴向下平移5个单位，则平移后直线与x轴的交点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“上加下减”的平移规律求解平移后的直线的解析式，然后令，即可求得平移后直线与x轴的交点坐标． 【详解】解：直线向下平移5个单位长度后：， 即， 令，则， 解得， ∴平移后直线与x轴的交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，平移的规律“左加右减，上加下减”，也考查了一次函数图象上点的坐标特征． 14. 荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动、有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地面EF的垂直高度，将它往前推送1.8m（水平距离）时，秋千的踏板离地面的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索的长度是__________． 【答案】##3米 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为，，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可作答． 【详解】解：由题意得：， 在中，由勾股定理得：， 设绳索的长度为，则， ∴， 解得：， 答：绳索的长度是． 故答案为：． 15. 如图，直线y=kx+b过A（-1，2）、B（-2，0）两点，则0≤kx+b≤-2x的解集为______． 【答案】－2≤x≤－1 【解析】 【分析】先确定直线OA的解析式为y=-2x,然后观察函数图象得到当-2≤x≤-1时，y=kx+b的图象在x轴上方且在直线y=-2x的下方． 【详解】直线OA的解析式为y=﹣2x，当﹣2≤x≤﹣1时，0≤kx+b≤﹣2x． 故答案为﹣2≤x≤﹣1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 16. 如图，正方形中，E、F分别为的中点，交于点，连接．则下列结论中：①；②；③；④，所有正确的结论是（只需填写序号）__________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据正方形性质得出；，证明，推出，求出即可判断①；取的中点，的中点，连接，证明是的垂直平分线，推出是等腰三角形，即可判断②；由②知：得到，又根据，得到，又根据，得到，就可以得到③正确；延长至N，使得，证，推出，求出是等腰直角三角形，即可判断④； 【详解】如图1， ∵正方形，E，F均为中点， ∴；， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①正确； 如图2， 取的中点，的中点，连接， 则：，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴是等腰三角形， ∴， ∴②正确； 由②知： ∴ 又∵ ∴ 又∵， ∴ 又 ∴；故③正确； 如图3，延长至N，使得，连接， ∵ ∴ 又∵E，F分别是的中点， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴，故④正确； ∴故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线等知识点的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，综合性比较强，有一定的难度． 三、解答题（共8题，72分） 17. 计算． （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2）﹣10＋3 【解析】 【分析】对于（1），根据乘法公式展开，再根据二次根式加减法法则计算即可； 对于（2），先根据零指数次幂，负整数指数次幂和绝对值的性质整理，再计算即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂、二次根式的运算，实数的运算，掌握运算法则是解题的关键．特别注意：，． 18. 已知：，，求： （1）； （2）的值． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】先计算出和的值； （1）利用因式分解的方法把变形为，然后利用整体代入的方法计算； （2）利用通分和完全平方公式把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【小问1详解】 解：，， ，， 【小问2详解】 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算． 19. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理．直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，先求出边的长度，再利用勾股定理逆定理判断出为直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：，， ， 设，则， 又， ， 或（舍去）， ，， 又，， ，， ， 是直角三角形， ， 所以． 20. 为积极落实“双减”政策，让作业布置更加精准高效，某校对八年级部分学生每天完成作业所用的时间进行调查，并用得到的数据绘制了如下不完整的统计图，如图，根据图中信息完成下列问题： （1）本次共调查了 名学生，并补全上面条形统计图； （2）在扇形统计图中，每天完成作业所用时间为小时的部分所对的圆心角度数是 ； （3）本次抽查学生每天完成作业所用时间的中位数为 ；众数为 ； （4）该校八年级有800名学生，请你估计八年级学生中，每天完成作业所用时间为小时的学生有多少人？ 【答案】（1） 50；补全条形统计图如图所示： （2） （3）； （4）96人 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图，扇形统计图中的数据计算出调查的总人数即可，并补全条形统计图即可； （2）根据每天完成作业所用时间为小时的人数所占的百分比乘以，即可得出答案； （3）根据条形统计图分析出中位数和众数即可； （4）根据样本计算出每天完成作业所用时间为小时的学生在样本的比例，根据比例估算出八年级学生中，每天完成作业所用时间为小时的学生． 【小问1详解】 解：（人）， ∴每天完成作业所用时间为小时的人数为（人）， 故答案为：50； 【小问2详解】 解：， 答：每天完成作业所用时间为小时的部分所对的圆心角度数是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：将本次抽查学生中每天完成作业所用时间从小到大进行排序，排在第25和26位的都是小时， ∴中位数为， 因为出现次数最多的是小时， ∴众数为， 故答案为：；． 【小问4详解】 解：（人）， 答：每天完成作业所用时间为小时的学生有96人． 【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估算整体，求中位数和众数，能够将条形统计图和扇形统计图相结合是解决本题的关键． 21. 工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为（个），乙组加工零件的数量为（个），其函数图象如图所示． （1）求与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）求a的值，并说明a的实际意义； （3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【答案】（1）， t的取值范围是；（2）从甲组开始工作起，8小时时，甲组加工零件的总量为280件；（3）甲组加工7小时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【解析】 【分析】（1）直线经过两点，采用待定系数法确定解析式即可； （2）根据0时到3时是正比例函数，确定工作效率，用总时间减去修机器的时间1小时就是工作时间，可确定总量； （3）确定再次工作时甲的解析式，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）设与t之间的函数关系式为． 把，分别代入，得 解得 ∴与时间t之间的函数关系式为： ； t的取值范围是； （2）当时，由图象知，甲前3小时加工120个， 故甲的工作效率为每小时加工零件40个． 甲组共加工（时）， 得（个）． ∴a的实际意义是：从甲组开始工作起，8小时时，甲组加工零件的总量为280件； （3）由题意可知，当时，由于工作效率没变， ∴． 当时， ， 解得． 答：甲组加工7小时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【点睛】本题考查了一次函数解析式的确定，一次函数与一元一次方程，熟练掌握待定系数法，灵活运用数形结合思想是解题的关键． 22. 如图，在中，分别为的中点，，延长交的延长线于点N，连接． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，M为的中点， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 四边形是正方形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，可得，可证，可得，可证四边形是平行四边形，由直角三角形的性质可得，可得四边形是菱形； （2）由菱形的性质可得，可得，则四边形是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定，直角三角形斜边中线的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 23. 疫情过后，越来越多的人意识到“强身健体”的重要性，体育用品需求不断增加．某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用3000元购进A种球拍的数量与用2500元购进B种球拍的数量相同． （1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价； （2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共80副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这80副羽毛球拍的资金不超过8900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？ （3）若销售A种羽毛球拍每副可获利润30元，B种羽毛球拍每副可获利润25元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）A种羽毛球拍每副的进价为120元，B种羽毛球拍每副的进价为100元； （2）该商店最多购进A种羽毛球拍45副； （3）购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍35副时，总获利最大，最大利润为2225元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应的关系式是解题的关键． （1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据用3000元购进A种球拍的数量与用2500元购进B种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可； （2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，根据用于购买这80副羽毛球拍的资金不超过8900元，列一元一次不等式，求解即可； （3）设总利润为w元，表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定如何进货总利润最大，并进一步求出最大利润即可． 【小问1详解】 解：设A种羽毛球拍每副的进价为x元，则B种羽毛球拍每副的进价为元， 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解， （元）， 答：A种羽毛球拍每副的进价为120元，B种羽毛球拍每副的进价为100元； 【小问2详解】 设该商店购进A种羽毛球拍m副， 根据题意，得， 解得，m为正整数， 答：该商店最多购进A种羽毛球拍45副； 【小问3详解】 设总利润为w元， ， ∵， ∴w随着m的增大而增大， 当时，w取得最大值，最大利润为（元）， 此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍（副）， 答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍35副时，总获利最大，最大利润为2225元． 24. 如图，已知点A（2,-5）在直线：y＝2x+b上，和：y＝kx﹣1的图象交于点B，且点B的横坐标为8． （1）直接写出b、k的值； （2）若直线、与y轴分别交于点C、D，点P在线段BC上，满足，求出点P的坐标； （3）若点Q是直线上一点，且∠BAQ＝45°，求出点Q的坐标． 【答案】（1）k=1，b=-9 （2）P(6,3) （3） 【解析】 【分析】（1）将点A的坐标代入中，求出b的值，即可求出直线的解析式，然后将x=8代入直线的解析式中，即可求出点B的坐标，最后将点B的坐标代入中，即可求出k的值； （2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点P作PF⊥y轴于F，根据点B的坐标即可求出BE的长，由题意可得，然后根据三角形的面积公式即可求出PF，从而求出点P的坐标； （3）设点Q的坐标为（a,a-1），过点Q作QE⊥AQ交直线于点E，过点Q作FG⊥x轴，过点A作AF⊥FG于F，过点E作EG⊥FG于G，可得△AQE为等腰直角三角形，QE=AQ，再证明△GEQ≌△FQA，即有GE=FQ，QG=AF，即有，AF=2-a，GE=a+4，QG=2-a，点E的横坐标为a+4+a=2a+4，点E的纵坐标为，根据点E在上，可得，解得：a=，则问题得解． 【小问1详解】 将点A的坐标代入中， 得， 解得：b=-9， ∴直线的解析式为， 将x=8代入中， 解得：y=7， ∴点B的坐标为（8,7）， 将点B的坐标代入中， 得， 解得：k=1， 综上：k=1，b=-9； 【小问2详解】 过点B作BE⊥y轴于点E，过点P作PF⊥y轴于F，连接PD， 根据（1）的结果，可知：直线的解析式为，直线的解析式为， 将x=0分别代入和，可得C点坐标为(0,-9)，D点坐标为(0,-1)， ∴CD=9-1=8， 根据B点坐标(8,7)，可得BE=8， ∵， ∴， ∴， ∴=6，即点P的横坐标为6， 将x=6代入中， 解得：y=3， ∴点P的坐标为（6,3）； 【小问3详解】 由（1）知，直线的解析式为，由点是直线上，设点Q的坐标为（a,a-1）， 过点Q作QE⊥AQ交直线于点E，过点Q作FG⊥x轴，过点A作AF⊥FG于F，过点E作EG⊥FG于G，如下图所示， ∵QE⊥AQ，∠BAQ=45°， ∴∠AQE=90°， ∴△AQE为等腰直角三角形，QE=AQ， ∵∠G=∠F=90°， ∴∠GEQ+∠GQE=90°，∠FQA+∠GQE=90°， ∴∠GEQ=∠FQA， ∴△GEQ≌△FQA， ∴GE=FQ，QG=AF， ∵点Q的坐标为（a,a-1），点A的坐标为， ∴ ，AF=2-a， ∴GE=a+4，QG=2-a， ∴点E的横坐标为a+4+a=2a+4，点E的纵坐标为， ∵点E在上， ∴， 解得：a=， ∴此时点Q的坐标为； 即点Q的坐标为． 【点睛】此题考查的是一次函数与几何图形的综合大题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，掌握利用待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积公式和全等三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $