精品解析：河北省沧州市南皮县桂和中学2024-2025学年上学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年河北省沧州市南皮县桂和中学八年级（上） 期末数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列实数是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 面积为2的正方形的边长 D. 3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 1，，3 C. 2，3，4 D. ，4，7 4. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A. SSS B. SAS C. SSA D. ASA 6. 计算的结果是 A. B. C. D. 7. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（　　） A. B. C. D. 8. 若，则表示的值的点落在（ ） A. 区域① B. 区域② C. 区域③ D. 区域④ 9. 如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为，高度为，吸管长为（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为，则最小为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 10. 已知点A，B在数轴上所对应的数分别为，，无论取何值，A，B两点都不可能关于原点对称，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 11. 如图，点P在内，点P关于、的对称点分别为E、F，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，，要使，若根据“HL”判定，还需要添加的条件是_____． 14. 如图，规定上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即．若，则的值为_____． 15. 的算术平方根是___________． 16. 如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，则an= ________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）求的值：． 18. 已知图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取小等边三角形涂上阴影： （1）在图1中，选取2个小等边三角形，使得7个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． （2）在图2中，选取3个小等边三角形，使得8个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． 19. 【新考向】 如图，在中，，点表示的数是，，以点为圆心、长为半径画弧交数轴负半轴于点C，C点表示的数为． （1）求的值； （2）先化简，再求值：，其中是（1）中求出的实数． 20. 如图，在中，于F，于E，M为的中点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的周长． 21. 如图，与关于点G中心对称，点E，F分别在上，且．求证：． 22. 、两地相距，一辆汽车从地匀速开往地，实际行驶的速度比原计划的速度增加20%，结果提前到达．求汽车实际行驶的时间． 甲同学所列的方程为：； 乙同学所列的方程为：． （1）甲同学所列方程中的表示 ；乙同学所列方程中的表示 ； （2）选择甲、乙两位同学中的一个方法解答这个题目． 23. 【教材变式】 【阅读】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于边长的平方，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 【操作】爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程； 【应用】如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值； 【拓展】如图4，将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，直接写出该飞镖状图案的面积． 24. 如图，在中，，，． （1）点P在上， ①如图1，当时， ； ②如图2，当点P在的平分线上时，求的长； （2）如图3，点M在上，若为等腰三角形，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河北省沧州市南皮县桂和中学八年级（上） 期末数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 下列实数是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 面积为2的正方形的边长 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，无限不循环小数为无理数，分数及整数为有理数，对无理数概念的熟悉是解题的关键． 利用无理数的定义核对选项即可． 【详解】解：A、0是整数，为有理数，故不符合题意； B、是分数，为有理数，故不符合题意； C、面积为2的正方形的边长为是无理数，故符合题意； D、为有理数，故不符合题意； 故选：C． 3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 1，，3 C. 2，3，4 D. ，4，7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．据此解答即可． 【详解】解：A、，可以构成直角三角形； B、，不可以构成直角三角形； C、，不可以构成直角三角形； D、，不可以构成直角三角形． 故选：A． 4. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的判断； 根据二次根式的定义：形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、当时，不是二次根式，不符合题意； C、当时，不是二次根式，不符合题意； D、∵， ∴一定是二次根式，符合题意； 故选：D． 5. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A. SSS B. SAS C. SSA D. ASA 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用．图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出， 所以，依据是ASA． 故选：D． 6. 计算的结果是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别对每个二次根式进行化简，然后合并被开方数相同的二次根式． 【详解】解：， 故选B． 7. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先标注图形，再根据“边角边”证明 ，可得，则答案可得． 【详解】解：如图所示，， ∴， ∴． ∵, ∴． 故选：B． 8. 若，则表示的值的点落在（ ） A. 区域① B. 区域② C. 区域③ D. 区域④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，实数与数轴，先根据二次根式的加减法则，进行计算，再估算无理数的范围，进而判断出表示的值的点的位置即可． 【详解】解：， ∵， ∴； ∴表示的值的点落在区域③； 故选：C． 9. 如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为，高度为，吸管长为（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为，则最小为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据题意，利用勾股定理求出吸管在杯内的最大长度，即可得出结果． 【详解】解：如图，由题意，得：， 由勾股定理，得：， ∴最小； 故选B． 10. 已知点A，B在数轴上所对应的数分别为，，无论取何值，A，B两点都不可能关于原点对称，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解问题，先根据两点关于原点对称时，两点表示的数互为相反数，列出分式方程，根据无论取何值，A，B两点都不可能关于原点对称，得到分式方程无解，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：无解， 方程去分母，得：， ∵方程无解， ∴， ∴， ∴； 故选C． 11. 如图，点P在内，点P关于、的对称点分别为E、F，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．连接、．根据轴对称的性质，证明是等边三角形，可得结论． 【详解】解：如图，连接、． ∵点P关于、的对称点分别为E、F， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 12. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确． ②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°． 又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2=∠CAB=30°， ∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确． ③∵∠1=∠B=30°， ∴AD=BD． ∴点D在AB的中垂线上．故③正确． ④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°， ∴CD=AD． ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD． ∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD． ∴S△DAC：S△ABC．故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，，要使，若根据“HL”判定，还需要添加的条件是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据证明三角形全等，掌握判定三角形全等是解题的关键． 根据两直角三角形全等的判定定理：即在一对直角三角形中，如果斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等．题干已经有一条直角边是公共边，由此即可得出需要添加的条件是斜边相等． 【详解】解：， 理由是：在和中， ， ∴； 故答案为：． 14. 如图，规定上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即．若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据新规定，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，, 得：， 解得：， 故答案为：． 15. 的算术平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根．根据算术平方根的定义即可得． 【详解】解：， 的算术平方根是， 故答案为：． 16. 如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，则an= ________． 【答案】． 【解析】 【详解】解：∵a2=AC，且在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2， ∴a2=a1=， 同理a3=a2=（）2a1=2， a4=a3=（）3a1=2； 由此可知： a2=a1=，a3=a2=（）2a1=2，a4=a3=（）3a1=2；… 故找到规律an=． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）求的值：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算和利用立方根的意义解方程． （1）先计算括号内的二次根式加法，再计算除法，最后计算加减即可； （2）方程变形为，利用立方根的意义解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） 移项，得， 系数化为1，得， ． 18. 已知图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取小等边三角形涂上阴影： （1）在图1中，选取2个小等边三角形，使得7个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． （2）在图2中，选取3个小等边三角形，使得8个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． 【答案】（1） 解：轴对称图形如图1所示；（答案不唯一） （2） 解：中心对称图形如图2所示（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案以及利用旋转设计图案，正确掌握相关图形的性质是解题关键． （1）直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案； （2）直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 【新考向】 如图，在中，，点表示的数是，，以点为圆心、长为半径画弧交数轴负半轴于点C，C点表示的数为． （1）求的值； （2）先化简，再求值：，其中是（1）中求出的实数． 【答案】（1）的值为 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，实数与数轴，分式的化简求值． （1）利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）进行解答即可求得a的值； （2）括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算进行化简，然后把（1）中a的值代入进行计算即可得． 【小问1详解】 解：在中，点表示的数为1，，， ，， ， 以点为圆心，以长为半径画弧，交数轴的负半轴于点， ， 点表示的实数是， 即的值为； 【小问2详解】 解： ； 当时，原式． 20. 如图，在中，于F，于E，M为的中点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）19 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质得出，，进而利用等腰三角形的判定解答即可； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解． 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵于F，于E，M为的中点， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形． 【小问2详解】 解：∵于F，于E，M为的中点， ∴，， ∴， ∴的周长为：． 21. 如图，与关于点G中心对称，点E，F分别在上，且．求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，中心对称，解决本题的关键是掌握成中心对称的两个图形必定能重合．先根据中心对称的性质得到，再证明即可利用证明，得，由此即可证明结论． 【详解】证明：∵与关于点G中心对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 22. 、两地相距，一辆汽车从地匀速开往地，实际行驶的速度比原计划的速度增加20%，结果提前到达．求汽车实际行驶的时间． 甲同学所列的方程为：； 乙同学所列的方程为：． （1）甲同学所列方程中的表示 ；乙同学所列方程中的表示 ； （2）选择甲、乙两位同学中的一个方法解答这个题目． 【答案】（1）汽车原计划需行驶的时间；汽车实际行驶的时间 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用： （1）根据所列方程所用的等量关系为：实际行驶的速度比原计划的速度增加20%，得到方程右边表示的是实际速度，进而判断出未知数表示的意义即可； （2）根据分式方程的解法求解即可． 【小问1详解】 解：由题意和所列方程可知：表示汽车原计划需行驶的时间；表示汽车实际行驶的时间． 【小问2详解】 解：选择甲同学的方法，设汽车原计划需行驶的时间为，则汽车实际行驶的时间为， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 答：汽车实际行驶的时间为． 选择乙同学的方法，设汽车实际行驶的时间为，汽车原计划需行驶的时间为， 由题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：汽车实际行驶的时间为． 23. 【教材变式】 【阅读】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于边长的平方，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 【操作】爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程； 【应用】如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值； 【拓展】如图4，将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，直接写出该飞镖状图案的面积． 【答案】操作：见解析；应用：；拓展：飞镖状图案的面积为24 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活利用面积法和勾股定理是解答本题的关键． [操作]利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论； [应用]运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； [拓展]可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】[操作] 大的正方形的面积可以表示为， 大的正方形的面积又可以表示为， ， ． [应用] 是边上的高， ， ，，，， ， 在中，， 在中，， ， 即， 解得； [拓展] 飞镖状图案的面积为24． 飞镖模型的周长为24，观察可知， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得， ， 飞镖状图案的面积． 24. 如图，在中，，，． （1）点P在上， ①如图1，当时， ； ②如图2，当点P在的平分线上时，求的长； （2）如图3，点M在上，若为等腰三角形，直接写出的长． 【答案】（1）①；②25 （2）的长为20或25或14 【解析】 【分析】（1）①根据勾股定理求出，根据等腰三角形的判定得出，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可； ②过点作于，设，则，根据角平分线的性质得出，证明，得出，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ， ， ， 设，则，， 在Rt中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即的长为； ②如图1，过点作于，设，则， 点在的平分线上，且，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 的长为25． 【小问2详解】 解：若为等腰三角形，有三种情况： 当时，如图2， ； 当时，如图3， ， ，， ， ， ， ． 当时，如图4， 过点作于点， ， ， ， 解得：， 在中，由勾股定理得： ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $