第二章 一元二次函数、方程和不等式（12大题型）（复习讲义）高一数学人教A版2019必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式（复习讲义） 1、通过用不等式(组)表示实际问题,提升数学抽象与数学建模素养；通过作差法比较两个实数的大小、不等式性质的应用,提升逻辑推理、数学运算素养. 2、通过基本不等式及其几何解释的学习提升数学抽象和直观想象素养；通过利用基本不等式求最大值或最小值提升逻辑推理和数学运算素养；通过基本不等式的实际应用,提升数学建模和数学运算素养. 3、能够从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,了解一元二次不等式的现实意义；能够借助一元二次函数图象求解一元二次不等式,提升数形结合能力,提升数学运算素养. 1、比较大小基本方法 关系 方法 做差法与0比较 做商法与1比较 或 或 2、不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 3、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） （1）基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. （2）基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 4、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 5、一元二次不等式的解法 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 6、解分式不等式 （1）定义：与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 （2）分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 7、一元二次不等式在R上恒成立的问题 （1）在R上恒成立,则有:或; （2）在R上恒成立,则有:或; （3）一元二次不等式≥0在R上恒成立,则有:; （4）一元二次不等式≤0在R上恒成立,则有:. 题型一 比较两个实数（式子）的大小 一、解答题 1．（24-25高一下·河北保定·月考）（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）设，比较与的大小； （2）已知，函数，当时，，当时，，试比较与的大小． 3．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 题型二 不等式的性质判断正误 一、多选题 1．（23-24高一上·贵州黔南·期末）设，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高一下·山西大同·月考）已知，则下列命题不正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，，则 D．若，，则 3．（24-25高一上·福建泉州·期中）若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东广州·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型三 利用不等式的性质求取值范围 一、多选题 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·黑龙江大庆·月考）已知实数满足，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·安徽宿州·月考）已知，，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D．最大值为5 题型四 基本不等式辨析 一、多选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．成立的条件是 B．成立的条件是 C．成立的条件是 D．成立的条件是 2．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·月考）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（    ） A． B．， C． D．， 3．（23-24高一上·山西运城·月考）已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．以下结论正确的是（    ） A．函数的最小值是4 B．若且，则 C．若，则的最小值为3 D．函数的最大值为0 5．（23-24高一上·福建莆田·月考）下列判断正确的有（    ） A． B． C． D． 题型五 基本不等式求最值 一、单选题 1．（24-25高一上·青海西宁·月考）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则的最小值为（   ） A．9 B． C．4 D．6 4．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 5．（24-25高一上·云南大理·期末）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．设正数满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 7．已知，则的最小值为 ． 8．（24-25高一上·河北石家庄·月考）已知，且，则的最小值为 . 9．（24-25高一上·天津武清·月考）已知，且，则的最小值为 ，此时 ． 题型六 基本不等式的实际应用 一、填空题 1．（24-25高一上·四川眉山·期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，则能围成的菜园面积的最大值为 . 2．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）某保健厂研制了一种足浴气血养生的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2，对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06．则臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值为 ． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域．四个小矩形，，，与小正方形面积之和为，且．计划在正方形上建一座花坛，造价为1000元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元．则当总造价最低时，的长为 ．    二、解答题 5．（25-26高一上·全国·单元测试）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 题型七 不等式的证明 一、解答题 1．（24-25高一上·福建漳州·期中）已知、、. (1)求证：； (2)求证：. 2．（24-25高一上·江苏镇江·期末）（1）已知，且，求的最小值； （2）已知，证明：. 3．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，求证：； （2）已知正数x、y满足，求证：. 4．（24-25高一上·湖南益阳·期末）（1）已知，求函数的最小值； （2）若，， 证明: . 5．（25-26高一上·全国·单元测试）选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 题型八 解不含参数的一元二次不等式(含分式不等式） 一、解答题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4). 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)． 3．（24-25高一上·广东茂名·月考）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)． 题型九 含参数的一元二次不等式 一、解答题 1．（24-25高一上·北京·期中）解关于的不等式． 2．（24-25高一上·陕西·期中）解关于的不等式； 3．（24-25高一上·天津滨海新·月考）设，解关于的不等式. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）解关于的不等式. （2）解关于的不等式. 5．（24-25高一上·江苏连云港·月考）解关于x的不等式： (1)； (2). 题型十 一元二次不等式求参数问题 一、单选题 1．（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（24-25高一上·吉林通化·月考）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 3．（24-25高一上·四川德阳·月考）已知不等式解集中的整数恰有个，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（24-25高一下·广西南宁·开学考试）若关于的一元二次不等式的解集是.那么若的解集为.则实数的取值范围是 . 5．（24-25高一上·湖北·期中）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 6．（24-25高一上·陕西安康·月考）（1）设． ①若对任意恒成立，求实数m的取值范围； ②讨论关于x的不等式的解集． （2）若关于x的不等式的解集中的整数恰有3个，求a的取值范围． 题型十一 一元二次不等式恒成立和有解问题 一、单选题 1．（24-25高一上·湖南·期中）若不等式对一切实数都成立，则整数的个数为（    ） A．67 B．68 C．69 D．70 2．（24-25高一上·云南文山·期末）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·辽宁朝阳·月考）若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．10 D．9 4．（24-25高一上·福建莆田·月考）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 二、填空题 6．（23-24高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是 . 7．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知命题p：，，请写出一个满足“p为假命题”的整数m的值： . 8．（2025高一·全国·专题练习）若对任意，均有，则实数的取值范围为 ． 9．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·月考）若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 10．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 11．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 . 题型十二 一元二次不等式的实际应用 一、单选题 1．（2025高一上·全国·专题练习）某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 二、填空题 3．某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .    4．（24-25高一上·上海·月考）某服装公司生产的衬衣，在某城市年销售8万件，现该公司在该市设立代理商来销售衬衫，代理商向服装公司收取销售金额的代理费．为此，该衬衫每件价格要提高到元才能保证公司利润．由于提价，每年将少销售万件，如果代理商每年收取的代理费不少于16万元，则的取值范围是 ． 5．（24-25高一上·江苏南通·月考）为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为（单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的，则的取值范围为 . 6．（24-25高一上·上海徐汇·期末）如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长 m. 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25高一上·四川南充·月考）设，，则，的大小关系为（ 　） A． B．M≤N C． D．无法确定 2．（24-25高一上·山西大同·期末）函数的最小值是（   ） A．7 B．1 C．5 D． 3．（24-25高一上·江苏连云港·月考）已知，，，则的最大值是（   ） A． B． C． D．1 4．（24-25高一上·福建福州·期中）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 5．不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 6．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 7．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，且，则的最小值是（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 8．（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·陕西西安·月考）小明､小红两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小明每次购买3千克葡萄，小红每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（    ） A．小明两次购买葡萄的平均价格比小红低 B．小红两次购买葡萄的平均价格比小明低 C．小红与小明两次购买葡萄的平均价格一样 D．两次购买葡萄的平均价格无法比较 10．（24-25高一上·山东济南·期末）若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·云南玉溪·期中）若，则下列命题中错误的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 13．（24-25高一下·河北保定·月考）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 14．下列命题中正确的是（ ） A．当时， B．若，则的最小值是 C．当时， D．的最小值是 15．（24-25高一上·湖北武汉·期末）下列几种说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 16．（24-25高一上·河南郑州·月考）已知实数满足，，则 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 17．（24-25高一上·江苏·月考）已知不等式，下列说法正确的是（    ） A．若，则不等式的解为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 三、填空题 18．（24-25高一上·广东·月考）如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周阴影部分铺设宽度相同的观赏通道已知三块花卉的面积均为平方米．若矩形花卉的长比宽至少多米，则花卉宽的取值范围为 . 19．（24-25高一上·全国·课后作业）“，”为真命题，则实数的取值范围为 . 20．（25-26高一上·全国·单元测试）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：米2）的计算公式是(长)×(宽)，在不测量长和宽的情况下，若只知道某块矩形场地的面积是10000米2，且工程量每平方米收费1元，则平整完这块矩形场地所需的最少费用约是 元． 21．（24-25高一上·重庆·期中）已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为 . 22．（24-25高一上·广东广州·月考）关于的不等式的解集中至多包含个整数，则实数的取值范围是 . 四、解答题 23．（24-25高一下·广东汕头·月考）（1）已知，证明； （2）已知，，其中且，比较的大小． 24．（24-25高一上·广东广州·期中）如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 25．（24-25高一上·吉林·期中）已知，，且. (1)证明： (2)求的最小值. 26．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）已知、、都是正数，求证：． （2）已知，求的最大值. （3）已知，求的最小值． 27．（24-25高一上·云南玉溪·月考）证明下列不等式： (1)已知，，，求证：； (2)已知，，均为正实数，且，求证：. 28．解关于x的不等式． (1)（）； (2)． 29．（24-25高一上·湖北·月考）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25高一上·贵州·期中）已知集合，对于任意的，不等式恒成立，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河北沧州·月考）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 二、多选题 3．已知，，，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最小值为8 B．的最小值为 C．的最小值为16 D．的最小值为2 4．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．已知，，则 D．已知，若，，则 三、填空题 5．（24-25高一上·上海·期中）若，，且，则式子的最小值是 6．（24-25高一上·山东菏泽·月考）若则的最小值为 7．（24-25高一下·广东珠海·开学考试）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围 ． 8．（24-25高一上·重庆·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为 . 9．（24-25高一上·江苏南通·月考）设表示a，b，c中最大的数．设.，且，则的最小值为 ． 10．（24-25高一上·安徽·期中）已知，的解集中的整数恰有4个，则实数的取值范围为 . 四、解答题 11．（23-24高一上·江苏镇江·月考）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 12．（24-25高一上·福建泉州·月考）（1）已知，，均为正实数，且满足．证明： ①． ②． （2）已知，若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（复习讲义） 1、通过用不等式(组)表示实际问题,提升数学抽象与数学建模素养；通过作差法比较两个实数的大小、不等式性质的应用,提升逻辑推理、数学运算素养. 2、通过基本不等式及其几何解释的学习提升数学抽象和直观想象素养；通过利用基本不等式求最大值或最小值提升逻辑推理和数学运算素养；通过基本不等式的实际应用,提升数学建模和数学运算素养. 3、能够从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,了解一元二次不等式的现实意义；能够借助一元二次函数图象求解一元二次不等式,提升数形结合能力,提升数学运算素养. 1、比较大小基本方法 关系 方法 做差法与0比较 做商法与1比较 或 或 2、不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 3、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） （1）基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. （2）基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 4、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 5、一元二次不等式的解法 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 6、解分式不等式 （1）定义：与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 （2）分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 7、一元二次不等式在R上恒成立的问题 （1）在R上恒成立,则有:或; （2）在R上恒成立,则有:或; （3）一元二次不等式≥0在R上恒成立,则有:; （4）一元二次不等式≤0在R上恒成立,则有:. 题型一 比较两个实数（式子）的大小 一、解答题 1．（24-25高一下·河北保定·月考）（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 【答案】（1），（2） 【分析】（1）（2）利用作差法即可求解. 【详解】（1）， 由于，所以，所以， 故 （2）， 因为，即 所以. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）设，比较与的大小； （2）已知，函数，当时，，当时，，试比较与的大小． 【答案】（1）；（2）. 【分析】利用作差法比较数的大小可得结论； 【详解】（1） 因为，所以， 又因为， 当且仅当，即时取等号， 又，所以，所以，所以， （2）， 因为，所以，， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即. 3．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①； ②； ③； 【分析】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】解： ① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 题型二 不等式的性质判断正误 一、多选题 1．（23-24高一上·贵州黔南·期末）设，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用不等式的性质推理判断AC；举例说明判断B，作差判断D. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，取满足，而不成立，B错误； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：ACD 2．（24-25高一下·山西大同·月考）已知，则下列命题不正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】根据不等式性质逐一进行判断即可. 【详解】当时，，故A不成立； 当时，若，则，故B不成立； 若，，则，即，故C成立； 若，，则，即，故D不成立. 故选：ABD. 3．（24-25高一上·福建泉州·期中）若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】作差，由不等式的性质判断ABD选项，举反例排除C选项. 【详解】A选项，， 因为，所以，所以，，A正确； B选项，， 因为，所以，所以，，B正确； C选项，当时，，C错误； D选项，， 因为，所以， 当时，，， 当时，，，D错误； 故选：AB. 4．（24-25高一上·广东广州·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质和同向不等式可加性，可判断ABD，利用作差法可判断C，即可. 【详解】对于A： ，又，由加法性质知，A正确, 对于B：, ,，B正确, 对于C：, ,,但是的正负号不确定, 与大小关系不确定，C错误, 对于D：,, ，又,，D正确, 故选：ABD. 题型三 利用不等式的性质求取值范围 一、多选题 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】应用不等式的性质依次判断各项的正误即可. 【详解】A：由，，得，故，错； B：由，得，而，故，对； C：由，，得，错； D：由，得，而，则，对. 故选：BD 2．（24-25高一上·黑龙江大庆·月考）已知实数满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用不等式的性质，逐项计算可得结论. 【详解】因为，所以，因为，所以，故A错误； 因为，所以，因为，所以，故B错误； 因为，，所以，故C正确； 因为，所以，所以，又， 所以，故D正确. 故选：CD. 3．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】AB选项，利用不等式的性质直接进行求解；CD选项，先利用表达出和，结合求出答案. 【详解】A选项，，相加得，故，A正确； B选项，，相加得，故，B正确； C选项，设， 故，解得，所以， 故，相加得， 即，C错误； D选项，设， 故，解得，故， ， 相加得，，D错误. 故选：AB 4．（24-25高一上·安徽宿州·月考）已知，，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D．最大值为5 【答案】AB 【分析】根据不等式的加法性质，可判断A、B；由，可判断C，对已知平方，再结合不等式的性质判断D. 【详解】根据题意，①，②， 两式相加得，A正确； 由②得，与①相加得，故B正确； 设，即， 得，则， 所以，故C错误； 由①可得，即， 由②可得，即，则， 所以，故D错误. 故选：AB 题型四 基本不等式辨析 一、多选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．成立的条件是 B．成立的条件是 C．成立的条件是 D．成立的条件是 【答案】BC 【分析】根据不等式成立的条件即可判断． 【详解】为重要不等式，其中，A错，B对； 是基本不等式，其中，C对，D错. 故选：BC 2．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·月考）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（    ） A． B．， C． D．， 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，因为的正负未知，所以，不能用基本不等式直接求得最大（小）值； 对于B选项，当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，能用基本不等式直接求得最大（小）值； 对于C选项，对于代数式，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，能用基本不等式直接求得最大（小）值； 对于D选项，因为，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，能用基本不等式直接求得最大（小）值. 故选：BCD. 3．（23-24高一上·山西运城·月考）已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由基本不等式逐一判断． 【详解】对于A，当为负数时不成立，故A错误， 对于B，，则，故B正确， 对于C，，则都为正数，， 当且仅当，即时等号成立，故C正确， 对于D，， 当且仅当和同时成立，即时等号成立，故D正确， 故选：BCD 4．以下结论正确的是（    ） A．函数的最小值是4 B．若且，则 C．若，则的最小值为3 D．函数的最大值为0 【答案】BD 【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A.对于函数，当时，，所以A选项错误. B.由于，所以， 所以，当且仅当时等号成立，所以B选项正确. C.， 但无解，所以等号不成立，所以C选项错误. D.由于，所以， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：BD 5．（23-24高一上·福建莆田·月考）下列判断正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，当时，，A错； 对于B选项，当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，B对； 对于C选项，因为，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，C对； 对于D选项，因为，则，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 但，故等号不成立，所以，，D对. 故选：BCD. 题型五 基本不等式求最值 一、单选题 1．（24-25高一上·青海西宁·月考）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求得的最大值. 【详解】因为，， 根据基本不等式可得，所以. 当时，取最大值. 故选：A. 2．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最大值为. 故选：C. 3．已知，，，则的最小值为（   ） A．9 B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】利用“1”的妙用，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，且，即时等号成立， 故的最小值为， 故选：B 4．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】法一：由得，可得，进而结合基本不等式求解即可； 法二：由得，由，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】已知，且， 法一：由得， 则 ， 当且仅当时取等号，则的最小值为； 法二：由得， 则， 当且仅当，即，时取等号， 则的最小值为． 故选：B. 5．（24-25高一上·云南大理·期末）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析可知，代入化简后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为正实数，满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 二、多选题 6．设正数满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】直接利用均值不等式判断A选项，通过“1”的代换判断B选项，利用平方判断CD选项. 【详解】A选项，， 当且仅当即时等号成立，故的最大值为，A错误； B选项，，当且仅当时等号成立，故B正确； C选项，由，得， 所以，当且仅当时等号成立，故C正确； D选项，由，得， 当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 7．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用“1”的妙用，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】因为， 故 ， 当且仅当时，结合，即时取等号， 即的最小值为， 故答案为： 8．（24-25高一上·河北石家庄·月考）已知，且，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】先由题意得且，接着将代入整理得，再根据基本不等式中常数“1”的妙用方法即可计算求解. 【详解】因为，且， 所以且， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 9．（24-25高一上·天津武清·月考）已知，且，则的最小值为 ，此时 ． 【答案】 12 或1 【分析】由代入目标式，应用基本不等式求目标式的最小值，并确定取值条件. 【详解】由题设，则， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 此时，可得，故或时等号成立. 综上，或时目标式取最小值为12. 故答案为：12；或1 题型六 基本不等式的实际应用 一、填空题 1．（24-25高一上·四川眉山·期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，则能围成的菜园面积的最大值为 . 【答案】 【分析】设矩形菜园的长为，宽为，得到，得到围成的菜园的面积，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设矩形菜园的长为，宽为，可得， 则围成的菜园的面积， 当且仅当即时等号成立， 所以围成菜园的最大面积为. 故答案为：. 2．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【答案】 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）某保健厂研制了一种足浴气血养生的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2，对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06．则臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件求出干扰度之和y的解析式，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意，知，， 因为时，，所以， 所以，． 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取“”， 所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和最小，为． 故答案为：． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域．四个小矩形，，，与小正方形面积之和为，且．计划在正方形上建一座花坛，造价为1000元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元．则当总造价最低时，的长为 ．    【答案】 【分析】设的长为，总造价为元，根据面积关系得阴影部分面积为，草坪面积为，花坛面积，进而得到，利用基本不等式求最值，得到答案. 【详解】设的长为，总造价为元，因为四个小矩形，，，与小正方形面积之和为， 且，小正方形的面积为， 其中矩形的面积为，则， 因为所以，阴影部分面积为， 因为，，， 所以草坪面积是面积的（倍） 所以草坪面积为， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，总造价最小，最小值为240000元． 故答案为：. 二、解答题 5．（25-26高一上·全国·单元测试）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为 (2)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． (3)． 【分析】（1）先由题意得，，，每间虎笼面积为，再利用基本不等式即可求出面积的最大值以及此时的值. （2）先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出的最小值以及此时的值. （3）法一：利用基本不等式1的代换可求得的最小值.法二：利用基本不等式求得，进而可得的最小值. 【详解】（1）由题得，即，，， 设每间虎笼的面积为，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间虎笼的长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大，最大为． （2）由题意可得，，，设钢筋网总长为，则， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时， 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． （3）依题意，得． 方法一， ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 方法二，，则，， 当且仅当时等号成立． 故，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为． 题型七 不等式的证明 一、解答题 1．（24-25高一上·福建漳州·期中）已知、、. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据不等式的性质，可得答案. 【详解】（1）∵，且、，∴，∴ （2）∵，∴，又，∴， ∴，∴， ∵、，∴，由（1）知， ∴，∴. 2．（24-25高一上·江苏镇江·期末）（1）已知，且，求的最小值； （2）已知，证明：. 【答案】（1）4；（2）证明见解析； 【分析】（1）利用基本不等式计算可得结果； （2）利用作差法计算即可证明得出结论. 【详解】（1）易知，即可得, 解得，当且仅当时，等号成立， 此时的最小值为4； （2）因为， 所以 , 因此. 3．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，求证：； （2）已知正数x、y满足，求证：. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【分析】（1）运用作差比较法作差通分整理后即可证明； （2）利用常值代换法和基本不等式即可求得的最小值，从而得证. 【详解】（1）由， 因，则，，故， 即得，故得证； （2）因正数x、y满足， 则 ， 当且仅当时等号成立. 由解得：， 即当，时等号成立，故得证. 4．（24-25高一上·湖南益阳·期末）（1）已知，求函数的最小值； （2）若，， 证明: . 【答案】（1）4；（2）证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式计算可得； （2）利用基本不等式计算可得. 【详解】（1），， 则． 当且仅当，即时等号成立． 所以函数的最小值为． （2），，， 即，当且仅当时等号成立． 5．（25-26高一上·全国·单元测试）选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对分别应用基本不等式即可证明； （2）对分别应用基本不等式即可证明. 【详解】证明  （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 题型八 解不含参数的一元二次不等式(含分式不等式） 一、解答题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1). (2) (3)或 (4). 【分析】先将不等式化成二次项系数为正的一元二次不等式，判断对应方程的根的个数，结合图象即得原不等式的解集. 【详解】（1）原不等式可化为. 对于方程，因为， 可知函数的图象开口向上，且与x轴无交点， 其大致如图1所示，由图1可知原不等式的解集为. （2）原不等式可化为，即， 函数的图象如图2所示， 由图2可知原不等式的解集为. （3）易知方程的两根分别是，， 则函数的图象与x轴有两个交点，分别为点和点， 又函数的图象是开口向上的抛物线，图象如图3所示， 由图3可得原不等式的解集为或. （4）原不等式可化为， 易知方程有两个相等实根， 画出函数的图象如图4所示， 由图4可知原不等式的解集为. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】先把分式不等式转化为一元二次不等式或一元二次不等式组，再解出不等式解集即可； 【详解】（1）原不等式可化为，所以原不等式的解集为． （2）∵，∴，解得， 所以原不等式的解集为． 3．（24-25高一上·广东茂名·月考）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （2）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （3）根据分式不等式的解法求得正确答案. 【详解】（1）由可得，，解得． 原不等式的解集为． （2）因为，所以， 因为无解，所以， 即原不等式的解集为； （3）不等式可化为，即，整理可得． 等价于，解得或． 原不等式的解集为或. 题型九 含参数的一元二次不等式 一、解答题 1．（24-25高一上·北京·期中）解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】利用分解因式整理不等式，结合分类讨论思想，可得答案. 【详解】由不等式，则， 当，即时，解得或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或. 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 2．（24-25高一上·陕西·期中）解关于的不等式； 【答案】答案见解析 【分析】把不等式化为，对与的大小关系分类讨论，即可得出不等式的解集． 【详解】，即， 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 3．（24-25高一上·天津滨海新·月考）设，解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】讨论、时，不等式的解集情况，再比较和的大小关系，从而再次细分讨论即可. 【详解】①当时，原不等式为，解得； ②当时，原不等式为，令，解得或， （i）当时，，解不等式可得或； （ii）当时，原不等式即为，解得； （iii）当时，，解不等式可得或； 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为或， 当时，解集为， 当时，解集为或. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）解关于的不等式. （2）解关于的不等式. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】（1）分、及，结合一元二次不等式的解法计算即可得； （2）计算，分及，结合一元二次不等式的解法计算即可得. 【详解】（1）， ①若，则原不等式可化为，解得； ②若，则原不等式化为，解得或； ③若，则原不等式化为，解得； 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； （2）由题意得， ①当，即时， 方程无实根，所以原不等式的解集为； ②当，即或时， 方程的两个根为，， 所以当时，原不等式的解集为； 当或时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 5．（24-25高一上·江苏连云港·月考）解关于x的不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据分式不等式解法运算求解； （2）分类讨论和判别式的符号，结合一元二次不等式运算求解. 【详解】（1）不等式，移项得，通分得， 可转化为且，解得， 故原不等式解集为． （2）当时，，解得； 当时，则， ①时，则，解得； ②时，则有： 若，即时，则； 若，即时，则且； 若，即时，解得或； 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为． 题型十 一元二次不等式求参数问题 一、单选题 1．（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求得，然后解一元二次不等式即可求解. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以的两个根为1，2， 所以由韦达定理有，解得， 所以不等式，即不等式或. 故选：A. 二、多选题 2．（24-25高一上·吉林通化·月考）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】AD 【分析】是方程的两根，且，A正确；由韦达定理得到，，从而解不等式得到B错误，D正确，，C错误. 【详解】由题意得是方程的两根，且，A正确； 故，即，， 所以，B错误； ，C错误； ， 解得，D正确. 故选：AD 3．（24-25高一上·四川德阳·月考）已知不等式解集中的整数恰有个，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用不等式性质，整理不等式为一元二次不等式，结合分类讨论思想，可得答案. 【详解】由，则，， 易知，可得， 当时，解得， 由，则， 可得，解得； 当时，解得，由，则， 可得，解得. 故选：BD. 三、填空题 4．（24-25高一下·广西南宁·开学考试）若关于的一元二次不等式的解集是.那么若的解集为.则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由给定的解集求出，再利用已知条件列式求出的范围. 【详解】由一元二次不等式的解集是， 得，年是方程的二根，即，因此， 不等式，即的解集为，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 5．（24-25高一上·湖北·期中）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件及一元二次不等式的解法即可求解 【详解】不等式，可化为 当，即时，， 解集中含有两个整数解，， 当，不等式解集为，不符合题意， 当，即时，， 解集中含有两个整数解，， 综上得. 故答案为：. 四、解答题 6．（24-25高一上·陕西安康·月考）（1）设． ①若对任意恒成立，求实数m的取值范围； ②讨论关于x的不等式的解集． （2）若关于x的不等式的解集中的整数恰有3个，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）. 【分析】（1）①由题意可得对恒成立，即有的最小值，运用基本不等式可得最小值，即可得到所求范围； ②讨论判别式小于等于0，以及判别式大于0，由二次函数的图象可得不等式的解集． （2）因式分解得，再对进行合理分类讨论即可. 【详解】（1）①由题意，若对任意恒成立， 即为对恒成立，即有的最小值， 时，，当且仅当时等号成立，可得. ②当，即时，的解集为R； 当，即或时，方程的两根为，， 可得的解集为． 综上所述，当时，解集为R； 当或时，解集为. （2）原不等式等价于，分类讨论： 当时，不等式的解集为，整数不止3个； 当时，方程的两根为和，且. ①当时，不等式的解集为，此时满足条件，得； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为，显然不满足题意； ④当时，不等式的解集为整数不止3个. 综上所述，的取值范围是. 题型十一 一元二次不等式恒成立和有解问题 一、单选题 1．（24-25高一上·湖南·期中）若不等式对一切实数都成立，则整数的个数为（    ） A．67 B．68 C．69 D．70 【答案】C 【分析】即恒成立，分和两种情况，结合开口方向和根的判别式得到不等式，求出，得到答案. 【详解】依题意可得对一切实数都成立， 当时，对一切实数都成立； 当时，需满足，解得． 综上，，整数的个数为69． 故选：C 2．（24-25高一上·云南文山·期末）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】参变分离计算可得，再利用充分不必要条件定义即可判断. 【详解】由，因为，所以， 要想该命题为真命题，只需，四个选项中只有A符合充分不必要的性质. 故选：A. 3．（24-25高一上·辽宁朝阳·月考）若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．10 D．9 【答案】C 【分析】将不等式的未知数移到同一侧，得到小于等于关于的函数的最小值，利用基本不等式求解即可. 【详解】由，得对任意的恒成立. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的最大值为10. 故选：C. 4．（24-25高一上·福建莆田·月考）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知原题意等价于，使得成立，令，利用基本不等式结合存在性问题分析求解. 【详解】因为，即， 又因为，则，可得， 原题意等价于，使得成立， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的范围是. 故选：B. 5．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】结合函数函数性质，得到函数的函数性质，由此建立等式得到的关系，然后借助基本不等式求出的最小值. 【详解】∵，∴在区间上单调递增， ∴当时，当时， 令， 要想关于x的不等式在区间上恒成立， 则当时，当时， ∴，则，即， ∴，当且仅当，即时取等号. 故选：B. 二、填空题 6．（23-24高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是 . 【答案】 【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 7．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知命题p：，，请写出一个满足“p为假命题”的整数m的值： . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据存在性命题的真假以及一元二次不等式恒成立得出结果. 【详解】由命题p：，为假命题， 则恒成立， 得，解得， 所以整数m的值可为，0，1（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）. 8．（2025高一·全国·专题练习）若对任意，均有，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出不等式的解集后，把问题转化为，再利用分类讨论思想进行列不等式求解． 【详解】不等式的解集为． 由题意知， 从而或， 解得或． 所以实数的取值范围为， 故答案为：． 9．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·月考）若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先对不等式进行参数分离，得到关于的不等式，然后利用基本不等式的性质即可求得结果. 【详解】由题意知，“，使得成立”是真命题， 所以，根据基本不等式的性质可得：，当且仅当，即时，等号成立. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 10．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，解一元二次不等式即可求实数的取值范围. 【详解】由两个正实数，满足， 得，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 因为不等式恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 11．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【分析】条件可转化为在上恒成立，再求的最大值即可确定的范围. 【详解】由不等式在上恒成立， 得在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，故的最小值为. 故答案为：. 题型十二 一元二次不等式的实际应用 一、单选题 1．（2025高一上·全国·专题练习）某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，再列出不等式，解不等式即可. 【详解】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则有， 化简整理得，解得． 因为，且，所以． 故选：A. 2．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 【答案】B 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】由题意可得，整理得， 即，解得，则的最大值是25. 故选：B 二、填空题 3．某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .    【答案】 【分析】根据题意列式，进而求解即可. 【详解】因为花坛的宽度为，所以绿草坪的长为，宽为， 由题意知，，， 所以， 根据题意得， 整理得，解得（舍去）或， 所以． 当时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·月考）某服装公司生产的衬衣，在某城市年销售8万件，现该公司在该市设立代理商来销售衬衫，代理商向服装公司收取销售金额的代理费．为此，该衬衫每件价格要提高到元才能保证公司利润．由于提价，每年将少销售万件，如果代理商每年收取的代理费不少于16万元，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，列出不等式求解即可． 【详解】由题可知，提价后每年可销售万件，所以， ， 整理得，，解得， 故答案为：． 5．（24-25高一上·江苏南通·月考）为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为（单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题目条件，按照稀释药液顺序，逐渐分析.可得，然后解不等式可得答案. 【详解】第一次将桶中药液倒出5升后，桶中药液还有升， 则加满水后药液含量占容积比例为.第二次倒出的4升液体中， 药液有升，则加满水后药液含量占容积比例为， 由题有，，解得， 又因为第一次将桶中药液倒出5升，所以， 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海徐汇·期末）如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长 m. 【答案】 【分析】根据已知有，应用基本不等式可得，由换元法求用纸量最少对应. 【详解】由题设，则， 所以，当且仅当时取等号， 令，则，即， 所以或（舍）， 此时，即用纸量最少时m. 故答案为： 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25高一上·四川南充·月考）设，，则，的大小关系为（ 　） A． B．M≤N C． D．无法确定 【答案】A 【分析】作差并与0比较大小得解. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 2．（24-25高一上·山西大同·期末）函数的最小值是（   ） A．7 B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】先将变为，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以， 所以． 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是7． 故选：A 3．（24-25高一上·江苏连云港·月考）已知，，，则的最大值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】由，，，得，当且仅当时取等号， 所以的最大值是1. 故选：D 4．（24-25高一上·福建福州·期中）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 【答案】D 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】设矩形菜园的宽为，长，则，且，. 因为（当且仅当，时取“”）. 故选：D 5．不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先根据不等式的解集求出的值，可求出的解集. 【详解】因为不等式的解集是， 所以是方程的两个根. 所以，解得. 所以不等式化简得. 所以. 故选：B. 6．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】将不等式整理为；当时可知不等式恒成立；当时，结合二次函数图象可得，解不等式组求得结果. 【详解】不等式可化为：， 当，即时，不等式为，恒成立，满足题意； 当，即时，要使不等式恒成立，则需， 解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：C. 7．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，且，则的最小值是（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】A 【分析】利用基本不等式“1”的妙用方法计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：A 8．（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解. 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 9．（24-25高一上·陕西西安·月考）小明､小红两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小明每次购买3千克葡萄，小红每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（    ） A．小明两次购买葡萄的平均价格比小红低 B．小红两次购买葡萄的平均价格比小明低 C．小红与小明两次购买葡萄的平均价格一样 D．两次购买葡萄的平均价格无法比较 【答案】B 【分析】根据题意计算出两人两次购买葡萄的平均价格，再用均值不等式来比较大小即可. 【详解】设两次葡萄的单价分别为元/千克和元/千克，且， 则小明两次购买3千克葡萄，平均价格为元/千克， 小红两次购买50元葡萄，平均价格为元/千克， 根据均值不等式有：， 由于，可知：， 所以有小红两次购买葡萄的平均价格比小明低， 故选：B. 10．（24-25高一上·山东济南·期末）若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分，和三种情况分类讨论，其中当时，利用判别式列不等式求解即可，最后求并集. 【详解】当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上，实数的取值范围是或，即. 故选：D 二、多选题 11．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据不等性质分别判断各选项. 【详解】A选项：由，，得，A选项错误； B选项：由，得，而，故，B选项正确； C选项：由，，得，故，C选项错误； 对于D，由，得，而，则，D选项正确； 故选：BD． 12．（23-24高一上·云南玉溪·期中）若，则下列命题中错误的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据不等式的性质，结合作差法，比较大小即可. 【详解】对于A，因为且，则，但不确定的正负，当时，，故A错误； 对于B，，因为且，所以，则即，故B错误； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，则则故D错误. 故选：ABD. 13．（24-25高一下·河北保定·月考）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】根据原不等式解集，判断的正负，以及由韦达定理求得关系；再对每个选项，逐一分析，即可判断和选择. 【详解】的解集为，故，且，即； 对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对CD：不等式，即，又，故， 也即，解得，即不等式解集为，故C错误，D正确. 故选：ABD. 14．下列命题中正确的是（ ） A．当时， B．若，则的最小值是 C．当时， D．的最小值是 【答案】BC 【分析】对于A，举反例即可判断A错误； 对于B，利用基本不等式可得B正确； 对于C，利用基本不等式可得C正确； 对于D，不满足基本不等式取等号的条件，判断D错误. 【详解】若，则，显然不满足，A错误； 若，则，当且仅当时取等号，最小值是，B正确； 若，则，当且仅当时取等号，最小值是，C正确； 若，则，当且仅当即时取等号，显然无解，故取不到最小值，D错误. 故选：BC. 15．（24-25高一上·湖北武汉·期末）下列几种说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】取特例判断A，根据作差法判断BC，利用不等式性质判断D. 【详解】当时，满足，但不成立，故A错误； 因为，所以，即，故B正确； 因为，所以，即，故C正确； 因为，所以，所以， 又，所以，故D正确. 故选：BCD 16．（24-25高一上·河南郑州·月考）已知实数满足，，则 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项推理求解判断. 【详解】不等式，， 对于A，，即，解得，A正确； 对于B，∵，∴，， 又，∴， 即，解得，B错误； 对于C，∵，，∴， 即，解得，C正确； 对于D，∵，， 又， ∴，所以，D正确. 故选：ACD. 17．（24-25高一上·江苏·月考）已知不等式，下列说法正确的是（    ） A．若，则不等式的解为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】选项A：利用求解一元二次不等式求解即可.选项B：利用对于恒成立分和结合判别式小于零求解出整数的取值集合为.对于选项C：将看成主元求解即可.选项D：分析出，则得到唯一的整数为零，求解出两个根的范围进一步求解出的取值范围. 【详解】当解得：故选项A错误. 若恒成立，则当时，不成立，当时， 解得：则 则整数的取值集合为.故选项B正确， 若不等式对恒成立，则， 则则 故选项C正确. 若恰有一个整数使得不等式成立，则则又因为所以 所以对应得两个根设为则 所以，解得，故选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题 18．（24-25高一上·广东·月考）如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周阴影部分铺设宽度相同的观赏通道已知三块花卉的面积均为平方米．若矩形花卉的长比宽至少多米，则花卉宽的取值范围为 . 【答案】 【分析】设草坪的宽为米，则长为米，由长比宽至少多米，则，即可求得花卉宽的取值范围. 【详解】设矩形花卉的宽为米， 因为三块花卉的面积均为平方米，则长为米， 又矩形花卉的长比宽至少多米，所以， 即，即， 解得， 所以花卉宽的取值范围是. 故答案为：. 19．（24-25高一上·全国·课后作业）“，”为真命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题可得在上恒成立，再利用基本不等式即得. 【详解】由，，可得， 令，则由题意知只需. 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以. 故答案为：. 20．（25-26高一上·全国·单元测试）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：米2）的计算公式是(长)×(宽)，在不测量长和宽的情况下，若只知道某块矩形场地的面积是10000米2，且工程量每平方米收费1元，则平整完这块矩形场地所需的最少费用约是 元． 【答案】 【分析】设矩形场地的长为米，则宽为米，得，再应用基本不等式求最小值，注意等号成立条件，即可得. 【详解】设矩形场地的长为米，则宽为米， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以平整完这块矩形场地所需的最少费用约为（元）． 故答案为： 21．（24-25高一上·重庆·期中）已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数，然后将不等式有解转化为最值问题即可. 【详解】法一：原不等式可化为，因为不等式在有解，所以； 令，则； 令，易知在单调递减，在单调递增，，所以. 法二：令，则即可； 由二次函数在闭区间上的最值可知，， 所以或，解得或，所以. 故答案为： 22．（24-25高一上·广东广州·月考）关于的不等式的解集中至多包含个整数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对与的大小进行分类讨论，求出不等式的解集，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围. 【详解】由可得， 当时，原不等式即为，该不等式的解集为，合乎题意； 当时，原不等式的解集为， 由题意可知，集合至多包含个整数，则该整数为，所以，； 当时，原不等式的解集为， 由题意可知，集合至多包含个整数，则该整数为，所以，. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 23．（24-25高一下·广东汕头·月考）（1）已知，证明； （2）已知，，其中且，比较的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）可通过作差法将与作差，然后判断差的正负来证明不等式； （2）使用作差法，将与作差，对差进行因式分解，再根据已知条件判断差的正负，从而比较与的大小. 【详解】（1）法一： ． 由于， 所以当时，，，  即 法二：因为，所以 所以，则     即 法三：因为，要证 即证 即证 由于，   所以原不等式成立 （2）解：因为，， 所以 因为，且，所以，， 所以，即 24．（24-25高一上·广东广州·期中）如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【答案】(1) (2)，宣传单的面积最小，最小的面积为 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围； （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得解. 【详解】（1）由宣传单的面积不超过可得：， 化简得，解得， 又，所以，故的最大值为. （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是 25．（24-25高一上·吉林·期中）已知，，且. (1)证明： (2)求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）利用基本不等式证得不等式成立. （2）利用“的代换”的方法，结合基本不等式来求得最小值. 【详解】（1）因为，，所以， 当且仅当时，等号成立. 因为，所以 所以，所以. （2）因为，所以. 因为，，所以 当且仅当，即时，等号成立， 则， 故，即的最小值是2 26．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）已知、、都是正数，求证：． （2）已知，求的最大值. （3）已知，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）3 【分析】（1）根据基本不等式可得，，，进而求证即可； （2）直接利用基本不等式求解即可； （3）先整理，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）证明：因为、、都是正数， 所以，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立. （2）由，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最大值为. （3）由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3． 27．（24-25高一上·云南玉溪·月考）证明下列不等式： (1)已知，，，求证：； (2)已知，，均为正实数，且，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）根据，化简，再利用基本不等式证明即可. 【详解】（1）由，得， 因为，所以， 所以，进而得到， 因为，所以. （2）因为，，均为正实数，且， 所以由基本不等式得， ， 当且仅当时，等号成立. 28．解关于x的不等式． (1)（）； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据两种情况，进行求解； （2）分，，，和，分类讨论，求出不等式的解集. 【详解】（1） ①当，即时，原不等式无解． ②当，即或时， 方程的两根为，， 则原不等式的解集为 综上所述，当时，原不等式无解； 当或时，原不等式的解集为； （2）若，原不等式等价于，解得． 若，原不等式等价于， 解得或． 若，原不等式等价于， ①当时，，无解； ②当时，，解得， ③当时，，解得， 综上所述，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 29．（24-25高一上·湖北·月考）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，化简不等式为，分、和，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）解：由不等式的解集为， 当时，即时，不等式即为，解得，不符合题意，舍去； 当时，即时，不等式可化为， 要使得不等式的解集为， 则满足， 即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. （2）解：由不等式，可得， 当时，即时，不等式即为，解得，解集为； 当时，即时，不等式可化为， 因为，所以不等式的解集为或； 当时，即时，不等式可化为， 因为，所以不等式的解集为， 综上可得， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25高一上·贵州·期中）已知集合，对于任意的，不等式恒成立，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设有，且在上恒成立，讨论、、求实数x的取值范围. 【详解】由题设， 由，即在上恒成立， 当时，恒成立，此时， 当时，不等式不成立， 当时，恒成立，此时， 综上，实数x的取值范围是. 故选：D 2．（24-25高一上·河北沧州·月考）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】将原不等式化为，按照与2的大小分类讨论解不等式，再结合解集中的整数个数建立不等式求解可得, 【详解】． 当时，不等式的解集为空集，不符合题意． 当时，不等式的解集为， 要使关于的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足解得． 当时，不等式的解集为， 要使关于的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足解得． 综上，实数的取值范围为. 故选：B 二、多选题 3．已知，，，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最小值为8 B．的最小值为 C．的最小值为16 D．的最小值为2 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式判断A，根据“1”的变形，结合基本不等式判断B，根据A的判断，变形判断CD. 【详解】A. ，，，得，当时，等号成立，故A正确； B.，当，即时等号成立，故B正确； C.，第一个等号成立的条件是，由A可知，第二个等号成立的条件是，两个等号不能同时成立，所以，故C错误； D.由，即，， 由A可知，等号成立的条件为，故D正确. 故选：ABD 4．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．已知，，则 D．已知，若，，则 【答案】CD 【分析】根据不等式的性质即可求解AB，利用整体法，结合不等式的性质求解C，利用作差法即可求解D. 【详解】对于A,由，故，故A错误， 对于B，由于，所以， 又，所以， 又，故，故， 因此，故B错误， 对于C,由于，结合，， 则，故C正确， 对于D, ，由于，， 故，即，故D正确， 故选：CD 三、填空题 5．（24-25高一上·上海·期中）若，，且，则式子的最小值是 【答案】 【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由题设，且， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 6．（24-25高一上·山东菏泽·月考）若则的最小值为 【答案】 【分析】利用条件等式消元，结合基本不等式计算即可. 【详解】由，得， 则，由，得， 因此 ， 当且仅当，即时等号. 故答案为： 7．（24-25高一下·广东珠海·开学考试）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】由题意可得“，使得”为真命题，分离参数可得在内有解，利用基本不等式求出即可. 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即在内有解，即， 因为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：. 8．（24-25高一上·重庆·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】将不等式分解可得，根据不等式恒成立对的取值分类讨论可得结果. 【详解】由已知可得， 易知该不等式对应的三个根为，且恒成立； 由已知时，不等式恒成立， 则需满足（1），解得成立； （2）时，，，解得成立； 综上可得或. 故答案为：或 9．（24-25高一上·江苏南通·月考）设表示a，b，c中最大的数．设.，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用换元法可得，进而根据不等式的性质，讨论求解即可. 【详解】令其中， 所以， 若，则，故， 令， 因此,故,则， 可知的最小值为， 故答案为： 10．（24-25高一上·安徽·期中）已知，的解集中的整数恰有4个，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先依题意求出，接着求不等式的解集，根据解集特征求出解集中的整数是，从而得，再结合即可求解. 【详解】当时，不等式化为， 因为，所以该不等式解集为，不满足解集中的整数恰有4个； 当时，，显然不满足解集中的整数恰有4个； 所以，，不等式化为， 解方程， 所以不等式的解集为，又， 所以不等式解集中的整数是， 所以，所以， 又因为，所以，即，所以， 综上，满足题意的实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 11．（23-24高一上·江苏镇江·月考）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 【答案】(1)100 (2)存在， 【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资”建立不等关系可求解； （2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值可得结果. 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元, 则 , 整理得 , 解得 , 因为 且 , 所以 , 故 , 所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资, 调整后的研发人员的人数最少为 100 人. （2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资， 得 , 整理得 ; 由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得 假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件, 即 恒成立， 因为 , 当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 , 又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以 所以 , 即 , 即存在这样的 满足条件, 其范围为 . 12．（24-25高一上·福建泉州·月考）（1）已知，，均为正实数，且满足．证明： ①． ②． （2）已知，若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1）① 证明见解析；②证明见解析 ；（2）． 【分析】（1）①由题意得到，，，三式相加即可证明；②由题意得到，再结合，，即可证明结论． （2）由条件可得，由此可得，换元并结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）①，，均为正实数， 则（当且仅当时取“＝”）， 同理可得：，（当且仅当，时等号成立）， 故（当且仅当时取“＝”）， 又，故； ② （当且仅当时取“＝”）， 同理（当且仅当时取“＝”）， （当且仅当时取“＝”）. 又由，， 所以，（当且仅当时取“＝”）， 所以， 故 ， （当且仅当时取“＝”）． （2）因为对任意，不等式恒成立， 所以，则，， 令，则，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 即当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】关键点睛：求的最小值的关键是依据题设将双元问题转化成一元问题，再结合换元法简化问题从而得解. 1 / 72 学科网（北京）股份有限公司 $