精品解析：河南省周口市太康县灵运初级中学2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度初中数学九年级 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 三角形的两边长分别为2和7，第三边是方程x2﹣10x+21＝0的解，则第三边的长为（　　） A. 7 B. 3 C. 7或3 D. 无法确定 2. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（       ） A. B. C. D. 3. 点A（﹣3，y1），B（0，y2），C（3，y3）是二次函数y＝﹣（x+2）2+m图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y1＝y3＜y2 C. y3＜y2＜y1 D. y1＜y3＜y2 4. 为了有效保护环境，某居委会倡议居民将生活垃圾进行可回收的、不可回收的和有害的分类投放，一天，小林把垃圾分装在三个袋中，则他任意投放垃圾，把三个袋子都放错位的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 某热销商品两次涨价后，售价由64元涨至81元，若两次涨价的百分率相同均为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图,D是的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8. 若是的两个根，且，则的值是（　　） A. B. 1 C. 1或7 D. 7或 9. 已知在RtABC中，，，，点D为边BC上动点，点E为边AB上的中点，则线段的最小值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CD＝4CF，下列结论：①∠BAE＝30°，②△ABE∽△ECF，③AE⊥EF，④AE＝2EF，⑤△ABE∽△AEF．其中正确结论的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 11. 已知，则________． 12. 抛物线先向上平移3个单位，后向右平移2个单位，所得抛物线解析式是___________ 13. 如图，中，边，高，边长为的正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，则边长x为_____． 14. 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点 A 在反比例函数 （x＞0）的图象上，则经过点 B 的反比例函数解式为_________． 15. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②；③；④（m为实数）；⑤．其中错误结论有_______． 三、解答题 16. （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中． 17. 在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别是． （1）作出关于y轴对称的； （2）作出以点O为位似中心位似比为1：2的 18. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD2＝BD•CD，记△ADB面积为S△ADB，△CDA的面积为S△CDA． （1）求证：△ADB∽△CDA； （2）若S△ADB：S△CDA＝1：4，求tanB． 19. 不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外均相同． （1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的球都是红球的概率． （2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是红球的概率是__________． 20. 如图，甲乙两幢楼之间的距离等于45米，现在要测乙楼的高，（），所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度 （取，结果精确到1米）． 21. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为． （1）求y与x的函数关系式； （2）如果要围成面积为花圃，的长是多少？ （3）当x取何值时，y有最大值？并求出最大值． 22. 足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若球门米，若射门路线形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好进球（不含点和），求的取值范围． 23. 已知为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于． （1）如图1，当绕点旋转到于时，与和与之间数量关系为______； （2）如图2，当点在线段上时，绕点旋转到和不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； （3）如图3，这种情况下，的数量关系是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度初中数学九年级 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 三角形的两边长分别为2和7，第三边是方程x2﹣10x+21＝0的解，则第三边的长为（　　） A. 7 B. 3 C. 7或3 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝7，x2＝3，然后利用三角形三边的关系确定三角形第三边的长． 【详解】解：x2﹣10x+21＝0， （x﹣7）（x﹣3）＝0， x﹣7＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝7，x2＝3， 因为2+3＝5＜7， 所以三角形第三边的长为7． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系． 2. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（       ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线平移规律．关键是掌握抛物线的平移规律．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位， 所得新抛物线的解析式为． 故选：C． 3. 点A（﹣3，y1），B（0，y2），C（3，y3）是二次函数y＝﹣（x+2）2+m图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y1＝y3＜y2 C. y3＜y2＜y1 D. y1＜y3＜y2 【答案】C 【解析】 【分析】先确定抛物线的对称轴，然后比较三个点到对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应的函数值的大小． 【详解】二次函数y＝﹣（x+2）2+m图象的对称轴为直线x＝﹣2， 又a=-1, 二次函数开口向下， ∴x＜-2时，y随x增大而增大，x＞-2时，y随x增大而减小， 而点A（﹣3，y1）到直线x＝﹣2的距离最小，点C（3，y3）到直线x＝﹣2的距离最大， 所以y3＜y2＜y1． 故选：C． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质. 4. 为了有效保护环境，某居委会倡议居民将生活垃圾进行可回收的、不可回收的和有害的分类投放，一天，小林把垃圾分装在三个袋中，则他任意投放垃圾，把三个袋子都放错位的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可回收、不可回收的和有害的垃圾分别用A、B、C表示，可回收的、不可回收的和有害的分类的投放点分别用a、b、c表示，通过列表列出所有可能的情况，再找出三个袋子都放错位的情况，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：可回收的、不可回收的和有害的垃圾分别用A、B、C表示，可回收的、不可回收的和有害的分类的投放点分别用a、b、c表示， 列表得： a b c A B C A C B B A C C A B B C A C B A 共有6种情况，三个袋子都放错位的情况有2种， 所以三个袋子都放错位的概率为： ， 故选C． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法列出所有可能的结果，再从中选出符合事件求出概率，熟练掌握概率公式是解题关键． 5. 某热销商品两次涨价后，售价由64元涨至81元，若两次涨价的百分率相同均为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 利用经过两次降价后的价格等于原价乘以（1﹣平均每次降价的百分率）的平方，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 6. 已知抛物线如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数的性质分别确定的符号即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线的开口方向向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，利用二次函数的图象和二次函数的性质得到字母系数的不等式是解题的关键． 7. 如图,D是的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据等弧所对的圆周角相等，得到与∠ABD相等的角有∠ACD、∠CBD、∠DAC共3个． 【详解】试题分析：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半. ∵D是的中点， ∴=， ∴∠ABD=∠CBD=∠ACD=∠DAC． 故选B． 8. 若是的两个根，且，则的值是（　　） A. B. 1 C. 1或7 D. 7或 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，再根据列出方程求解即可． 【详解】解：是关于的方程的两个根， ， 又， ， 解得或1， 当时，，方程无实数根，应舍去， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系与代数式变形相结合解题，是解此题的关键． 9. 已知在RtABC中，，，，点D为边BC上的动点，点E为边AB上的中点，则线段的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作点A关于直线BC的对称点，连接，，由对称性知，根据三角形三边关系可知，故的长即为线段的最小值．先证是等边三角形，得出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，作点A关于直线BC的对称点，连接，，，与交于点M． 由对称性可知，， ， 在中，， 的长即为线段的最小值． ，，， ， ， ， 点A与点关于直线BC对称， ， ， ， ， 等边三角形， 点E为边AB上的中点， ，， ， ， 即线段的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理和解直角三角形等知识，作出点A与关于直线BC的对称点，找出线段取最小值时动点D的位置是解题的关键． 10. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CD＝4CF，下列结论：①∠BAE＝30°，②△ABE∽△ECF，③AE⊥EF，④AE＝2EF，⑤△ABE∽△AEF．其中正确结论的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先由线段的关系得出，即可判断出①错误，再利用两边对应成比例，夹角相等得出△ABE∽△ECF，△ABE∽△AEF，最后用同角的余角相等，即可得出②③④⑤正确． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠C=∠D=90° ∵E是BC的中点， ∴ 在Rt△ABE中， ∴∠BAE＜30°， 所以①错误； ∵∠B=∠C， ∴△ABE∽△ECF， ∴AE=2EF， 所以②④正确； ∵△ABE∽△ECF， ∴∠BAE=∠CEF， ∵∠BAE+∠AEB=90°， ∴∠AEB+∠CEF=90°， ∴∠AEF=90°， ∴AE⊥EF， 所以③正确； ∵∠B=∠AEF=90°， ∴△ABE∽△AEF， ∴⑤正确， 即：正确的有②③④⑤四个； 故选：C． 二、填空题 11. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，利用等式的性质是解题关键．根据比例的性质设，，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， 故答案为：． 12. 抛物线先向上平移3个单位，后向右平移2个单位，所得抛物线解析式是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的规律进行求解即可：上加下减，左加右减． 【详解】解：抛物线先向上平移3个单位，后向右平移2个单位，所得抛物线解析式是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 13. 如图，中，边，高，边长为的正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，则边长x为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．关键是由正方形的性质得出平行线，证明三角形相似，利用相似三角形的性质列方程求解． 由正方形的性质得，可证，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求的值． 【详解】解：∵， ∴， ，即， 解得． 故答案为：． 14. 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点 A 在反比例函数 （x＞0）的图象上，则经过点 B 的反比例函数解式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，设A点坐标为（a，），根据锐角三角函数可得，然后利用相似三角形的判定可证△DBO∽△COA，列出比例式可用a表示点B的坐标，利用待定系数法即可求出结论． 【详解】解：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D 设A点坐标为（a，）其中a＞0 ∴OC=a，AC= ∵在Rt△AOB中，∠OAB=30°， ∴tan∠OAB= ∵∠BDO=∠OCA=∠AOB=90° ∴∠DBO＋∠BOD=90°，∠COA＋∠BOD=90° ∴∠DBO=∠COA ∴△DBO∽△COA ∴ 即 解得：BD=，OD= ∴点B的坐标为（，） 设经过点 B 的反比例函数解式为 将点B的坐标代入，得 解得：k= ∴经过点 B 的反比例函数解式为． 故答案：． 【点睛】此题考查的是求反比例函数的解析式、相似三角形的判定及性质和锐角三角函数，掌握利用待定系数法求反比例函数的解析式、相似三角形的判定及性质和锐角三角函数是解决此题的关键． 15. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②；③；④（m为实数）；⑤．其中错误结论有_______． 【答案】④ 【解析】 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①由抛物线可知：，， 对称轴： ∴， ∴，故①不符合题意； ②由对称轴可知： ∴， ∵时，， ∴， ∴，故②不符合题意； ③关于的对称点为， ∴时，，故③不符合题意； ④当时，的最小值为， ∴时， 即，故④符合题意； ⑤抛物线与轴有两个交点， ∴， 即， ∴，故⑤不符合题意； 故答案为：④． 三、解答题 16. （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中． 【答案】（1）0；（2）． 【解析】 【分析】（1）分别根据零指数幂的运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； （2）先根据分式的加减法则把原式进行化简，再求出的值，代入进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值及实数的运算，涉及到零指数幂的运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 17. 在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别是． （1）作出关于y轴对称的； （2）作出以点O为位似中心位似比为1：2的 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的特征，画出A1，B1，C1，再连线即可； （2）根据相似比为1：2，确定A2，B2，C2，再连线即可． 【小问1详解】 如图即为所求； 【小问2详解】 如图即为所求． 【点睛】本题考查了作图−轴对称以及位似变换，画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点，然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．正确掌握位似中心、位似比的概念及应用是解题的关键． 18. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD2＝BD•CD，记△ADB的面积为S△ADB，△CDA的面积为S△CDA． （1）求证：△ADB∽△CDA； （2）若S△ADB：S△CDA＝1：4，求tanB． 【答案】（1）见解析； （2）tanB＝2． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到S△ADB：S△CDA==1：4，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AD2＝BD•CD， ∴， ∴△ADB∽△CDA； （2）∵△ADB∽△CDA， ∴S△ADB：S△CDA＝＝1：4， ∴tanB＝＝2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 19. 不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外均相同． （1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的球都是红球的概率． （2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是红球的概率是__________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查画树状图法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据题意画出树状图，然后由树状图得出所有等可能的结果数与两次摸出的球都是红球的结果数，再利用概率公式即可求得答案； （2）根据题意画出树状图，然后由树状图得出所有等可能的结果数与两次摸出的球都是红球的结果数，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：画树状图： ∴共有9种等可能的结果数，两次摸出的球都是红球的结果数为4次， ∴两次摸出的球都是红球的概率为：； 【小问2详解】 解：画树状图： ∴共有7种等可能的结果数，两次摸出的球都是红球的结果数为2次， ∴两次摸出的球都是红球的概率为：． 20. 如图，甲乙两幢楼之间的距离等于45米，现在要测乙楼的高，（），所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度 （取，结果精确到1米）． 【答案】约为71米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解． 【详解】解：从观察点A作，交于点E，依题意，可知（米），． ∵, ∴为等腰直角三角形． ∴（米）． 在中，，得 （米） ∴ （米）． 答：乙楼的高度约为71米． 21. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为． （1）求y与x的函数关系式； （2）如果要围成面积为的花圃，的长是多少？ （3）当x取何值时，y有最大值？并求出最大值． 【答案】（1） （2） （3）当时面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题． （1）利用矩形面积公式建立函数关系式即可； （2）利用（1）解析式，当时，解一元二次方程求解，并使求的得解使小于等于； （3）利用（1）中解析式，根据函数的性质以及自变量的取值范围求函数最值． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解此方程得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， ∴当的长为时，花圃的面积为； 【小问3详解】 解：， 而由题意：， 即， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时面积最大，最大面积为． 22. 足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若球门米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好进球（不含点和），求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，平移规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先得到抛物线的顶点坐标为，设设抛物线，把点代入，即可作答． （2）依题意，设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，再把点和点分别代入，算出的值，即可作答． 【小问1详解】 解： ， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线，把点代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 把点代入得：， 解得：（舍去）或， ∵足球恰好进球（不含点和）， 即． 23. 已知为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于． （1）如图1，当绕点旋转到于时，与的和与之间数量关系为______； （2）如图2，当点在线段上时，绕点旋转到和不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； （3）如图3，这种情况下，的数量关系是______． 【答案】（1） （2）（1）中的结论成立；证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）当绕D点旋转到时，证明四边形是正方形，边长是的一半，即可得出结论； （2）过点D作，，则，证明，得出，即可得出结论； （3）同（2）得：，得出即可． 【小问1详解】 解：当绕D点旋转到时， ∴， ∴四边形是矩形． ∴，， ∵为边的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 设的边长， ∴正方形的边长为． ∴，， 即； 【小问2详解】 解：（1）中的结论成立； 过点D作，，则， 又∵， ∴，， ∵D为边的中点， 同理可得：四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴． 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵，，D为边的中点， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴ ， ∴． 故、、的关系是：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了同角的余角相等，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；正方形的判定与性质，平行线分线段成比例，证明三角形全等是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $