第三章第5讲 专题强化：“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”问题（专项训练）2025-2026学年高一物理人教版2019必修第一册

第5讲 “活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”问题 一、 考点精讲练本讲要点 考点1：“活结”与“死结”问题（必备知识+1例+3变式） 考点2：“动杆”与“定杆”问题（必备知识+1例+3变式） 二、 跟踪训练-考点拓展（精选5道题） 　考点1：“活结”与“死结”问题 1.“死结”可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。 2.“活结”可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点。“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线。 【例题】如图所示，水平直杆OP右端固定于竖直墙上的O点，长为L＝2 m的轻绳一端固定于直杆P点，另一端固定于墙上O点正下方的Q点，OP长为d＝1.2 m，重为8 N的钩码用质量不计的光滑挂钩挂在轻绳上且处于静止状态，则轻绳的弹力大小为(　 　) A．10 N B．8 N C．6 N D．5 N 【变式1-1】(多选)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆 M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态，衣服及衣架钩总质量为m，重力加速度为g，如果绳长为l，两杆间距为d，当衣架静止时，下列说法正确的是( ) A．绳的拉力大小为 B．增大两杆间距，绳的拉力不变 C．绳子的b端缓慢上移到b′的过程中，绳子的拉力不变 D．绳子的b端缓慢上移到b′的过程中，两绳拉力的合力不变 【变式1-2】（2020·全国）如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若α=70°，则β等于（　　） A．45° B．55° C．60° D．70° 【变式1-3】(2024·浙江1月选考)如图所示，在同一竖直平面内，小球A、B上系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为50 g，细线c、d平行且与水平方向成θ＝30°角(不计摩擦)，则细线a、b的拉力分别为(　　) A．2 N，1 N B．2 N，0.5 N C．1 N，1 N D．1 N，0.5 N 考点2：“动杆”与“定杆”问题 1.动杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆处于平衡时杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动.如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向. 2.定杆：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向.如图乙所示. 【例题】(多选)图甲中轻杆OA的A端固定在竖直墙壁上，另一端O光滑，一端固定在竖直墙壁B点的细线跨过O端系一质量为m的重物，OB水平；图乙中轻杆O′A′可绕A′点自由转动，另一端O′光滑；一端固定在竖直墙壁B′点的细线跨过O′端系一质量也为m的重物。已知图甲中∠BOA＝30°，下列说法正确的是(　 　) A.图甲轻杆中弹力大小为mg B．图乙轻杆中弹力大小为mg C．图甲中轻杆中弹力与细线OB中拉力的合力方向一定沿竖直方向 D．图乙中细线对轻杆弹力可能不沿杆 【变式2-1】(多选)甲图中，水平轻杆AB一端与竖直墙上的光滑的铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间夹角为37°，在B点下方悬挂质量为m的重物。乙图中，轻杆CD一端插入竖直墙内，另一端装有小滑轮，现用水平轻绳绕过滑轮挂住质量为m的重物，绳、杆之间夹角也为37°。两图中重物都静止，则下列说法中正确的是( ) A．与轻杆AB连接的铰链受到杆的弹力大小为mg B．若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则物体加重时，甲中轻绳更容易断裂 C．轻杆CD上的小滑轮受到杆的弹力大小为mg D．两根杆中弹力方向均沿杆方向 【变式2-2】如图所示的装置，杆QO沿竖直方向固定，且顶端有一光滑的定滑轮，轻杆OP用铰链固定于O点且可绕O点转动，用两根轻绳分别拴接质量分别为m1、m2的小球1、2并系于P点，其中拴接小球1的轻绳跨过定滑轮，已知O点到滑轮顶端Q的距离等于OP，当系统平衡时两杆的夹角为α＝120°，则m1∶m2为(　　) A．1∶2 B．∶2 C．1∶1 D．∶1 【变式2-3】如图甲所示的玩具吊车，其简化结构如图乙所示，杆AB固定于平台上且不可转动，其B端固定一光滑定滑轮；轻杆CD用铰链连接于平台上，可绕C端自由转动，其D端连接两条轻绳，一条轻绳绕过滑轮后悬挂一质量为m的重物，另一轻绳缠绕于电动机转轴O上，通过电动机的牵引控制重物的起落。某次吊车将重物吊起至一定高度后保持静止，此时各段轻绳与杆之间的夹角如图乙所示，其中两杆处于同一竖直面内，OD绳沿竖直方向，γ＝37°，θ＝90°，重力加速度大小为g，则(　　) A．α一定等于β B．AB杆受到绳子的作用力大小为mg C．CD杆受到绳子的作用力方向沿∠ODB的角平分线方向，大小为mg D．当启动电动机使重物缓慢下降时，AB杆受到绳子的作用力将逐渐增大 跟踪训练-考点拓展 1．水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一重为100 N的重物，CBA＝30°。如图所示，则滑轮受到轻绳的作用力的大小为( ) A．100 N B．86.6 N C．50 N D．20 N 2．如图所示，在水平天花板的A点处固定一根轻杆a，杆与天花板保持垂直。杆的下端有一个轻滑轮O。另一根细线上端固定在该天花板的B点处，细线跨过滑轮O，下端系一个重为G的物体，BO段细线与天花板的夹角为θ＝30°。系统保持静止，不计一切摩擦。下列说法中正确的是(　　) A．细线BO对天花板的拉力大小是 B．a杆对滑轮的作用力大小是 C．a杆和细线对滑轮的合力大小是G D．a杆对滑轮的作用力大小是G 3．(多选)如图所示，重物A被绕过小滑轮P的细线所悬挂，重物B放在粗糙的水平桌面上；小滑轮P被一根斜拉短线系于天花板上的O点；O′是三根线的结点，bO′水平拉着B物体，cO′沿竖直方向拉着弹簧；弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略，整个装置处于静止状态，g＝10 m/s2。若悬挂小滑轮的斜线OP的张力是20 N，则下列说法中正确的是(　　) A．弹簧的弹力为10 N B．重物A的质量为2 kg C．桌面对B物体的摩擦力为10 N D．OP与竖直方向的夹角为60° 4.甲图中，轻杆AB一端与墙上的光滑的铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间夹角为，在B点下方悬挂质量为的重物。乙图中，轻杆CD一端插入墙内，另一端装有小滑轮，现用轻绳绕过滑轮挂住质量为的重物，绳、杆之间夹角也为。甲、乙中杆都垂直于墙，则下列说法中正确的是（　　）    A．甲乙两图中杆中弹力之比 ： B．甲图中杆的弹力更大 C．两根杆中弹力方向均沿杆方向 D．若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则物体加重时，乙中轻绳更容易断裂 5.如图所示，两根刚性轻杆上端由自由旋转轴A连接，轻杆下端固定一根自然伸长的匀质轻弹簧，围成边长为L的等边三角形ABC，将此装置竖直放在光滑水平面上，在轴A处施加竖直向下的大小为F的作用力，弹簧被拉伸一定长度，若此时弹簧弹力大小恰为，则弹簧的劲度系数为(重力均忽略不计)(　　) A. B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5讲 “活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”问题 一、 考点精讲练本讲要点 考点1：“活结”与“死结”问题（必备知识+1例+3变式） 考点2：“动杆”与“定杆”问题（必备知识+1例+3变式） 二、 跟踪训练-考点拓展（精选5道题） 　考点1：“活结”与“死结”问题 1.“死结”可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。 2.“活结”可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点。“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线。 【例题】如图所示，水平直杆OP右端固定于竖直墙上的O点，长为L＝2 m的轻绳一端固定于直杆P点，另一端固定于墙上O点正下方的Q点，OP长为d＝1.2 m，重为8 N的钩码用质量不计的光滑挂钩挂在轻绳上且处于静止状态，则轻绳的弹力大小为(　 　) A．10 N B．8 N C．6 N D．5 N 【解析】设挂钩所在处为N点，延长PN交墙于M点，如图所示，同一条绳子拉力相等，根据对称性可知两边的绳子与竖直方向的夹角相等，设为α，则根据几何关系可知NQ＝MN，即PM等于绳长；根据几何关系可得sin α＝＝＝0.6，则α＝37°，根据平衡条件可得2T cos α＝mg，解得T＝5 N，故D正确，A、B、C错误。故选D。 【变式1-1】(多选)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆 M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态，衣服及衣架钩总质量为m，重力加速度为g，如果绳长为l，两杆间距为d，当衣架静止时，下列说法正确的是( ) A．绳的拉力大小为 B．增大两杆间距，绳的拉力不变 C．绳子的b端缓慢上移到b′的过程中，绳子的拉力不变 D．绳子的b端缓慢上移到b′的过程中，两绳拉力的合力不变 【解析】对衣架钩进行受力分析，假设绳子拉力与竖直方向之间夹角为θ，根据平衡条件可得mg＝2Tcos θ　①，假设两段绳子长度分别为l1、l2，满足l1sin θ＋l2sin θ＝lsin θ＝d，解得sin θ＝，可得cos θ＝　②，②式代入①式可得T＝，由上式可得，增大两杆间距，绳子拉力增大，故A、B错误；绳子的b 端缓慢上移到 b′的过程中，由T＝，可得绳子拉力不变，故C正确；绳子的b 端缓慢上移到 b′的过程中，根据平衡条件可得，两绳拉力的合力始终与重力等大反向，两绳拉力的合力不变，故D正确。故选CD。 【变式1-2】（2020·全国）如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若α=70°，则β等于（　　） A．45° B．55° C．60° D．70° 【解析】对O点进行受力分析，如图所示，因为甲、乙两物体质量相等，所以F1与F2大小相等，合成的平行四边形为菱形，α＝70°，则∠1＝∠2＝55°，F1和F2的合力与F3等大、反向，β＝∠2，B正确。 【变式1-3】(2024·浙江1月选考)如图所示，在同一竖直平面内，小球A、B上系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为50 g，细线c、d平行且与水平方向成θ＝30°角(不计摩擦)，则细线a、b的拉力分别为(　　) A．2 N，1 N B．2 N，0.5 N C．1 N，1 N D．1 N，0.5 N 【解析】由题意可知细线c对A的拉力和细线d对B的拉力大小相等、方向相反，对A、B整体分析可知细线a的拉力大小为Ta＝(mA＋mB)g＝1 N，设细线b与水平方向夹角为α，对A、B分析分别有Tb sin α＋Tc sin θ＝mAg，Tb cos α＝Td cos θ，解得Tb＝0.5 N，故选D。 考点2：“动杆”与“定杆”问题 1.动杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆处于平衡时杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动.如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向. 2.定杆：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向.如图乙所示. 【例题】(多选)图甲中轻杆OA的A端固定在竖直墙壁上，另一端O光滑，一端固定在竖直墙壁B点的细线跨过O端系一质量为m的重物，OB水平；图乙中轻杆O′A′可绕A′点自由转动，另一端O′光滑；一端固定在竖直墙壁B′点的细线跨过O′端系一质量也为m的重物。已知图甲中∠BOA＝30°，下列说法正确的是(　 　) A.图甲轻杆中弹力大小为mg B．图乙轻杆中弹力大小为mg C．图甲中轻杆中弹力与细线OB中拉力的合力方向一定沿竖直方向 D．图乙中细线对轻杆弹力可能不沿杆 【解析】由于题图甲轻杆OA为“定杆”，其O端光滑，可以视为活结，两侧细线中拉力大小相等，都等于mg，由力的平衡条件可知，题图甲轻杆中弹力大小为F甲＝2mg cos 45°＝mg，故A正确；题图乙中轻杆O′A′可绕A′点自由转动，为“动杆”，另一端O′光滑，可以视为活结，O′两侧细线中拉力相等，“动杆”中弹力方向一定沿“动杆”方向，“动杆”O′A′中弹力大小等于O′两侧细线中拉力的合力大小，两细线夹角不确定，则轻杆中弹力大小无法确定，故B、D错误；根据共点力平衡条件，题图甲中轻杆弹力与细线OB中拉力的合力方向一定与竖直细线的拉力方向相反，即竖直向上，故C正确。故选AC。 【变式2-1】(多选)甲图中，水平轻杆AB一端与竖直墙上的光滑的铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间夹角为37°，在B点下方悬挂质量为m的重物。乙图中，轻杆CD一端插入竖直墙内，另一端装有小滑轮，现用水平轻绳绕过滑轮挂住质量为m的重物，绳、杆之间夹角也为37°。两图中重物都静止，则下列说法中正确的是( ) A．与轻杆AB连接的铰链受到杆的弹力大小为mg B．若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则物体加重时，甲中轻绳更容易断裂 C．轻杆CD上的小滑轮受到杆的弹力大小为mg D．两根杆中弹力方向均沿杆方向 【解析】甲图中对B点受力分析，杆受力沿杆，两端绳中拉力不同，由平行四边形定则，可知FN1＝＝mg，FT1＝＝mg，则轻杆AB连接的铰链受到杆的弹力大小为mg，A错误；乙图中对D点受力分析，绳中两个拉力大小相同，可知乙中轻绳的拉力大小为FT1′＝FT2′＝mg，则物体加重时，甲中轻绳更容易断裂，B正确；CD杆受力不沿杆，小滑轮受到杆的弹力FN2＝＝mg，C正确；甲图中杆中弹力方向沿杆方向，乙图中杆中弹力方向不是沿杆方向，D错误。故选BC。 【变式2-2】如图所示的装置，杆QO沿竖直方向固定，且顶端有一光滑的定滑轮，轻杆OP用铰链固定于O点且可绕O点转动，用两根轻绳分别拴接质量分别为m1、m2的小球1、2并系于P点，其中拴接小球1的轻绳跨过定滑轮，已知O点到滑轮顶端Q的距离等于OP，当系统平衡时两杆的夹角为α＝120°，则m1∶m2为(　　) A．1∶2 B．∶2 C．1∶1 D．∶1 【解析】以结点P为研究对象，受力分析如图所示，则拴接小球1轻绳的拉力大小等于m1g，由力的平衡条件将杆OP的支持力与轻绳的拉力合成，由相似三角形可得m1g＝2m2g cos 30°，解得m1∶m2＝∶1，故A、B、C错误，D正确。故选D。 【变式2-3】如图甲所示的玩具吊车，其简化结构如图乙所示，杆AB固定于平台上且不可转动，其B端固定一光滑定滑轮；轻杆CD用铰链连接于平台上，可绕C端自由转动，其D端连接两条轻绳，一条轻绳绕过滑轮后悬挂一质量为m的重物，另一轻绳缠绕于电动机转轴O上，通过电动机的牵引控制重物的起落。某次吊车将重物吊起至一定高度后保持静止，此时各段轻绳与杆之间的夹角如图乙所示，其中两杆处于同一竖直面内，OD绳沿竖直方向，γ＝37°，θ＝90°，重力加速度大小为g，则(　　) A．α一定等于β B．AB杆受到绳子的作用力大小为mg C．CD杆受到绳子的作用力方向沿∠ODB的角平分线方向，大小为mg D．当启动电动机使重物缓慢下降时，AB杆受到绳子的作用力将逐渐增大 【解析】AB杆固定于平台上，力不一定沿杆，同一条绳的力大小相等，其合力一定在其角平分线上，由于力不一定沿杆，所以α不一定等于β，故A错误；如图所示，由两个力T所作力的平行四边形为菱形，根据平衡条件可得T＝mg，根据几何关系可得α＋β＝53°，对角线为F杆，则AB杆受到绳子的作用力大小为F杆＝2T cos ≠mg，故B错误；根据题意D端连接两条轻绳，两条轻绳的力不一定大小相等，且CD杆为铰链连接，为“活”杆，杆力沿着杆的方向，水平方向有F′杆cos 53°＝T cos 37°＝mg cos 37°，解得F′杆＝mg，故C错误；当启动电动机使重物缓慢下降时，即T＝mg不变，α＋β变小，根据F杆＝2T cos ，可知F杆变大，故D正确。 跟踪训练-考点拓展 1．水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一重为100 N的重物，CBA＝30°。如图所示，则滑轮受到轻绳的作用力的大小为( ) A．100 N B．86.6 N C．50 N D．20 N 【解析】轻绳跨过滑轮，BC段、BD段拉力相等F1＝F2＝mg＝100 N夹角为120°，根据平行四边形定则，二力合成如图所示 由于F1＝F2，所以平行四边形为菱形，两力夹角为120°，所以F1、F2的合力F＝F1＝F2＝100 N，即绳子对滑轮的作用力大小为100 N。故选A。 2．如图所示，在水平天花板的A点处固定一根轻杆a，杆与天花板保持垂直。杆的下端有一个轻滑轮O。另一根细线上端固定在该天花板的B点处，细线跨过滑轮O，下端系一个重为G的物体，BO段细线与天花板的夹角为θ＝30°。系统保持静止，不计一切摩擦。下列说法中正确的是(　　) A．细线BO对天花板的拉力大小是 B．a杆对滑轮的作用力大小是 C．a杆和细线对滑轮的合力大小是G D．a杆对滑轮的作用力大小是G 【解析】细线上的弹力处处相等，因此细线BO对天花板的拉力大小是G，A错误。两段细线上弹力均为G，构成菱形，合力为2Gsin30°＝G，大小等于a杆对滑轮的作用力，B错误，D正确。a杆和细线对滑轮的合力大小是0，C错误。故选D。 3．(多选)如图所示，重物A被绕过小滑轮P的细线所悬挂，重物B放在粗糙的水平桌面上；小滑轮P被一根斜拉短线系于天花板上的O点；O′是三根线的结点，bO′水平拉着B物体，cO′沿竖直方向拉着弹簧；弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略，整个装置处于静止状态，g＝10 m/s2。若悬挂小滑轮的斜线OP的张力是20 N，则下列说法中正确的是(　　) A．弹簧的弹力为10 N B．重物A的质量为2 kg C．桌面对B物体的摩擦力为10 N D．OP与竖直方向的夹角为60° 【解析】O′点是三根线的结点，属于“死结”，而小滑轮重力不计且与细线间的摩擦力可忽略，故P处为“活结”。由mAg＝FO′a，FOP＝2FO′acos30°解得：FO′a＝20 N，mA＝2 kg，B正确；OP的方向沿绳子张角的角平分线方向，故OP与竖直方向间夹角为30°，D错误；对O′受力分析，由平衡条件得：F弹＝FO′asin30°，FO′b＝FO′a·cos30°，对物体B有：fB＝FO′b，联立解得：F弹＝10 N，fB＝10 N，A、C均正确。故选ABC。 4.甲图中，轻杆AB一端与墙上的光滑的铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间夹角为，在B点下方悬挂质量为的重物。乙图中，轻杆CD一端插入墙内，另一端装有小滑轮，现用轻绳绕过滑轮挂住质量为的重物，绳、杆之间夹角也为。甲、乙中杆都垂直于墙，则下列说法中正确的是（　　）    A．甲乙两图中杆中弹力之比 ： B．甲图中杆的弹力更大 C．两根杆中弹力方向均沿杆方向 D．若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则物体加重时，乙中轻绳更容易断裂 【解析】C．甲图中的杆有铰链相连，可以自由转动，弹力方向沿杆方向，乙图中的杆一端插在墙里，不能自由转动，弹力方向不一定沿杆方向，而是沿两根绳合力的反方向。故C 错误； AB．甲、乙图受力分析如图    图甲中，以B点为研究对象，根据平衡条件可得 图乙中，以D点为研究对象，受到重物的拉力、上边绳的拉力和CD杆的弹力，由于拉力 F' 和重力的夹角为120°且大小均为mg，则由几何知识可得 T' = mg 即轻杆受到的弹力为mg。故A错误；B正确； D．甲图中轻绳的拉力为，乙图中轻绳的拉力 若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则物体加重时，甲中轻绳更容易断裂。故D错误。 故选B。 5.如图所示，两根刚性轻杆上端由自由旋转轴A连接，轻杆下端固定一根自然伸长的匀质轻弹簧，围成边长为L的等边三角形ABC，将此装置竖直放在光滑水平面上，在轴A处施加竖直向下的大小为F的作用力，弹簧被拉伸一定长度，若此时弹簧弹力大小恰为，则弹簧的劲度系数为(重力均忽略不计)(　　) A. B． C． D． 【解析】对整体分析可知，整体受压力和支持力的作用，则可知两杆的端点均受到水平面向上的大小为的支持力。因弹簧的弹力也为，对杆的端点根据受力平衡和力的合成分析，此时杆与水平面间的夹角为45°，则由几何关系可知，此时弹簧的长度变为L，则其形变量为L－L，由胡克定律可得k＝＝，故B正确。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$